Matrik InversSuatu bilangan jika dikalikan dengan kebalikannya, maka hasilnya adalah 1. Misalkan 5.5-1 atau 5-1.5 = 1, Demikian juga halnya dengan matrik A.A-1 = A-1.A = I

Maka :

Jika tidak ditemukan matrik A-1, maka A disebut matrik tunggal (singular)

-1 2 -5 3 5A A

-1 3 1 2

-1 -1 1 0AA A A

0 1

Sifat-sifat matrik yang memiliki invers (invertibel)

11

1 1

1 1 1

1 TT 1

1 nn 1 n

1). A A

12). cA A

c

3). AB B A , A dan B memiliki ordo yang sama

4). A A

5). A A A , n bilangan bulat positip

Invers matrik 2 x 2 :

Maka , A-1 diperoleh dengan rumus :

1. A.A-1 = I

2.

3.

Jika ad – bc = 0, maka matrik A non-invertibel

a bA dapat di invers jika ad - bc 0

c d

-1A I I AOBE

-1 1A adj(A)

A

Metode Gauss-Jordan

1) Mencari invers dengan definisi Langkah-langkahnya : Dibuat suatu matrik invers dengan elemen-

elemen matrik permisalan sehingga mendapatkan suatu persamaan jika dilakukan perkalian dengan matriknya.

Perkalian matrik dengan matrik inversnya menghasilkan matrik identitas

Dilakukan penyelesaian persamaan melalui eliminasi ataupun substitusi sehingga diperoleh nilai elemen-elemen matrik invers.

A A-1 = A-1 A = I

2) Mencari invers dengan OBE (Operasi Baris Elementer)

Langkah-langkah : Dilakukan OBE pada hingga diperoleh dengan memperhatikan definisi operasi berikut:

-1A I I AOBE

A I -1I A

ij

i

ij i j

b menukar baris ke i dengan baris ke j

b (p) mengalikan baris ke i dengan p 0

b (p) b pb

ganti baris ke i dengan baris baru yang

merupakan baris ke i ditambah dengan

baris ke j yang dikalikan dengan p.

Matriks Elementer: (E)

Matriks A(nxn) disebut elementer bila dengan sekali melakukan Operasi Baris Elementer (OBE) terhadap matriks identitas In.

3 3

1 0 0 1 0 0 1 0 0

I 0 1 0 E 0 5 0 I 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1

B2(5) B2(1/5)

3 3

1 0 0 0 1 0 1 0 0

I 0 1 0 E 1 0 0 I 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1

B12B12

3 3

1 0 0 1 0 0 1 0 0

I 0 1 0 E 0 1 0 I 0 1 0

0 0 1 0 4 1 0 0 1

B32(4)

B3= B3+ 4B2

B32(-4)

B3= B3+(- 4)B2

A = EA

= . A

Contoh :

E = matrik elementer, maka EA = matrik baru yang terjadi bila OBE tersebut dilakukan pada matrik A.

OBE

I OBE

1 2 3 4A

3 4 1 2

B12

1 0 0 1I E

0 1 1 0

B12

E.A0 1 1 2 3 4

1 0 3 4 1 2

Notasi sebagai berikut :Ek…..E2E1A = In

1k 2 1 n

1k 2 1

1 1 11 2 k

A (E .....E E ) I

(E .....E E )

E E .....E

Tunjukkan bahwa matrik adalah perkalianmatrik elementer !Jawab :

Dari penyelesaian dengan OBE yang menghasilkan matrik identitas, maka matrik A adalah matrik invertibleDengan demikian, matrik A dapat dituliskan sebagai hasil kali dari matrik elementer.

2 3A

1 3

2

2 3 1 3 1 3

1 3 2 3 0 -3

1 0 1 0 I

0 -3 0 1

B12 B21(-2) B12(1)

B2(-1/3)

Kita memiliki E4E3E2E1A = I dengan :

Matrik elementer ini menyatakan operasi baris elementer untuk membentuk matrik A menjadi matrik identitas.

Dengan demikian :

1 2 3 4 13

1 00 1 1 0 1 1E , E , E , E

0 1 0 2 1 0 1

14 3 2 1

1 1 1 11 2 3 4

13

A (E E E E )

E E E E

1 00 1 1 0 1 1

0 1 0 2 1 0 1

3) Mencari Invers dengan Matrik Adjoint

Langkah-langkah :

Hitung

Cari matrik adjoint dengan terlebih dahulu

menentukan matrik kofaktor.

Matrik adjoint merupakan matrik transpose dari

matrik kofaktor.

Matrik invers diperoleh dengan mengkalikan

matrik adjoint dengan seper-determinan

|A| ≠ 0

-1 1A adj(A)

A

Matrik kofaktor dan matrik adjoint

11 12

21 22

a aA

a a

Jika baris ke i dan kolom j dibuang, makadisebut minor ke ij dari matrik A.

Kofaktor ke ij dari matrik A adalah :

ijA

ij ijM A

i+jij ijK ( 1) A

11 12

21 22

a a

a a

2 121 12 12K ( 1) a a

2 222 11 11K ( 1) a a

Matrik kofaktor dari A adalah :

1 111 22 22K ( 1) a a

1 212 21 21K ( 1) a a 11 12

21 22

a a

a a

11 12

21 22

a a

a a

11 12

21 22

a a

a a

Matrik adjoint merupakan matrik transpose dari

matrik kofaktor.

