random sampling

76
METODE DETECTABILITY SIMPLE RANDOM SAMPLING (STUDI KASUS : MENAKSIR TOTAL BANYAK KATAK DI SEKELILING DANAU AGATIS UNIVERSITAS INDONESIA) ANDIKA DWI ISFANDIARI 0 3 0 3 0 1 0 0 4 4 UNIVERSITAS INDONESIA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM DEPARTEMEN MATEMATIKA DEPOK 2009 Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Upload: nenda-andintya

Post on 25-Oct-2015

80 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Random Sampling

METODE DETECTABILITY SIMPLE RANDOM SAMPLING

(STUDI KASUS : MENAKSIR TOTAL BANYAK KATAK

DI SEKELILING DANAU AGATIS

UNIVERSITAS INDONESIA)

ANDIKA DWI ISFANDIARI

0 3 0 3 0 1 0 0 4 4

UNIVERSITAS INDONESIA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

DEPARTEMEN MATEMATIKA

DEPOK

2009

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 2: Random Sampling

METODE DETECTABILITY SIMPLE RANDOM SAMPLING

(STUDI KASUS : MENAKSIR TOTAL BANYAK KATAK

DI SEKELILING DANAU AGATIS

UNIVERSITAS INDONESIA)

Skripsi ini diajukan sebagai salah satu syarat

untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

Oleh :

ANDIKA DWI ISFANDIARI

0 3 0 3 0 1 0 0 4 4

DEPOK

2009

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 3: Random Sampling

SKRIPSI : METODE DETECTABILITY SIMPLE RANDOM SAMPLING

(STUDI KASUS : MENAKSIR TOTAL BANYAK KATAK DI

SEKELILING DANAU AGATIS UNIVERSITAS INDONESIA)

NAMA : ANDIKA DWI ISFANDIARI

NPM : 0303010044

SKRIPSI INI TELAH DIPERIKSA DAN DISETUJUI

DEPOK, 24 JUNI 2009

Dra. Rianti Setiadi, M.Si. Dra. Saskya Mary S., M.Si.

PEMBIMBING I PEMBIMBING II

Tanggal Ujian Sidang Sarjana : 24 Juni 2009

Penguji I : Dra. Rianti Setiadi, M.Si.

Penguji II : Dr. Dian Lestari, DEA

Penguji III : Dra. Suarsih Utama

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 4: Random Sampling

i

KATA PENGANTAR

Dengan rahmat dan karunia ALLAH SWT yang berlimpah, penulis

dapat menyelesaikan tugas akhir ini. Penyelesaian tugas akhir ini juga tidak

lepas dari bantuan, dukungan, serta do’a dari berbagai pihak, sehingga

penulis ingin menyampaikan rasa terima kasih yang sangat besar kepada:

Pembimbing tugas akhir penulis, Dra Rianti Setiadi MSi dan Dra

Saskya Mary MSi, yang telah memberikan waktu, tenaga, pikiran,

arahan, dan motivasi

Ayah dan ibu penulis, Handi Rohandi dan Linda Marni Djohan, yang

telah memberikan segalanya, terutama kasih sayang, perhatian,

kesabaran, dorongan, dan tempat bernaung

Pendamping hari-hari penulis, Desi Natasha Rufiani, yang telah

memberikan waktu bersama, baik dalam suka maupun duka

Keluarga Andromeda, Johan Andromeda, Lydia Amanda Handayani,

dan Maissa Aliya Andromeda, yang telah memberikan doa dan

motivasi

Kakek dan nenek penulis, (Alm)Hassan Basri Djohan dan

(Almah)Chasiah Djohan, yang telah memberikan kasih sayang

sewaktu kecil, beserta (Alm)Sanapi dan (Almah)Uken Sukaenah

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 5: Random Sampling

ii

Pembimbing Akademik penulis, Bevina D. Handari PhD, yang telah

memberikan perhatian untuk perkembangan akademik penulis

Dosen-dosen Matematika Universitas Indonesia khususnya Dra Netty

Sunandi MSi, Milla Novita SSi MSi, Sarini SSi MStats, Dr Dian Lestari

DEA, Dra Suarsih Utama, dan Fevi Novkaniza SSi MSi yang telah

memberikan waktu untuk hadir dalam seminar dan sidang penulis,

beserta Prof Dr Djati Kerami DEA

Tim Pencari Katak, Ajat Ardiansyah, Pudiahwai Anton Wibowo, Bembi

Prima, R.Arkan Gilang, Agustinus Gunung, Ilham Candra Budiman,

Rendie Maulana Arifin, Reza Henganing, Irwanto, Yanuar Singgih

Saputra, Desi Natasha Rufiani, dan Ardani, yang telah memberikan

waktu dan tenaga dalam pengambilan sampel di Danau Agatis,

Universitas Indonesia

Karyawan Departemen Matematika FMIPA Universitas Indonesia,

yang telah memberikan bantuan dalam segala hal di jurusan

Sahabat-sahabat the Deplus, Priangga Adam Kartosuwiryo, Ilham

Hismi Haque, Rezza Abadilla, dan I Made Yogi Pranasatya, yang telah

memberikan banyak hal bersama

Teman-teman Matematika 2003, yang telah memberikan

kebersamaan selama beberapa tahun terakhir ini

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 6: Random Sampling

iii

Teman-teman Matematika angkatan lain, yang telah memberikan

pilihannya untuk mengejar cita-cita di kampus ini

Teman-teman Indonesian Toon Army, CCF Wijaya, dan Futsal Sabtu

Pagi, yang telah memberikan kesenangan dan keceriaan pada masa-

masa penyelesaian tugas akhir ini

Murid-murid penulis, Barry Thraser, DB, Jamie McNally, dan Kurt

McNally, yang telah memberikan keceriaan tersendiri

Keluarga Suwenda, Bapak Rema Suwenda, Ibu Fatmahani

Dhamayanti, Desi Natasha Rufiani, dan Astrid Novirianti, yang telah

memberikan kesabaran dan kepercayaan yang sangat besar

dan pihak-pihak lain yang tanpa sengaja tidak disebutkan di atas,

namun telah memberikan bantuan selama ini

Akhir kata, penulis sangat menyadari bahwa tugas akhir ini masih

sangat jauh dari kesempurnaan, oleh karena hal tersebut penulis memohon

maaf dan sangat terbuka terhadap saran dan kritik yang membangun.

Semoga tugas akhir ini bermanfaat.

Penulis

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 7: Random Sampling

iv

ABSTRAK

Masalah yang akan dijumpai dalam pengambilan sampel di alam

terbuka dengan objek pengamatan hewan yaitu tidak semua objek

pengamatan dapat terdeteksi. Salah satu metode untuk mengatasinya adalah

metode Detectability Sampling, yaitu metode pengambilan sampel dengan

mempertimbangkan probabilitas terdeteksinya suatu objek pengamatan. Jika

metode Detectability Sampling diterapkan pada Simple Random Sampling,

maka metode pengambilan sampel ini disebut Detectability Simple Random

Sampling. Taksiran total populasi yang didapat dari metode Detectability

Simple Random Sampling merupakan taksiran yang tak bias. Probabilitas

terdeteksinya suatu objek pengamatan dapat diketahui atau ditaksir dari

penelitian sebelumnya.

Dalam tugas akhir ini, probabilitas terdeteksinya suatu objek

pengamatan ditaksir dari penelitian sebelumnya yang menggunakan metode

Direct Sampling. Studi kasus penerapan metode ini digunakan dalam

menaksir total banyak katak di sekeliling Danau Agatis, Universitas

Indonesia. Hasil analisa data menunjukkan bahwa total banyak katak di

sekeliling Danau Agatis adalah sebesar 266 katak. Jika banyak katak per

luas di sekeliling Danau Agatis dibandingkan dengan banyak katak per luas

yang didapat dari penelitian sebelumnya di sekeliling danau yang bersih,

dimana memberikan hasil bahwa banyak katak per luas di sekeliling Danau

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 8: Random Sampling

v

Agatis lebih kecil dibandingkan banyak katak per luas di danau yang bersih,

maka dapat disimpulkan bahwa Danau Agatis, Universitas Indonesia telah

mulai tercemar.

kata kunci : taksiran tak bias, total populasi, simple random sampling,

probabilitas terdeteksinya objek pengamatan, direct

sampling

x + 64 hlmn.

