penggunaan penyelesaian persamaan aljabar riccati waktu...

Penggunaan PenyelesaianPersamaan Aljabar Riccati Waktu Diskritpada Kendali Optimal Linier Kuadratikdan Sifat-Sifatnya

Dita Marsa Yuanita1209 100 019

PembimbingSoleha, M.Si

Bab 1

Bab 2

Bab 3

Bab 4

Bab 5

Abstrak

Dita Marsa Yuanita

Permasalahan kendali optimal adalah mendapatkan aturankendali optimal

Penyelesaian PRAWD dan matriks gain umpan balik

Penyelesaian PRAWD (steady state) didapat dengan

membalik waktu pada PRAWD non steady state(kasus pendulum terbalik)

Analisis PRAWD menghasilkan persamaan tetapapabila matriks pemberat indeks performansi diganti

PRAWD memiliki penyelesaian minimum yang unik

Invarian waktu untuk proses kendali tak berhingga (steady state)

Penggunaan dan Sifat Penyelesaian

Presenter

Presentation Notes

Permasalahan kendali optimal adalah mendapatkan aturan kendali optimal Penyelesaian PRAWD dan matriks gain umpan balik Invarian waktu untuk proses kendali tak berhingga (steady state) Penyelesaian PRAWD (steady state) didapat dengan membalik waktu pada PRAWD non steady state (kasus pendulum terbalik) Analisis PRAWD menghasilkan persamaan tetap apabila matriks pemberat indeks performansi diganti PRAWD memiliki penyelesaian minimum yang unik

Bab 2

Bab 3

Bab 4

Bab 5

Bab 1|Pendahuluan

Pendahuluan

Dita Marsa Yuanita

Latar Belakang Masalah

Rumusan Masalah

Batasan Masalah

Tujuan

Manfaat

Persamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit pada Kendali Optimal Linier Kuadratik

Bab 2

Bab 3

Bab 4

Bab 5

Bab 1|Pendahuluan

Pendahuluan

Dita Marsa Yuanita


Penggunaan dan Penyelesaian

Persamaan Riccati Aljabar

dianggap sebagai dasar teori kendali modernmuncul pada masalah kendali optimal

Penelitian sebelumnya [1]Bellon, J. (2008) "Riccati Equations in OptimalControl Theory“. Mathematics Theses, GeorgiaState University.Membahas masalah optimal kuadratik menggunakan

penyelesaian persamaan Riccati aljabar kontinu

Bab 2

Bab 3

Bab 4

Bab 5

Bab 1|Pendahuluan

Pendahuluan

Dita Marsa Yuanita


Persamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit(PRAWD) berbentuk

untuk menyelesaikan masalah kendali optimal linier

kuadratik dari sistem waktu diskrit

dan indeks performansi kuadratik

diminimalkan dengan aturan umpan balik

)()()1( tGxtFxtx +=+ cx =)0(

∑∞

=

++=0

*** )]()()()([)()(t

tRutukQxkxNSxNxJ

)()()( txtKtu −=


XFGPGGRPGFPFFQP *1*** )( −+−+=

Bab 2

Bab 3

Bab 4

Bab 5

Bab 1|Pendahuluan

Pendahuluan

Dita Marsa Yuanita



Pada Tugas Akhir ini dibahas

Kendali Optimal Linier Kuadratik yang memunculkan Persamaan Riccati AljabarWaktu Diskrit

Keadaan Steady State (Kasus Pendulum Terbalik dengan Sistem Servo)

Sifat Penyelesaian PRAWD

Bab 2

Bab 3

Bab 4

Bab 5

Bab 1|Pendahuluan

Pendahuluan

Dita Marsa Yuanita

Rumusan Masalah

Bagaimana mendapatkan penyelesaian padamasalah Sistem Servo dengan plant Pendulum Terbalik menggunakan persamaan Riccati Aljabar

