Perkalian VektorNova Noor Kamala Sari, S.T, M.Kom

PembahasanPerkalian vektor dengan skalarRuang vektor

Perkalian Vektor dengan Vektor: Dot Product

- Model dot product- Sifat dot product

PendahuluanPenambahan dan pengurangan vektor,

merupakan analisa sederhana dari aljabar vektor

Pada pembahasan ini akan dibahas bagaimana konsep perkalian vektor dalam ruang berdimensi 2 atau dimensi 3, serta penerapannya pada bidang geometri, khususnya dengan perkalian vektor dengan skalar dan perkalian dot product

Perkalian Vektor dengan Skalar

DefinisiJika a adalah suatu vektor dan α adalah suatu

skalar, maka:- panjang αa = | α |.|a|- jika a ≠ 0 dan α > 0 , αa searah dengan a- jika a ≠ 0 dan α < 0 , αa berlawanan arah dengan a- jika a = 0 dan α = 0 , maka αa = 0

Untuk vektor a dalam koordinat kartesianjika a = [a1,a2,a3] maka

αa = [αa1, αa2, αa3]

Sifat Perkalian skalar dan vektor

Ruang VektorMerupakan himpunan elemen vektor yang

terdefinisikan sekurang-kurangnya dua operasi yang membentuk group

Berlaku sifat distributif dan assosiatif gabungan- distributif operasi 1 terhadap operasi 2- distributif operasi 2 terhadap operasi 1- assosiatif

Perkalian Titik

(Dot Product)

VisualisasiVektor-vektor diposisikan sehingga titik

pangkalnya berimpitanMemiliki sudut antara dua vektor yaitu Ø

(dibaca teta) yang memenuhi 0 ≤ Ø ≤ π

Rumus

Jika u dan v adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi-2 atau berdimensi-3 dan Ø adalah sudut antara u dan v, maka hasil kali titik u.v adalah:

u.v = |u||v| u.v = |u||v| cos Ø jika cos Ø jika u ≠ u ≠ 0 dan 0 dan v ≠ v ≠ 00

u.v = 0u.v = 0 jika jika u = u = 0 dan 0 dan v = v = 00

Rumus komponen untuk hasil kali titik Ruang Dimensi 3 :

Ruang Dimensi 2 :

332211 vuvuvuv.u

2211 vuvuv.u

Orthogonalitas dua vektorDua vektor tidak nol dikatakan orthogonal

(saling tegak lurus) jika dan hanya jika hasil kali dalamnya adalah nol.

Beberapa formulasi dari perkalian titik ini dapat kita turunkan sebagai berikut:

bbaa

ba

ba

ba

aaaaaaaa

..

.

||||

.Øcos

.||||0cos||||. 2

Sudut antara vektor u = (0,0,1) dan v = (0,2,2) adalah 45, sehingga :

Rumus komponen untuk hasil kali titik

u.v = (0)(0)+(0)(2)+(1)(2)=2

332211 vuvuvuv.u

22

1)220)(100(cosvuv.u 222222

Contoh 1:

Contoh 2:Tinjau vektor u = (2,-1,1) dan

v =(1,1,2). Cari sudut antara u dan vu.v=(2)(1)+(-1)(1)+(1)(2)=3

Jadi =60

6)2()1()1(

6)1()1()2(

222

222

v

u

2

1

66

3

vu

v.ucos

Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol dan adalah sudut antara kedua vektor tersebut, maka :

lancip jika dan hanya jika u.v > 0

tumpul jika dan hanya jika u.v < 0

=/2 jika dan hanya jika u.v =0

Jika u =(1,-2,3), v=(-3,4,2) dan w=(3,6,3) maka :

u.v=(1)(-3)+(-2)(4)+(3)(2)=-5v.w=(-3)(3)+(4)(6)+(2)(3)=21u.w=(1)(3)+(-2)(6)+(3)(3)=0Oleh karena itu, u dan v membentuk

sudut tumpul, v dan w membentuk sudut lancip serta u dan w tegak lurus.

Contoh 3:

Vektor-vektor yang tegak lurus disebut juga vektor-vektor ortogonal. Dua vektor tak nol ortogonal jika dan hanya jika hasil kali titiknya nol (u.v=0).

Untuk menunjukkan bahwa u dan v adalah vektor-vektor yang ortogonal kita tulis uv.

Sifat Dot ProductUntuk setiap vektor sembarang a, b, c dan

skalar α1, α2 berlaku:

Formulasi Khusus

GenjangJajaranPersbababa

segitigamaanPertidaksababa

SchwarzmaanPertidaksababa

.)|||(|2||||

||||||

|||||.|

2222

Contoh SoalJika diketahui vektor a = [1,2,0], b=[3,-2,1].Tentukanlah:- panjang vektor a, panjang vektor b, sudut antara

vektor a dan b

Jawaban:

SummaryPerkalian vektor dengan skalar

merupakan perbesaran atau pengecilan vektor, dengan bilangan skalar merupakan satuan pembandingnya.

Rumus untuk dot product

Perkalian titik (dot product) antara 2 vektor akan menghasilkan suatu nilai skalar

u.v = |u||v| u.v = |u||v| cos Ø cos Ø jika jika u ≠ u ≠ 0 dan 0 dan v ≠ v ≠ 00 u.v = 0u.v = 0 jika jika u = u = 0 dan 0 dan v = v = 00

Daftar PustakaAnton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear

Jilid 1 Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara.

Jakarta Noor Ifada. Bahan Kuliah Aljabar LinearAnton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear

Jilid 2 Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta