paksalam.files.wordpress.com · web viewsecara fisik pengertian sudut dalam pembahasan ini sama...

RAGAM CARA PENENTUAN ARAH KIBLAT DALAM PERSPEKTIF ASTRONOMI

Moedji RahartoAnggota Kelompok Keahlian Astronomi dan Peneliti Observatorium Bosscha, FMIPA ITBd/a Gd Astronomi - Lab Tek III, Jl Ganesha 10 Bandung 40132

*) Disampaikan pada acara Semiloka Nasional “Problematika Arah Kiblat dan Waktu Shalat, Urgensi dan Sosialisasi” di Pesantren Tebuireng Jombang pada tanggal 12 – 14 Juli 2010 diselenggarakan oleh Ma’had ‘Aly “Al Mahfudz” Seblak – Jombang Konsentrasi Ilmu Falak bekerjasama dengan Kementerian Agama RI dan Pesantren Tebuireng.

Ringkasan

Dasar – dasar beberapa cara dalam perhitungan dan penentuan arah Kiblat yang relatif mudah dan murah dalam perspektif astronomi di paparkan dalam makalah ini.

PENDAHULUAN

Bagi seorang mukmin menghadap ke Arah Kiblat merupakan salah satu sahnya dalam ibadah shalat. Dalam sejarah Islam pernah terjadi perubahan arah Kiblat dari arah Baitul Maqdis masjid al Aqsa ke Ka’bah (di dalam masjid al Haram). Perubahan arah Kiblat itu diabadikan dalam QS 2 : 144, begitu pula peristiwa itu diabadikan dalam masjid Qiblatain di Mekah.

Awal kiblat (qiblah) umat Islam adalah Baitul Maqdis di Yerusalem, Palestina, tempat Mi’raj Rasullulah. Sekitar 16 bulan setelah umat Islam ber kiblat ke Baitul Maqdis, wahyu Allah turun QS 2:144, kiblat umat Islam beralih ke Ka’bah, Masjid al Haram, di Makkah, Arab Saudi. Ketentuan arah Kiblat ini merupakan ketertiban bagi umat Islam dalam menjalankan ibadah shalat. Hakekat shalat sujud ke Allah bukan sujud ke Ka’bah. Pada dasarnya kemanapun kita menghadap di situlah wajah Allah, kebaktian bukanlah menghadap ke timur atau ke barat, akan tetapi kebaktian adalah beriman kepada Allah (QS 2:115 dan 177). Dan Allah memindahkan kiblat dari Baitul Maqdis ke Masjidil Haram untuk menguji keimanan orang – orang mukmin, sekaligus mengabulkan permohonan Nabi Muhammad saw (QS 2: 142 – 146). Setiap umat mempunyai kiblat masing – masing, dan kiblat umat Islam adalah Baitullah (Ka’bah) (QS 2: 148 – 151, QS 5:97). (Firdaus, 2008)

Salah satu tempat bersejarah yang dikunjungi umat Islam selama berHaji atau berUmrah adalah Masjid Qiblatain (Masjid dengan dua qiblat) di Madinah. Satu – satunya masjid dengan dua mihrab, satu Mihrab menghadap ke Ka’bah di Mekkah dan satu Mihrab menghadap ke Baitul Maqdis, di Yerussalem Timur di Palestina yang sekarang masih diduduki Israel. Di masjid Qiblatain ini Rasullulah menerima wahyu QS

2:144, pada pertengahan 624 M (2 H). Ketika itu Rasullulah sedang melaksanakan shalat Dhuhur

bersama sahabat, dua rakaat pertama menghadap ke baitul Maqdis di Masjidil Aqsha dan pada dua rakaat terakhir Nabi berpindah kiblat menghadap Ka’bah di masjidil Haram.

Maka hendaklah engkau hadapkan mukamu ke arah Masjidil Haram; di mana saja kamu berada hendaklah kamu hadapkan mukamu ke sana. (QS al Baqarah ayat 144)

Apabila engkau shalat sempurnakan wudhu mu, kemudian menghadaplah ke Kiblat. (HR Muslim)

Menghadap ke arah Kiblat merupakan salah satu sarat sahnya dalam mengerjakan ibadah shalat. Oleh karena itu usaha menentukan arah Kiblat ketika hendak melaksanakan shalat merupakan sebuah kewajiban (terutama di tempat yang tak terdapat tanda arah Kiblat).

Keunikan dalam ajaran Islam, umat Islam diajar mengenal menentukan arah Kiblat (Qiblat) dalam ritual shalat, salah satu bentuk berdzikir kepada Allah swt. Secara fisik pada waktu menghadap ke Qiblat adalah menghadap ke arah Baitullah, ke arah Ka’bah, tempat pusat putaran thawaf jamaah yang berumrah dan berhaji di masjid al Haram di Mekah.

1

Ketika dalam perjalanan sehari – hari tidak jarang dalam pelaksanaan shalat, seseorang melakukan ihtiar maksimal dalam menentukan arah Kiblat. Umumnya diputuskan asal menghadap ke Barat dan miring sedikit ke Utara. Ihtiar semacam itu tidak salah, namun pertanyaannya adakah alternatif yang praktis dan lebih baik ?

Salah satu sarat sahnya shalat bagi umat Islam adalah menghadap ke Kiblat. Oleh karena itu berihtiar mencari arah Kiblat merupakan sebuah ibadah dan sekaligus menjadi tantangan dalam sains dan teknologi. Secara umum arah Kiblat adalah arah ke masjidil Haram di Mekah yang di dalamnya terdapat Ka’bah (Baitullah). Penentuan arah Kiblat merupakan penetuan arah pada permukaan Bola Bumi. Setiap titik di permukaan Bola Bumi mempunyai koordinat geografis.

Untuk ketertiban dan menghilangkan keragu –raguan dalam penentuan arah Kiblat sebuah masjid atau tempat makam dan lapangan untuk ibadah perlu pedoman dan penjelasan tentang arah Kiblat. Arah Kiblat adalah arah ke Ka’bah. Untuk khusu’ dalam beribadah shalat dan berbagai keperluan lainnya perlu kepastian mencari arah mata angin apakah arah Kiblat sudah benar (misalnya bagi penduduk yang berdiam di Indonesia arah Kiblatnya tidak menghadap ke Utara atau ke Timur, tapi misalnya ke Barat Laut )? Apakah tidak ada koreksi atau tidak ada perubahan?

Penentuan arah Kiblat secara ilmu pengetahuan astronomi (1) mengetahui posisi lintang dan bujur geografis Ka’bah dan posisi tempat pengamat berada (2) bentuk Bumi direpresentasikan dengan sebuah bola (3) diperlukan ilmu pengetahuan segitiga bola untuk mengetahui arah Kiblat atau arah azimutal berapa derajat dari arah utama Mata angin (Utara, Barat, Selatan dan Timur). Selanjutnya ditentukan arah Utara – Selatan di tempat pengamat dengan berbagai cara, dengan Kompas, dengan bayang – bayang Matahari, dengan Theodolit. Akurasi pengukuran dan penebaran sajadah ketika hendak shalat dilakukan seakurat mungkin (terutama bagi yang akan shalat di tempat yang tidak ada garis shaf) namun bisa jadi selisih 1 – 5 derajat. Kalau akurasi yang menjadi tujuan maka toleransi dalam penentuan arah Kiblat dari Indonesia adalah mengarah ke tanah Haram, kota Mekah, tempat Ka’bah berada. Usaha semacam itu tidak bertentangan dengan ilmu pengetahuan ayat al Qur’an maupun Hadist.

KONSEP DAN SATUAN SUDUT : DERAJAT, MENIT BUSUR DAN DETIK BUSUR

Walaupun dalam kehidupan sehari – hari telah kita kenal satuan sudut seperti dalam sebuah penggaris siku – siku, sudut siku – siku = 90 derajat, dua sudut lainnya bisa 30 derajat dan 60 derajat atau masing – masing 45 derajat. Begitupula perlu difahami keterkaitan antara pergeseran posisi karena gerakan lempeng tektonik atau gempa Bumi dengan penentuan arah Kiblat, bagaimana pengaruhnya apakah cukup besar atau bisa diabaikan? Akhir – akhir ini terdapat kerancuan dalam masyarakat tentang koreksi arah Kiblat akibat gempa – gempa besar atau gerakan lempeng tektonik dimana Ka’bah dan pulau – pulau, lautan atau benua – benua berada di atasnya. Kerancuan ini bisa tercerahkan bila konsep sudut, radian dan kaitannya dengan radius Bola Bumi dapat difahami dengan baik, karena menyangkut ukuran satuan sudut yang sangat kecil, jauh lebih kecil dari pengalaman hidup sehari – hari. Jadi pemahamannya atau pencerahannya melalui konsep dan perumusan matematika tentang hubungan sudut, radian, panjang pada permukaan bola Bumi dan radius bola Bumi. Sebuah masjid di Indonesia misalnya berukuran lebar mencapai 100 m atau yang lebih kecil masih bisa dianggap sebagai sebuah titik dan arah Kiblatnya sama bagi imam dan shaf di belakangnya, menghadap ke sebuah titik yaitu Ka’bah di Mekah atau bahkan tanah Haram.

2

Dalam penentuan arah Kiblat, pembahasan sudut arah Kiblat tidak bisa lepas dari konsep dan satuan sudut. Arah Kiblat merupakan harga sudut Azimuthal dalam sumbu Utara – Selatan dan Timur – Barat pada bidang horizon pengamat. Secara fisik pengertian sudut dalam pembahasan ini sama seperti pembicaraan sudut pada bidang datar adalah sudut yang dibentuk oleh perpotongan dua garis lurus. Contoh:

Gambar 01

Misalnya ada sepenggal garis lurus AC dan sepenggal garis lurus AB berpotongan di titik A (lihat Gambar 01). Titik A dinamakan vertex, AB sisi acuan dan AC sisi terminal. Sudut A diukur dari arah AB ke AC atau ditulis sebagai sudut BAC, arah putaran ke kiri (berlawanan dengan putaran jarum jam) adalah sudut positif dan arah putaran ke kanan (searah dengan putaran jarum jam) adalah sudut negatif.

Apabila ada garis lengkung a dan b berpotongan di X, perpotongan garis singgung m pada a dan garis singgung l pada b di titik X dapat digunakan sebagai sisi acuan dan sisi terminal (Gambar 02). Konsep sudut semacam ini bermanfaat dalam mengenal konsep segitiga bola, atau segitiga pada permukaan bola dengan sarat bahwa semua sisi – sisinya merupakan bagian busur lingkaran besar dan sudut bola merupakan sudut yang dibentuk oleh perpotongan garis singgung pada titik dua lingkaran besar.

Gambar 02

Contoh (1) Bila B vertex, AB adalah sisi acuan dan CB adalah sisi terminal maka arah panah adalah arah pengukuran sudut ABC atau sudut θ. (Gambar 03)

Gambar 03

3

Contoh (2) Bila C adalah vertex, AC sisi acuan dan BC sisi terminal arah a adalah arah pengukuran sudut C = sudut ACB = sudut θ. (Gambar 04)

Gambar 04

Ukuran besar kecil sebuah sudut dinyatakan dengan unit derajat dengan simbol ( ), menit busur dengan simbol (') dan detik busur dengan simbol (").

Pada sebuah lingkaran, pusat lingkaran merupakan vertex dan garis yang dibentuk dari pusat ke setiap titik pada keliling lingkaran merupakan garis acuan dan garis terminal.