Bagaimana mengkaji sifat terkait penyelesaianPRAWD


Bab 2

Bab 3

Bab 4

Bab 5

Bab 1|Pendahuluan

Pendahuluan

Dita Marsa Yuanita

Batasan Masalah

1. Keadaan steady state serta non steady state dengan kasus sistem pendullumterbalik.

2. Penyelesaian dengan MATLAB


Bab 2

Bab 3

Bab 4

Bab 5

Bab 1|Pendahuluan

Pendahuluan

Dita Marsa Yuanita

Tujuan


1

2

Menunjukkan cara mendapatkan penyelesaianpada masalah Sistem Servo dengan plantPendulum Terbalik menggunakan persamaanRiccati Aljabar

Memberikan kajian sifat terkait penyelesaianPRAWD

Bab 2

Bab 3

Bab 4

Bab 5

Bab 1|Pendahuluan

Pendahuluan

Dita Marsa Yuanita

Manfaat

Memberikan suatu referensi yang mudahdimengerti mengenai kendali optimal kuadratik

menggunakan persamaan Riccati aljabar.


Bab 3

Bab 4

Bab 1

Bab 5

Bab 2|Tinjauan Pustaka

TinjauanPustaka

Dita Marsa Yuanita

Inversi Matriks

Sistem

Contoh Sistem (Pendulum Terbalik)

Kendali Optimal Linier Kuadratik

Desain Sistem Servo


Bab 3

Bab 4

Bab 1

Bab 5


TinjauanPustaka

Dita Marsa Yuanita

Inversi Matriks

Sifat 2.1. [2] Sifat Inversi Matriks

nmmnnn MCMBMA ××× ∈∈∈ ,, mmMD ×∈

1111111 )()( −−−−−−− +−=+ CABCADBAABDCA

Jika diberikan matriks persegidan

dan matriks memiliki inversMaka


BDCA+

Bab 3

Bab 4

Bab 1

Bab 5


TinjauanPustaka

Dita Marsa Yuanita

Sistem

)(tx

)(ty)(tu

)()()( tDutCxty +=

Persamaan Keadaan

Persamaan Output

denganvektor keadaanvektor inputvektor output

)()()1( tGutFxtx +=+


Bab 3

Bab 4

Bab 1

Bab 5


TinjauanPustaka

Dita Marsa Yuanita

Sistem

))(())(()()())()(( 212121 tuTtuTtytytutuT βαβαβα +=+=+

)(2 ty)(2 tuT

LinierMisal terdapat operator bila diberikan input terdapat output dan input outputnya, maka


)(1 tu)(1 ty

Invarian WaktuJikadiberikan input dengan output makainput memiliki output

)(tu )(ty)( τ−tu )( τ−ty

Bab 3

Bab 4

Bab 1

Bab 5


TinjauanPustaka

Dita Marsa Yuanita

Contoh Sistem (Pendulum Terbali


Gambar 1. Pendulum Terbalik

Bab 3

Bab 4

Bab 1

Bab 5


TinjauanPustaka

Dita Marsa Yuanita


umlmlxmM =+−+ θθθθ )(cos)(sin)( 2

θθθ sincos mgmlxm =+


xu)sin(2

2

2

2

=++ θlxdtdm

dtxdM

θθθθθ sin)sin()cos()cos()sin( 2

2

2

2

mgllldtdmllx

dtdm =

−

+

z

Persamaan gerak pendulum pada arah sumbu

Persamaan gerak massapada arah sumbu

θθ

θ

mgmlxmumlxmM

=+

=++

)(

Linearisasi

Bab 3

Bab 4

Bab 1

Bab 5


TinjauanPustaka

Dita Marsa Yuanita


xxxx

x

x

===

=

4

3

2

1

θ

θ

[ ]