Bibliografi : 8 (1977-2009)

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 9: Random Sampling

vi

DAFTAR ISI

Halaman

KATA PENGANTAR ............................................................................... i

ABSTRAK ............................................................................................... iv

DAFTAR ISI ............................................................................................ vi

DAFTAR TABEL ..................................................................................... ix

DAFTAR GAMBAR ................................................................................ x

BAB I PENDAHULUAN .......................................................................... 1

1.1 Latar Belakang ...................................................................... 1

1.2 Perumusan Masalah ............................................................. 2

1.3 Tujuan ................................................................................... 3

1.4 Sistematika Penulisan .......................................................... 3

BAB II LANDASAN TEORI ................................................................... 5

2.1 Metode penaksiran mean dan total populasi dengan

Simple Random Sampling .................................................. 5

2.1.1 Taksiran untuk mean populasi ............................. 5

2.1.2 Taksiran untuk total populasi ............................... 13

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 10: Random Sampling

vii

2.2 Metode untuk mencari taksiran dari probabilitas

terdeteksinya suatu objek pengamatan ........................... 15

BAB III DETECTABILITY SIMPLE RANDOM SAMPLING ................ 20

3.1 Pengertian dasar tentang metode Detectability Sampling 20

3.2 Pengertian dan cara pengambilan sampel dengan

metode Detectability Simple Random Sampling .............. 25

3.3 Taksiran untuk total populasi dimana sampel diambil

dengan metode Detectability Simple Random Sampling 27

3.3.1 Jika probabilitas terdeteksinya suatu objek

diketahui dan bernilai sama untuk setiap

daerah pengamatan .......................................... 27

3.3.2 Jika probabilitas terdeteksinya suatu objek

diketahui, namun memiliki ni lai yang berbeda

untuk setiap daerah pengamatan ..................... 33

3.3.3 Jika probabilitas terdeteksinya suatu objek

tidak diketahui, namun diasumsikan bernilai

sama untuk setiap daerah pengamatan .......... 40

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 11: Random Sampling

viii

BAB IV APLIKASI .......................................................................... 45

4.1 Katak sebagai bioindikator tingkat kebersihan danau 45

4.2 Pengambilan sampel katak di sekeliling Danau Agatis

Universitas Indonesia ................................................... 47

4.3 Populasi dan sampel .................................................... 48

4.4 Hasil penelitian dan pembahasan ................................ 48

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ............................................. 52

5.1 Kesimpulan .................................................................. 52

5.2 Saran ........................................................................... 55

LAMPIRAN ................................................................................... 56

Lampiran 1 ....................................................................... 57

Lampiran 2 ....................................................................... 58

Lampiran 3 ....................................................................... 62

DAFTAR PUSTAKA ................................................................... 64

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 12: Random Sampling

ix

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel Hasil Penelitian Di Danau Agatis .......................................... 48

Tabel Analisa Deskriptif .................................................................. 49

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 13: Random Sampling

x

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar Foto-Foto Sampah di Sekeliling Danau Agatis ................. 51

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 14: Random Sampling

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Pengambilan sampel dalam beberapa penelitian, khususnya di alam

terbuka, sering dijumpai masalah dimana unit sampel yang seharusnya

diamati sebagai elemen sampel, tidak dapat terdeteksi. Karena hal ini, jika

ingin mencari taksiran parameter populasi, misalnya total populasi, perlu

diperhatikan metode pengambilan sampel yang tepat, dengan

mempertimbangkan probabilitas terdeteksinya unit sampling. Jika probabilitas

terdeteksinya suatu unit sampling tidak diperhatikan, maka akan didapatkan

taksiran yang underestimate terhadap total populasi. Metode pengambilan

sampel dengan memperhatikan probabilitas terdeteksinya suatu unit

sampling disebut metode Detectability Sampling. Jika metode Detectability

Sampling diterapkan pada Simple Random Sampling, maka metode

pengambilan sampel ini disebut Detectability Simple Random Sampling.

Dalam metode Detectability Sampling, probabilitas terdeteksinya suatu unit

sampling dapat diketahui atau ditaksir berdasarkan data penelitian

sebelumnya.

