005 matrik kovarian

SurveiDeformasi Struktur

1

PENURUNAN MATRIK KOVARIANS

Matrik kovarians biasanya digunakan untuk mengetahui tingkat ketelitian dari

parameter yang dicari, residu, dan observasi (pengukuran) yang teratakan.

Oleh karena itu:

Yang akan dicari: Cx, Cv, Cla

Bentuk Implicit: A + Bl + w = 0

w = -Axo - Bl bentuk f(x

o, l)

Dengan menerapkan dalil varian-kovarian (asumsikan saat ini bahwa o = 1):

Cw = (df / dv) Cl = B Cl BT

Asumsikan bahwa B Cl BT = M

-1

Untuk perataan parameter/indirect: Cw = Cl

MATRIK KOVARIAN UNTUK PARAMETER (Cx)

x = xo +

Oleh karena itu: Cx = C

= -(AT(B Cl B

T)

-1 A)

-1 A

T (B Cl B

T)

-1 w

= -(AT M A)

-1 A

T M w

1

11

111

11

MAA

MAAMAAMAA

MAAMAMMAMAA

MAAMACMAAMACC

T

TTT

TTT

TTT

wTT

x

1

1

ABCBAC

TTx l (untuk model implicit)

untuk model indirect/parameter dimana B = -I:

Cx = (AT

Cl-1

A)-1

= (AT

P A)-1

MATRIK KOVARIAN UNTUK RESIDU

Model Implicit:

Cv = Cl BT (B Cl B

T)

-1 {B Cl - A (A

T (B Cl B

T)

-1 A)

-1 A

T (B Cl B

T)

-1 B Cl}

Model Indirect (B = -I)


2

Cv = Cl - A (AT Cl

-1 A)

-1 A

T

MATRIK KOVARIAN UNTUK OBSERVASI YANG TERATAKAN

(Cla)

Untuk model indirect: la = l + v = A + w

Cla = A C AT = A Cx A

T = A (A

T Cl

-1 A)

-1 A

T

Oleh karena itu: Cv = Cl - Cla

Dan Cla = Cl - Cv

Harap diperhatikan bahwa pengukuran (observasi) yang teratakan la memiliki

ketelitian yang lebih tinggi daripada pengukuran awalnya l.

PENSKALAAN MATRIK KOVARIANS

Ingatlah kembali bahwa untuk mendapatkan nilai estimasi dari x, v dan la tidak

diperlukan penskalaan matrik kovarians Cl.

Tetapi solusi untuk x, v dan la dapat trgantung dari o

2 , dimana P = o

2 Cl

-1

Solusi hitung kuadrat terkecl untuk model indirect:

= -(AT P A)

-1 A

T P w

Gantikan dengan nilai substitusi untuk P, maka:

= -(AT o

2 Cl

-1 A)

-1 A

T o

2 Cl

-1 w

Perhatikan bahwa nilai o2 akan hilang dari persamaan diatas, hal yang sama

juga berlaku untuk model implicit.

Tetapi, ketika o2 tidak berperan apa-apa terhadap solusi untuk parameter, o

2

memiliki peranan penting dalam penskalaan matrik kovarians Cx, Cla, dan Cv

yang dihasilkan.

Tidak ada yang harus diperhatikan bila o2 diasumsikan sama dengan satu.

Tetapi, jika o2 tidak sama dengan satu, semua matrik kovarians harus

diskalakan:

Cx = (AT

Cl-1

A)-1

= o2 (A

T P A)

-1

Cv = Cl - A (AT Cl

-1 A)

-1 A

T = o

2 (P

-1 - A (A

T P A)

-1 A

T)

Cla = A Cx AT = o

2 A (A

T P A)

-1 A

T

Jika nilai awala o2 tidak diketahui maka nilai estimasi untuk faktor

varians/varians referensi (o2 ) dapat diperoleh melalui hitung perataan sebagai

fungsi baik residual v maupun matrik bobot P.

POST ADJUSTMENT ANALYSIS

Tujuan utama dari analisa hasil setelah dilakukan hitung perataan adalah:

Untuk menganalisa hasil


3

Untuk memastikan tingkat kepercayaan yang harus dikenakan pada hasil.