=

4

3

2

1

0100

xxxx

y


u

M

Ml

xxxx

gMm

gMl

mM

xxxx

−

+

−

+

=

10

10

0001000

0000010

4

3

2

1

4

3

2

1

DefinisikanPersamaan KeadaanPendulum Terbalik

Persamaan Output

Bab 3

Bab 4

Bab 1

Bab 5


TinjauanPustaka

Dita Marsa Yuanita

Desain Sistem Servo


Dari gambardidapat dan

Gambar 2. Denah Sistem Servo

)()()()()()1()(

12 tvKtxKtutytrtvtv

+−=−+−=

)()( tCxty =


F

G

Bab 3

Bab 4

Bab 1

Bab 5


TinjauanPustaka

Dita Marsa Yuanita

Desain Sistem Servo

rKtu

txCGKGKICFKFKK

GFtutx

+

−−−−

=

++

112122

0)()(

)1()1(

)()()()()()(

∞−=∞−=

ututuxtxtx

E

E


Dalam bentuk persamaan matriks

Definisikan

Menjadi

−−−−

=

)()(

)()(

12122 tutx

CGKGKICFKFKKGF

tutx

E

E

E

E

Bab 3

Bab 4

Bab 1

Bab 5


TinjauanPustaka

Dita Marsa Yuanita

Desain Sistem Servo

=

=

=

IG

GFF

tutx

tE

E 0,

00ˆ,

)()(

)(ξ


Dapat ditulis sebagai

Dengan

Definisikan

Menjadi

)(0

)()(

00)()(

twItu

txGFtutx

E

E

E

E

+

=

[ ]CGKGKICFKFKKtw 12122)( −−−−=

)(ˆ)(ˆ)1( twGtFt +=+ ξξ

Bab 3

Bab 4

Bab 1

Bab 5


TinjauanPustaka

Dita Marsa Yuanita

Kendali Optimal Linier Kuadrati

)()( tKxtu −=

∑−

=++−−+

+−++++=1

0 *

**

*

*

)]1()}1()()({)}1()()(){1()}()(

)()([{)()(

N

tttxtGutFx

txtGutFxttRututQxtx

NSxNxL

λ

λ

∑−

=

++=1

0

*** )]()()()([)()(N

ttRututQxtxNSxNxJ



Pandang persamaan

Indeks performansi

Aturan kendali optimal

Indeks Performansi dengan PengaliLagrange

Bab 3

Bab 4

Bab 1

Bab 5


TinjauanPustaka

Dita Marsa Yuanita


FtGXGtXGRGtXFFFtXFQtX )1(])1([)1()1()( 1*** ++++−−++= −

)()()1(;0)(

)1()(;0)(

)()(;0)(

)1()()(;0)(

*1

*

tGutFxtxt

L

tGRtutu

L

NNSxNxL

tFtQxttx

L

+=+=

+−==

==

++==

−

λδδ

λδδ

λδδ

λλδδ


Didiferensialkan

Diselesaikan menjadi

Bab 3

Bab 4

Bab 1

Bab 5


TinjauanPustaka

Dita Marsa Yuanita


FtPGGtPGRtK )1(])1([)( *1* +++= −


Persamaan Riccati Aljabar

Matriks gain umpan balik

Indeks Performansi minimum

)0()0()0(* xPxJ =

FtGPGtPGRGtPFFFtPFQtP )1(])1([)1()1()( 1*** ++++−−++= −

Bab 3

Bab 4

Bab 1

Bab 5


TinjauanPustaka

Dita Marsa Yuanita

Penyelesaian PRAWD

QPFGSPGGRXFGSPFFPPD −++++−= − )()()()( *1****

)()]()([)( *1* txFPGSGPGRGFtu optoptopt ++−= −


Persamaan Riccati Aljabar sebagai fungsi

Aturan kendali optimal

Indeks performansi

Matriks Loop tertutup

( )

