vektor 2

Vektor

Aljabar Linear dan Matriks 1

Vektor

2

VektorKuantitas fisis yang memiliki besar dan arah

Luas

Panjang

Massa

Suhu

Skalar

Gaya

Kecepatan

Percepatan

Perubahan Letak

Vektor

Vektor


3

Jenis Vektor

Vektor Aljabar

Vektor Fisik

Vektor Geometri

a

b

v = (a, b)

v

v

(a, b)

4

Penyajian vektor geometriSegmen garis terarah (anak panah) di ruang-2 atau ruang-3

A

B

y

z

xB

AVektor AB

c = AB

AB

Vektor ekivalen → punya panjang dan arah yang samaMisal: v = w

Vektor


5

A(2, 3)

B(7,4)

Q(7, 3)

P(5, 1)

Penyajian vektor aljabar

komponen dari v.

y

xv

v = (5, 1)

5 dan 1 adalah komponen dari v

v = (v1, v2) v1v2

=

v1

v2

6

Menentukan komponen vektor

Vektor dengan titik pangkal (a, b) titik akhir (c, d), maka vektor tersebut secaraaljabar adalah (c-a, d-b), komponen-komponen vektor: c-a dan d-b

y

x

A(a, b)

B(c, d)

P(c-a, d-b)

v v = (c-a, d-b)

z

x

yd-a

e-b

f-c

Komponen vektor: d-a, e-b, f-c

A(a, b, c)

B(d, e, f)

Vektor


7

Dua vektor sama jika dan hanya jika panjangdan arahnya sama, tidak tergantungposisinya pada sistem koordinat.

Kesamaan dua vektor geometri

8

Kesamaan dua vektor aljabarDua vektor aljabar sama jika dan hanya jika komponen-komponen yang bersesuaian sama.

a1

a2

b1

b2

a1

a2

a3

b1

b2

b3

=

=

Jika dan hanya jika a1 = b1dan a2 = b2

Jika dan hanya jika a1 = b1, a2 = b2 dan a3 = b3

Vektor


9

Menjumlahkan dua vektor geometri:

a

y y

b

a+b

Jumlahan Vektor

10

Menjumlahkan dua vektor aljabarMisalnya a = (a1, a2), b = (b1, b2), maka a+ b = (a1 + b1, a2 +b2)

y

b

B(b1, b2)

b = (b1, b2)

x

y

aA(a1, a2)

a = (a1, a2)x

y

a+b

a+b = (a1+b1, a2+b2)

x

C(a1+b1, a2+b2)

Jumlahan Vektor

Vektor


11

Contoh1.

u v

Manakah vektor yang merupakan u+v ?

Jawab: a

a b c d

u

v

a

12

2.a b

Manakah vektor yang merupakan a+b ?

d e fg

Jawab: e

Contoh

ab

e

Vektor


13

3. u = (5, 6) dan v = (3, 2)Vektor yang merupakan hasil dari u+v adalaha = (2, 4)b = (8, 8)c = (15, 12)d = (8, 4)

4. u = (5, 6) dan v = (3, 2)Vektor yang merupakan hasil dari u – v adalaha = (2, 4)b = (8, 8)c = (15, 12)d = (8, 4)

Jawab: b

Jawab: a

Contoh

14

5.a

b

tentukan vektor c sedemikian hingga b = a + c

Contoh

h i jk

a

b

Jawab: h

h?

Vektor


15

y

x

z

Vektor nolVektor nol adalah vektor dengan panjang nol, digambarkan sebagai titik, vektor nol 0. Secara aljabar vektor nol adalahvektor yang semua komponennya nol:

0 = (0, 0) pada bidang0 =(0, 0, 0) pada ruang

0 vektor nol

y

x

0 vektor nol

16

Vektor satuan adalah vektor dengan panjang 1

b

y

xj=(0, 1)

i=(1, 0)

ac

Vektor satuan

Vektor


17

Perkalian vektor dengan skalar

b searah dengan a, panjang b lima kali panjang a, ditulis b = 5a

a

b

a -a 2a -1/2a 1/3a

Jika k > 0 maka ka searah dengan a, dengan panjang k kali panjang a

Jika k<0, ka berlawanan arah dengan a, dengan panjang k kali panjang a.

Jika k = -1, maka ka = -a (negative dari a). Sifat –a + a = 0 (vektor nol) dapat dilihat pada sifat-sifataritmetika vektorDua vektor sejajar, maka yang satu merupakan perkalianskalar yang lain.