Macam-macam yang harus dilakukan:

Melakukan tes terhadap observasi (pengukuran) (pada umumnya

mendeteksi gross error atau outlier)

Melakukan tes terhadap model matematika yang digunakan

Melakukan tes kepercayaan terhadap nilai parameter yang dicari dan nilai

pengukuran yang teratakan.

Besaran-besaran yang digunakan dalam analisa:

Estimasi unknown, x, la

Matrik kovarians parameter, Cx

Estimasi residu, v

Matrik kovarians residu, Cv

MENGESTIMASI KETELITIAN (STANDARD ERROR) DARI

UNIT BOBOT

Faktor varians “a posteriori” 2ˆ o (ketelitian dari unit bobot) dapat diperoleh

dari:

dof

Pvv

un

PvvTT

20ˆ

dimana n adalah jumlah persamaan pengukuran (n adalah jumlah pengukuran

didalam model indirect), u adalah jumlah parameter dan dof adalah degrees of

freedom atau derajat kebebasan.

Untuk pengukuran yang tidak berkorelasi (disepanjang diagonal matrik bobot

P):

dof

vpdofvpvpvpvp ii

nn

223

33222

211

20 /ˆ

perlu diperhatikan bahwa ketika pi = 1 ekspresi diatas tereduksi menjadi

rumusan untuk standar deviasi (standar error), oleh karena itu namanya adalah

ketelitian dari unit bobot.

Ketika nilai faktor varians “apriopri” 20 diasumsikan ke nilai tertentu, kita

dapat menguji hipotesa itu apakah asumsi yang telah ditetapkan itu valid atau

tidak:

20

200 ˆ: H

arti dari pernyataan diatas adalah hipotesa apakah faktor varians posteriori

dengan faktor varians apriori masih relevan atau tidak.


4

Pengujian ini sering disebut dengan Global test untuk faktor varians. Pada

dasarnya pengujian ini dilakukan untuk menguji apakah ketelitian yang telah

diberikan pada awal pengukuran (yaitu bobot) konsisten dengan besarnya

residu-residu yang dihasilkan oleh proses hitung perataan kuadrat terkecil.

Penolakan dari global test ini (pengujian gagal) mengindikasikan antara lain:

Masih terdapatnya gross error pada data pengukuran.

Model matematika yang dipakai belum lengkap (misalnya tidak

memperhitungkan adanya kesalahan sistematik).

Pengamsumsian yang kurang tepat untuk nilai ketelitian pengukuran,

misalnya Cl.


5

Variance

Factor Test

(Global Test)

Passes?

Test for

Normality

Passes?

Testing

Differential Quantities

Passes?

Stochastic

Model

Correct?

MULTIVARIATE TESTING METHODOLOGY

Start

Least Squares

Interpretation

Reason to

Formulate

Model?

Reason to

Remove/Remeasure

Data?

Improve

Statistical Model

Reformulate

Model

Remove or

Remeasure Data

Assess

Unknown

End

Interpretation

Yes

No

Yes

No

No Yes

Yes

No

No Yes

No

Yes


6

TEST FACTOR VARIANCE /VARIANS REFERENSI / GLOBAL

TEST

Estimasi faktor varians apriori, o2 terhadap faktor varian posteriori 2

0̂ dapat

diuji kevalidannya melalui uji statistik Chi-Squared distribution, 2 dengan

dof tertentu. Pengujian dua arah (two tailed test) untuk 20̂ pada selang/daerah

kepercayaan 100(1 - )% adalah:

2,21

202

02,2

20 ˆˆ

dofdof

dofdof

Misalnya untuk selang/daerah kepercayaan 95%, maka = 0.05; untuk daerah

kepercayaan 99%, maka = 0.01. Sedangkan a disebut sebagai tingkat

kepercayaan (level of significance).

Pengujian tersebut mengasumsikan bahwa residual v terdistrribusi normal.

Jika 20̂ jatuh diluar selang tersebut akan mengindikasikan bahwa:

20̂ tidak konsisten dengan ketelitian yang didapat dari proses hitung

perataan, artinya varians pengukuran yang ditetapkan diawal pengukuran

adalah salah.

Model matematika yang dipakai masih belum lengkap atau salah (masih

mengandung kesalahan sistematis)

Pengukuran masih mengandung gross error atau blunder.