Dalam tugas akhir ini, akan dibahas tentang cara mencari taksiran

total populasi pada metode pengambilan sampel Detectability Simple

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 15: Random Sampling

2

Random Sampling jika probabilitas terdeteksinya suatu objek pengamatan

telah diketahui atau ditaksir berdasarkan data penelitian sebelumnya. Metode

tersebut akan diterapkan untuk menaksir total banyak katak di sekeli ling

Danau Agatis, Universitas Indonesia, yaitu danau alami yang berada tepat di

seberang Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas

Indonesia. Pengambilan sampel katak dilakukan secara Detectabillity Simple

Random Sampling di sekeliling Danau Agatis, Unversitas Indonesia.

Dalam penerapannya, taksiran probabilitas terdeteksinya katak dan

taksiran untuk variansinya diperoleh dari penelitian sebelumnya dengan

menggunakan metode Direct Sampling. Banyak katak di sekeli ling danau

dapat menjadi bioindikator kebersihan danau tersebut. Semakin banyak

katak, berarti semakin bersih danau tersebut. Dengan membandingkan

banyak katak per luas di sekeli ling Danau Agatis terhadap banyak katak per

luas di sekeliling danau yang bersih, dapat ditentukan apakah Danau Agatis

masih bersih atau sudah tercemar.

1.2 Perumusan Masalah

Permasalahan dalam tugas akhir ini adalah bagaimana mencari

taksiran total populasi berdasarkan sampel yang diambil dengan metode

Detectability Simple Random Sampling baik jika probabilitas terdeteksinya

suatu objek pengamatan diketahui, maupun jika probabilitas terdeteksinya

objek pengamatan ditaksir berdasarkan data dari penelitian sebelumnya.

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 16: Random Sampling

3

1.3 Tujuan

Tujuan dari tugas akhir ini:

1. Mencari taksiran total populasi berdasarkan sampel yang diambil

dengan metode Detectability Simple Random Sampling jika

probabilitas terdeteksinya suatu objek pengamatan diketahui.

2. Mencari taksiran total populasi berdasarkan sampel yang diambil

dengan metode Detectability Simple Random Sampling jika

probabilitas terdeteksinya suatu objek pengamatan ditaksir

berdasarkan data dari penelitian sebelumnya.

3. Metode Detectability Simple Random Sampling akan diterapkan untuk

menghitung total banyak katak di sekeliling Danau Agatis, Universitas

Indonesia.

4. Membandingkan banyak katak per luas di sekeliling Danau Agatis

terhadap banyak katak per luas di sekeliling danau yang masih bersih.

1.4 Sistematika Penulisan

Penulisan tugas akhir ini dibagi menjadi lima bab, yaitu :

BAB I PENDAHULUAN

Bab ini menjelaskan secara singkat mengenai latar belakang,

permasalahan, tujuan, pembatasan masalah, aplikasi dan

sistematika penulisan.

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 17: Random Sampling

4

BAB II LANDASAN TEORI

Bab ini membahas landasan teori dari tugas akhir ini yaitu

mengenai metode untuk mencari taksiran mean dan total populasi

pada Simple Random Sampling. Akan dibahas jaga metode Direct

Sampling yang akan digunakan untuk menaksir probabilitas

terdeteksinya suatu objek pengamatan

BAB III DETECTABILITY SIMPLE RANDOM SAMPLING

Bab ini menjelaskan mengenai bagaimana cara pengambilan

sampel dengan metode Detectability Simple Random Sampling,

dan mencari taksiran total populasi dimana sampel diambil dengan

metode Detectability Simple Random Sampling.

BAB IV APLIKASI

Bab ini menjelaskan penerapan metode Detectability Simple

Random Sampling dalam pengambilan sampel untuk menaksir

total banyak katak di sekeliling Danau Agatis, Universitas

Indonesia.

BAB V PENUTUP

Bab ini menampilkan kesimpulan dan saran.

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 18: Random Sampling

5

BAB II

LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dibahas dasar-dasar teori yang akan digunakan

dalam penulisan tugas akhir ini, yaitu mengenai metode penaksiran mean

dan total populasi untuk Simple Random Sampling dan metode untuk

mencari taksiran dari probabilitas terdeteksinya suatu objek pengamatan.