Pada lingkaran ukuran sudut satu derajat (1) merupakan besar sudut yang diliput oleh busur lingkaran sebesar 1/360 kali keliling lingkaran. Sedangkan satu menit busur (1') didefenisikan 1/60 derajat (1/60) dan satu detik busur (1") didefenisikan 1/3600 derajat atau 1/60 menit busur (1/60). Jadi ukuran sudut dalam orde menit busur maupun detik busur merupakan ukuran yang sangat kecil bila dibanding dengan ukuran sudut yang sering dijumpai dalam keperluan hidup sehari – hari. Begitupula tidak mudah mengukurnya.

Gambar 05Sudut – sudut kecil tidak mudah digambarkan, penggambarannya hanya untuk memudahkan dalam memahami konsep. Secara umum dapat dirumuskan antara panjang busur, (sudut) busur dan radius lingkaran yang melingkupinya. Bila l adalah panjang busur pada keliling lingkaran dengan radius R maka busur S adalah:

S = ((l) x 360)/2R ........(1 – 1) = 3.1415927…

Contoh soal misalnya menghitung besar busur S, bila diketahui l = ¼ keliling lingkaran dengan radius R atau l = ¼ (2R). Berapa besar busur S ?

4

Jawab: S = ((l) x 360 ) / 2R l = ¼ (2R), maka S = ((¼ (2R)) x 360 ) / 2R S = 90

PERGERAKAN LEMPENG TEKTONIK DAN ARAH KIBLAT

Apakah pergerakan Perubahan arah Kiblat Indonesia terletak di perbatasan antara plate Eurasian, plate Indian – Australian dan plate Philipine Sea, Mekah terletak pada plate Arabian yang dikelilingi oleh plate African, plate Eurasian dan plate Indian – Australian. Bila R adalah radius Bumi: radius ekuator = 6378140 m; radius polar: 6356755 m. Bila l = 100 m dan dipergunakan rumus (1 – 1) maka S = (100 / (2 x 6378140)) x 360° = 8°.983148616 x 10–4 atau sekitar 1/1000 derajat. Untuk keperluan praktis seperti penentuan arah kota atau arah Kiblat ukuran 1/1000 derajat tersebut terlalu kecil dan bisa diabaikan dalam perhitungan. Jadi perubahan posisi pengamat dan Ka’bah akibat gerakan lempeng tektonik tahunan atau ratusan tahun masih tergolong kecil untuk keperluan penentuan arah Kiblat. Perkembangan teknologi posisi lewat GPS bisa mendeteksi pergerakan yang sangat kecil, lebih presisi. Pelat tektonik tersebut berubah posisi, bergerak dengan kecepatan 1 – 10 cm/ tahun atau bergerak sejauh 1000 km dalam 10 – 100 juta tahun. Perubahan akibat pergerakan lempeng tektonik itu dalam jangka pendek tidak berarti bila dibandingkan dengan radius Bumi. Pergerakan dalam setahun kurang dari seper satu juta derajat, jadi secara praktis tidak mempengaruhi posisi lintang dan bujur geografis Mekah atau posisi tempat pengamat. Jadi sangat beruntung pergerakan lempeng tektonik sangat kecil sehingga umat Islam tidak dipersulit dalam mencari arah Kiblat, begitupula bangunan masjid tidak harus setiap tahun dirombak dikoreksi arah kiblatnya.

Selain itu perhitungan arah Kiblat juga mempergunakan geometri Bola, perhitungan Arah Kiblat dari suatu tempat di permukaan Bumi dengan anggapan bahwa Bumi berbentuk bola. Apakah bentuk dasar Bola Bumi akan rusak akibat gempa? Apakah sumbu rotasi Bumi juga berubah karena pergerakan lempeng tektonik? Gempa Bumi tidak mengubah bentuk pola dasar bentuk Bumi yaitu berbentuk bola. Selain itu juga tidak mengubah orientasi sumbu Bumi, walaupun gempa berskala besar nampaknya massa Bumi jauh lebih besar untuk digoyang oleh sebuah gempa. Jadi pengukuran arah Kiblat dengan kompas masih bisa dilakukan.

Kerusakan Lokal di kawasan dekat pusat Gempa

Di Lokasi kejadian gempa bisa terjadi tanah terbelah sehingga bila ada Masjid di atasnya perlu diperiksa dan dikoreksi arah Kiblat atau bahkan penentuan ulang arah Kiblat di posisi yang baru. Arah pergerakan tanah lokal sangat sukar diprediksi atau diantisipasi. Begitu pula bila ada Masjid yang terseret di atas tanah longsor perlu adanya penentuan ulang arah Kiblat Masjid tersebut.

HIMBAUAN UNTUK KALIBRASI ARAH KIBLAT

1. Manfaatkan bayang – bayang arah Kiblat pada momen Matahari di atas arah Ka’bah, setahun terjadi dua kali yaitu pada bulan Mei dan yang kedua pada bulan Juli. Bayang – bayang arah kiblat ini tidak memerlukan pengetahuan yang dalam tentang astronomi. Perlu menancapkan sebuah tongkat lurus dan kondisi tegak lurus, amati bayang – bayang pada jam yang telah ditentukan. Pada tahun 2010 dan 2011 jadual tersebut antara lain adalah

2. Metode lainnya bisa diperoleh dengan cara berkonsultasi dengan para ahli di lembaga – lembaga Badan Hisab Rukyat Nasional, Badan Hisab Rukyat Provinsi atau berbagai Badan Hisab Rukyat Kota dan Badan Hisab Rukyat Kecamatan atau lembaga lain yang berkompeten untuk memastikan arah Kiblat apabila masih terdapat keraguan.

5

SATUAN SUDUT : RADIAN (rad)

Ukuran sudut lainnya adalah radian (rad) dan didefenisikan satu radian (1 rad) ekivalen dengan sudut yang dilingkup busur lingkaran dengan panjang busur sama dengan panjang radius lingkaran R.

Hubungan antara derajat dan radian: 1 rad = (R/2R) x 360 atau rad = 180 1 rad = (1/) x 180 = 57,2957795 = 5717'44",8061 = (/180) rad = (3,1415927/180) rad = 0,0174532925 rad

Hubungan Derajat ( ), menit busur ( ), detik busur ( ) dan Radian (rad)

1 = 60 = 60 x 60, 180 = 180 x 3600, 1 = (1/60) = ( 1/3600) , 180 = rad 1 rad = (180 x 60) / = (180 x 3600) / 206265 1 = ( 1/206265) rad, 1 milidetik busur = 0.001 = 103 , 1 mikro detik busur = 0.000 001 = 106 , dan 1 nano detik busur = 0.000 000 001 109 .

Perhitungan sudut radian memerlukan perhitungan dengan angka yang rumit, angka bisa dalam satuan yang sangat kecil, oleh karena itu diperlukan alat bantu kalkulator atau mesin hitung yang cermat sekali. Menilik dari kecermatan yang diperlukan dalam perhitungan sudut kecil tersebut maka latihan soal sangat dianjurkan menggunakan kalculator atau mesin hitung yang mempunyai kecermatan yang tinggi hingga 9 digit dibelakang koma untuk menghindari kesalahan pembulatan oleh mesin hitung, terutama kalau memperhitungkan sudut yang sangat kecil (menit atau detik busur).

Contoh: (a) ¼ x (36 25 24) = ¼ x (36 + (25/60) + (24/3600) ) = ¼ x 36,423333 = 9,10583333(b) ¼ x (36 25 24) = ¼ x (36 x 60 + 25 + (24/60) ) = ¼ x (2160 + 25 + 0.4) = 546,35(c) ¼ x (36 25 24) = ¼ x (36 x 3600 +25 x 60 +24) = ¼ x (129600+1500+24) = 32781(d) 5400 = ....o:….‘: ….“

Int (..) = interger, (der= int (5400/3600) derajat ), (men = int (((5400 - int (5400/3600)) x 3600)/60) menit busur), (det = 5400 – der x 3600 – men x 60) = 1 30 . Catatan: int = integer (bilangan bulat), contoh : int (3/2) = int (1.5) = 1 dst

(e) 2000 = = …. der, ….men, …..det = (der= int (2000/60) derajat ), (men = int (((2000 - int (2000/60)) x 60)) menit busur), (det = (2000 – der x 60 – men) x 60) = 33 20 0

(f) 10 = 10 x 0,0174532925 rad = 0,174532925 rad (g) 1 = (1/3600) x 0,0174532 rad = 4,84813 x 106 rad = 0,00000484813681109526 rad(h) 1 = 0.000 290 888 208 666 rad(i) 2 rad = 360 = 360 x 60 = 21600 = 360 x 3600 = 1296000

Defenisi Satuan radian (1 rad) ekivalen dengan sudut yang dilingkup busur lingkaran dengan panjang busur sama dengan panjang radius lingkaran R. Bilangan π = 3,141592654 atau untuk pendekatan nilai bilangan π = (22/7), keliling lingkaran dengan radius (jari-jari) R adalah 2R. 1 rad = (R/2R) x 360 atau rad = 180 atau 1 rad = (1/) x 180 = 57,2957795 = 5717'44",806. Karena 180 = rad maka 1 = (/180) rad = (3,1415927/180) rad = 0,0174532925 rad.

6

Bilangan (pi)

Bilangan didefenisikan sebagai keliling lingkaran dibagi dengan garis tengah lingkaran. Al–Kashi (1436M) Matematikawan di Observatorium Ulug Beg di Samarkand-Asia Tengah, mengembangkan teorema deret binomial untuk menentukan bilangan . Bilangan pecahan yang akurat itu dipecahkan mirip dengan metoda dalam analisa numerik. Bilangan dalam sistem bilangan pecahan sexagesimal adalah :

2 = 6, 16, 59, 28, 1, 34, 51, 46, 15, 50 (dinyatakan dalam sexagesimal), atau2 = 6 + (16 / 60) + 59 / (60)2 + 28 / (60)3 + 1 / (60)4 + . . .2 = 6.2831853071795865 . . . = 3,14159265358979

Untuk keperluan perhitungan numerik bilangan bisa didefenisikan melalui beberapa cara seperti di atas diantaranya :

(/2) = (2/1) (2/3) (4/3) (4/5) (6/5) (6/7) (8/7) (8/9) ………… 3.1415927 (21.99149 / 7) ( 22 / 7 )1" (1/3600) x 0,0174532 rad = 4,84813 x 106 rad = (1/206264,81) rad (1/206265) rad atau 1 rad 206265"1' (1/60) x 0,0174532 rad = 2,90888 x 104 rad = (1/3437,746873) rad = (1/3438) rad

Konversi Besaran Sudut dan Besaran Waktu

Jam – derajatDalam tata koordinat astronomi satuan sudut juga sering dipergunakan untuk menyatakan sudut jam sebuah benda langit. Konsep hubungan antara gerak jarum jam dan selang waktu yang diperlukan untuk berputar satu putaran masing-masing jarum jam merupakan analogi konversi pembagian waktu melalui indikator perbedaan kecepatan jarum. Jarum penunjuk selang waktu satu jam untuk waktu sideris dan waktu matahari akan berbeda. Putaran jarum jam sideris sedikit lebih cepat dibanding dengan putaran jarum jam matahari. Namun pembagian unitnya bisa sama misalnya 1 hari sideris terdiri dari 24 jam sideris, 1 jam sideris = 60 menit sideris, 1 menit sideris = 60 detik sideris begitu pula 1 hari Matahari = 24 jam Matahari rata-rata, 1 jam Matahari rata-rata = 60 menit Matahari Rata-rata dst.

