BAB II ALIRAN FLUIDA DI MEDIA BERPORI

Konfigurasi lubang bor menembus formasi serta geometri dan karakteristik

reservoirnya menyebabkan pola aliran fluida yang terjadi berbeda-beda. Gambar 21

menunjukkan beberapa pola aliran tersebut.

Pola aliran radial paling lazim digunakan untuk menggambarkan aliran fluida di

media berpori. Ini diawali oleh solusi Van Everdingen & Hurst pada tahun 1949.

Kemudian berkembang model-model lainnya untuk lebih dapat mempresentasikan

kondisi reservoir yang sebenarnya seperti terlihat pada gambar 2.1 b sampai f. Dari pola-

pola aliran tersebut kemudian diturunkan persamaan-persamaan matematis yang dapat

digunakan untuk menganalisa transien tekanan di reservoir.

Berhubung aliran radial ini paling umum digunakan, maka pembahasan pada Bab

ini akan ditekankan pada pola aliran radial dan penyelesaian persamaannya, sedangkan

pola aliran lain akan dibahas di Bab-Bab selanjutnya yang berhubungan dengan prinsip

atau metoda analisa yang memakai pola-pola aliran tersebut.

IDEALISASI RESERVOIR DENGAN POLA ALIRAN RADIAL

Untuk memulai suatu analisa atau perencanaan, pertama-tama kita harus

membuat penyederhanaan atas pemodelan suatu reservoir. Pada reservoir dengan pola

aliran radial ini, persamaan diferensialnya diturunkan berdasarkan hal-hal sebagai

berikut ini :

Hukum Kekekalan Masa

Aliran mengikuti Hukum Darcy dan

Persamaan Keadaan.

Maka persamaan differensial untuk aliran fluida yang radial adalah:

t

P

k

C

r

P

rr

P

000264.0

12

2 (2.1)

1

Persamaan ini lebih dikenal dengan nama “diffusivity equation”, sedangkan

konstanta C/0.000264 k dikenal sebagai “hydraulic diffusivity”. Bagaimana kita

sampai ke persamaan 2.1 dari hukum kekekalan massa, hukum Darcy dan persamaan

keadaan diterangkan pada Lampiran A.

Persamaan 2.1 ini ditulis untuk “Field units” dimana:

P = tekanan reservoir, psi

r = jari-jari atau jarak dari lubang bor, ft

= porositas, fraksi

= viskositas fluida, cp

k = permeabilitas, md

t = jam

C = kompressibilitas, vol/vol per psi atau psi-1

untuk gas yang bersifat tidak ideal, persamaannya adalah :

z

P

tkr

Pr

z

P

rr 000264.0

1

(2.2)

dimana z adalah superkompressibilitas gas.

Apabila fluidanya multifasa yang terdiri dari minyak, gas, dan air maka

persamaannya adalah :

t

PC

r

Pr

rr t

t

000264.0

1 (2.3)

dimana Ct menggambarkan kompressibilitas total,

Ct = So Co + Sw Cw + Sg Cg + Cf (2.4)

sedangkan t adalah mobilitas yaitu :

2

w

w

g

g

o

ot

kkk

(2.5)

Persamaan-persamaan 2.2 dan 2.3 akan lebih diperinci lagi pada bab-bab yang

khusus membicarakan aliran gas dan aliran multifasa di reservoir.

VARIABEL-VARIABEL YANG TIDAK BERDIMENSI

Di dalam penyelesaian persamaan untuk analisa tekanan, akan lebih mudah dan

umum apabila solusinya dinyatakan dengan variabel-variabel yang tidak berdimensi.

Pada dasarnya, variabel yang sangat umum digunakan adalah :

Bq

PPKhP

wfi

D2.141

(2.6)

2

0002637.0

wt

DrC

ktt

dan AC

ktt

t

DA

0002637.0

(2.7)

w

Dr

rr (2.8)

wfi

DPPKh

BqQ

00708.0

(2.9)

22

615.5

wt

sD

hrC

CC

(2.10)

Sebagai contoh, apabila persamaan 2.1 ditransformasikan ke dalam parameter-

parameter yang tidak berdimensi tersebut akan menjadi :

D

D

D

D

DD

D

t

P

r

P

rr

P

12

2

(2.11)

Atau

3

D

D

D

DD

DD t

P

r

Pr

rr

1 (2.12)

Contoh mentransformasikan persamaan 2.1 menjadi 2.11 dapat dilihat pada

lampiran B.

SOLUSI PERSAMAAN DIFFUSIVITAS UNTUK POLA ALIRAN RADIAL

Ada lima solusi persamaan 2.1 yang sangat berguna di dalam analisa transien

tekanan atau well testing yaitu :

Solusi untuk reservoir yang tidak terbatas (line source solution).

Solusi untuk reservoir yang terbatas.

Solusi untuk keadaan pseudo steady state.

Solusi untuk reservoir dengan tekanan tetap pada batasnya (Constant Pressure at

Outer Boundary)

Solusi dengan memadukan efek dari wellbore storage dan skin.

Sebelumnya, untuk mengingatkan kembali atas persamaan 2.1, asumsi-asumsi

yang digunakan adalah : reservoir bersifat homogen dan isotropik dengan ketebalan

yang seragam, sifat-sifat batuan dan fluidanya bukan merupakan fungsi dari tekanan,

gradien tekanan dianggap kecil, hukum Darcy dapat digunakan (kadang-kadang disebut

aliran laminer) dan gaya gravitasi dapat diabaikan.

