nilai eigen dan vektor eigen - dosen.itats.ac.id · pernyataan berikut ini ekivalen. 1. λadalah...
TRANSCRIPT
07/11/2015
1
NILAI EIGEN dan VEKTOR EIGEN
Yang dipelajari….
1. Masalah Nilai Eigen dan Penyelesaiannya
2. Masalah Pendiagonalan
Referensi :
Kolman & Howard Anton.
IlustrasiMisalkan t : Rn Rn dengan definisi
t(x) = A.x , utk setiap x Rn
dengan A adalah matriks ukuran nxn.Masalah :
Dapatkah ditentukan vektor x s.d.h x dan Axsejajar?
Pertanyaan ini jika dituliskan secara matematismenjadi :Dapatkah ditentukan x sedemikian hingga
Ax = x , utk suatu skalar .
07/11/2015
2
• Perhatikan gambar berikut:
• Masalah yang dikemukakan di atas merupakan awal munculnya
istilah “Nilai Eigen” dan “Vektor Eigen”
• Masalah diatas merupakan permasalahan yang sering muncul di
bidang selain matematik, misalnya dibidang fisika (fisika nuklir dan
elastisitas), teknik (elektro dan kimia), biologi, mekanika kuantum.
Definisi 1
Misalkan A adalah matriks ukuran nxn. Suatu skalar yang memenuhipersamaan
A.x = x
disebut nilai eigen dari matriks A, danvektor x Rn disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen .
07/11/2015
3
1. Masalah Nilai Eigen dan Penyelesaiannya
• Masalah Nilai eigen :
Masalah mencari penyelesaian persamaanA.x = .x, dimana A adalah matriks sebarangukuran nxn (diketahui), x vektor di Rn dan
adalah sebarang skalar di R (dicari).
Ilustrasi
• Misalkan
• Maka
yang berarti dan = ½ .
1
1
1
12
1
21
21
A
02
12
10
A
1
1x
07/11/2015
4
Gambarnya….
21
21
Ax
1
1x
Definisi 1
Jika A adalah matriks berukuran nxn, makanilai eigen dari A adalah akar-akar daripersamaan karakteristik matriks A.
07/11/2015
5
Definisi 2
• Misalkan A = [aij] adalah matriks berukuran nxn. Polinomial Karakteristik dari A adalah
p() = (det(In – A)) =
Persamaan karakteristik dari A adalah
det(In – A) = 0
Penyelesaian dari persamaan diatas disebut akar-akarkarakteristik dari matriks A.
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
...
::::
...
...
21
22221
11211
Catatan:
• Polinomial karakteristik dari matriksberukuran nxn merupakan polinomialberderajad n, dan bisa dituliskan :
p() = ( - a11) ( - a22)… ( - ann)
= n + c1 n-1 + c2
n-2 + … + cn
07/11/2015
6
Contoh 1:
Misalkan
Tentukan polinomial karakteristik dan akar-akarkarakteristik dari A.
Penyelesaian:
25
47A
25
47det)( 2
AIp
32652
3,20 p
Contoh 2
Untuk nilai eigen 1 = 2 :
dibentuk SPL
(2I2 – A)x = 0
Jadi vektor eigen:
x1 = 4/5x2
0
0
45
45
2
1
x
x
Tentukan nilai eigen dan vektor eigen untuk matriks pada contoh 1.
Penyelesaian:
1
5/41v
Utk nilai eigen 2 = 3 :
dibentuk SPL
(3I2 – A)x = 0
Jadi vektor eigen:
0
0
55
44
2
1
x
x
x1 = x2
1
12v
07/11/2015
7
Teorema
Jika A adalah sebuah matriks berukuran nxn dan λadalah sebuah bilangan real, maka pernyataan-pernyataan berikut ini ekivalen.
1. λ adalah sebuah nilai eigen dari A2. Sistem persamaan (λI-A)x = 0, mempunyai solusi
nontrivial3. Terdapat sebuah vektor taknol x pada Rn
sedemikian rupa sehingga Ax=λx4. λ adalah sebuah solusi dari persamaan
karakteristik det (λI-A) = 0
Teorema
Jika k adalah bilangan bulat positif, λ adalah nilai eigen dai suatu matriks A, dan x adalah vektor eigen yang terkait dengan λ, maka λk adalah nilai eigen dari Ak dan x adalah vektor eigen yang terkait dengannya.
07/11/2015
8
Contoh 3
Dapatkan nilai eigen dan vektor eigen dari A3
dengan A seperti contoh 2.
Nilai eigen dari matriks A berdasarkan contoh 2 adalah 1 = 2 dan 2 = 3. Maka berdasarkan
Teorema, nilai eigen dari A3 adalah 13 = 23 = 8
dan 23 = 33 = 27 dengan vektor eigen sama
seperti pada contoh 2.