Hubungan antara unit sudut dan unit waktu dalam keperluan astronomi didefenisikan sebagai berikut:

24 jam = 360, 1 jam = (360/24) = 151 menit = (1/60) jam = (15 x (1/60)) = 0,25 = 0,25 x 60 = 15 (15 menit busur)1 detik = (1/3600) jam = (15/ 3600 ) = 4,166666 x 103 = (15 x 3600)/3600 = 15" (15 detik busur)

derajat – jam

1 = (24 jam)/360 = 0,06667 jam = 0,06667 x 60 menit = 4 menit1' (1 menit busur) = (24 jam)/(360 x 60) = 1,111 x 103 jam = 1,111 x 103 x 3600 detik (waktu) = 4 detik 1" (1 detik busur) = (24 jam)/(360 x 60 x 60) = 1,85185 x 105 jam = 0,066667 detik (waktu)

SEGITIGA BOLA

7

Konsep setiga bola banyak dipergunakan dalam astronomi. Bola Bumi dan Bola Langit yang paling sering dibicarakan sehubungan dengan keperluan praktis sehari – hari. Bola Bumi untuk keperluan penentuan posisi lintang dan bujur geografis. Lingkaran besar utama adalah ekuator dan lingkaran ekuator mempunyai dua kutub yaitu kutub Utara dan kutub Selatan. Kedua kutub tersebut dihubungkan dengan sumbu rotasi planet Bumi. Sistem koordinat astronomi ditentukan dengan lingkaran besar utama pada bola langit, misalnya sistem koordinat Horizon, lingkaran besar utama adalah perpotongan bidang horizon dengan bola langit dan dua kutubnya adalah Zenith dan Nadir dsb. Lingkaran besar merupakan sebuah lingkaran hasil potong bidang datar yang melewati pusat bola, perpotongan yang tidak melewati pusat bola hanya akan menghasilkan lingkaran kecil. Sebuah segitiga bola ABC adalah segi tiga pada permukaan bola dengan sisi-sisinya adalah busur lingkaran besar. Sudut bola adalah sudut yang diapit oleh dua busur lingkaran besar. Sudut bola segitiga bola ABC masing-masing adalah A, B, C, sedangkan sisi-sisi segitiga bola yang dihadapan sudut bola A, B, dan C masing-masing adalah a, b dan c.

Secara singkat akan dibahas konsep segitiga bola. Beberapa perbandingan (sifat dan rumus) segitiga datar dan segitiga bola:

Segitiga Datar ABC Segitiga Bola ABC

Jumlah tiga buah sudut segitiga datar ABC: A + B + C = 180o

Aturan sisi – sisi segitiga datar (a+b) > c, (a+c) > b dan (b+c) > a

Jumlah tiga buah sudut bola sebuah segitiga boal ABC adalah 180o < A + B + C < 540o

Jumlah tiga buah sisi segitiga bola ABC adalah 0o < (a + b + c) < 360o

Aturan sisi – sisi segitiga bola (a+b) > c, (a+c) > b dan (b+c) > a

Aturan sisi – sisi dan sudut bola dalam segitga bola: bila a > b maka A > B, a=b maka A=B dst

Bila A’, B’ dan C’ adalah segitiga bola kutub segitiga bola ABC maka 180o < A’ + B’ + C’ < 540o, a =180o – A’, b = 180o – B’, c = 180o – C’,0o < (a’ + b’ + c’) < 360o

Bila a’ > b’ maka A’ > B’ , a’ = b’ maka A’ = B’ dst.

sin A/a = sin B/b = sin C/c (R. Sinus) sin A / sin a = sin B / sin b = sin C / sin c (R. Sinus segitiga bola)

c2 = a2 + b2 – 2 ab cos C (R. Kosinus) cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C (R. Kosinus segitiga bola)

Keterangan: Segitiga datar atau segitiga adalah segitiga pada bidang datar. Segitiga ABC segitiga dengan sudut A, B dan C dan sisi-sisi segitiga masing-masing a, b dan c dihadapan sudut A, B dan C.

Segitigabola adalah segitiga pada permukaan bola, sisi-sisi segitiga bola merupakan busur lingkaran besar dan sudut bola adalah sudut yang dibentuk oleh perpotongan dua busur lingkaran besar pada permukaan bola. Dalam pembicaraan pada makalah ini yang dimaksud dengan segitiga bola ABC adalah segitiga bola dengan sudut bola A, B dan C dan sisi-sisi dihadapan sudut bola A, B dan C masing-masing adalah a, b dan c.

Segitigabola A'B'C' dikatakan sebuah segitigabola kutub dari sebuah segitiga bola ABC apabila titik-titik A', B' dan C' masing-masing adalah merupakan titik kutub lingkaran besar yang melewati busur a, b dan c.

Sisi a dan sudut bola A, Sisi b dan sudut bola B, masing-masing terletak dalam satu kwadran c < 90 , a dan b, A dan B masing-masing pasangan terletak dalam satu kwadran c > 90 , a dan b, A dan B masing-

8

masing pasangan terletak dalam kwadran berbeda Kwadran I : melingkup sudut (0 –90); kwadran II: melingkup sudut (90–180); kwadran III: melingkup sudut (180–270); kwadran IV: melingkup sudut (270–360).

RUMUS – RUMUS DASAR SEGITIGA BOLA ABC

Secara umum diberikan rumus dasar astronomi bola yang sering dipergunakan dalam perhitungan astronomi maupun untuk keperluan eksplorasi rumus arah Kiblat.

1. Rumus Sinus

(sin A / sin a) = (sin B / sin b) = (sin C / sin c)

2. Rumus Kosinus sisi – sisi – sudut

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos Acos b = cos a cos c + sin a sin c cos Bcos c = cos b cos a + sin b sin a cos C

3. Rumus Kosinus sudut– sudut – sisi

cos A = cos B cos C + sin B sin C cos acos B = cos A cos C + sin A sin C cos bcos C = cos B cos A + sin B sin A cos c

4. Rumus Setengah Sudut

tan A = atau

tan A =

tan B = atau

tan B =

tan C = atau

tan C =

sin A =

sin B =

9

sin C =

cos A =

cos B =

cos C =

s = (a + b + c) atau 2s = (a + b + c)

tan r =

5. Rumus Setengah Sisi

cot a = atau

tan a =

cot b = atau

tan b =

cot c = atau

tan c =

sin a =

sin b =

sin c =

10

cos a =

cos b =

cos c =

S = (A + B + C) atau 2S = (A + B + C)

tan R =

6. Analogi Gauss atau Analogi Delambre

7. Analogi Napier

11

8. Formula Analog

sin a cos B = cos b sin c – sin b cos c cos Asin a cos C = cos c sin b – sin c cos b cos Asin b cos A = cos a sin c – sin a cos c cos Bsin b cos C = cos c sin a – sin c cos a cos Bsin c cos A = cos a sin b – sin a cos b cos Csin c cos B = cos b sin a – sin b cos a cos C

SEGITIGA BOLA SIKU-SIKU

Bila salah satu sudut-Bola sebuah segitiga-Bola 90maka segitiga-Bola tersebut dinamakan segitiga bola siku-siku. Bila ada segitiga-Bola siku-siku ABC dengan sudut C = 90 maka:

sin a = sin A sin ctan a = tan A sin btan a = cos B tan ccos c = cos b cos acos A = sin B cos asin b = sin B sin ctan b = tan B sin ctan b = cos A tan ccos c = cot A cot Bcos B = sin A cos b

HUKUM KWADRAN

Sisi a dan sudut bola A, sisi b dan sudut bola B, masing-masing terletak dalam satu kwadranc < 90, a dan b, A dan B masing-masing pasangan terletak dalam satu kwadranc > 90, a dan b, A dan B masing-masing pasangan terletak dalam kwadran berbeda

Kwadran I = 0 – 90, kwadran II = 90 – 180, kwadran III = 180 – 270 dan kwadran IV = 270 – 360.

Bentuk rumus-rumus segitiga bola lainnya

12

sin A = [ sin (s – b) sin (s – c) cosec b cosec c ](1/2)

cos A = [ sin (s) sin (s – a) cosec b cosec c ](1/2)

tan A = [cosec (s) cosec (s – a) sin (s – b) sin (s – c)](1/2)

sin a = [–cos (S) cos (S – A) cosec (B) cosec (C)](1/2)

cos a = [cos (S – B) cos (S C) cosec (B) cosec (C)](1/2)

tan a = [–cos (S) cos (S – A) sec (S – B) sec (S – C)](1/2)

a + b + c = 2 s A + B + C = 2 S

13

X = X' cos c + Y' sin c …(1)Y = X' sin c – Y' cos c …(2)

Bila X, X', Y dan Y' disubstitusikan pada (1) dan (2) maka:cos a = cos b cos c + sin b sin c cos Asin a cos B = cos b sin c – sin b cos c cos Asin a sin B = sin b sin A

14

C

X

Z

Y

X'

O

A

B

C

M P

P'

x' b

a

c

xz

yy' P

0

C

P'a

X P P'

Z

Y

B

Sin a

0

C

Mb

X'

X' = cos b

M

C

P

A

Z

Y'

Sin b

0 X

M

X P'

Y

PX'

c

Y'

X'

c

EKSES SUDUT SEGITIGA BOLA (E)

Bila ada segitiga bola ABC dan sisi-sisi dihadapan sudut bola A, B dan C masing-masing adalah a, b, c maka ekses sudut bola E

E = ( A + B + C) – 1800

atau tan2 E = tan s tan (s – a) tan (s – b) tan (s – c)

2s = a + b + c

Luas segitiga bola

Lsb =

PERHITUNGAN SUDUT ARAH KIBLAT DENGAN RUMUS SEGITIGA BOLA

Penentuan arah Kiblat merupakan sesuatu yang perlu dipelajari agar pelaksanaan shalat berjalan dengan tertib, arah Kiblat pada waktu shalat menghadap ke arah Ka’bah di masjidil Haram, Mekah. Posisi lintang dan bujur geografis Ka’bah adalah lintang geografis utara +21 25 dan bujur geografis 39 50 bujur timur. Pengukuran posisi Ka’bah dengan GPS (Global Positioning System) dihasilkan lintang geografis Ka’bah = +21 25 21 (LU) dan bujur geografis = 39 50 34 (BT) atau GPS – Mekah lintang geografis = +21 25 16.6 (LU) dan bujur geografis = 39 48 27.3 (BT). Variasi penentuan posisi Ka’bah itu secara praktis sangat kecil kurang dari 1 menit busur atau kurang dari 1/60 derajat, sehingga tidak berarti bila dipergunakan untuk menentukan keperluan praktis dalam menghitung arah Kiblat.

Penentuan arah Kiblat ini merupakan sebuah contoh konsep sederhana yang terlihat langsung pemanfaatan ilmu pengetahuan dan teknologi untuk keperluan meningkatkan ketaqwaan manusia yaitu menyempurnakan rukun shalat. Contoh itu merupakan isyarat tidak terdapat dikhotomi dalam sains dan ajaran Islam, yang mendudukkan ilmu pengetahuan dan teknologi untuk lebih dekat mengenal Allah swt.

Bila digali lebih jauh penentuan arah Kiblat bagi manusia memerlukan pemikiran yang mendalam, menentukan arah pada sebuah permukaan bola bukan sebuah bidang datar. Perintah ibadah ritual shalat memicu manusia berfikir untuk menemukan cara agar dapat melaksanakan perintah Allah itu dengan sebaik – baiknya.

Umat Islam selalu diajak untuk mengenal orientasi ruang, kemana arah Utara, Timur, Barat dan Selatan; dan kemana arah Kiblat ? Bagi umat Islam di Indonesia arah Kiblat sekitar 65 4 derajat (antara 61 derajat hingga 69 derajat) dari Utara ke Barat atau arah Barat Laut. Angka arah Kiblat dari suatu tempat di Indonesia yang lebih presisi (bisa dinyatakan dalam menit dan detik busur) bila diperoleh dengan melakukan perhitungan menggunakan rumus segitiga Bola (bukan segitiga datar). Arah Kiblat merupakan sudut bola yang dibentuk oleh dua lingkaran besar (lingkaran yang mempunyai pusat dengan bola) yaitu lingkaran besar yang menghubungkan antara tempat pengamat dengan Ka’bah dan lingkaran Besar yang

15

melewati kutub Bumi dan tempat tempat pengamat dalam bola Bumi. Pada akhirnya pengamat menetapkan arah mata angin di sebuah titik untuk menetapkan arah Kiblat relatif terhadap titik acuan pada lingkaran horizon, yaitu titik Utara, Timur, Selatan dan Barat. Penentuan arah Kiblat semacam ini memerlukan informasi posisi tempat, bisa saja dipergunakan posisi lintang dan bujur geografis di kota “terdekat” sebagai pendekatan awal atau mencari data posisi tempat melalui data pada suatu ATLAS GEOGRAFI, GPS (Global Positioning System) atau data dari BAKOSURTANAL atau lewat Google Earth dsb. Perhitungan itu sebenarnya tidak terlalu sulit untuk dipelajari, memang memerlukan waktu lebih banyak bagi yang tak terbiasa menggunakan rumus – rumus trigonometri. Sebagai contoh misalnya :

Perhitungan Arah Kiblat berdasarkan posisi kota Jombang B = –7 32 (Lintang Selatan) dan bujur geografis B = 112 13 (Bujur Timur).

Perhitungan Arah Kiblat kota Jombang dengan beragam formula

Bila A = Mekah (Ka’bah, lintang geografis utara A = +21 25 21 dan bujur geografis A = 39 50 34 bujur timur), B = Posisi kota Jombang : B = –7 32 (Lintang Selatan) dan bujur geografis B = 112 13 (Bujur Timur) dan C adalah kutub utara, a = (900 B), b = (900 A) dan c masing-masing adalah sisi-sisi dihadapan sudut bola A, B (= arah kiblat) dan C (beda bujur geografis A dan B) maka: a = (900 B)= 90–(–7 32) = 97 32; b = (900 A) = 90–(+21 25 21) = 68 34 39 dan C = B - A = 112 13 – 39 50 34 = 72 22 26.

Cara 1 Menggunakan Rumus Tangens:

tan {(1/2 (AB)} = [ sin {(1/2)(a – b)} x cot (C/2) ] / sin {(1/2) (a + b)}tan {(1/2 (A+B)} = [cos {(1/2) (a – b)} x cot (C/2)] / cos {(1/2) (a + b)}B = (A + B) / 2 – (A – B) / 2, sudut B = arah kiblat

(a – b) / 2 = (97 32 – 68 34 39)/2 = (28 57 21)/2 = 14 28 40.5(a + b) / 2 = (97 32 + 68 34 39) / 2 = ( 166 06 39) / 2 = 83 03 19.5(C / 2) = (72 22 26/ 2) = 36 11 13

sin {( a – b ) / 2 } = sin 14 28 40.5= 0.250004488sin {(a + b ) / 2} = sin 83 03 19.5 = 0.992663559cos {( a – b ) / 2 } = cos 14 28 40.5 = 0.968244071cos {(a + b ) / 2} = cos 83 03 19.5 = 0.120909292tan (C / 2) = tan 36 11 13 = 0.7315395cot (C / 2) = cot 36 11 13 = (0.7315395)–1 = 1.366980183

tan {(1/2 (AB)} = [ sin {(1/2)(a – b)} x cot (C/2) ] / sin {(1/2) (a + b)}tan {(1/2 (AB)} = (0.250004488 x 1.366980183)/ 0.992663559 = 0.344276948 dan (A – B) / 2 = 18 59 50.66

tan {(1/2 (A+B)} = [cos {(1/2) (a – b)} x cot (C/2)] / cos {(1/2) (a + b)}tan {(1/2 (A+B)} = (0.968244071 x 1.366980183)/ 0.120909292 = 10.94680513 dan (A + B) / 2 = 84 4649.69

B = (A + B) / 2 – (A – B) / 2, sudut B = arah kiblatsudut B = arah kiblat sudut yang diukur dari garis ke arah Utara ke arah Barat sebesar B; B = (A + B) / 2 – (A – B) / 2 = 84 46 49.69 – 18 59 50.66 = 65 46 59.03 (di sector Utara – Barat atau 24 13 09.7 13 + 90 = 114 13 0.97 (di sector Timur – Selatan ), azimuth arah Kiblat (pengukuran dari Utara(Az = 0),, Timur (Az = 90), Selatan (Az = 180), Barat (Az = 270)) Jombang adalah 294 13 0.97 atau 294.2 .

16

Cara 2 : Bila A = Mekah (Ka’bah, lintang geografis utara +21 25 21dan bujur geografis 39 50 34 bujur timur), B = Posisi kota Jombang : B = –7 32 (Lintang Selatan) dan bujur geografis B = 112 13 (Bujur Timur) dan C adalah kutub utara, a = (900 A), b = (900 B) dan c masing-masing adalah sisi-sisi dihadapan sudut bola A, B (= arah kiblat) dan C (beda bujur geografis A dan B) maka:a = (900 B)= 90–(–7 32) = 97 32; b = (900 A) = 90–(+21 25 21) = 68 34 39 dan C = B - A = 112 13 – 39 50 34 = 72 22 26.

cot B = { (cot b sin a – cos a cos C) / sin C }

tan b = tan 68 34 39 = 2.548912485 dan cot b = 0.392324179 sin a = sin 97 32 = 0.991368756cos a = cos 97 32 = –0.131102969sin C = sin 72 22 26 = 0.953052771cos C = cos 72 22 26 = 0.302804252cot B = (0.388937933 – (– 0.039698536))/0.953052771cot B = 0.428636469 / 0.953052771 = 0.449751034 tan B = (1/cot B) = 2.223452362 maka B = tan–1 (2.223452362) = 65°.7841183 = 65° 47' 2".83 dari utara ke barat atau bila pengukuran dari barat ke utara : 24° 12' 57".17Azimuth Arah Kiblat kota Jombang: 270° + 24° 12' 57".17 = 294°.2158817

Cara 3: Bila A = Mekah (Ka’bah, lintang geografis utara +21 25 21dan bujur geografis 39 50 34 bujur timur), B = Posisi kota Jombang : B = –7 32 (Lintang Selatan) dan bujur geografis B = 112 13 (Bujur Timur) dan C adalah kutub utara, a = (900 A), b = (900 B) dan c masing-masing adalah sisi-sisi dihadapan sudut bola A, B (= arah kiblat) dan C (beda bujur geografis A dan B) maka:

a = (900 B)= 90–(–7 32) = 97 32; b = (900 A) = 90–(+21 25 21) = 68 34 39 dan C = B - A = 112 13 – 39 50 34 = 72 22 26.

cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C

sin a = sin 97 32 = 0.991368756cos a = cos 97 32 = –0.131102969sin b = sin 68 34 39 = 0.930912457cos b = cos 68 34 39 = 0.365242381 sin C = sin 72 22 26 = 0.953052771cos C = cos 72 22 26 = 0.302804252

cos c = (–0.131102969) x (0.365242381) + (0.991368756) x (0.930912457) x 0.302804252cos c = – 0.04788436 + 0.279451238 = 0.231566877 c = 76 36 38.38

s = (a + b + c) / 2 s = (97 32 + 68 34 39 + 76 36 38.38) / 2 = (242 43 17.3 ) / 2s = 121 21 38.6(s – a) = (121 21 38.6 – 97 32) = 23 49 38.69(s – b) = (121 21 38.6 – 68 34 39) = 52 46 59.6(s – c) = (121 21 38.6 – 76 36 38.38 ) = 44 45 0.22

sin (s – a) = sin 23 49 38.69 = 0.403983024sin (s – b) = sin 52 46 59.6 = 0.79635284sin (s – c) = sin 44 45 0.22 = 0.704015481sin ( s ) = sin 121 21 38.6 = 0.853907762tan r = [{sin (sa) sin (sb) sin (sc)} / sin s] (1/2)

tan r = ((0.403983024 x 0.79635284 x 0.704015481) /0.853907762) (1/2) = ( 0.226490952 / 0.853907762) (1/2)

17

= ( 0.265240536) (1/2)

= 0.515015083r = 27 14 56.94

tan (B/2) = tan r / sin (s – b)

tan (B/2) = (0.515015083 / 0.79635284) = 0.646717205(B/2) = 32 53 29.2 atau sudut arah Kiblat B = 65 46 58.4 dari utara ke barat atau bila pengukuran dari barat ke utara : 24° 13' 1".6, Azimuth Arah Kiblat kota Jombang: 270° + 24° 13' 1".6 = 294°.217112

Cara 4: Bila A = Mekah (Ka’bah, lintang geografis utara +21 25 21dan bujur geografis 39 50 34 bujur timur), B = Posisi kota Jombang : B = –7 32 (Lintang Selatan) dan bujur geografis B = 112 13 (Bujur Timur) dan C adalah kutub utara, a = (900 A), b = (900 B) dan c masing-masing adalah sisi-sisi dihadapan sudut bola A, B (= arah kiblat) dan C (beda bujur geografis A dan B) maka:a = (900 B)= 90–(–7 32) = 97 32; b = (900 A) = 90–(+21 25 21) = 68 34 39 dan C = B - A = 112 13 – 39 50 34 = 72 22 26.

haversine = hav, hav B = (1 – cos B) / 2cosec a = 1 / sin a, cosec c = 1 / sin cs = (a + b + c) / 2cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C

sin a = sin 97 32 = 0.991368756cosec a = 1/sin a = 1.00870639cos a = cos 97 32 = –0.131102969sin b = sin 68 34 39 = 0.930912457cos b = cos 68 34 39 = 0.365242381 sin C = sin 72 22 26 = 0.953052771cos C = cos 72 22 26 = 0.302804252

cos c = (–0.131102969) x (0.365242381) + (0.991368756) x (0.930912457) x 0.302804252cos c = – 0.04788436 + 0.279451238 = 0.231566877 c = 76 36 38.38 sin c = sin 76 36 38.38 = 0.972818983cosec c = 1/sin c = 1.027940467

s = (a + b + c) / 2 s = (97 32 + 68 34 39 + 76 36 38.38) / 2 = (242 43 17.3 ) / 2s = 121 21 38.6(s – a) = (121 21 38.6 – 97 32) = 23 49 38.69(s – b) = (121 21 38.6 – 68 34 39) = 52 46 59.6(s – c) = (121 21 38.6 – 76 36 38.38 ) = 44 45 0.22

sin (s – a) = sin 23 49 38.69 = 0.403983024sin (s – b) = sin 52 46 59.6 = 0.79635284sin (s – c) = sin 44 45 0.22 = 0.704015481sin ( s ) = sin 121 21 38.6 = 0.853907762

hav B = sin (sc) sin (sa) cosec c cosec a

cosec c = ( 1/ sin c) = 1.045449098 dan cosec a = 1/sin a = 1.008241132

cos c = – 0.04788436 + 0.279451238 = 0.231566877 c = 76 36 38.38 sin c = sin 76 36 38.38 = 0.972818983cosec c = 1/sin c = 1.027940467