Solusi untuk Reservoir Silindris yang Tidak Terbatas (Line Source Well)

4

Dibandingkan dengan radius reservoir yang tidak terhingga, maka ukuran lubang

bor dapat diabaikan atau mendekati radius sama dengan nol. Oleh sebab itu didalam

reservoir yang silindris tersebut lubang bor ini kelihatannya hanya berupa garis. Itulah

sebabnya hal ini dikenal sebagai line-source well.

Dengan anggapan bahwa sumur tersebut diproduksikan dengan laju produksi yang

konstan sebesar qB, radius sumur mendekati nol, tekanan awal di seluruh titik di

reservoir sama dengan Pi dan sumur tersebut menguras area yang tak terhingga

besarnya, maka solusi persamaan 2.1 adalah :

kt

rCEi

kh

BqPP t

i

29486.70

(2.13)

dimana

du

u

exEi

u

(Ei = exponential integral)

Persamaan 2.13 diatas dikenal sebagai solusi disaat kondisi reservoir bersifat

”infinite acting”. Penurunannya dibuat di lampiran C.

Tabel 2.1 atau Gambar 2.2 dapat digunakan untuk mendapatkan fungsi Ei (-x) ini.

Untuk x , 0.02, Ei(-x) dapat didekati dengan ketelitian < 0.6 % oleh persamaan :

Ei(-x) = ln (1.781 x) (2.14)

Terlihat bahwa Tabel 2.1 dapat digunakan untuk 0.02 < x < 10.9, untuk x 0.02

kita menggunakan persamaan 2.14 dan untuk x > 10.9 maka Ei(-x) dapat dikatakan

sudah sama dengan nol untuk tujuan-tujuan praktis.

Exponential Integral

Untuk kasus reservoir yang tidak terbatas (line source well), yang homogen, solusi

menjadi:

5

Aproksimasi untuk late time adalah:

General Log Approximation

Formula late time di atas akan digunakan di semua model kecuali apabila terjadi

damage atau stimulasi. Untuk kasus itu, akan digunakan faktor skin sehingga

persamaan menjadi:

Persamaan inilah yang menjadi fundamental dari well test interpretation.

Wellbore Storage

Wellbore storage menghambat pergerakan sandface flowrate mengikuti surface

flowrate. Nyatanya, aliran pada surface hanya diakibatkan oleh ekspansi fluida di

lubang sumur. Selang beberapa waktu, efek ekspansi habis (tidak bisa ekspansi lagi), dan

downhole flow mencapai surafce flowrate.

6

Kebalikannya terjadi ketika build up. Pada peristiwa ini, aliran downhole flow ”tidak

tahu” apa yang dilakukan oleh surface flow sehingga aliran dari reservoir tetap kontinyu

selama beberapa saat setelah sumur dimatikan. Ini disebut after flow dan nantinya akan

menjadi wellbore storage. Sampai efek wellbore storage ini habis, respon tekanan yang

diperoleh tidak akan memberikan informasi apa-apa.

Skin

Duration of Wellbore Storage:

CV

p

CC

c hrD

t w

5 615

2 2

.

7

tC s

kh

3385 60 3 5( . )

/

8

Dapat dilihat bahwa ada gradien, m yaitu:

Untuk mencari skin:

9

Horner Plot Horner mengunakan superposition time tekanan shut-in diplot terhadap log[(tp+dt)/dt]. Perlu diperhatikan bahwa membaca kurva ini berawal dari paling kanan, sebab (tp+dt/dt) bernilai besar sebab dt kecil.

10

Akibat praktek-praktek pemboran dan produksi, ternyata diketemukan bahwa pada

umumnya sumur-sumur akan mengalami penurunan permeabilitas sekeliling lubang

bor. Atau, sumur-sumur mengalami stimulasi dengan proses acidizing dan hydraulic

fracturing yang menyebabkan kebalikan dari hal diatas, yaitu perbaikan permeabilitas

disekeliling lubang bor. Hal ini dikenal sebagai ”skin effect".

Apabila suatu formasi produktif mengalami skin effect, maka persamaan 2.13

tidak dapat lagi digunakan secara baik karena seperti diketahui bahwa anggapan yang

dipakai di dalam menurunkan persamaan 2.13 adalah permeabilitas formasi yang

seragam di keseluruhan reservoir.

Hawkins di dalam hal ini membagi zona disekeliling lubang bor menjadi dua seperti

terlihat pada Gambar 2.3. zona yang pertama sejauh rs adalah zona skin dan di luar itu

adalah zona dengan permeabilitas formasi yang asli. Zona skin mempunyai

permeabilitas ks sedangkan formasi yang asli berpermeabilitas k. Perumusan tekanan

dengan adanya skin effect ini (Ps) dapat didekati dengan persamaan aliran radial yang

steady state yaitu :

w

s

w

s

s

s rr

kh

Bq

rr

hk

BqP ln2.141ln2.141

atau,

w

s

s

s rr

k

k

kh

BqP ln12.141

(2.15)

Apabila persamaan 2.15 dikombinasikan dengan persamaan 2.13 untuk mencari

penurunan tekanan total pada lubang bor maka,

11

s

twf P

kt

rCEi

kh

BqPP

2

1

9486.70

w

s

s

t

rr

k

k

kt

rCEi

kh

Bqln12

9486.70

2

untuk r = rw, argumen fungsi Ei sangat kecil setelah suatu jangka waktu yang pendek

sehingga dapat dipakai pendekatan logaritmik, jadi :

w

s

s

twfi r

r

k

k

kt

rC

kh

BqPP ln12

688,1ln6.70

2

kemudian selanjutnya didefinisikan suatu faktor skin, S

w

s

sr

r

k

kS ln

1 (2.16)

maka :