18

PenguranganTentukan a – b dan b-a

a

b -b

a

-ba-b

-a

b

-a

b-a

u

v

a

-ba-bb

ab

-a

b-ab

u

vu-v

u

vv-u

Vektor


19

Hubungan tiga vektor pada bidang

c = ka + lb

cba

ka lb

clbka

cba

Diberikan a, b, c

cba

20

Basis standar bidang R2

Basis standard bidang R2 adalah: {i = (1, 0), j = (0, 1)}

Setiap vektor v = (v1, v2) dapat dinyatakan secaratunggal sebagai kombinasi linier v = v1i + v2j

y

xj=(0, 1)

i=(1, 0)

y

v=(v1, v2)v = (v1 v2)

v1i

v2j

v = v1i + v2j

Vektor


21

Basis standar R3

Basis standard bidang R3 adalah: {i = (1, 0, 0), j = (0, 1,0), k = (0, 0, 1)}

Setiap vektor (a, b, c) dapat dinyatakan secaratunggal sebagai kombinasi linier ai + bj +ck

y

z

x

P(a, b, c)

kij

y

z

x

P(ai, bj, ck)

22

Sifat-sifat Aritmetika Vektor1. Jumlahan vektor bersifat tertutup, yaitu: jumlahan

dua vektor selalu menghasilkan tepat satu vektor2. Jumlahan dua vektor bersifar komutatif.

y

xa+b = b+a

a = (a1, a2), b = (b1, b2)

a+b = (a1+b1, a2+b2)

b+a = (b1+a1, b2+a2)

a1+b1 = b1+a1 dan a2+b2 = b2+a2

( sifat komutatif penjumlahan skalar)

y

a

b

x

Vektor


23

Sifat Assosiatif Penjumlahan

3. Penjumlahan vektor bersifat assosiatif

a = (a1, a2), b = (b1, b2), c = (c1, c2) a+(b+c) = (a1+(b1+c1), a2+(b2+c2))

(a+b)+c = ((a1+b1)+c1, (a2+b2)+c2)

(sifat assosiatif penjumlahan skalar)

y

xa+

(b+c) = (a

+b)+c

y

a

bcx

24

Vektor nol: elemen identitas4. vektor nol merupakan elemen identitas terhadap

jumlahan.

y

b

x0

y

x

b+0

b = (b1, b2), 0 = (0,0)

b+0 = (b1+0, b2+0)

b+0 = (b1, b2)

( sifat identitas penjumlahan skalar)

Vektor


25

Negatif vektor5. Penjumlahan vektor dengan negatifnya menghasilkan

vektor nol.

b = (b1, b2), -b = (-b1,-b2)

b+(-b) = (b1+(-b1), b2+(-b2))

b+(-b) = (0, 0) = 0

y

b

x

-b

y

x

0

26

xx

y

x

yy

Sifat-sifat Aritmetika Vektor6. perkalian vektor dengan dua skalar berturut-turut, dapat

dilakukan dengan mengalikan skalarnya terlebih dahulu

u 3u

6u

u = (v1,v2)

v = 3u = 3(v1,v2) = (3v1,3v2)

w = 2v = 2(3v1,3v2) = (6v1,6v2)

x = (3x2)u = 6(v1,v2) = (6v1,6v2) = w

Vektor


27

Sifat aritmetika7. hasil kali skalar dengan jumlahan dua vektor dapat dilakukan dengan

mengalikan masing-masing vektor dengan skalar, baru kemudiandijumlahkan.

y

xuvu+v

y

x

2(u+v)

u = (u1,u2), v = (v1,v2)

u+v = (u1+v1,u2+v2)

y

x2u

2v2u+2v

2(u+v) = (2(u1+v1),2(u2+v2)) 2u+2v = 2(u1,u2)+2(v1,v2)= 2(u1+v1,u2+v2)= (2(u1+v1),2(u2+v2))

28

x x

x

yy

y

Sifat Aritmetika8. Hasil kali vektor dengan jumlahan dua skalar, sama

dengan jumlahan dua vektor setelah dikalikan denganmasing-masing skalar.

u3u

2u

u

u = (u1, u2)

3u = (3u1, 3u2)

(2+1)u = 2u + u

= 2(u1, u2)+(u1, u2)

= (3u1, 3u2)

Vektor


29

y

x

y

xy

x

9. Perkalian vektor dengan skalar nol, menghasilkan vektor nol.10.Mengalikan vektor dengan skalar 1 tidak mengubah vektor tersebut

Sifat Aritmetika

u0(u)

u = (u1, u2)

0u = 0(u1, u2)

= (0, 0)

1u = 1(u1, u2)

= (u1, u2)

1u

30

y

z

x

y

x

Norm (panjang) vektor

v

norm/panjang vektor v adalah ||v|| =

v

norm/panjang vektor v adalah ||v|| =

2 21 2v v+

2 2 21 2 3v v v+ +

Vektor


31

y

z

x

Norm vektor sebagai jarak dua titik

P(a1, b1, c1)

Q(a2, b2, c2)

panjang vektor v adalah jarak antara titik P ke Q

v

32

x

yHasil kali titik (dot product)

aA

B

b

C

α

jika titik pangkalnya berimpitmaka sudut antar dua vektordapat ditentukan.