18

sin a = sin 97 32 = 0.991368756cosec a = 1/sin a = 1.00870639

hav B = (0.704015481) x (0.403983024) x 1.027940467 x 1.00870639 = 0.294902232 hav B = ( 1 – cos B) / 2 atau cos B = 1 – 2 hav B = 1 – 2 x (0.294902232) = 1 – 0.589804465 = 0.410195535

B = cos-1 (0.410195535) = 65.7828814Atau sudut arah Kiblat B = 65 46 58.37 dari utara ke barat atau bila pengukuran dari barat ke utara : 24° 13' 1".63, Azimuth Arah Kiblat kota Jombang: 270° + 24° 13' 1".63 = 294°.21711186




cos c = (–0.131102969) x (0.365242381) + (0.991368756) x (0.930912457) x 0.302804252cos c = – 0.04788436 + 0.279451238 = 0.231566877 c = 76 36 38.38 sin c = sin 76 36 38.38 = 0.972818983cosec c = 1/sin c = 1.027940467

cos b = cos a cos c + sin a sin c cos Bcos B = [ cos b – cos a cos c ] / [sin a sin c] cos a cos c = –0.131102969 x 0.231566877 = – 0.030359104sin a sin c = 0.991368756 x 0.972818983 = 0.964422345

cos B = [0.365242381 – (– 0.030359104)] / [0.964422345 0] = 0.41019527 dan arah Kiblat (dari arah Utara ke arah Barat) B = 65. 78289805 = 65 46 58.43 Atau sudut arah Kiblat B = 65 46 58.43 dari utara ke barat atau bila pengukuran dari barat ke utara : 24° 13' 1".57, Azimuth Arah Kiblat kota Jombang: 270° + 24° 13' 1".63 = 294°.217102



sin a = sin 97 32 = 0.991368756cosec a = 1/sin a = 1.00870639cos a = cos 97 32 = –0.131102969

19

sin b = sin 68 34 39 = 0.930912457cos b = cos 68 34 39 = 0.365242381 sin C = sin 72 22 26 = 0.953052771cos C = cos 72 22 26 = 0.302804252

cos c = cos a cos b + sin a sin b cos Ccos c = (–0.131102969) x (0.365242381) + (0.991368756) x (0.930912457) x 0.302804252cos c = – 0.04788436 + 0.279451238 = 0.231566877 c = 76 36 38.38 sin c = sin 76 36 38.38 = 0.972818983cosec c = 1/sin c = 1.027940467

sin a / sin A = sin b / sin B = sin c / sin Csin b / sin B = sin c / sin C maka sin B = (sin b / sin c) x sin Csin b = sin 68 34 39 = 0.930912457 sin c = sin 76 36 38.38 = 0.972818983 sin C = sin 72 22 26 = 0.953052771

sin B = (0.930912457/ 0.972818983) x 0.953052771 = 0.911997722 atau B = 65.78289844 = 65 46 58.43 atau arah Kiblat (dari arah Utara ke arah Barat) B = 65 46 58.43 atau 24.21710156 atau 294.2171016


UJI KONSISTENSI

Uji konsistensi ini bertujuan untuk memeriksa apakah angka – angka komponen segitiga bola yang diperoleh melalui perhitungan rumus segitiga bola sudah benar.

sin a sin B = sin b sin A .....(1) sin A cos B = cos b sin c – sin b cos c cos A .... (2)cos a = cos b cos c + sin a sin b cos c .....(3)sin a sin C = sin c sin A .....(4)sin a cos C = cos c sin b – sin c cos b cos A .....(5)

Hasil komponen segitigabola ABC yang diperoleh dari perhitungan adalah sebagai berikut:a = (900 B)= 90–(–7 32) = 97 32; b = (900 A) = 90–(+21 25 21) = 68 34 39 dan C = B - A = 112 13 – 39 50 34 = 72 22 26.



cos c = cos a cos b + sin a sin b cos Ccos c = (–0.131102969) x (0.365242381) + (0.991368756) x (0.930912457) x 0.302804252

20

cos c = – 0.04788436 + 0.279451238 = 0.231566877 c = 76 36 38.38 sin c = sin 76 36 38.38 = 0.972818983cosec c = 1/sin c = 1.027940467

sin a / sin A = sin b / sin B = sin c / sin Csin A = sin a sin B/sin b = (0.991368756 x 0.911997722)/0.930912457 = 0.904126047/0.930912457 = 0.97122564A = sin – 1 (0.97122564) = 76 13 19.06

sin b / sin B = sin c / sin C maka sin B = (sin b / sin c) x sin Csin b = sin 68 34 39 = 0.930912457 sin c = sin 76 36 38.38 = 0.972818983 sin C = sin 72 22 26 = 0.953052771

sin B = (0.930912457/ 0.972818983) x 0.953052771 = 0.911997722 atau B = 65.78289844 = 65 46 58.43 atau arah Kiblat (dari arah Utara ke arah Barat) B = 65 46 58.43 atau 24.21710156 atau 294.2171016

a = 97 32b = 68 34 39c = 76 36 38.38 C = 72 22 26 B = 65 46 58.43 A = 76 13 19.06

(a) Dengan menggunakan 3 persamaan pertama, persamaan (1), (2) dan (3) sbb:

(cos a)2 + (sin a sin C)2 + (sin a cos C)2 = 1(cos a)2 = 0.017187988(sin a sin C)2 = 0.89269757(sin a cos C)2 = 0.090114441Maka diperoleh (cos a)2 + (sin a sin C)2 + (sin a cos C)2 = 0.999999... = 1, jadi hasilnya adalah konsisten, tidak terdapat kesalahan pembulatan dalam mesin hitung maupun kesalahan penggunaan set data – data.

(b) Dengan menggunakan 3 persamaan terakhir, persamaan (3), (4) dan (5) sbb:

(cos a)2 + (sin a sin B)2 + (sin a cos B)2 = 1(cos a)2 = 0.017187988 (sin a sin B)2 = 0.817443894(sin a cos B)2 = 0.166807875Maka diperoleh (cos a)2 + (sin a sin B)2 + (sin a cos B)2 = 0.999999... = 1.001439758, jadi hasilnya adalah konsisten, tidak terdapat kesalahan pembulatan dalam mesin hitung maupun kesalahan penggunaan set data – data.

a = 97 32b = 68 34 39c = 76 36 38.38 C = 72 22 26 B = 65 46 58.43 A = 76 13 19.06

Tabel 1: Beberapa rumus segitiga bola untuk menghitung arah Kiblat Bila A = Mekah (Ka’bah, lintang geografis utara +21 25 dan bujur geografis 39 50 bujur timur), B = posisi tempat dan C adalah kutub utara, a = (900 B), b = (900 A) dan c masing-masing adalah sisi-sisi dihadapan sudut bola A, B (= arah kiblat) dan C (beda bujur geografis A

21

dan B) maka:Cara 1:tan {(1/2 (AB)} = [ sin {(1/2)(a – b)} x cot (C/2) ] / sin {(1/2) (a + b)}tan {(1/2 (A+B)} = [cos {(1/2) (a – b)} x cot (C/2)] / cos {(1/2) (a + b)}B = (A + B) / 2 – (A – B) / 2, sudut B = arah kiblatCara 2:cot B = { (cot b sin a – cos a cos C) / sin C }Cara 3:cos c = cos a cos b + sin a sin b cos Ctan (B/2) = tan r / sin (s – b)s = (a + b + c) / 2 tan r = [{sin (sa) sin (sb) sin (sc)} / sin s] (1/2)

Cara 4:haversine = hav, hav B = (1 – cos B) / 2hav B = sin (sc) sin (sa) cosec c cosec acosec a = 1 / sin a, cosec c = 1 / sin ccos c = cos a cos b + sin a sin b cos Cs = (a + b + c) / 2Cara 5:cos c = cos a cos b + sin a sin b cos Ccos b = cos a cos c + sin a sin c cos BCara 6:cos c = cos a cos b + sin a sin b cos Csin a / sin A = sin b / sin B = sin c / sin C

Untuk memeriksa perhitungan melalui cara di atas dapat diperiksa melalui prosedur menghitung X1, Y1, Z, X2 dan Y2 sebagai berikut:X1 = sin a sin B = sin b sin AY1 = sin a cos B = cos b sin c – sin b cos c cos AZ = cos a = cos b cos c + sin a sin b cos CX2 = sin a sin C = sin c sin AY2 = sin a cos C = cos c sin b – sin c cos b cos ASebagai kontrol hasil perhitungan perlu dihitung:X12 + Y12 + Z2 = 1 atau X22 + Y22 + Z2 = 1, kalau ternyata dalam perhitungan tidak menghasilkan satu maka perlu dicurigai ada perhitungan yang keliru.

22

PENENTUAN ARAH KIBLAT

(1 ) Menggunakan KOMPAS. Kita sering bepergian dan sering tidak dengan cepat bisa mendapatkan informasi arah Kiblat. Upaya yang biasa dilakukan adalah mencari peralatan atau melihat langit bagi yang mengerti arti posisi Matahari, Bulan dan Bintang untuk mengetahui orientasi tempat tinggal kita yang baru diinjak. Menggunakan sebuah kompas sederhana yang dirancang untuk menentukan orientasi arah Kiblat, relatif mudah dan insyaallah presisi. Dalam batas tidak dipergunakan untuk menentukan arah Kiblat sebuah bangunan Masjid yang sangat presisi, kompas arah Kiblat tersebut bisa membantu dalam menemukan arah Kiblat tidak hanya sekedar menunjuk arah Barat, tapi mengarah ke masjidil Haram (arah barat laut sekitar 25 derajat dengan acuan arah barat bergerak 25 derajat ke arah Utara). Kompas sederhana bisa dipergunakan menentukan arah misalnya dalam perjalanan di gunung, di suatu desa, di lapangan shalat Ied atau di kompleks perumahan yang baru. Selama masih di dalam wilayah Indonesia Orientasi arah Kiblat dengan menggunakan Kompas sederhana ini diharapkan bisa membantu anda menemukan arah Kiblat yang lebih presisi (tidak ke Utara, ke Timur dsb). Begitupula orientasi arah Kiblat pemakaman muslim bisa dicari dengan relatif presisi dan mudah (tidak perlu pengetahuan astronomi dan perhitungan yang rumit) dengan bantuan kompas tersebut.

(2) Untuk penentuan arah Kiblat yang lebih presisi di suatu tempat yang masih sempat melihat Matahari dapat memanfaatkan momen Matahari di atas Ka’bah. Pengamatan bayang – bayang arah Kiblat ketika Matahari berada di atas Ka’bah tinggal mengetahui pada jam berapa dapat disaksikan bayang – bayang tersebut. Peredaran Bumi mengelilingi Matahari dengan sumbu rotasi yang miring 23.5 derajat terhadap garis tegak lurus bidang orbit Bumi menyebabkan perubahan tahunan posisi Matahari di langit. Ka’bah di dalam Masjidil Haram di kota Mekah mempunyai posisi geografis lintang Utara +21 derajat 25 menit dan bujur timur 39 derajat 50 menit. Zenith Ka’bah tak luput di singgahi Matahari, dua kali setiap tahun. Momen Matahari di atas Ka’bah setahun berlangsung dua kali yaitu sekitar tanggal 26, 27, 28 dan 29 Mei ( jam 16:14 wib – 16:21 wib ) dan 15, 16, 17 dan 18 Juli (jam 16:23 – 16:31 wib). Sekitar masuknya waktu Dhuhur di Mekah (di masjidil Haram) pada momen tanggal – tanggal itu merupakan momen yang baik untuk penentuan arah Kiblat yang murah, mudah dan presisi. Caranya adalah mengamati bayang – bayang sebuah tongkat yang tegak lurus tertancap di tanah atau bayang –bayang benda yang lurus pada tanggal dan rentang jam yang diberikan di atas. Jadi tidak memerlukan peralatan kompas, GPS, informasi tempat atau pengetahuan fungsi trigonometri dan kalkulator. Pada momen tersebut umat Islam di seluruh dunia yang masih melihat Matahari dapat mengkalibrasi arah Kiblat, arah posisi tempat berada ke arah Ka’bah di Masjidil Haram di kota Mekah.