S

kt

rC

kh

BqPP t

wfi 2688,1

ln6.702

(2.17)

Apabila persmaan 2.16 kita kaji lebih lanjut, maka hal-hal berikut akan terlihat :

1. Apabila terjadi penurunan permeabilitas disekitar lubang bor yang sangat dikenal

dengan ”damage”, ks < k, maka S berharga positif. Semakin kontras perbedaan ks

terhadap k dan semakin dalam zona skin ini, rs/rw semakin besar, maka harga S semakin

besar. Sebenarnya tidak ada harga batas untuk S ini. Beberapa sumur yang baru dibor

misalnya, tidak mengalirkan fluida sebelum dilakukan stimulasi. Jadi berarti disini ks~ 0

dan S .

2. Apabila suatu sumur distimulasikan dan ks > k, maka S akan berharga negatif.

Semakin dalam efek stimulasi ini menembus formasi, semakin kecil harga S.

12

Tetapi patut dicatat bahwa jarang sekali harga S jatuh dibawah -8 kecuali untuk

sumur-sumur yang dipenetrasi sangat dalam atau sumur-sumur yang mempunyai

konduktivitas hydraulic fracture yang sangat tinggi.

3. Apabila k = ks, maka S = 0. ini kadang-kadang membingungkan didalam

pengambilan keputusan. Disini patut diingat bahwa persamaan 2.16 sebaiknya dikaji

secara kualitatif saja karena keadaan sumur yang sebenarnya sangatlah sukar untuk

direpresentasikan oleh suatu bentuk persamaan sederhana persamaan 2.16.

Contoh 2.1. Penggunaan fungsi Ei.

Suatu sumur minyak berproduksi dengan laju produksi 20 STB/D dari suatu lapisan

produktif yang mempunyai karakteristik sebagai berikut :

= 0.72 Cp

k = 0.1 md

Ct = 1.5 x 10-5 psi-1

Pi = 3000 psi

re = 3000 ft

rw = 0.5 ft

Bo = 1.475 RB/STB

h = 150 ft

= 0.23

S = 0

Hitunglah tekanan reservoir sejarak 1 ft setelah 3 jam, dan sejarak 10 dan 100 ft setelah

3 jam.

13

Jawab :

Untuk radius 1 ft setelah 3 jam.

kt

rCEi

kh

BqPP t

i

29486.70

31.0

1105.172.023.0948

1501.0

72.0475.1206.70000,3

25xEi

= 3,000 + 100 Ei (-0.007849)

= 3,000 + 100 ln {(1.78) (0.007849)}

= 3,000 + (100) (-4.27)

= 2,573 psi

Untuk radius 10 ft setelah 3 jam.

)3)(1.0(

)10)(105.1)(72.0)(23.0(948100000,3

25xEiP

= 3,000 + 100 Ei (-7849)

= 3,000 + (100) (-0.318)

= 2,968 psi

(Ei dibaca dari Tabel 2.1)

Untuk radius 100 ft setelah 3 jam.

P = 3,000 + 100 Ei

)3)(1.0(

)100)(105.1)(72.0)(23.0(948 25x

= 3,000 + 100 Ei (-78.49)

14

Ei (-78.49) = 0

P = 3,000 psi (masih sama dengan tekanan awal reservoir).

Dari fakta ini dapat dikatakan bahwa selama selang waktu 100 jam, transien

tekanan belum mencapai radius 100 ft.

2.3.2. Solusi untuk Reservoir Silindris yang terbatas

Melihat bentuk persamaan differensial 2.1 atau 2.11, maka perlu dispesifikasi 2

buah syarat batas (boundary conditions) dan 1 syarat awal (an initial condition). Apabila

digunakan anggapan bahwa :

Laju produksi konstan sebesar qB, STB/D

Jari-jari sumur rw, terletak ditengah-tengah reservoir silindris terbatas yang berjari-jari re

Tekanan awal = Pi

Maka solusi persamaan aliran pada reservoir jenis ini adalah :

12

1

2

1

2

2

1

2

22

43ln

22.141

n neDnn

eDnD

a

eD

eD

Diwf

JrJ

rJter

r

t

kh

BqPP

n

2.18

Dimana n adalah akar-akar dari persamaan :

01111 eDnnneDn rYJYrJ

J1 dan Y1 adalah fungsi-fungsi Bessel.

Horner melakukan pendekatan terhadap persamaan 2.18 yang hasilnya dapat

dilihat pada Gambar-gambar 2.3 sampai 2.5.

Solusi Persamaan Aliran Radial Silindris pada Kondisi Pseudo Steady State

15

Apabila waktu telah melewati t > 948 Ctre2/k, fungsi exponensial dan fungsi-

fungsi Bessel di bawah tanda dipersamaan 2.18 menjadi,

43ln

22.141

2 eD

eD

Diwf r

r

t

kh

BqPP

atau

43ln

000527.02.141

2 eD

et

iwf rrC

kt

kh

BqPP

(2.19)

Dengan mendefinisikan persamaan 2.19, akan didapat

2

0744.0

et

wf

hrC

qB

t

P

(2.20)

Apabila diperkenalkan volume pori-pori yang terisi fluida (Vp, Cuft),

hrVp e

2

Maka persamaan 2.20 dapat ditulis sebagai,

VpC

qB

t

P

t

wf 234.0

(2.21)

Jadi dapat dikatakan bahwa selama periode ini, laju penurunan tekanan

berbanding terbalik dengan Vp. Inilah suatu alasan bahwa berdasarkan persamaan

tersebut dapat dilakukan ”reservoir limit testing”, yang bertujuan untuk menentukan

batas suatu reservoir dengan jalan mencari penurunan tekanan lubang sumur terhadap

waktu.

