VARIABEL RANDOM DISTRIBUSI PROBABILITAS

Variabel Random (Peubah Acak)

Definisi : Suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel atau cara memberi harga berupa angka kepada setiap elemen ruang sampel

Contoh 1:

Eksperimen pelemparan sebuah koin sebanyak tiga kali. Jika M menunjukkan hasil nampak muka saat pelemparan dan B menunjukkan hasil nampak belakang, maka kejadian yang mungkin adalah munculnya sisi muka tiga kali, dua kali, sekali, atau bahkan tidak muncul sama sekali. Himpunan kejadian yang mungkin terjadi adalah : {MMM, MMB, MBM, BMM, MBB, BMB, BBM, BBB} 2 x 2 x 2

Jika uang tersebut “normal” (seimbang), dimana masing-masing sisi memiliki peluang yang sama untuk muncul di permukaan dalam tiap lemparan, maka probabilitas terjadi masing-masing elemen ruang sampel dalam himpunan hasil eksperimen tersebut adalah 1/8. Dengan kata lain : P (MMM ) = 1/8; P(MMB) = 1/8

P (MBM ) = 1/8, dst.

Jika variabel random x didefinisikan sebagai “banyaknya M (nampak muka) dalam tiap elemen”; maka variabel random x ini dapat menjalani harga 0,1,2,3.

Harga-harga variabel random x dapat kita tulis : x(MMM ) = 3; x(MBM) = 2; x(MBB) = 1; x(BBB) = 0 dst.

Probabilitas variabel random untuk tiap nilai x dapat dihitung dengan membagi jumlah titik sampel tiap nilai x dengan jumlah titik sampel seluruhnya. Sebagai contoh :

Jika x = 1, maka f(x = 1) = 3, dimana titik sampelnya meliputi (MBB, BMB, BBM ). Dengan demikian p(x = 1) = 3/8.

Jika x = 0, maka f(x = 0) = 1 dimana titik sampelnya adalah : ( BBB ), sehingga p( x = 0 ) = 1/8.

Contoh 2:

Sebuah toko mempunyai persediaan 8 buah radio dimana 3 diantaranya memiliki kecacatan. Sebuah organisasi remaja bermaksud membeli 2 radio dari toko tersebut tanpa meneliti ada tidaknya kecacatannya. Buatlah distribusi probabilitas radio dengan cacat yang terbeli!

Jika variabel random x adalah banyaknya radio dengan cacat yang terbeli, maka nilai x adalah 0, 1, 2

Jumlah produk yg akan dibeli

Probabilitas tiap nilai x ini dapat dihitung sebagai berikut :

28

10

2

8

2

5

0

3

)0()0(

xpf

28

15

2

8

1

5

1

3

)1()1(

xpf

28

3

2

8

0

5

2

3

)2()2(

xpf

Distribusi Probabilitas Variabel Random x

Definisi : Daftar semua harga variabel random x beserta probabilitas masing-masing harga.

Contoh :X 0 1 2

f (x) 10/28 15/28 3/28

Distribusi kumulatif variabel random x

Definisi : Bila F (x) = p (X ≤ x) untuk setiap bilangan real x

xuntukxfxXpxFxt

........)()()(

Contoh :Menggunakan hasil contoh 2

28

10)0()0( fF

28

25

28

15

28

10)1()0()1( ffF

128

3

28

15

28

10)2()1()0()2( fffF

sehingga :

2...........1

21.......28

25

10........28

10

0...........0

)(

x

x

x

x

xF

Nilai x:0, 1, 2, 3

Jadi, intrval yg dapat dibuat

adalah

PROBABILITAS BERSAMA 2 VARIABEL RANDOM

Definisi : Jika terdapat 2 atau lebih peubah acak diamati secara bersamaan Proses pemberian harga dilakukan untuk tiap elemen masing-masing variabel

f(x,y) = P(X=x W Y=y)

Contoh : Pada contoh 1, variabel random x didefinisikan sebagai tampak muka (M) dan variabel random y didefinisikan untuk tampak belakang (B)

Contoh Perhitungan :

Suatu kotak terdapat 8 bola, terdiri dari 3 bola biru, 2 merah, 3 hijau. 2 bola diambil secara acak dari kotak tersebut. Jika x menunjukan banyak bola biru terambil dan y menunjukan banyak bola merah terambil, tulis disribusi probabilitas bersama x dan y !

Pasangan harga ( Xi,Yi ) yang mungkin adalah

Kombinasi Total : 8C2 =

Probabilitas kejadian f (0,1) = 28 28

28

Cari probabilitas untuk kemungkinan yg lain dan buat bentuk distribusi probabilitas variabel random bersama.

28!2!6

!8

2

8

63.21

3

1

2

0

3

(0,1) ; (0,2) ; (1,1) ; (0,0) ; (2,0) ; (1,0)

Distribusi Marginal

Distribusi kumulatif tunggal untuk masing-masing peubah acak (variabel random) yang diberikan oleh total kolom dan total baris

xuntukxfxXpxGxt

........)()()(

xuntukyfyYpxHxt

........)()()(

Contoh :

Distribusi marginal dari contoh sebelumnya :

x / y 0 1 2 ∑ Baris

012

3/28 6/28 1/28 9/28 6/28 03/28 0 0

10/2815/283/28

∑ Kolom 15/28 12/28 1/28 1

Distribusi BersyaratProbabilitas bersyarat dinyatakan :a. Bergantung hanya pada x untuk y

tertentu

b. Bergantung hanya pada y untuk x tertentu

0)(dengan )(

),()(

)(

)()(

yHyH

yxfyxf

xXp

yYxXpxXyYp

0)(dengan )(

),()(

)(

)()(

xGxG

yxfxyf

yYp

yYxXpyYxXp

Contoh perhitunganTentukan distribusi bersyarat X untuk Y=1 kasus sebelumnya :H (1) = f (0,1) + f (1,1) + f (2,1) = 6/28 + 6/28 = 12/28

f (xl1) =

f (0l1) = (28/12) . 6/28 = 0,5f (1l1) = (28/12) . 6/28 = 0,5f (2l1) = (28/12) . 0 = 0

2dan 0,1, untuk x

)1,(.)12/28(28/12

)1,(

)(

)1,(

xfxf

yH

xf

Kejadian Tidak BebasSifat ini berlaku untuk semua kemungkinan pasangan f (x,y) ≠ G (x) . H (y)

Contoh: Perhitungan sebelumnya, jika x = 0 dan y = 2, maka :f (0,2) = 1/28G (0) = 10/28H (2) = 1/28

1/28 ≠ 10/784 kedua peubah acak (variabel random) bersifat tidak bebas

(10/28) . (1/28) = 10/ 784

Perhitungan probabilitas bersama jika peubah acak merupakan himpunan ruang dengan fungsi yang ditentukan.

p[ (X,Y) A ] , untuk A = {(x,y) l f (x,y)}

Contoh :

Kasus sebelumnya, tentukan p[ (X,Y) A ] , untuk A = {(x,y) l x+y 1}

X=0,1,2 dan Y=0,1,2

f(0,0) + f(0,1) + f(1,0) = 8/28 + 6/28 + 6/28

= 16/28

Latihan :

1 bungkus permen yang berisi 9 buah yang terdiri dari 3 rasa apel, 2 rasa mangga, dan 4 rasa jambu. Secara acak diambil 3 buah permen dari satu bungkus permen. Jika X merupakan var. random untuk rasa mangga dan Y var. random untuk rasa apel. Tentukan :a. Distribusi probabilitas bersamac. Distribusi bersyarat X untuk Y = 1