Interpretasi dari rumusan diatas adalah:

Perhatikan bahwa 1-(/2) terletak didepan/awal kurva, sehingga rumusan

diatas harus diinterpretasikan sedikit berbeda dari artinya semula. Sehingga

lebih disukai penulisan alternatif:


7

2,21

2,2 dofdof

T

dimana: 20

20ˆ

dofT

Contoh:

Jika diketahui 20 = 2, dan 2

0̂ = 3.7, dengan dof = 9; ujilah hipotesa tersebut

dengan uji dua arah untuk selang/daerah kepercayaan 95%.

Solusi alternatif 1:

Untuk selang 95% maka = 0.05, maka berdasarkan data dari tabel diperoleh:

0.19

7.2

29,975.0

2,21

29,025.0

2,2

dof

dof

75.1ˆ

33.12ˆ

29,975.0

20

29,025.0

20

dof

dof

Maka: 1.75 < 20 < 12.33, sehingga hipotesa H0 dapat diterima.

Solusi Alternatif 2:

20

20ˆ

dofT = 9

2

7.3 = 16.65

maka terlihat bahwa 1965.167.2atau29,975.0

29,025.0 T sehingga

hipotesa H0 diterima.


8

Contoh Soal:

Diketahui pengukuran beda tinggi pada jaringan sipat datar sebagai berikut:

Pengukuran Beda Tinggi

(m)

l1 5.10

l2 2.34

l3 -1.25

l4 -6.13

l5 -0.68

l6 -3.00

l7 1.70

Dimisalkan bahwa A, B, C adalah tinggi titik-titik A, B, dan C yang

merupakan parameter yang akan dicari. Karena persamaan pengukuran beda

tinggi adalah li = tinggi titik foreside - tinggi titik backside, maka model

matematik yang sesuai adalah model indirect. Sekarang kita susun terlebih

dahulu persamaan observasi untuk semua pengukuran:

BCvl

YBvl

ABvl

CXvl

YCvl

AYvl

XAvl

77

66

55

44

33

22

11

CBv

Bv

BAv

Cv

Cv

Av

Av

7

6

5

4

3

2

1

5.107

0.100

5.107

5.107

10.50.100

Solusi kuadrat terkecil model indirect untuk persamaan linier tersebut adalah:

wAxv

Sehingga:

70.1

50.104

68.0

13.106

25.106

16.105

10.105

110

010

011

100

100

001

001

7

6

5

4

3

2

1

C

B

A

v

v

v

v

v

v

v

BM X=100.0m

BM Y=107.50m

ABC

l1

l2l

3

l4

l5

l7

l6


9

A= 1 0 0 w= 105.10

-1 0 0 -105.16

0 0 1 106.25

0 0 -1 -106.13

-1 1 0 -0.68

0 1 0 104.50

0 -1 1 1.70

(ATA)-1

= 0.3809524 0.1428571 0.047619 ATw = 210.94

0.1428571 0.4285714 0.1428571 102.12

0.047619 0.1428571 0.3809524 214.08

X= 105.14095 AX= 105.14095 V= 0.041

104.48286 -105.14095 0.019

106.18762 106.18762 -0.062

-106.18762 -0.058

-0.6580952 0.022

104.48286 -0.017

1.7047619 0.005


10

Contoh Soal:

Global Test untuk faktor varians

Persamaan garis y = m x + b, dengan data-data sebagai berikut:

y (observasi) x

3.2 1

3.0 1

2.9 1

4.1 2

6.1 4

5.9 4

Solusi hitung kuadrat terkecil dengan model indirect v = Ax + w adalah:

9.5

1.6

1.4

9.2

0.3

2.3

14

14

12

11

11

11

6

5

4

3

2

1

b

m

v

v

v

v

v

v

dan solusi x =

2.06

0.987692

b

m

vektor residual v:

0.1107692

0.0892308-

0.0646154-

0.1476923

0.0476923

0.1523077-

v ; a posteriori varians = 0.01792326

0.071692ˆ 2

0

dof

vvT

Global Test untuk selang kepercayaan 95%:

484.024,025.0

2,2/ dof sedangkan 1.112

4,975.02

,2/1 dof

0.0716921

017923.04

ˆ

20

20

dofT

dari hasil diatas nilai T tidak berada diantara nilai distribusi chi-squared,

sehingga dapat disimpulkan bahwa hipotesa Ho untuk global tersebut ditolak.

005 matrik kovarian

Education