Salah satu bentuk lain yang berguna dari persamaan 2.19 adalah jika tekanan

awal, Pi, digantikan dengan tekanan rata-rata, P . Dengan menggunakan persamaan

kesetimbangan materi (material balance) :

16

hrC

qBt

hrC

tqB

VC

VPP

etett

i 22

0744.024/615.5

(2.22)

dan kemudian disubstitusikan persamaan 2.19,

4

3ln2.1410744.00744.0

2

1

2

1w

e

ee

wf rr

kh

Btq

hrC

Btq

hrC

BtqPP

dan disusun menjadi :

4

3ln2.141w

ewf r

r

kh

BqPP

Apabila efek skin dimasukkan kedalam persamaan 2.19 dan 2.23, maka akan

didapatkan persamaan-persamaan :

s

w

ewf P

rr

kh

BqPP

4

3ln2.141

dimana

S

kh

BqPs

2.141

, jadi

Sr

r

kh

BqPP

w

e

43ln2.141

dan

S

rr

rC

kt

kh

BqPP

w

e

et

wfi 43ln

000527.02.141

2

(2.25) Selanjutnya

kita dapat mendefinisikan harga permeabilitas rata-rata kj sehingga,

4

3ln2.141w

e

j

wf rr

hk

BqPP

Sr

r

hk

BqPP

w

e

j

wf 43ln2.141

17

dimana,

S

rr

rr

kk

w

e

w

e

j

43ln

ln (2.26)

Dapat dilihat bahwa apabila sumur tersebut mempunyai skin factor yang positif

maka kj akan lebih kecil dari permeabilitas reservoir yang sebenarnya. Pada

kenyataannya, kedua harga permeabilitas itu, kj dan k, akan sama hanya jika skin

factornya sama dengan nol.

Kadang-kadang, permeabilitas suatu formasi ditentukan dari Indeks Produksi (PI,

dengan simbol J, STB/psi) sebagai berikut :

4

3ln2.141

w

e

j

wf

r

rB

hk

PP

qJ

(2.27)

Comtoh 2.2.

Suatu sumur berproduksi dengan laju 100 STB/D minyak pada BHP = 1500 psi. Dari

pengukuran ternyata bahwa tekanan reservoir rata-rata adalah 2000 psi. Data log

menunjukkan bahwa ketebalan formasi = 10 ft. Radius pengurasan = 1000 ft dan jari-jari

lubang sumur = 0.25 ft. Dari sampel yang diambil, ternyata viskositas minyak = 0.5 cp

dan Faktor Volueme Formasi = 1.5 RB/STB.

1. Berapa PI sumur ini ?

2. Berapakah permeabilitas formasi dari data ini ?

3. Apabila diukur dari data core bahwa permeabilitas efektif terhadap minyak sebesar

50 md, apakah sumur ini “demage” atau “sitmulated”? Berapakah harga faktor skinnya?

Jawab :

18

1. Dari persamaan 2.27

DpsiSTBPP

qJ

wf

/2.0)1500200(

100

2. Disebabkan tidak tersedianya data yang cukup, maka permeabilitas dapat didekati

dengan persamaan 2.27 :

h

rr

BJ

k w

e

j

4

3ln2.141

10

)75.025.0

1000)(ln5.0)(15.1)(2.0)(2.141(

= 16 md

3. Pengukuran permeabilitas efektif minyak dari data core biasanya lebih dapat

dipercaya dari pada permeabilitas yang dihitung dari hubungan PI, terutama untuk

sumur-sumur yang derajat “damage”-nya sangat besar. Melihat permeabilitas core = 50

md, dapat disimpulkan bahwa sumur ini adalah sumur yang demaged. Kemudian faktor

skin ini dapat dihitung dari persamaan 2.26.

4

3ln1

w

e

j r

r

k

kS

4

3

25.0

1000ln1

16

50

16

19

2.3.3.1. Persamaan Aliran di berbagai Geometri Reservoir

Seperti telah dijelaskan, persamaan 2.25 hanya dapat digunakan untuk reservoir

silindris yang terbatas. Pertanyaan yang timbul adalah, bagaimanakah persamaan aliran

untuk geometri reservoir yang lain. Untuk menjawab pertanyaan ini, Odeh menurunkan

suatu persamaan yang dapat digunakan untuk reservoir-reservoir yang non silindris

pada kondisi pseudo steady state yaitu,

S

rC

A

kh

BqPP

wA

wf 4306.10

ln2

12.141

2

(2.28)

dimana,

A = Daerah pengurasan, ft2

CA = Dietz Shape Factor

CA ini dikenal sebagai Dietz Shape Factor dan ini diberikan pada Tabel 2.2. Faktor

ini sangat penting untuk dipahami karena akan banyak digunakan pada pembicaraan-

pembicaraan di bab-bab selanjutnya.