Definisi 1: Jika α adalah sudut antara a dan b, maka didefinisikan

a.b

Definisi 2: jika a, b vektor-vektor di R2, maka a. b = a1b1 + a2b2

Dapat ditunjukkan bahwa hasil kali titik dapat didefinisikan juga dengan rumus lain

⎧⎨⎩

a, b tidak nol, dengan π ≥α ≥0.||a|| ||b|| cos α.

0 jika a = 0 atau b = 0

Vektor


33

Hasil kali titik di R3 z

x

v

α

b

a

A

B

C

Definisi 1:hasil kali titik (dot product)Jika α adalah sudut antara a dan b, maka didefinisikan

0 jika a = 0 atau b = 0

a.b = ||a|| ||b|| cos α.

untuk a, b vektor tak nol dengan 0≥α ≥π.

Definisi 2: jika a, b vektor-vektor di R3, maka a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3

34

Soal latihan1. Benar atau Salah: hasil kali titik dua vektor hasilnya vektor lain2. Diketahui a dan panjangnya dua kali b, panjang b sama dengan k

satuan, a dan b membentuk sudut 45 derajat. Tentukan a.b.a. 2k2 c. √2k2 e. 2√2kb. 2√2k2 d. 6√2k

3.Maka a.b adalaha. 0 c. (5, 6) e. (6, 5)b. 30 d. 1

4. Hitunglah u.v, jika u = (10, 0) dan v = (25, 0)a. 0 c. (35, 0) e. (10, 25)b. 250 d. (250, 0)

5. Diketahui ||a|| = 5, ||b|| = 6, dan sudut antara keduanya 120. Hitunga.ba. 0 c. (5, 6) e. -15b. 15√3 d. 15

(5, 0)

(0, 6)

a

b

Vektor


35

Sudut dan hasil kali titik dua vektor

a.b = ||a|| ||b|| cos α dengan π ≥α ≥0.

Perhatikan kembali rumus pertama hasil kali titik

Panjang vektor selalu positif atau nol, sedangkancos α bisa positif, negatif atau nol tergantung padanilai α

x

y

cos α >0

cos α =0

cos α <0

u.v

< 0, jika sudutnya tumpul

= 0, jika u dan v ortogonal

> 0 jika sudutnya lancip

36

Contoh:

Jika dua vektor berimpit, maka hasil kali titiknya ………………..

Jika salah satu vektor adalah nol, maka hasil kali titiknya ………….

a.b= ?

Jawab:35 cosα

||a||=5

||b||=7

α||a||=8

||b||=8

α

||b||=7

||a||=5

α

a.b=?

Jawab: 64x0=0

a.b=?

Jawab: -35cos(π-α)

0

hasil kali panjangnya

Vektor


37

Norm dan hasil kali titik

xA

v

Bv = (v1, v2)

||v|| = (v.v)1/2 =

Misal, diberikan 2 vektor v, cosinus sudut antara v dengan v adalah 1. Maka v.v = ||v|| ||v|| atau ||v|| = ( v.v)1/2

Di R3: norm/panjang vektor v adalah ||v|| = (v.v)1/2 =

2 21 2v v+

2 2 21 2 3v v v+ +

38

Hasil kali titik dan perkalian matriksBerdasarkan definisi, jika a, b vektor-vektordi R2, maka a. b = a1b1 + a2b2. Jika a dan b, dipandang sebagai vektor-vektor baris makaa.b = abT

a = (a1,a2) dan b = (b1,b2)

a.b = a1b1 + a2b2 = = abT

Jika a, b vektor-vektor di R3

Maka a. b = a1b1 + a2b2 + a3b3 = = abT[ ]1

1 2 3 2

3

ba a a b

b

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ] 11 2

2

ba a

b⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

Vektor


39

Sifat-sifat hasil kali titik

Diberikan u = (5,3), dan v = (4,6)Tentukan u.v dan v.u.

Perkalian titik memenuhi sifat simetri, yaitu u.v = v.u

40

Latihan:

Diberikan u = (5, 3), v = (4, 6), dan skalar k = 4. Hitunglah (ku).v dan k(u.v)

Perkalian titik memenuhi sifat(ku).v = k(u.v)

Vektor


41

Latihan:

Diberikan u = (5,3), v = (4,6), dan w = (4,7). Tentukan u.(v+w) dan u.v + u.wApakah u.(v+w) = u.v + u.w?