Begitu pula bila Matahari di sekitar Nadir Ka’bah pada bulan November dan Januari untuk kawasan yang tidak melihat Matahari (karena sudah terbenam atau belum terbit) ketika momen Matahari di Zenith Ka’bah berlangsung. Mahasuci Allah yang menciptakan sebuah sistem waktu melalui Bumi yang berotasi satu putar penuh 23 jam 56 menit dan Bumi yang beredar mengelilingi Matahari selama 365.2564 hari (matahari rata –rata). Realitas alam semesta itu sangat menunjang ketentuan ibadah shalat umat Islam, memicu umat Islam untuk berfikir dan memikirkan kemudahan lainnya bagi umat manusia.

Memanfaatkan Kedudukan Matahari di sekitar ZENIT Ka’bah, KESEMPATAN PERTAMA: PADA BULAN MEI Kedudukan Matahari di sekitar ZENIT Ka’bah [dihitung dgn menggunakan fasilitas software Astronomi misalnya Astronomical Applications Dept.U.S. Naval Observatory - Washington, DC 20392-5420]. Bilamana Matahari berada di Zenith Ka’bah? (1) Diketahui Posisi Ka’bah : bujur geografis 39 50 BT, dan lintang geografis +21 25 (2) Dicari waktu (tanggal dan jam) Matahari mempunyai tinggi sekitar 90 derajat atau jarak zenith 0. Bila ada teman yang kebetulan umrah atau haji pada tanggal tersebut bisa dimintai informasi posisi Matahari di dekat zenith Ka’bah apakah panjang bayang – bayang benda nol sekitar waktu shalat dhuhur di Mekah?

Tabel 2a : Tinggi (derajat) dan Azimut (derajat, Utara = 0 , Timur = 90, Selatan = 180 dan Barat = 270) Matahari 24 Mei (2010 dan 2011) di arah dekat zenith Ka’bah di Mekah

Matahari di zenith Ka’bah 24 Mei 2010 Matahari di zenith Ka’bah 24 Mei 2011Jam (wib - 4jm) tinggi azimut Jam (wib - 4jm) tinggi azimut

23

12:13 88.8 121.3 12:13 88.8 123.112:14 89.0 128.1 12:14 88.9 130.112:15 89.1 137.7 12:15 89.1 139.812:16 89.3 151.4 12:16 89.2 153.312:17 89.3 169.8 12:17 89.3 170.812:18 89.3 190.5 12:18 89.3 190.112:19 89.3 208.8 12:19 89.2 207.512:20 89.1 222.5 12:20 89.1 220.812:21 89.0 232.1 12:21 88.9 230.312:22 88.8 238.9 12:22 88.7 237.212:23 88.6 243.8 12:23 88.5 242.2

Di Jombang

24 Mei 2010 24 Mei 2011Jam (wib) tinggi azimut Jam (wib) tinggi azimut 16:08 15.7 294.1 16:08 15.7 294.116:09 15.5 294.1 16:09 15.5 294.016:10 15.3 294.0 16:10 15.3 294.016:11 15.1 293.9 16:11 15.1 293.916:12 14.8 293.9 16:12 14.8 293.816:13 14.6 293.8 16:13 14.6 293.816:14 14.4 293.8 16:14 14.4 293.716:15 14.2 293.7 16:15 14.2 293.716:16 13.9 293.7 16:16 13.9 293.616:17 13.7 293.6 16:17 13.7 293.616:18 13.5 293.5 16:18 13.5 293.516:19 13.3 293.5 16:19 13.3 293.416:20 13.0 293.4 16:20 13.0 293.416:21 12.8 293.4 16:21 12.8 293.316:22 12.6 293.3 16:22 12.6 293.316:23 12.3 293.3 16:23 12.4 293.216:24 12.1 293.2 16:24 12.1 293.216:25 11.9 293.2 16:25 11.9 293.116:26 11.7 293.1 16:26 11.7 293.116:27 11.4 293.1 16:27 11.4 293.016:28 11.2 293.0 16:28 11.2 293.0

Tabel 2b : Tinggi (derajat) dan Azimut (derajat, Utara = 0, Timur = 90, Selatan = 180 dan Barat = 270) Matahari 25 Mei (2010 dan 2011) di arah dekat zenith Ka’bah di Mekah Matahari di zenith Ka’bah 25 Mei 2010 Matahari di zenith Ka’bah 25 Mei 2011Jam (wib - 4jm) tinggi azimut Jam (wib - 4jm) tinggi azimut 12:13 88.8 113.1 12:13 88.8 115.112:14 89.0 118.6 12:14 89.0 121.012:15 89.2 127.2 12:15 89.2 129.912:16 89.4 141.1 12:16 89.4 143.912:17 89.5 163.4 12:17 89.5 165.2

24

12:18 89.5 191.9 12:18 89.5 191.312:19 89.4 215.7 12:19 89.4 213.612:20 89.3 230.9 12:20 89.2 228.512:21 89.1 240.2 12:21 89.1 238.012:22 88.9 246.2 12:22 88.9 244.312:23 88.7 250.3 12:23 88.6 248.6

25

Tabel 2c : Tinggi (derajat) dan Azimut (derajat, Utara = 0 , Timur = 90, Selatan = 180 dan Barat = 270) Matahari 26 Mei (2010 dan 2011) di arah dekat zenith Ka’bah di Mekah

Matahari di zenith Ka’bah 26 Mei 2010 Matahari di zenith Ka’bah 26Mei 2011Jam (wib - 4jm) tinggi azimut Jam (wib - 4jm) tinggi azimut 12:13 88.9 104.3 12:13 88.9 106.512:14 89.1 108.1 12:14 89.1 110.712:15 89.3 114.2 12:15 89.3 117.512:16 89.5 125.7 12:16 89.5 129.812:17 89.7 150.4 12:17 89.6 154.312:18 89.7 194.3 12:18 89.7 193.212:19 89.6 227.2 12:19 89.6 223.612:20 89.4 242.4 12:20 89.4 239.112:21 89.2 250.0 12:21 89.2 247.412:22 89.0 254.5 12:22 88.9 252.312:23 88.7 257.4 12:23 88.7 255.6

Tabel 2d : Tinggi (derajat) dan Azimut (derajat, Utara = 0, Timur = 90, Selatan = 180 dan Barat = 270) Matahari 27 Mei (2010 dan 2011) di arah dekat zenith Ka’bah di Mekah

Matahari di zenith Ka’bah 27 Mei 2010 Matahari di zenith Ka’bah 27 Mei 2011Jam (wib - 4jm) tinggi azimut Jam (wib - 4jm) tinggi azimut 12:13 88.9 95.6 12:13 88.9 97.712:14 89.1 97.2 12:14 89.1 99.812:15 89.3 99.8 12:15 89.3 103.312:16 89.6 105.1 12:16 89.6 110.312:17 89.8 121.3 12:17 89.8 130.212:18 89.9 202.3 12:18 89.8 198.112:19 89.7 248.0 12:19 89.7 241.512:20 89.5 257.6 12:20 89.5 253.512:21 89.2 261.5 12:21 89.2 258.512:22 89.0 263.6 12:22 89.0 261.312:23 88.8 264.9 12:23 88.8 263.0

Di Jombang

27 Mei 2010 27 Mei 2011Jam (wib) tinggi azimut Jam (wib) tinggi azimut 16:08 15.7 294.7 16:08 15.7 294.616:09 15.4 294.6 16:09 15.5 294.616:10 15.2 294.6 16:10 15.2 294.516:11 15.0 294.5 16:11 15.0 294.516:12 14.8 294.4 16:12 14.8 294.416:13 14.5 294.4 16:13 14.6 294.316:14 14.3 294.3 16:14 14.3 294.316:15 14.1 294.3 16:15 14.1 294.216:16 13.9 294.2 16:16 13.9 294.216:17 13.6 294.1 16:17 13.7 294.116:18 13.4 294.1 16:18 13.4 294.016:19 13.2 294.0 16:19 13.2 294.0

26

16:20 13.0 294.0 16:20 13.0 293.916:21 12.7 293.9 16:21 12.8 293.916:22 12.5 293.9 16:22 12.5 293.816:23 12.3 293.8 16:23 12.3 293.816:24 12.1 293.8 16:24 12.1 293.716:25 11.8 293.7 16:25 11.9 293.716:26 11.6 293.6 16:26 11.6 293.616:27 11.4 293.6 16:27 11.4 293.616:28 11.2 293.5 16:28 11.2 293.5

Tabel 2e : Tinggi (derajat) dan Azimut (derajat, Utara = 0 , Timur = 90, Selatan = 180 dan Barat = 270) Matahari 28 Mei (2010 dan 2011) di arah dekat zenith Ka’bah di Mekah


28 Mei 2010 28 Mei 2011Jam (wib) tinggi azimut Jam (wib) tinggi azimut 16:08 15.7 294.8 16:08 15.7 294.816:09 15.4 294.8 16:09 15.4 294.716:10 15.2 294.7 16:10 15.2 294.716:11 15.0 294.7 16:11 15.0 294.616:12 14.8 294.6 16:12 14.8 294.616:13 14.5 294.5 16:13 14.5 294.516:14 14.3 294.5 16:14 14.3 294.416:15 14.1 294.4 16:15 14.1 294.416:16 13.9 294.4 16:16 13.9 294.316:17 13.6 294.3 16:17 13.6 294.316:18 13.4 294.3 16:18 13.4 294.216:19 13.2 294.2 16:19 13.2 294.216:20 13.0 294.1 16:20 13.0 294.116:21 12.7 294.1 16:21 12.7 294.016:22 12.5 294.0 16:22 12.5 294.016:23 12.3 294.0 16:23 12.3 293.916:24 12.1 293.9 16:24 12.1 293.9

27

16:25 11.8 293.9 16:25 11.8 293.816:26 11.6 293.8 16:26 11.6 293.816:27 11.4 293.8 16:27 11.4 293.716:28 11.2 293.7 16:28 11.2 293.7

Tabel 2f : Tinggi (derajat) dan Azimut (derajat, Utara = 0, Timur = 90, Selatan = 180 dan Barat = 270) Matahari 29 Mei (2010 dan 2011) di arah dekat zenith Ka’bah di Mekah


28

Tabel 2g : Tinggi (derajat) dan Azimut (derajat, Utara = 0, Timur = 90, Selatan = 180 dan Barat = 270) Matahari 30 Mei (2010 dan 2011) di arah dekat zenith Ka’bah di Mekah


Tabel 2h : Tinggi (derajat) dan Azimut (derajat, Utara = 0, Timur = 90, Selatan = 180 dan Barat = 270) Matahari 31 Mei (2010 dan 2011) di arah dekat zenith Ka’bah di Mekah