Selanjutnya, Productivity Index, J, dapat dihubungkan dengan shape factor ini

untuk berbagai geometri reservoir sebagai berikut :

SrC

AB

kh

PP

qJ

wA

wf

4306.10

ln2

1

00708.0

2

(2.29)

2.3.3.2. Periode Transient, Transient Lanjut dan Pseudo Steady State

Untuk menjelaskan lebih terperinci penggunaan shape factor ini, Gambar-Gambar

2.6 dan 2.7 sangat menolong untuk mempelajari berbagai ”flow regime” yang terjadi

pada suatu selang waktu produksi.

20

Gambar 2.6 dan 2.7 adalah plot antara Pwf versus waktu untuk suatu sumur yang

diproduksikan dengan laju produksi konstan. Hubungan ini diperlihatkan pada plot

semilog (Gambar 2.6) dan Cartesian (Gambar 2.7). Terlihat bahwa Pwf vs waktu

mengalami 3 periode yaitu periode transien, periode transien lanjut (late transient) dan

periode pseudo steady state.

Pada periode transien sumur produksi seolah-olah menguras reservoir yang tidak

terbatas (infinite acting). Periode ini diwakili oleh persamaan 2.17, oleh sebab itu Pwf

merupakan fungsi linier dari log t. Tetapi pada periode pseudo steady state, efek batas

reservoir sudah terasa, ini dapat diwakili oleh persamaan 2.19 atau 2.24 untuk reservoir

silindris, atau persamaan 2.28 untuk reservoir yang non silindris tergantung dari bentuk

dan luasnya. Disini Pwf merupakan fungsi linear dari waktu.

Selang waktu diantara akhir perioda transien dan awal periode pseudo-steady

state dikenal sebagai periode transien lanjut. Tidak ada persamaan yang dengan mudah

merepresentasikan perioda ini. Selang waktu pada perioda ini sangatlah kecil atau

kadang-kadang hampir tidak pernah terjadi. Pada reservoir yang berbentuk silindris atau

hexagonal, misalnya, perioda ini dapat dikatakan tidak terjadi (untuk tujuan-tujuan

praktis) seperti terlihat pada Tabel 2.2. Tetapi untuk geometri reservoir yang lain

misalnya (off-centered drainage radius), selang waktu periode ini cukup panjang yang

juga dapat dilihat pada Tabel 2.2. Perlu diketahui bahwa Muskat menganalisa perioda

transien lanjut ini dan metoda analisanya akan diterangkan pada bab mendatang.

Penentuan kapan waktu berakhirnya periode transien dan kapan dimulainya

periode pseudo-steady satate sangatlah subjektif. Misalnya, batas penggunaan

persamaan 2.13 dan 2.19 tidaklah tepat seperti yang tertera pada Tabel 2.1. Sebagai

contoh, Matthews dan Russell berpendapat bahwa saat penyimpangan dari persamaan

2.13 (akhir perioda transien) terjadi apabila

k

rCt et

2379

21

juga disertai anggapan bahwa peroda transien lanjut terjadi termasuk untuk reservoir

silindris maupun hexagonal. Kemudian perioda pseudo-steady state akan dimulai

apabila

k

rCt et

21336~

Perbedaan pendapat diantara mereka itu bukanlah hal yang terlalu prinsip karena

pendekatan-pendekatan tersebut hanya berasal dari aproksimasi dari solusi persamaan

2.1 yang mungkin berbeda, karena ternyata bahwa hasil-hasil perhitungan tidak akan

terpaut terlalu jauh.

2.3.3.3. Penggunaan Diezt Shape Factor.

Pada Tabel 2.2, ada beberapa konstanta yang penting diketahui adalah :

1. Lamanya waktu suatu reservoir bertindak seolah-olah tanpa batas sehingga solusi

dengan fungsi Ei dapat digunakan. Untuk ini, digunakan kolom ”Uses Infinite-System

Solution With Less Than 1% Error for tDA” waktu yang dimaksud adalah :

k

tCt DAtA

000264.0

2. Waktu yang diperlukan untuk solusi pseudo-steady state memprediksi penurunan

tekanan dengan kesalahan 1%. Untuk itu digunakan kolom ”Less Than 1% Error for

tDA” dimana,

k

tCt DAtA

000264.0

3. Saat dimana solusi pseudo steady state dapat digunakan secara pasti, gunakan kolom

“Exact for tDA.”

22

Contoh 2.3. Aliran di berbagai Geometri Reservoir.

1. Untuk reservoir-reservoir berikut ini ( dan ),

1 2 3

Tentukanlah saat (di dalam jam) untuk kondisi-kondisi berikut ini terjadi :

a. Reservoir yang seolah-olah tak terbatas

b. Aliran pseudo steady state eksak

c. Aliran pseudo steady state dengan ketelitian 1%

Data yang diketahui :

A = 17.42 x 106 Sqf ft (40 Acres)

= 0.2

= 1 cp

Ct = 1 x 10-5 psi-1

K = 100 md

2. Untuk setiap kasus di atas, perkirakan PI dan laju produksi stabil (q) dibawah wfPP

= 500 psia, jika

h = 10 ft

S = 3.0

rw = 0.3 ft

B = 1.2 RB/STB

23

3. Untuk geometri #3, tuliskan persamaan yang menghubungkan laju aliran yang

konstan dengan penurunan tekanan dilubang bor pada t = 30,200 dan 400 jam.