Perkalian titik memenuhi sifat yaituu.(v+w) = u.v + u.w

42

Sifat-sifat hasil kali titik

Diberikan v = (4, 6, 1) dan u = (0, 0, 0)• Tentukan v.v dan u.u

Diberikan v = (a, b, c) vektor pada ruang• Tentukan v.v?• kapan v.v = 0?

Vektor


43

4 sifat penting hasil kali titik

Perkalian titik memenuhi sifat:• u.v = v.u• (ku).v = k(u.v)• u.(v+w) = u.v + u.w• v.v = ||v||||v||, dan 0 untuk v = 0

44

Hasil kali silangu = (u1,u2,u3), v = (v1,v2,v3)

u x v = (u2v3 – u3v2)i + (u3v1 – u1v3)j + (u1v2 – u2v1)k

= u2 u3

v2 v3

u1 u3

v1 v3

u1 u2

v1 u2, ,

Prosedur menentukan u x v

u1 u2 u3

v1 v2 v3

Komponen pertama (i):… u2 u3

… v2 v3

det u2 u3

v2 v3

Vektor


45

Hasil kali silang

Komponen ketiga (k):

Komponen kedua (j): u1 … u3

v1 … v3

u1 u2 …

v1 v2 …

Contoh: hitung v x w dengan v = (1,4,-4) dan w = (0,3,2)

v x w =

= (20, -2, 3) = 20i -2j +3k

4 -4

3 2

1 -4

0 2

1 4

0 3, ,

detu1 u3

v1 v3

det u1 u2

v1 v2

46

Hasil kali silangProsedur menentukan uxv

u1 u2 u3

v1 v2 v3

Komponen pertama (i):… u2 u3

… v2 v3


Komponen kedua (j):u1 … u3

v1 … v3

u1 u2 …

v1 v2 …

u2 u3

v2 v3

u1 u3

v1 v3

u1 u2

v1 v2

Vektor


47

Prosedur menentukan v x uProsedur menentukan vxu

v1 v2 v3

u1 u2 u3

Komponen pertama (i):… v2 v3

… u2 u3


Komponen kedua (j):v1 … v3

u1 … u3

v1 v2 …

u1 u2 …

48

ProsedurJika dua baris A ditukat tempat maka nilai

determinannya dikalikan -1, jadi… u2 u3

… v2 v3= - … v2 v3

… u2 u3

u1 … u3

v1 … v3

u1 u2 …

v1 v2 …

= -

= -

v1 … v3

u1 … u3

v1 v2 …

u1 u2 …

Terlihat bahwa u x v = - (v x u)

Vektor


49

Hasil kali silang vektor satuan standard

x

y

z

(0, 1, 0)

(0, 0, 1)

(1, 0, 0)

i

ijk

j

k

jxk = i

ixj = (0x0-1x0)i – (1x0 – 0x0)j +(1x1 – 0x0)k = k

jxi= -k

kxj = -i

kxk = ?

kxi = ?

ixk = ?

50

Bentuk determinan hasil kali silang

i j k

u1 u2 u3

v1 v2 v3

A =

u x v = det(A)

= i j k

u1 u2 u3

v1 v2 v3

i j

u1 u2

v1 v2

+ + +

- --

u x v = (u2v3 – u3v2)i + (u3v1 – u1v3)j + (u1v2 – u2v1)k

Vektor


51

Sifat-sifat hasil kali silanguxv = -v x uJika u // v maka uxv = -v x u= 0, akibatnya u x u = 0(ku) x v = u x (kv) = k(u x v)u x (v+w) = u x v + u x wu.(v x w) = (u x v).w (hasil kali triple skalar)

x

y(0, 1, 0)

(0, 0, 1)

(1, 0, 0)i

j

i x j

x

y(0, 1, 0)

(0, 0, -1)

(1, 0, 0)i

j

j x i

52

Contoh 1

Diketahui vektor:

p = 2i + 4j + 3kq = i + 5j – 2k

Tentukan pxq

Vektor


53

Contoh 2Diketahui vektor a = ( 1, −3 ) dan b = ( 3k, −1 )Tentukan nilai k jika a dan b saling tegak lurus

JawabAgar a dan b saling tegak lurus, maka

a . b = 0a . b = 3k + 3 = 0 k = −1

54

Contoh 3Diketahui u = ( 2, –1,1 ) dan v = ( 1,1,2 )Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh u dan v !

Jawab

u . v = 2 –1 + 2 = 3||u|| = √22 + (−1)2 +12 = √6||v|| = √12 +12 + 22 = √6u . v = ||u|| . ||u|| . cos θcos θ = u.v / (||u|| . ||u|| )= 3/6 = 1/2 θ = 60o

Jadi sudut yang dibentuk antara u dan v adalah 60o

vektor 2

Documents