Nilai Eigen dan Vektor EigenMatematika Lanjut 1

Dr. Ahmad Sabri

Universitas Gunadarma

Definisi. Jika A adalah matriks 𝑛 × 𝑛, maka vektor tak nol dalam 𝑅𝑛

disebut vektor eigen dari A jika berlaku 𝐴𝐱 = 𝜆𝐱 untuk suatu skalar 𝜆.

Dalam hal ini 𝜆 disebut nilai eigen dari A, dan 𝐱 disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan 𝜆.

Contoh:

𝐴 =3 08 −1

, 𝐱 =12

𝐴𝐱 =3 08 −1

12

=36

= 312

= 3𝐱

nilai eigen

vektor eigen yang bersesuaian untuk 𝜆 = 3

Interpretasi geometris

Menentukan nilai eigen

Diberikan matriks 𝐴 berukuran 𝑛 × 𝑛. Jika berlaku 𝐴𝐱 = 𝜆𝐱, maka𝐴𝐱 = 𝜆𝐼𝐱 sehingga 𝜆𝐼 − 𝐴 𝐱 = 𝟎.

Agar 𝜆 menjadi nilai eigen, maka persamaan di atas harus memilikisolusi non-trivial, yaitu jika det 𝜆𝐼 − 𝐴 = 0.

Persamaan det 𝜆𝐼 − 𝐴 = 0 disebut juga sebagai persamaankarakteristik.

Tentukan nilai eigen dari matriks 𝐴 =3 2−1 0

Jawab:

𝜆𝐼 − 𝐴 =𝜆 00 𝜆

−3 2−1 0

=𝜆 − 3 −21 𝜆

det 𝜆𝐼 − 𝐴 = 0𝜆 − 3 −21 𝜆

= 0

𝜆 − 3 𝜆 − −2 1 = 0𝜆2 − 3𝜆 + 2 = 0𝜆 − 1 𝜆 − 2 = 0𝜆1 = 1, 𝜆2 = 2

Tentukan nilai eigen dari matriks 𝐴 =4 0 1−2 1 0−2 0 1

Jawab:

det 𝜆𝐼 − 𝐴 = 0𝜆 − 4 0 −12 𝜆 − 1 02 0 𝜆 − 1

= 0

𝜆 − 4 𝜆 − 1 2 + 0 + 0 − −1 𝜆 − 1 2 − 0 − 0 = 0

𝜆3 − 6𝜆2 + 11𝜆 − 6 = 0

𝜆 − 1 𝜆 − 2 𝜆 − 3 = 0

𝜆1 = 1, 𝜆2 = 2, 𝜆3 = 3

Tentukan nilai eigen dari 𝐴 =3 −2 0−2 3 00 0 5

Jawab:

det 𝜆𝐼 − 𝐴 = 0𝜆 − 3 2 02 𝜆 − 3 00 0 𝜆 − 5

= 0

𝜆 − 3 2 𝜆 − 5 + 0 + 0 − 0 − 0 − 2 2 𝜆 − 5 = 0

𝜆3 − 11𝜆2 + 35𝜆 − 25 = 0

𝜆 − 1 𝜆 − 5 2 = 0

𝜆1 = 1, 𝜆2 = 5

Teorema. Jika 𝐴 adalah matriks 𝑛 × 𝑛, maka pernyataan-pernyataanberikut ekivalen satu sama lain:

a) 𝜆 adalah nilai eigen dari 𝐴

b) Sistem persamaan 𝜆𝐼 − 𝐴 𝐱 = 𝟎 mempunyai solusi non-trivial

c) Terdapat vektor taknol 𝐱 dalam 𝑅𝑛 sehingga 𝐴𝐱 = 𝜆𝐱

d) 𝜆 adalah solusi riil dari persamaan karakteristik det 𝜆𝐼 − 𝐴 = 0

Menentukan vektor eigen

• Vektor eigen yang bersesuaian dengan 𝜆 adalah vektor taknol dalamruang solusi dari 𝜆𝐼 − 𝐴 𝐱 = 𝟎

• Ruang solusi ini dinamakan ruang eigen dari 𝐴 yang bersesuaiandengan 𝜆.

Tentukan basis-basis untuk ruang eigen dari 𝐴 =3 −2 0−2 3 00 0 5

Jawab:

Dari contoh sebelumnya, nilai-nilai eigen untuk 𝐴 adalah 𝜆 = 1 dan 𝜆 =5. Setiap nilai eigen membentuk ruang eigen tersendiri.

Ruang eigen untuk 𝜆 = 1:

𝜆𝐼 − 𝐴 =𝜆 − 3 2 02 𝜆 − 3 00 0 𝜆 − 5

=−2 2 02 −2 00 0 −4

…(lanjut)

Vektor eigen yang bersesuaian dengan 𝜆 = 1 diperoleh dari solusi 𝜆𝐼 − 𝐴 𝐱 = 𝟎sebagai berikut:

𝜆𝐼 − 𝐴 𝐱 = 𝟎

−2 2 02 −2 00 0 −4

𝑥1𝑥2𝑥3

=000

dengan operasi baris elementer (sudah dibahas) diperoleh:

𝑥1 = 𝑡, 𝑥2 = 𝑡, 𝑥3 = 0

atau secara vektor: 𝐱 =𝑡𝑡0

= 𝑡110

Maka, basis ruang eigen untuk 𝜆 = 1 adalah110

Berikutnya, ruang eigen untuk 𝜆 = 5:

𝜆𝐼 − 𝐴 =𝜆 − 3 2 02 𝜆 − 3 00 0 𝜆 − 5

=2 2 02 2 00 0 0

𝜆𝐼 − 𝐴 𝐱 = 𝟎

2 2 02 2 00 0 0

𝑥1𝑥2𝑥3

=000

diperoleh 𝑥1 = −𝑠, 𝑥2 = 𝑠, 𝑥3 = 𝑡

diperoleh vektor 𝐱 =−𝑠𝑠𝑡

= 𝑠−110

+ 𝑡001

Maka, basis ruang eigen untuk 𝜆 =5 adalah −110

dan 001

Resume:

Untuk 𝜆 = 1, basis ruang eigen adalah110

Untuk 𝜆 = 5, basis ruang eigen adalah−110

dan 001

Vektor-vektor eigennya adalah kombinasi linier dari basis-basis masing-masing ruang eigen.

Diagonalisasi

Permasalahan diagonalisasi

Diberikan sebuah matriks persegi 𝐴, apakah terdapat matriks 𝑃 yang invertibel sehingga 𝑃−1𝐴𝑃 diagonal?

Definisi. Matriks persegi 𝐴 dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapatmatriks 𝑃 yang invertibel sehingga 𝑃−1𝐴𝑃 diagonal. Dalam hal inimatriks 𝑃 dikatakan mendiagonalisasi 𝐴.

Teorema. Jika 𝐴 adalah matriks 𝑛 × 𝑛, maka pernyataan-pernyataanberikut ekivalen satu sama lain:

a) 𝐴 dapat didiagonalisasi

b) 𝐴 mempunyai 𝑛 vektor eigen bebas linier.

Prosedur diagonalisasi

1. Temukan 𝑛 vektor eigen bebas linier 𝐩1, 𝐩2, … , 𝐩𝑛2. Bentuklah matriks 𝑃 di mana 𝐩1, 𝐩2, … , 𝐩𝑛 sebagai kolom-kolomnya

3. Matriks 𝑃−1𝐴𝑃 adalah matriks diagonal dengan entri-entridiagonalnya 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑛, di mana 𝜆𝑖 adalah nilai eigen yang bersesuaian dengan 𝐩𝑖.

Contoh:

Temukanlah matriks 𝑃 yang mendiagonalkan 𝐴 =3 −2 0−2 3 00 0 5

.

Jawab:

• Dari penyelesaian sebelumnya, nilai eigen untuk 𝐴 adalah 𝜆 = 1, dengan vektor

eigen 𝐩1 =110

, dan 𝜆 = 5 dengan vektor eigen 𝐩2 =−110

dan 𝐩3 =001

.

• 𝐴 matriks berukuran 3 × 3, yang memiliki 3 vektor eigen bebas linier, sehinggaberdasarkan teorema sebelumnya, 𝐴 dapat didiagonalisasi.

• Matriks 𝑃 yang dimaksud adalah: 𝑃 = 𝐩1 𝐩2 𝐩3 =1 −1 01 1 00 0 1

Hasil tersebut dapat dikonfirmasi dari hasil 𝑃−1𝐴𝑃, di mana:

𝑃 =1 −1 01 1 00 0 1

, 𝑃−1 =0,5 0,5 0−0,5 0,5 00 0 0,5

, 𝐴 =3 −2 0−2 3 00 0 5

Diperoleh:

𝑃−1𝐴𝑃 =0,5 0,5 0−0,5 0,5 00 0 0,5

3 −2 0−2 3 00 0 5

1 −1 01 1 00 0 1

=1 0 00 5 00 0 5

yang merupakan matriks diagonal

Matriks Ortogonal

Definisi. Matriks persegi 𝐴 dikatakan matriks ortogonal jika 𝐴−1 = 𝐴𝑇

Contoh:

1. 𝐴 =

1

2

1

21

2−

1

2

, 𝐴−1 =

1

2

1

21

2−

1

2

= 𝐴𝑇

2. 𝐵 =

2/3 −2/3 1/31/3 2/3 2/32/3 1/3 −2/3

, 𝐵−1 =

2/3 1/3 2/3−2/3 2/3 1/31/3 2/3 −2/3

= 𝐵𝑇

Diagonalisasi ortogonal

Definisi. Matriks persegi 𝐴 dikatakan terdiagonalisasi secara ortogonaljika terdapat matriks ortogonal 𝑃 sehingga 𝑃−1𝐴𝑃 (= 𝑃𝑇𝐴𝑃) diagonal; dalam hal ini 𝑃 dikatakan mendiagonalisasi 𝐴 secara ortogonal.

Teorema. Jika 𝐴 adalah matriks 𝑛 × 𝑛, maka pernyataan berikutekivalen satu sama lain:

a) 𝐴 dapat didiagonalisasi secara ortogonal

b) 𝐴 mempunyai himpunan ortonormal dari 𝑛 vektor eigen

c) 𝐴 adalah simetris

Ket: vektor-vektor yang ortonormal adalah vektor-vektor yang salingortogonal dengan norm = 1.

Teorema. Jika 𝐴 adalah matriks simetris, maka vektor-vektor eigen dariruang eigen yang berbeda adalah saling ortogonal.

Proses Gram-Schmidt

Digunakan untuk membentuk vektor-vektor basis yang ortonormal.

Misalkan 𝐮1, 𝐮2, … , 𝐮𝑛 adalah basis yang tidak ortonormal dari ruangvektor berdimensi 𝑛. Basis ortonormal 𝐯𝟏, 𝐯2, … , 𝐯𝑛 dapat dibentukdengan langkah berikut:

Langkah 1: 𝐯1 = 𝐮1/ 𝐮1

Langkah 2: 𝐯2 =𝐮2− 𝐮𝟐 ⋅𝐯𝟏 𝐯1

𝐮2− 𝐮𝟐 ⋅𝐯𝟏 𝐯𝟏

Langkah 3: 𝐯3 =𝐮3− 𝐮𝟑⋅𝐯𝟏 𝐯𝟏− 𝐮3⋅𝐯𝟐 𝐯𝟐

𝐮3− 𝐮𝟑⋅𝐯𝟏 𝐯𝟏− 𝐮𝟑⋅𝐯𝟐 𝐯𝟐

Langkah 𝑛: 𝐯𝑛 =𝐮𝑛− 𝐮𝐧⋅𝐯𝟏 𝐯𝟏− 𝐮𝑛⋅𝐯𝟐 𝐯𝟐−⋯− 𝐮𝒏⋅𝐯𝒏−𝟏 𝐯𝒏−𝟏

𝐮𝑛− 𝐮𝒏⋅𝐯𝟏 𝐯𝟏− 𝐮𝒏⋅𝐯𝟐 𝐯𝟐…− 𝐮𝒏⋅𝐯𝒏−𝟏 𝐯𝒏−𝟏

Contoh: Temukanlah matriks ortogonal 𝑃 yang mendiagonalisasi 𝐴 =4 2 22 4 22 2 4

, dan tentukan hasil 𝑃−1𝐴𝑃

Jawab: Dari persamaan simetriknya diperoleh nilai-nilai eigen: (buktikan)

• 𝜆 = 2 dengan vektor eigen 𝐮1 =−110

, 𝐮2 =−101

• 𝜆 = 8 dengan vektor eigen 𝐮3 =111

Dengan Gram-Schmidt, diperoleh basis-basis ortogonal 𝐯1 =−1/ 2

1/ 20

, 𝐯2 =

−1/ 6

1/ 6

2/ 6

, 𝐯3 =

1/ 3

1/ 3

1/ 3

Diperoleh matriks 𝑃 =

−1/ 2 −1/ 6 1/ 3

1/ 2 1/ 6 1/ 3

0 2/ 6 1/ 3

𝑃−1𝐴𝑃 = 𝑃𝑇𝐴𝑃 =2 0 00 2 00 0 8