=∑

∞

= )()(

)()(*

0

**

tutx

RSSQ

tutxJt

)()()( *1* FPGSGPGRGFtF optoptP ++−= −

Bab 2

Bab 4

Bab 1

Bab 5

Bab 3|Metode Penelitian

MetodePenelitian

Dita Marsa Yuanita

Studi Literatur

Analisis

Penyelesaian Contoh Permasalahan

Penarikan KesimpulanDan Penulisan Tugas Akhir


Evaluasi

Bab 2

Bab 3

Bab 1

Bab 5

Bab 4|Analisis dan Pembahasan

Analisis danPembahasan

Dita Marsa YuanitaPenggunaan dan Sifat Penyelesaian

Kendali Optimal Linier KuadratikSteady State

Kendali Optimal Linier Kuadratikdari Sistem Servo

Sifat Penyelesaian RiccatiAljabar

Bab 2

Bab 3

Bab 1

Bab 5



Dita Marsa Yuanita

Kendali Optimal Linier KuadratiSteady State

Ketika proses kendali berhingga,matriks dan menjadi matriks invarian waktu

Persamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit Steady State


Indeks Performansi Minimum

PFGPGGRK *1* ][ −+=

)0()0(* PxxJ =

GPFPGGRPGFFPFFQP 1*** ][ −+−−+=


)(tP )(tK

Bab 2

Bab 3

Bab 1

Bab 5



Dita Marsa Yuanita


Diberikan sistem

Dengan

Indeks performansi kuadratik

∑∞

=

+

=

0

** )]()()(5.00

01)([

ttututxtxJ

)(01

)(15.000

)1( tutxtx

+

−

=+


=

22

)0(x

Bab 2

Bab 3

Bab 1

Bab 5



Dita Marsa Yuanita


Penyelesaian PRAWD Steady State

Iterasi dengan batas Didapat nilai matriksyang tetap

Matriks gain umpan balik Indeks PerformansiMinimum

−

−=

7556.21328.11328.15664.1

ssP

=

0000

)(tP

FtGPGtPGRGtPFFFtPFQtP )(])([)()()1( 1*** −+−−+=+


[ ]4414.02207.0 −=K2656.8=J

Bab 2

Bab 3

Bab 1

Bab 5



Dita Marsa Yuanita

Kendali Optimal Sistem Servo (plant Pendulum Terbalik)


Diketahui

Maka persamaan keadaan

Persamaan output[ ]

=

4

3

2

1

0100

xxxx

y

u

xxxx

xxxx

−

+

−

=

4.00

2.00

000981.010000003955.50010

4

3

2

1

4

3

2

1

mlkgmkgM 2,25.0,5.2 ===

Bab 2

Bab 3

Bab 1

Bab 5



Dita Marsa Yuanita



Pendiskritan pada sistem

[ ]

=

4

3

2

1

0100

xxxx

y

u

xxxx

txtxtxtx

−−

+

−−−−

=

++++

04.0002.00202.0001.0

100049.0099.01.010002.00049.0

000271.15444.0001009.00271.1

)1()1()1()1(

4

3

2

1

4

3

2

1

Bab 2

Bab 3

Bab 1

Bab 5



Dita Marsa Yuanita



Persamaan ruang keadaan

DenganPerhatikan bahwa

dan

)(ˆ)( tKtw ξ−=

)(

002.004.0002.00202.0001.0

)(

11.010002.00049.00100049.0099.001.010002.00049.00000271.15444.00001009.00271.1

)1( twtt

−

−−

+

−−−−−−=+ ξξ

−

=

−

=

=

CGG

GCFF

Ftvtx

tE

E ˆ,10ˆ,

)()(

)(ξ[ ]

−==

)()(

1)()(tvtx

KKtutwE

EE

Bab 2

Bab 3

Bab 1

Bab 5



Dita Marsa Yuanita



Indeks Performansi Kontinu

didiskritkan

Dengan

∫∞

+=0

** )]()()()([ dttRwtwtQtJ ξξ

∑∞

=

+=0

** )()()()(t

tRwtwtQtJ ξξ

1,

1000001000001000000010000010

=

= RQ

Bab 2

Bab 3

Bab 1

Bab 5



Dita Marsa Yuanita




Konstanta gain integral

[ ]0594.202665.171883.745430.116 −−−−=K

6623.01 −=K

Bab 2

Bab 3

Bab 1

Bab 5



Dita Marsa Yuanita



Persamaan ruang keadaan

Respon Tangga Satuan

Dengan

rItv

txCGKCGKCF

GKGKFtvtx

+

−+−

−=

++ 0

)()(

1)1()1(

1

1

[ ]