Jawab :

1. Mula-mula dihitung

320,1

)100)(000264.0(

)1042.17)(101)(1)(2.0(

000264.0

65

xx

k

tC DAtA

Kemudian tabel berikut dapat disiapkan (mengambil harga-harga dari Tabel 2.1)

Geometri Infinite Acting P – Steady State

(Pendekatan)

P – Steady State

(Eksak)

tDA t tDA t tDA t

1. 0.1 132 0.06 79.2 0.1 132

2. 0.09 119 0.05 66.0 0.1 132

3. 0.025 33 0.3 396 0.6 792

Untuk geometri #3, terlihat bahwa jarak antara perioda infinite acting dan perioda

pseudo-steady state terlihat dengan jelas (3 jam dan 792 jam).

2. Untuk menghitung PI dan q gunakan persamaan ini :

SrC

AB

khJ

wA4

306.10ln

2

1

00708.0

2

24

0.34

33.0

1042.1706.10ln

2

12.11

00708.0

2

6

AC

x

kh

Ca

J

ln2

194.12

9.5

dan

JPPJq wf 500

Kemudian Tabel ini dapat disiapkan

Geometri CA J Q

1. 31.62 0.526 263

2. 30.88 0.526 263

3. 4.513 0.484 242

3. a) Pada saat t = 30 jam, untuk Geometri #1, reservoir masih seolah-olah tak terbatas,

jadi persmaannya

S

kt

rC

kh

BqPP wt

wfi 2688,1

ln6.702

b) Pada saat t = 200 jam, reservoir tidak lagi infinite acting, tetapi juga pseudo steady-

state (pendekatan) belum dicapai, jadi sukar merepresentasikan persamaan pada saat

ini.

c) Pada saat t = 400 jam, persamaan pseudo-steady state dapat digunakan dengan teliti,

jadi persamaannya adalah :

25

S

rC

A

kh

BqPP

wA

wf4

306.10ln

2

12.141

2

2.4. SOLUSI UNTUK RESERVOIR SILINDRIS DENGAN TEKANAN TETAP PADA BATASNYA

(CONSTANT PRESSURE AT OUTER BOUNDARY)

Van Everdingen dan Hurst menurunkan persamaan aliran untuk reservoir

jenis ini. Secara grafis, Gambar 2.8 dapat digunakan untuk mendapatkan harga

penurunan tekanan di lubang bor sebagai fungsi waktu. Sistim ini akan mencapai steady

state murni pada saat

2

2

25.1w

eD

r

rt

2

2

225.1

000264.0

w

e

wt r

rx

rC

kt

, jadi

kt

rCt et

2739,4 , (2.30)

atau mencapai steady state murni pada saat

tDA > 0.40

,40.0000264.0

AC

kt

t jadi

kt

ACt t15,1 (2.31)

26

setelah kedua waktu yang ditunjukkan oleh persamaan 2.30 atau 2.31 tersebut,

persamaannya adalah :

w

s

SSDr

rP ln

Bila dijabarkan lebih lanjut maka didapatkan :

w

e

we

rr

B

PPkhq

ln

00708.0

(2.32)

Persamaan 2.32 tidak lain adalah persamaan Darcy yang terkenal.

2.5. SOLUSI PERSAMAAN ALIRAN RADIAL SILINDRIS DIBAWAH PENGARUH WELLBORE

STORAGE DAN SKIN

Disini akan dibahas solusi persamaan difusivitas radial termasuk suatu fenomena

yang menyebabkan laju aliran bervariasi setelah suatu produksi dimulai. Fenomena ini

dikenal luas sebagai “Wellbore Storage” yang diperlihatkan pada Gambar 2.9.

Pandanglah suatu sumur (shut-in) minyak di suatu reservoir. Selama sumur ini

ditutup, tekanan reservoir akan menopang kolom fluida dilubanng bor sebatas mana

ditentukan oleh kesetimbangan antara tekanan formasi dan berart kolom fluida

tersebut. Kemudian jika sumur tersebut diproduksikan dengan membuka kerangan di

permukaan, mula-mula tentu saja minyak yang diproduksikannya hanya berasal dari apa

yang ada pada lubang bor ini. Jadi laju produksi mula-mula dari formasinya sendiri sama

dengan nol.

Dengan bertambahnya waktu aliran, pada suatu tekanan permukaan yang tetap,

laju aliran di dasar sumur akan berangsur-angsur sama dengan laju aliran di permukaan,

27

dan banyaknya fluida yang tersimpan di dalam lubang bor akan mencapai harga yang

tetap.

Dengan memahami hal tersebut diatas, sekarang kita dapat membuat hubungan

matematis antara laju aliran di muka formasinya (sand face flow rate) dan laju aliran

dipermukaan (surface flow rate). Misalnya ada suatu sumur dengan suatu kolom fluida

didalamnya (Gambar 2.9) dan anggaplah ada suatu mekanisme baik itu gas-lift atau

pompa yang mengangkat fluida tersebut ke permukaan. Juga anggaplah laju aliran

dipermukaan adalah q, sedangkan dimuka formasinya adalah qfs.

Berdasarkan persamaan kesetimbangan materi dilubang bor diantara qfs, B(RB/D),

qB (RB/D) dan laju akumulasi fluida pada lubang bor adalah,

dt

dzVV

dt

d wbwb

615.5

24

615.5

24

Kemudian dengan anggapan bahwa luas lubang bor yang tetap disetiap

kedalaman, Awb1, dan Faktor Volume Formasi juga konstan, maka dapat dituliskan suatu

kesetimbangan berikut ini :

Bqqdt

dzA sfwb

615.5

24 (2.33)

Apabila tekanan dipermukaan sama dengan Pt, maka

gc

gzPP tw

144

(2.34)

dimana adalah densitas fluida didalam lubang bor (lbm cu ft) dan g/gc = lbf/lbm.