22 21

12 11

a -aK

-a a

Sehingga diperoleh matrik kofaktor A :

T

22 21 22 12T

12 11 21 11

a -a a -aadj (A) K

-a a -a a

Matrik Adj (A) dari A2x2 =

dc

ba

C11 = M11 = d

C12 = - M12 = - c

C21 = - M21 = - b

C22 = M22 = a

=

2212

2111

CC

CCadj(A) =

ac

bd

Kesimpulan :

Contoh soal :1. Carilah matrik invers dari :

Jawab : Cara 1)

Misalkan :

=

3 7A

2 5

1A.A I

1 a bA

c d

3 7

2 5

a b

c d

1 0

0 1

3a 7c 3b 7d 1 0

2a 5c 2b 5d 0 1

3a 7c 1 3b 7d 0

2a 5c 0 2b 5d 1

3a 7c 1 x 2 6a 14c 2

2a 5c 0 x 3 6a 15c 0

-c 2

c -2

2a 5c 0

2a 5c 10

a 5

3b 7d 0 x2 6b 14d 0

2b 5d 1 x3 6b 15d 3

d 3

d 3

2b 5d 1 b 7

1 a b 5 7A

c d 2 3

Cara 2)(A | I) (I | A-1)

OBE

7 13 31 0

2 5 0 1

21b ( 2)

7 13 3

1 23 3

1 0

0 - 1

2b (3)7 13 31 0

0 1 -2 1

11 3b ( )

712 3b ( )

1 0 5 -7

0 1 -2 1

-1 5 -7A

-2 1

3 7 1 0

2 5 0 1

Cara 3) :

-1

-1

1A adj(A)

A

a b d -bUntuk matrik A , maka adj(A)

c d -c a

5 7 5 71A

2 3 2 31

2. Cari matrik invers dengan OBE dari matrik berikut :

Jawab :

1 2A

3 4

(A | I) (I | A-1)OBE

1 1 1 12 2 2 2

-1

1 12 2

1 2 1 0 1 2 1 0

3 4 0 1 0 -2 -3 1

1 2 1 0 1 0 -2 1

0 1 1 - 0 1 1 -

-2 1Jadi A

1 -

B21(-3) B2(-1/2)

B12(-2)

3. Tentukan A-1 dan B-1 pada matrik berikut ini :

1 2 12 15A dan B

3 4 4 5

A 1(4) 2(3) 2 0, maka A memiliki invers

-1 1A adj(A)

A

2 1 4 21

3 13 1 2

2 2

B 12( 5) ( 15)4 0, maka B tidak memiliki invers

3. Apakah matrik B merupakan matrik invers dari matrik A?

dan

Jawab :

Harus dibuktikan apakah A.B = B.A = I

A.B = B.A = I

Jadi matrik B merupakan invers matrik A

Invers matrik 3 x 3

Sama seperti mencari invers matrik 2 x 2, hanya

diperlukan ketelitian yang lebih dibandingkan mencari

invers matrik 2 x 2.

a b c

A d e f

g h i

Contoh soal :

0 1 2

Tentukan invers matrik A 1 0 3

4 -3 8

-11 1 1 2 1 3

Jawab:

1A

(0( 1) (0 ( 9)) 1( 1) (8 12) 2( 1) ( 3 0))

(0 9) (8 6) (3 0)

x (8 12) (0 8) (0 2)

( 3 0) (0 4) (0 1)

-1

9 14 31

x 4 8 2( 2)

3 4 1

9 3 7 2 2 A 2 4 1

3 1 2 2 2

Carilah invers dari A =

321

231

442

Jawab : C11 = M11 = - 5

C12 = - M12 = 1

C13 = M13 = 1

C21 = - M21 = 4

C22 = M22 = - 2

C23 = - M23 = 0

C31 = M31 = - 4

C32 = - M32 = 0

C33 = M33 = 2

adj(A) =

332313

322212

312111

CCC

CCC

CCC

=

201

021

445

|A| = a11C11 + a12C12 + a13C13 = (2)(-5) + (4)(1) + (4)(1) = - 2

A-1 = ||

)(

A

Aadj=

2

1

201

021

445

=

10

01

22

21

21

25

Mencari invers dengan Operasi Kolom Elementer (OKE)

Seperti halnya dengan OBE, OKE mengabungkan matrik A di atas matrik identitas, kemudian dilakukan operasi kolom elementer sehingga matrik A bertransformasi menjadi matrik identitas (I) dan matrik invers berada di bawahnya.

Notasi pencarian invers dengan OKE :

-1

IA

I A

OKE

Carilah invers dari B =

321

231

442 dengan melakukan OKE !

Jawab:

100

010

221101

011

002

I

B=

100

010

001321

231

442 K21(-2)

K31(-2)

~

101

011

225100

010

002K12(-1)

100

011

223101

010

002K13(-1)

~ ~

10

01

22100

010

001

21

21

25

K1(1/2)

~K3(-1)

10

01

22100

010

001

21

21

25

~

Jadi B-1 =

10

01

22

21

21

25

1B

I=

10

01

22100

010

001

21

21

25

Carilah invers dari B =

321

231

442dengan melakukan OBE !

Jawab :

(B | I) = B13~

100321

010231

001442

~

001442

010231

100321 B21(1)

B31(2)

201200

110110

100321 B1(-1)

B3(-1/2)

~

10100

110110

100321

21

B13(-3)

B23(1)

~

10100

01010

20021

21

21

23 B12(-2)

~

10100

01010

22001

21

21

25

= (I | B-1)

Jadi B-1 =

10

01

22

21

21

25

Cari matrik invers dari

Jawab : -1A I I A

OBE

B21(-2)

B31(1)

B32(1) Karena elemen baris ke 3 pada matrik kiri semua nol, maka matrik A tidak punya invers (non-invertibel)