KESEMPATAN KEDUA: PADA BULAN Juli Kedudukan Matahari di sekitar ZENIT Ka’bah [dihitung dgn menggunakan fasilitas software Astronomical Applications Dept.U.S. Naval Observatory - Washington, DC 20392-5420]

Posisi Ka’bah : bujur geografis 39 50 BT, dan lintang geografis +21 25 Tabel 3a: Tinggi (derajat) dan Azimut (derajat, Utara = 0, Timur = 90, Selatan = 180 dan Barat = 270) Matahari 14 Juli (2010 & 2011) di arah dekat zenith Ka’bah di Mekah

Matahari di zenith Ka’bah 14 Juli 2010 Matahari di zenith Ka’bah 14 Juli 2011Jam (wib - 4jm) tinggi azimut Jam (wib - 4jm) tinggi azimut 12:23 89.1 73.2 12:23 89.1 70.912:24 89.4 67.3 12:24 89.4 64.312:25 89.6 55.5 12:25 89.5 51.5

29

12:26 89.7 27.0 12:26 89.7 23.312:27 89.7 336.4 12:27 89.7 338.312:28 89.6 305.8 12:28 89.6 309.212:29 89.4 293.3 12:29 89.4 296.012:30 89.2 287.1 12:30 89.1 289.312:31 88.9 283.5 12:31 88.9 285.312:32 88.7 281.1 12:32 88.7 282.612:33 88.5 279.5 12:33 88.5 280.8

Di Jombang

14 Juli 2010 14 Juli 2011Jam (wib) tinggi azimut Jam (wib) tinggi azimut 16:18 15.3 295.0 16:18 15.3 295.016:19 15.1 294.9 16:19 15.1 294.916:20 14.8 294.8 16:20 14.8 294.916:21 14.6 294.8 16:21 14.6 294.816:22 14.4 294.7 16:22 14.4 294.816:23 14.2 294.7 16:23 14.2 294.716:24 14.0 294.6 16:24 13.9 294.616:25 13.7 294.5 16:25 13.7 294.616:26 13.5 294.5 16:26 13.5 294.516:27 13.3 294.4 16:27 13.3 294.516:28 13.1 294.4 16:28 13.0 294.416:29 12.8 294.3 16:29 12.8 294.316:30 12.6 294.3 16:30 12.6 294.316:31 12.4 294.2 16:31 12.4 294.216:32 12.2 294.1 16:32 12.1 294.216:33 11.9 294.1 16:33 11.9 294.116:34 11.7 294.0 16:34 11.7 294.116:35 11.5 294.0 16:35 11.5 294.016:36 11.3 293.9 16:36 11.2 294.016:37 11.0 293.9 16:37 11.0 293.916:38 10.8 293.8 16:38 10.8 293.9

Tabel 3b: Tinggi (derajat) dan Azimut (derajat, Utara = 0, Timur = 90, Selatan = 180 dan Barat = 270) Matahari 15 Juli (2010 & 2011) di arah dekat zenith Ka’bah di Mekah

Matahari di zenith Ka’bah 15Juli 2010 Matahari di zenith Ka’bah 15 Juli 2011Jam (wib - 4jm) tinggi azimut Jam (wib - 4jm) tinggi azimut 12:23 89.1 83.7 12:23 89.1 81.212:24 89.4 81.5 12:24 89.4 78.112:25 89.6 76.7 12:25 89.6 71.312:26 89.8 59.0 12:26 89.8 48.812:27 89.9 317.5 12:27 89.8 325.612:28 89.7 286.0 12:28 89.7 291.712:29 89.4 279.4 12:29 89.4 283.012:30 89.2 276.7 12:30 89.2 279.312:31 89.0 275.2 12:31 89.0 277.312:32 88.8 274.4 12:32 88.7 276.0

30

12:33 88.5 273.7 12:33 88.5 275.2

Di Jombang

15 Juli 2010 15 Juli 2011Jam (wib) tinggi azimut Jam (wib) tinggi azimut 16:18 15.4 294.8 16:18 15.3 294.816:19 15.1 294.8 16:19 15.1 294.816:20 14.9 294.7 16:20 14.9 294.716:21 14.7 294.6 16:21 14.7 294.716:22 14.5 294.6 16:22 14.5 294.616:23 14.2 294.5 16:23 14.2 294.516:24 14.0 294.5 16:24 14.0 294.516:25 13.8 294.4 16:25 13.8 294.416:26 13.6 294.3 16:26 13.6 294.416:27 13.3 294.3 16:27 13.3 294.316:28 13.1 294.2 16:28 13.1 294.316:29 12.9 294.2 16:29 12.9 294.216:30 12.7 294.1 16:30 12.7 294.116:31 12.4 294.1 16:31 12.4 294.116:32 12.2 294.0 16:32 12.2 294.016:33 12.0 293.9 16:33 12.0 294.016:34 11.8 293.9 16:34 11.8 293.916:35 11.5 293.8 16:35 11.5 293.916:36 11.3 293.8 16:36 11.3 293.816:37 11.1 293.7 16:37 11.1 293.816:38 10.9 293.7 16:38 10.9 293.7

Tabel 3c: Tinggi (derajat) dan Azimut (derajat, Utara = 0, Timur = 90, Selatan = 180 dan Barat = 270) Matahari 16 Juli (2010 & 2011) di arah dekat zenith Ka’bah di Mekah

Matahari di zenith Ka’bah 16 Juli 2010 Matahari di zenith Ka’bah 16 Juli 2011Jam (wib - 4jm) tinggi azimut Jam (wib - 4jm) tinggi azimut 12:23 89.1 94.5 12:23 89.1 92.012:24 89.4 96.2 12:24 89.4 92.812:25 89.6 99.8 12:25 89.6 94.512:26 89.8 112.3 12:26 89.8 100.912:27 89.9 219.9 12:27 89.9 243.212:28 89.7 256.3 12:28 89.7 263.812:29 89.5 262.4 12:29 89.5 266.612:30 89.2 264.8 12:30 89.2 267.712:31 89.0 266.1 12:31 89.0 268.312:32 88.8 266.9 12:32 88.8 268.712:33 88.5 267.5 12:33 88.5 269.0

16 Juli 2010 16 Juli 2011

31

Jam (wib) tinggi azimut Jam (wib) tinggi azimut 16:18 15.4 294.7 16:18 15.4 294.716:19 15.2 294.6 16:19 15.2 294.616:20 15.0 294.5 16:20 15.0 294.616:21 14.8 294.5 16:21 14.7 294.516:22 14.5 294.4 16:22 14.5 294.516:23 14.3 294.4 16:23 14.3 294.416:24 14.1 294.3 16:24 14.1 294.316:25 13.9 294.2 16:25 13.8 294.316:26 13.6 294.2 16:26 13.6 294.216:27 13.4 294.1 16:27 13.4 294.216:28 13.2 294.1 16:28 13.2 294.116:29 13.0 294.0 16:29 12.9 294.016:30 12.7 294.0 16:30 12.7 294.016:31 12.5 293.9 16:31 12.5 293.916:32 12.3 293.8 16:32 12.3 293.916:33 12.0 293.8 16:33 12.0 293.816:34 11.8 293.7 16:34 11.8 293.816:35 11.6 293.7 16:35 11.6 293.716:36 11.4 293.6 16:36 11.4 293.716:37 11.1 293.6 16:37 11.1 293.616:38 10.9 293.5 16:38 10.9 293.6

Tabel 3d: Tinggi (derajat) dan Azimut (derajat, Utara = 0, Timur = 90, Selatan = 180 dan Barat = 270) Matahari 17 Juli (2010 & 2011) di arah dekat zenith Ka’bah di Mekah


17 Juli 2010 17 Juli 2011Jam (wib) tinggi azimut Jam (wib) tinggi azimut 16:18 15.5 294.5 16:18 15.5 294.516:19 15.3 294.4 16:19 15.2 294.516:20 15.0 294.4 16:20 15.0 294.4

32

16:21 14.8 294.3 16:21 14.8 294.416:22 14.6 294.3 16:22 14.6 294.316:23 14.4 294.2 16:23 14.3 294.216:24 14.1 294.1 16:24 14.1 294.216:25 13.9 294.1 16:25 13.9 294.116:26 13.7 294.0 16:26 13.7 294.116:27 13.5 294.0 16:27 13.4 294.016:28 13.2 293.9 16:28 13.2 293.916:29 13.0 293.8 16:29 13.0 293.916:30 12.8 293.8 16:30 12.8 293.816:31 12.6 293.7 16:31 12.5 293.816:32 12.3 293.7 16:32 12.3 293.716:33 12.1 293.6 16:33 12.1 293.716:34 11.9 293.6 16:34 11.9 293.616:35 11.7 293.5 16:35 11.6 293.616:36 11.4 293.5 16:36 11.4 293.516:37 11.2 293.4 16:37 11.2 293.516:38 11.0 293.4 16:38 11.0 293.4

Tabel 3e: Tinggi (derajat) dan Azimut (derajat, Utara = 0, Timur = 90, Selatan = 180 dan Barat = 270) Matahari 18 Juli (2010 & 2011) di arah dekat zenith Ka’bah di Mekah


18 Juli 2010 18 Juli 2011Jam (wib) tinggi azimut Jam (wib) tinggi azimut 16:18 15.5 294.3 16:18 15.5 294.416:19 15.3 294.3 16:19 15.3 294.316:20 15.1 294.2 16:20 15.1 294.216:21 14.9 294.1 16:21 14.9 294.216:22 14.6 294.1 16:22 14.6 294.116:23 14.4 294.0 16:23 14.4 294.116:24 14.2 294.0 16:24 14.2 294.016:25 14.0 293.9 16:25 14.0 293.916:26 13.7 293.9 16:26 13.7 293.916:27 13.5 293.8 16:27 13.5 293.8

33

16:28 13.3 293.7 16:28 13.3 293.816:29 13.1 293.7 16:29 13.1 293.716:30 12.8 293.6 16:30 12.8 293.716:31 12.6 293.6 16:31 12.6 293.616:32 12.4 293.5 16:32 12.4 293.616:33 12.2 293.5 16:33 12.2 293.516:34 11.9 293.4 16:34 11.9 293.416:35 11.7 293.4 16:35 11.7 293.416:36 11.5 293.3 16:36 11.5 293.316:37 11.3 293.2 16:37 11.2 293.316:38 11.0 293.2 16:38 11.0 293.2

Tabel 3f: Tinggi (derajat) dan Azimut (derajat, Utara = 0, Timur = 90, Selatan = 180 dan Barat = 270) Matahari 19 Juli (2010 & 2011) di arah dekat zenith Ka’bah di Mekah

Matahari di zenith Ka’bah 19 Juli 2010 Matahari di zenith Ka’bah 19 Juli 2011Jam (wib - 4jm) tinggi azimut Jam (wib - 4jm) tinggi azimut12:23 88.9 122.2 12:23 88.9 120.412:24 89.1 130.2 12:24 89.1 128.212:25 89.2 141.8 12:25 89.3 140.012:26 89.4 158.7 12:26 89.4 157.612:27 89.4 180.3 12:27 89.5 180.912:28 89.4 201.9 12:28 89.4 203.812:29 89.2 218.6 12:29 89.3 221.012:30 89.1 230.1 12:30 89.1 232.412:31 88.9 237.9 12:31 88.9 240.012:32 88.7 243.4 12:32 88.7 245.212:33 88.5 247.4 12:33 88.5 249.0