=

)()(

000011 tvtx

x [ ][ ][ ][ ][ ]10000

0100000100

0001000001

=====

MMLLCCJJHH

Bab 2

Bab 3

Bab 1

Bab 5



Dita Marsa Yuanita



Bab 2

Bab 3

Bab 1

Bab 5



Dita Marsa Yuanita



Sifat 4.1. [4]Misal matriks Hermit dan

maka

dan

dan

XXFFQQXFGSSXGGRR −+=+=+= *** ~,~,~

)~,~,~,,;(),,,,;( QSRGFXPDQSRGFPD −=

)~,~,~,,;(),,,,;( QSRGFzQSRGFz Ψ=Ψ

)~,~,,,(),,,( SRGFXPSRFP −Φ=Φ

Definisikan)()(),,,( *1* PFGSPGGRGFSRFP ++−=Φ −

[ ]

−

−=Ψ

−−−

IGFzI

RSSQ

IFzGQSRGFz1*

1*1* )()(),,,,;(

Bab 2

Bab 3

Bab 1

Bab 5



Dita Marsa Yuanita



Dari definisi

karena

Bukti

[ ]

−

+++−+

−=Ψ−

−−

IGFzI

XGGRXFGSXGFSXXFFQ

IFzGQSRGFz1

**

***1*1* )(

)()~,~,~,,;(

GFxIXFIzGGIFzIFXG

GIFzIFXFFzG

11*1*

1*

1*1*1*

)()())((

))(()(

−−−

−

−−−

−−−

+−+

+−−=

[ ]

−

−−=

−−−

IGFzI

XGGXFGXGFXXFF

IFzGzT1

**

**1*1* )(

)()(

)(),,,,;()~,~,~,,;( zTQSRGFzQSRGFz +Ψ=Ψ

11 )()( −− −=+− FzIzIFzIF

0)(][)( 1*** =−−+−= − GFzIXIzFzFIGzT

),,,,;()~,~,~,,;( QSRGFzQSRGFz Ψ=Ψ

Bab 2

Bab 3

Bab 1

Bab 5



Dita Marsa Yuanita



Sifat 4.2. [4]Misal adalah penyelesaian dari danadalah suatu penyelesaian dari dengan