Nilai eigen dan keterbalikan (invers)
Teorema:
Sebuah matriks bujursangkar A dapat dibalik ( mempunyai invers) jika dan hanya jika c = 0 bukan merupakan nilai eigen dari A.
Contoh 4:
Pada contoh 2 matriks A mempunyai invers karena nilai eigen tidak nol.
07/11/2015
9
Soal latihanDapatkan nilai eigen dan vektor eigen dari soal berikut serta apakah matris tersebut mempunyai invers:
72
21.4
20
02.3
301
121
200
.2
01
32.1
D
C
B
A
24
01.8
20
14.7
300
120
112
.6
18
03.5
D
C
B
A
Anita T. Kurniawati
MASALAH PENDIAGONALAN
07/11/2015
10
MATRIKS SIMILAR
Definisi
Diberikan matriks A dan B berukuran nxn.
Matriks B dikatakan similar dengan matriks A jikaada matriks P sedemikian sehingga
B = P-1AP
Contoh 1:
Misalkan
Misalkan juga
Maka :
Jadi B similar dengan A.
11
121
P
42
11A
21
11P
30
021APPB
07/11/2015
11
Masalah Pendiagonalan ?
Diberikan matriks A ukuran nxn.
Apakah ada matriks s.d.h matriks A similar
dengan matriks diagonal ?
Definisi
• Suatu matriks Anxn dikatakan dapatdidiagonalkan (diagonalizable) jikaada matriks s.d.h. P-1AP = D, denganD adalah matriks diagonal.
07/11/2015
12
Teorema 1
• Suatu matriks Anxn dapat didiagonalkan(diagonalizable) jika dan hanya jika A mempunyai n vektor eigen yang bebas linier.
Contoh 2:Diketahui matriks
Nilai eigen dari A : 1 = 2 dan 2 = 3.
Vektor eigen yang bersesuaian dengan 1 dan 2 adalah :
dan
Dapat dibuktikan bahwa x1 dan x2 bebas linier.
Selanjutnya, A dapat didiagonalkan, dengan
(Lihat contoh 1)
42
11A
11
1
1px
22
2
1px
21
11P
07/11/2015
13
Prosedur Pendiagonalan Matriks
Misalkan A adalah matriks ukuran nxn dan mempunyai n vektor eigen yang bebas linier.
Langkah 1
Carilah n vektor eigen yang bebas linier, misalkan v1, v2, … , vn.
Langkah 2
Susunlah vektor-vektor vi menjadi suatu matriks P.
Langkah 3
Kalikan P-1AP, maka A akan similar dengan matriksdiagonal D.
Contoh 3:
Diagonalkan matriks
Penyelesaian:
Persamaan karakteristik:
Vektor eigen yang bersesuaian dengan = 1 :
588
8118
441
A
031935223
2
2
1
1v
07/11/2015
14
Vektor eigen yang bersesuaian dengan = -3 adalah
Dapat dibuktikan bahwa {v1, v2, v3 } adalah bebas linier (coba cek).
Selanjutnya bentuk matriks P :
dan dapat dihitung bahwa
1
0
1
,
0
1
1
32vv
102
012
111
P
300
030
0011
APP
Teorema 2
Jika v1, v2, …, vk adalah vektor2 eigen yangbersesuaian dengan nilai-nilai eigen 1, 2,… , k, maka {v1, v2, …, vk } adalah bebas linier.
Teorema 3
Jika A adalah matriks ukuran nxn danmempunyai n nilai eigen real yang berbeda(tanpa pengulangan), maka A (pasti) dapatdidiagonalkan.
07/11/2015
15
Misalnya….
• Pada Contoh 1, matriks A2x2 mempunyai 2 nilaieigen yang berbeda, maka A dapatdidiagonalkan.
• Pada Contoh 3, matriks A3x3 mempunyai 2 nilaieigen berbeda (dengan = -3 adalahpengulangan), maka A dapat didiagonalkankarena A mpy 3 vektor eigen yang bebas linier (Teorema 1)
Contoh 4:
Diberikan matriks
Persamaan karakteristik dari A : p() = ( - 1)2 = 0Shg nilai eigen dari A : 1 = 0 dan 2 = 3 = 1.Vektor eigen yang bersesuaian dengan = 0 :
vektor yang bersesuaian dengan = 1 :
Jadi menurut Teorema 1, A tidak dapat didiagonalkan.
100
210
100
A
0
0
1
0
1
0
07/11/2015
16
Soal LatihanJika mungkin, diagonalkanlah
matriks berikut:
12
30.4
13
32.3
566
010
334
.2
102
68.1
D
C
B
A