19 Juli 2010 19 Juli 2011Jam (wib) tinggi azimut Jam (wib) tinggi azimut 16:16 16.1 294.3 16:16 16.0 294.316:17 15.8 294.2 16:17 15.8 294.316:18 15.6 294.1 16:18 15.6 294.216:19 15.4 294.1 16:19 15.4 294.116:20 15.2 294.0 16:20 15.1 294.116:21 14.9 294.0 16:21 14.9 294.016:22 14.7 293.9 16:22 14.7 294.016:23 14.5 293.9 16:23 14.5 293.916:24 14.3 293.8 16:24 14.2 293.816:25 14.0 293.7 16:25 14.0 293.816:26 13.8 293.7 16:26 13.8 293.716:27 13.6 293.6 16:27 13.6 293.716:28 13.4 293.6 16:28 13.3 293.616:29 13.1 293.5 16:29 13.1 293.516:30 12.9 293.5 16:30 12.9 293.516:31 12.7 293.4 16:31 12.7 293.4

34

16:32 12.4 293.3 16:32 12.4 293.416:33 12.2 293.3 16:33 12.2 293.316:34 12.0 293.2 16:34 12.0 293.316:35 11.8 293.2 16:35 11.8 293.216:36 11.5 293.1 16:36 11.5 293.2

BAYANG – BAYANG ARAH KIBLAT LAINNYA

Bayang – bayang arah kiblat juga bisa dilakukan ketika Matahari berada di Zenit busur lingkaran besar yang menghubungkan Ka’bah dengan tempat tinggal, insyaallah bisa minta bantuan astronom untuk mendapatkannya seperti contoh pada Tabel 4 dan 5 untuk kota Ciamis bayang – bayang arah Kiblat untuk tanggal 27 Mei (sekitar jam 16:15 dan 16:16 wib azimut matahari (295.1) sama dengan azimut bayang – bayang arah Kiblat 295 06 03.25) dan 19 Januari (sekitar jam 09:40 wib azimut matahari (115.1) hampir sama dengan azimut bayang – bayang arah Kiblat 115 06 03.25)

Tabel 4: Azimuth Matahari dari Ciamis pada tanggal 27 Mei 2007

Jam (wib) Tinggi Mth (derajat) Azimut Mth (derajat)16:15 17.7 295.116:16 17.4 295.116:17 17.2 295.016:18 17.0 294.916:19 16.8 294.9

Tabel 5: Azimuth Matahari dari Ciamis pada tanggal 19 Januari 2007 Jam (wib) Tinggi Mth (derajat) Azimut Mth (derajat)09:38 53.9 114.909:40 54.4 115.109:42 54.8 115.309:44 55.3 115.609:46 55.7 115.8

Pada pembacaan kompas sederhana nampaknya masih sukar untuk membedakan arah bayang – bayang sebuah tongkat dengan beda sudut azimuth sekitar 2 derajat. Tebal bayang – bayang tongkat bisa mencapai lebih dari 2 derajat. Jadi dalam pengukuran garis bayang – bayang arah Kiblat pada bayang – bayang arah Kiblat yang dibentuk oleh Matahari dengan posisi azimuth Matahari dalam tabel 4 dan tabel 5 secara praktis tidak bisa atau tidak mudah dibedakan.

35

Lampiran A

Pembuktian sifat-sifat segitiga bola

(i) a + b > c (ii) a + c > b dan (iii) b + c > a

O-XYZ sudut trihedral

ABC segitiga bola

Gambar 6.1

Akan dibuktikan:

Pada segitiga bola berlaku sifat-sifat: (i) a + b > c (ii) a + c > b dan (iii) b + c > a

Bukti:

Pilih D pada AB sehingga AOD = AOC dan OD = OC

Karena pada AOC dan AOD berlaku:

AO = AO, AOD = AOC dan OD = OC (kriteria SAS), maka AOC dan AOD sama dan sebangun.

Akibatnya AC = AD.

Perhatikan ABC (segitiga datar):

AC + CB > AB (sifat segitiga datar) dan AB = AD + DB didapat:

AC + CB > AD + DB akibatnya CB > DB.

Karena CB > DB akibatnya COB > DOB

Karena AC = AD akibatnya AOC = AOD, sehingga:

AOC + COB > AOD + DOB

Karena AOD + DOB = AOB akibatnya AOC + COB > AOB sehingga didapat:

(i) a + b > c

36

Karena AOD = AOC dan AOB > DOB akibatnya AOB > AOC sehingga

AOB + COB > AOC akibat didapat:

(ii) a + c > b

Karena AOB > DOB dan DOB = BOC sehingga

AOB + AOC > BOC akibat didapat:

(iii) b + c > a

Sehingga didapat sifat pada segitiga bola:

(i) a + b > c (ii) a + c > b dan (iii) b + c > a

Pembuktian sifat 0o < a + b + c < 360o

O-XYZ sudut trihedral

ABC segitiga bola dan

ABC segitiga datar

Gambar 6.2

Buktikan:

0o < a + b + c < 360o

Akan dibuktikan:

(i) a + b + c > 0o dan

(ii) a + b + c < 360o

Bukti:

37

(i) a > 0o, b > 0o dan c > 0o akibatnya a + b + c > 0o

(ii) (AOC + OCA + OAC) jumlah sudut segitiga datar ABC

(AOB + OBA + OAB) jumlah sudut segitiga datar ABC

(BOC + OCB + OBC) jumlah sudut segitga datar ABC

Sehingga:

(AOC + OCA + OAC) + (AOB + OBA + OAB) + (BOC + OCB + OBC) = 180o +

180o + 180o = 540o dijabarkan:

(AOC + AOB + BOC) + (OCA + OAC) + (OBA + OAB) + (OBC + OCB) = 540o

Karena AOC = b, OCB = c dan COB = a akibatnya:

(a + b + c) + (OAB + OAC) + (OBA + OBC) + (OCA + OCB) = 540o

Menurut sifat sudut trihedral, bahwa:

(OAB + OAC) > BAC, (OBA + OBC) > ABC dan (OCA + OCB) > ACB, maka

didapat:

(a + b + c) + (BAC +ABC + ACB) < 540o

Pada hal (BAC +ABC + ACB) = 180o (segitiga datar), maka didapat:

a + b + c < 540o – 180o atau a + b + c < 360o

Dari (i) dan (ii) didapat:

0o < a + b + c < 360o

Pembuktian sifat 0 < A + B + C < 540

Segitiga bola ABC merupakan segitiga bola kutub

A1B1C1, sehingga hubunga ini berlaku:

A = 180 - a1, B = 180 - b1 dan C = 180 - c1

a = 180 - A1, b = 180 - B1 dan c = 180 - C1

38

Gambar 6.3

Bukti:

A + B + C = (180 - a1) + (180 - b1) + (180 - c1), sehingga:

A + B + C = 540 - (a1 + b1 + c1).

Karena A1B1C1 adalah segitiga bola, maka 0 < a1 + b1 + c1 < 360 (sudah dibuktikan), sehingga didapat:

180 < A + B + C < 540

39

Lampiran B

Pembuktian Rumus Sinus

Pada gambar 6.4a dan 6.4b dilukis garis tinggi CF = p ke AB dengan AF = x, sehingga:

… (1)

… (2)

Jika (1) dibagi dengan (2) akan didapat:

atau atau

Dengan cara yang sama akan didapat:

dan , sehingga didapat rumus sinus:

… (3)

Pembuktian Rumus cosinus

Pada Gambar 6.4a dan 6.4b didapat:

… (1), … (2) dan … (3)

Sehingga:

40

Substitusikan (3), didapat:

, sehingga

Akhirnya didapat:

Dengan cara yang sama didapat:

41

Lampiran D

Pembuktian uji konsistensi

Bukti:

(1) Untuk X1 = sin a sin B, Y1 = sin a cos B dan Z = cos a, maka

(2) Untuk X1 = sin b sin A, Y1 = cos c sin b – sin c cos b cos A dan Z = cos b cos c + sin b sin c cos A,

maka

=

(3) Untuk X2 = sin a sin C, Y2 = sin a cos C dan Z = cos a, maka

(4) Untuk X2 = sin c sin A, Y2 = cos c sin b – sin c cos b cos A dan Z = cos b sin c – sin b cos c cos A ,

maka

42

Lampiran E

Pembuktian Rumus Segitiga Bola

Gambar 6.5

Gambar 6.5 adalah segitiga bola ABC dengan O pusat bola yang berjari-jari 1 satuan. Sisi a, b dan c

masing-masing sisi segitiga bola didepan sudut bola A, B dan C..

Gambar 6.5a Gambar 6.5b

44

Gambar 6.5c

Gambar 6.5d

Dari gambar 6.5e didapat:

x = x cos c + y sin c … (1)

y = x sin c - y cos c … (2)

Gambar 6.5e

1. Rumus cosinus

Substitusikan x, x dan y pada (1) akan didapat rumus cosinus:

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A … (3)

Dengan cara yang sama, didapat:

cos b = cos a cos c + sin a sin c cos B … (4)

cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C … (5)

Demikian juga, substitusikan x, y dan y pada (2) akan didapat:

sin a cos B = cos b sin c – sin b cos c cos A … (6)


sin a cos C = cos c sin b – sin c cos b cos A … (7)

sin b cos A = cos a sin c – sin a cos c cos B … (8)

sin b cos C = cos c sin a – sin c cos a cos B … (9)

sin c cos A = cos a sin a – sin a cos b cos C … (10)

sin c cos B = cos b sin a – sin b cos a cos C … (11)

45

2. Rumus sinus

Perhatikan gambar 3b dan 3d bahwa z = sin a sin B dan z = sin b sin A sehingga didapat:

sin a sin B = sin b sin A atau


sehingga … (12)

46

Lampiran F

Pembuktian Metoda 1

Buktikan:

(1)

(2)

Bukti:

Lihat gambar 6.3

Dari segitiga bola ABC dan segitiga bola kutub A1B1C1 didapat:

, , ,

dan , sehingga:

(1)

Substitusikan rumus akan didapat:

, sehingga didapat: (1)

(2)

Substitusikan rumus akan didapat:

Akhirnya didapat: (2)

47

Pembuktian Rumus Metode 2

sin c cos B = cos b sin a – sin b cos a cos C, bagi kedua ruas dengan sin c, didapat:

, selanjutnya bagi kedua ruas dengan sin B, didapat:

substitusikan (rumus sinus) , sehingga didapat:

dengan dan , akhirnya didapat:

Pembuktian Rumus Metoda 3

Buktikan:

dimana dan

Bukti:

Dari rumus didapat dan

. sehingga

, substitusikan rumus , sehingga:

48

Misalkan, , maka didapat:

Misalkan juga, , maka akhirnya didapat:

49

Daftar Pustaka

Ayres Jr, F., 1954, Schaum’s Outline Series: Theory and Problems of Plane and Spherical Trigonometry p1-7 Firdaus, DH; 2008; Kamus al Qur’an: Cara Mudah Mencari Makna dalam al Qur’an, Pustaka Ancala, Purwakarta

Rietz, HC, Reilly, JF, Woods R., 1936, Plane and Spherical Trigonometry p 124 – 128, The Macmillan Co. NYSmart, WM, 1980, Spherical Astronomy p 195 – 224, Cambridge Univ. Press.Sparks, FW, Rees, PK, Rees, CS; 1984; Plane Trigonometry p 12 - 24, Prentice – Hall, Inc, NY

50

paksalam.files.wordpress.com · web viewsecara fisik pengertian sudut dalam pembahasan ini sama...

Documents