Maka adalah penyelesaian persamaan0][)(

2222

*1* =++−= −PPPP YFGYGGRYGFYFFYYH

2P P̂)(PD

)(PD

2ˆ PP −=∆

GPGRR

FPGSGPGRGFFP

2*

2*1

2*

~)()(

2

+=

++−= −

Bab 2

Bab 3

Bab 1

Bab 5



Dita Marsa Yuanita



Bukti

Dari Sifat 4.1Jika dan penyeleseaian dari makaterdapat

Didapat

Akan dibuktikan bahwa

Dengan kata lain0][)(

2222

*1* =∆∆+∆+∆−∆=∆ −PPPP FGGGRGFFFH

UGFFP~

2−=

GFSSGGRR

GPFSSGPGRR

GPFSSGPGRR

∆=−∆=−

=−=−

=−=−

***

***

2**

2*

)~ˆ(,~ˆ

ˆ)ˆ(,ˆˆ)~(,~

SRUFPGSSGPGRR ~~~,~,~ 12

*2

* −=+=+=

SRUFPGSSGPGRR ˆˆˆ,ˆˆ,ˆˆ 1** −=+=+=

2222

*1* ][ PPPP FGGGRGFFF ∆∆+∆−=∆−∆ −

2P P̂ )(PD

Bab 2

Bab 3

Bab 1

Bab 5



Dita Marsa Yuanita



Bukti

Dari persamaan sebelumnya

Terbukti bahwa adalah penyelesaian dari

)~()~( *22

UGFUGFFF PP −∆−−∆=∆−∆

∆22

22

*1*

*1**

1*11**

1*1*1*12

*1*

12

*1*1**

*1**1*1*

******

)ˆ(

)(ˆ)(

)~~ˆˆ(ˆ)ˆ~~ˆ(

~~ˆ~~~ˆˆˆ~~)ˆ(~~

~~)ˆ(~~)~~)~ˆ((

)~~)~ˆ(()ˆˆˆ~~~(

)~~()~()~()(

PP

PP

FGGPGRGF

FGRFG

SRRSRRRSS

SRSSRSSRSSRGPPGRS

SRGPPGRSSRSS

SRSSSRSSRS

UGGUUGFFGUFF

∆+∆−=

∆∆−=

−−−=

++−−−=

−−−+

−+−=

∆−∆+∆+∆−∆=

−

−

−−−

−−−−−

−−−

−−−

0)( =YH

Bab 2

Bab 3

Bab 4

Bab 1

Bab 5|Penutup

Penutup

Dita Marsa YuanitaPenggunaan dan Sifat Penyelesaian

Kesimpulan

Saran

Bab 2

Bab 3

Bab 4

Bab 1

Bab 5|Penutup

Penutup

Dita Marsa Yuanita

Kesimpulan1. Persamaan keadaan dan output dari sistem

pendulum terbalik berbentuk persamaan kontinudengan indeks performansi kontinu, pendiskritandilakukan untuk membentuk suatu sistem linierinvariant waktu diskrit dari sistem

2. Desain sistem servo diselesaikan dengan mendapatkan penyelesaian PRAWD matriks dan konstanta integral dari persamaan ruang keadaan

PK 1K

)(ˆ)(

)(ˆ)(ˆ)1(

tKtw

twGtFt

ξ

ξξ

−=

+=+


Bab 2

Bab 3

Bab 4

Bab 1

Bab 5|Penutup

Penutup

Dita Marsa Yuanita

Kesimpulan

4. Fungsi , dan mampu mempertahankan sifat invariant jika digantikan oleh dengan

5. Apabila dan merupakan penyelesaianmaka penyelesaian dari

merupakan penyelesaian minimum dari

)(),(),(),( 4321 txtxtxtx

)(PD )(zΨ),,,( SRFPΦ

P̂ )(PD

)(PD

0][)(2222

*1* =++−= −PPPP YFGYGGRYGFYFFYYH

2ˆ PP −=∆

)()(5 tvtx =


3. Dari matriks dan dapat diperolehrespon tangga satuandan

K 1K

XXFFQQXFGSSXGGRR −+=+=+= *** ~,~,~

2P

2P

Bab 2

Bab 3

Bab 4

Bab 1

Bab 5|Penutup

Penutup

Dita Marsa YuanitaPersamaan Riccati Aljabar Waktu Diskrit pada Kendali Optimal Linier Kuadratik

Saran

1. Dapat diteliti penyelesaian permasalahan kendali optimalpada kasus waktu kontinu

2. Dapat dianalisis juga mengenai persamaanRiccati aljabar kontinu serta sifatpenyelesaiannya

3. Dapat ditunjukkan hubungan antara sifatpenyelesaian Riccati aljabar dengan masalahKendali Optimal

Bab 1

Bab 2

Bab 3

Bab 4

Bab 5

Daftar Pustaka

Dita Marsa Yuanita

[1] Bellon, J. (2008) "Riccati Equations in Optimal Control Theory“. Mathematics Theses, Georgia State University.

[3] Ogata, K. (1995). “Discrete-Time Control System”.Prentice-Hall International, London.

[4] Subiono. (2010). “Matematika Sistem”. Jurusan Matematika, FMIPA ITS.

[2] Clements, D. J., Wimmer, H.K. (2003). “Existence and Uniqueness of Unmixed Solutions of The Discrete-time Algebraic Riccati Equations”. Systems and Control Letters, Vol. 50, Hal 343-340.


Penggunaan PenyelesaianPersamaan Riccati Aljabar Waktu Diskritpada Kendali Optimal Linier Kuadratikdan Sifat-Sifatnya

Dita Marsa Yuanita1209 100 019

PembimbingSoleha, M.Si

penggunaan penyelesaian persamaan aljabar riccati waktu...

Documents