Seterusnya,

dt

dz

gc

gzPP

dt

dtw

144

(2.35)

jadi,

28

BqqPPdt

dA

gc

gsftwwb

615.5

14424 (2.36)

Apabila didefinisikan konstanta Wellbore Storage, Cs :

gc

gAC wb

s615.5

144

, maka

tWsf PP

dt

d

Bqq

24

Apabila tekanan lubang bor dipermukaan berubah-rubah, maka menggunakan

variabel-variabel yang tidak berdimensi, PD dan tD, maka

D

D

wtD

D

dt

dP

rC

kx

kh

qiB

dt

dP2

000264.0

00708.0

D

D

wt

i

dt

dP

hrC

Bq

2

89.0

(2.38)

Jadi :

D

D

wt

sisf

dt

dP

hrC

Cqqq

2

894.0

(2.39)

Dari persamaan 2.39, 2

894.0

wt

s

hrC

C

tak lain dan tak bukan adalah dimensionless Wellbore

Storage CD seperti pada persamaan 2.10.

Jadi persamaan 2.39 akan menjadi,

D

DD

i

isft

dPC

q

qqq (2.40)

dan untuk laju aliran yang konstan (q(t)=qi), persamaan 2.20 menjadi :

29

D

DDsf

t

dPCq 1 (2.41)

Persamaan 2.41 merupakan ”inner boundary condition” bagi persamaan

difusivitas radial dibawah pengaruh Wellbore Storage. Terlihat jelas apabila CD ini kecil

atau dPD/dtD kecil, maka qsf q, artinya efek dari Wellbore Storage dapat diabaikan.

Solusi analitis lengkap persamaan difusivitas radial dibawah pengaruh Wellbore

Storage dan Skin dikumukakan oleh Agarwal et al pada tahun 1970. Disini tidak akan

diperinci mengenai penurunannya, bagi pembaca yang berminat dapat melihatnya pada

SPEJ (September 1970, hal. 291-291) ; Trans Aime Vol. 249; atau Reprint Series #14, hal.

84-95. Solusi analitis ini diilustrasikan pada Gambar 2.10. Dari grafik ini harga PD atau Pw

dapat ditentukan dengan mengetahui harga tD, CD dan S.

Dari solusi ini ada dua hal yang penting untu diketahui dan penerapannya juga

akan sering dijumpai pada analisa pengujian sumur dibab-bab mendatang nanti.

Pertama adalah adanya ”unit slope” pada saat-saat awal dan kedua adalah kapan saat

berakhirnya efek dari Wellbore Storage.

2.5.1. Unit Slope Disaat Data Awal

Seperti terlihat pada Gambar 2.10, setiap harga CD dan S pada saat awal

membentuk garis dengan sudut 450 (unit slope, tangen sudutnya = 1). Garis ini akan

terjadi sepanjang produksi fluida berasal dari apa yang ada pada lubang bornya dan

tidak ada yang datang dari formasinya.

Persamaan 2.41 menerangkan gejala ini secara matematis seperti dibawah ini.

Untuk qsf/q=0, maka persamaan 2.41 akan berubah menjadi

30

01 D

DD

t

dPC

atau,

dtD = CD dPD

Apabila persamaan 2.42 diintegrasikan dari tD = 0 (PD = 0) hingga TD(PD), maka

CD dPD = tD (2.43)

Didalam bentuk logaritmik, persamaan 2.43 menjadi

Log CD + log PD = log tD (2.44)

Jelas disini bahwa selama qsf = 0, maka log-log plot antara PD vs tD akan menjadi

tangen sudut sama dengan satu. Atau dapat pula dikatakan bahwa setiap titik (PD, tD)

pada garis dengan tangen = 1 ini akan memenuhi persamaan

1D

DD

t

PC

Pengamatan akan hal-hal tersebut diatas merupakan suatu sumbangan yang besar

sekali untuk lebih dapat menganalisa transien tekanan secara memadai.

2.5.2 Saat Berakhirnya Efek dari Wellbore Storage

Ketika produksi fluida telah berasal dari formasinya, qsf q, maka efek dari

Wellbore Storage akan berakhir. Sejak saat itu tentu saja bahwa solusi persamaannya

akan sama dengan solusi persamaan aliran radial silindris tanpa Wellbore Storage (CD =

0). Terlihat dari Gambar 2-10 bahwa solusi untuk suatu harga CD dan untuk CD = 0 akan

31

sama setelah selang waktu tertentu. Secara empiris, waktu ini, yaitu saat berakhirnya

Wellbore Storage akan berakhir kurang lebih 1 sampai 12 log cycle diukur sari saat

penyimpangan dari ”Unit Slope”. Atau dapat pula diperkirakan, bahwa efek Wellbore

Storage akan berakhir pada :

TD = (60 + 3.5 s) CD (2.45)

2.6. KONSEP JARI-JARI PENGAMATAN (RADIUS OF INVESTIGATION)

Konsep ini, secara kwalitatif maupun kwantitatif, mempunyai arti yang sangat

penting baik didalam analisa maupun perencanaan suatu pengujian sumur. Jari-jari

pengamatan menggambarkan sejauh mana (jarak dari lubang bor yang diuji) pencapaian

transien tekanan kedalam formasi apabila diadakan gangguan keseimbangan tekanan

akibat suatu produksi atau penutupan sumur. Akan diperlihatkan disini bahwa jarak

yang ditempuh oleh transien tekanan tadi berhubungan dengan sifat-sifat fisik batuan

dan fluida formasinya dan juga tergantung kepada lamanya waktu pengujian.

Sebelum membicarakan hal ini secara kwalitatif, tinjaulah suatu contoh mengenai

distribusi tekanan disuatu reservoir yang ditunjukkan oleh

Gambar 2.11. Reservoir yang mempunyai batas (re = 3000 ft) ini diamati distribusi

tekanannya setelah 0.1, 1, 10 dan 100 jam produksi. Distribusi tekanan ini dihitung

dengan persmaan difusivitas (Ei) dengan data-data yang ditunjukkan pada Gambar 2.11.

Ada 2 hal yang penting dapat dilihat dari kenyataan Gambar 2.11 tersebut yaitu :

Tekanan pada lubang sumur (r = rw) terus menurun dengan bertambahnya waktu

produksi; demikian pula, tekanan pada titik-titik sejarak dari lubang sumur.

Transien tekanan yang diakibatkan oleh produksi minyak sebesar 177 STB/D terus

bergerak semakin dalam dengan bertambahnya waktu produksi. Untuk setiap waktu

32

produksi yang terlihat pada Gambar 2.11, selalu ada titik diatas mana penurunan

tekanan dari tekanan awal hampir dapat diabaikan, sehingga setelah titik tersebut P = Pi.

Jadi ada suatu waktu t, disaat gangguan tekanan akan mencapai jarak ri (radius in

investigation). Hubungan antara t dan ri ini diberikan oleh persamaan

2

1

948

t

iC

ktr

(2.46)

ri yang diberikan oleh persamaan 2.46 ini menggambarkan suatu jarak dimana

gangguan tekanan (turun atau naik) cukup berarti akibat produksi atau injeksi fluida

dengan laju yang tetap.

Sebagai contoh, penggunaan persamaan 2.46 terhadap Gambar 2.11 memberikan

hasil sebagai berikut :

1 (jam) ri (ft)

0.1 32

1.0 100

10.0 316

100.0 1000

33

Angka-angka ri diatas menunjukkan, jarak dimana (untuk setiap waktu produksi)

perubahan tekanan karena produksi dapat diabaikan (P P1)

Konsep jari-jari pengamatan ini merupakan pemandu kita untuk merencanakan

suatu pengujian. Katakanlah kita hendak menguji suatu reservoir sejauh, paling tidak,

500 ft. dari sumur yang diuji. Berapa lama pengujian ini harus berlangsung? Apakah 10

jam sudah cukup, atau harus 24 jam ? Kita tidak dapat hanya menduga-duga atau

menguji dengan waktu sebarang, yang mungkin terlalu pendek atau bahkan terlalu

panjang. Ingat, biaya pengujian ini sangat mahal, apalagi untuk sumur-sumur lepas

pantai. Dengan konsep tadi dapat diperkirakan waktu pengujian tersebut.

Persmaan 2-46 juga dapat digunakan untuk memperkirakan waktu untuk

mencapai ”stabilized flow”, yaitu waktu yang diperlukan oleh transien tekanan untuk

mencapai batas reservoir yang sedang diuji. Sebagai contoh, jika sumur yang diuji

terletak di pusat reservoir yang berbentuk silinder yang terbatas re, dengan menuliskan

ri = re, maka waktu yang diperlukan untuk stabilized flow tersebut adalah:

krCt ets /948 2 (2.47)

ts tersebut juga adalah saat dimulainya perioda pseudo steady-state dimana

persamaan 2.19 berlaku sebagai solusi yang eksak dari persamaan difusivitas. Patut

dicatat bahwa untuk bentuk-bentuk reservoir lainnya, selain silinder, waktu untuk

mencapai stabilized flow ini akan berlainan pula.

Untuk menggunakan konsep jari-jari pengamatan ini, kita harus menyadari

sepenuhnya bahwa konsep ini akan memberikan hasil yang sangat teliti jika dan hanya

jika formasi yang diselidiki mempunyai sifat-sifat homogen, isotropik dan berbentuk

silinder. Adanya keheterogenan suatu reservoir akan mengurangi ketelitian persamaan

2.46 dan 2.47.

34

Contoh 2.4. Penggunaan Konsep Jari-jari Pengamatan

Kita berniat merencanakan suatu ”flow test” pada suatu sumur explorasi untuk

menguji kepastian bahwa sumur tersebut akan menguras formasi dengan jari-jari sejauh

lebih dari 1000 ft.

Suatu studi pendahuluan memberikan data-data sebagai berikut:

K = 100 md, 0 = 0.2, Ct = 2 x 10-5 , psi-1, yU = 0.5.

Berapa lamakah pengujian ini harus berlangsung?

Jawab :

Jarak minimum yang harus ditempuh oleh transien tekanan adalah 2000 ft (2xri

untuk lebih aman). Waktu yang dibutuhkan adalah :

krCt its /948 2

100

20001025.02.094825

x

= 75.8 jam

Ada suatu hal yang sangat unik di sini bahwa ts ini tidak tergantung dari laju aliran.

Berapapun laju aliran yang diberikan akan meraih jarak yang sama pada suatu ts yang

sama. Didalam prakteknya, laju aliran yang harus dipilih sedemikian rupa sehingga

perubahan tekanan terjadi dapat direkam dengan ketelitian yang cukup untuk suatu

analisa. Tentu saja ini akan sangat bergantung kepada pencatat tekanan yang dipakai

selama pengujian ini berlangsung.

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49