2.1 Metode penaksiran mean dan total populasi dengan Simple Random

Sampling

Simple Random Sampling adalah cara pengambilan sampel dimana

sampel berukuran n diambil dari populasi berukuran N . Dengan cara ini

maka setiap unit populasi akan memiliki probabilitas yang sama untuk terpilih

menjadi sampel.

2.1.1 Taksiran untuk mean populasi

Misalkan sampel berukuran n diambil dari populasi berukuran N .

Definisikan S adalah sampel yang terpilih secara Simple Random Sampling.

nyyy ,...,, 21 adalah nilai-nilai dari unit sampel yang terpilih secara Simple

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 19: Random Sampling

6

Random Sampling. Sebut Nuuu ,...,, 21 adalah nilai-nilai dari unit populasi.

Definisikan N

uN

i

i 1 sebagai mean populasi. Selanjutnya didefinisikan

n

y

y

n

i

i 1 , maka dapat dibuktikan bahwa:

1. y adalah taksiran tak bias untuk

2. variansi dari y adalah

1

2

N

nN

nyV

dengan

N

i

iuN 1

22 1

3.

N

nN

n

syV

2

ˆ adalah taksiran tak bias untuk yV , dimana

n

i

i yyn

s1

22

1

1

bukti:

Definisikan variabel indikator

Su

Suz

i

i

i,0

,1

dapat diketahui bahwa

)1.1.2.........(..........................................................................................

101

Pr0Pr1

0Pr01Pr1

N

n

N

n

N

n

SuSu

zzzE

ii

iii

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 20: Random Sampling

7

)2.1.2........(................................................................................1

2

2

22

N

n

N

n

N

n

N

n

zEzE

zEzEzV

ii

iii

dan jijiji zEzEzzEzz ,cov , dimana

)3.1.2.........(................................................................................1

1

!21

!21

!2

!2

!!

!

!2!

!2

1,1Pr

22

NN

nn

nnn

NNN

n

N

nnN

N

nnN

N

C

C

zzzzE

nN

nN

jiji

sehingga dari persamaan (2.1.1) dan (2.1.3), didapat

2

1

1

1

1

,cov

N

n

N

n

N

n

N

n

N

n

NN

nn

zEzEzzEzz jijiji

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 21: Random Sampling

8

)4.1.2.......(............................................................1

11

1

11

1

1

1

1

1

11

1

1

1

1,cov

2

NN

n

N

n

NN

n

N

n

NN

Nn

N

n

NN

Nn

N

n

NN

nNnNNn

N

n

NN

NnnN

N

n

N

n

N

n

N

n

N

n

N

n

N

nzz ji

sehingga

1. akan dibuktikan bahwa y adalah taksiran tak bias untuk , yang

berarti bahwa yE

n

zEu

n

zu

E

n

y

EyE

N

i

ii

N

i

ii

n

i

i

1

1

1

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 22: Random Sampling

9

dari persamaan (2.1.1) didapat

)5.1.2.....(..........................................................................................

1

1

1

N

u

n

N

nu

n

zEu

yE

N

i

i

N

i

i

N

i

ii

terbukti bahwa y adalah taksiran tak bias untuk .

2. akan ditunjukkan bahwa

1

2

N

nN

nyV

dengan

N

i

iuN 1

22 1

)6.1.2........(..............................,cov1

1

1

1

2

2

1

1

N

i ji

jijiii

N

i

ii

n

i

i

zzuuzVun

zun

V

yn

VyV

dari persamaan (2.1.2), (2.1.4), dan karena

N

i

i

N

i

i

ji

ji uuuu1

2

2

1

, maka

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 23: Random Sampling

10

)7.1.2(......................................................................1

1

1

1

1

11

1

1

11

1

1

11

1

1

11

1

111

1

11

11

1

11

1

1

111

1

,cov1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

1

2

2

11

2

2

11

2

1

2

1

1

2

2

12

1

2

2

1

2

2

1

2

2

N

nN

n

N

u

N

nN

n

N

u

N

nN

n

N

u

N

n

n

uNN

n

n

N

u

uNN

n

n

uuNNN

n

nN

N

u

N

u

N

uN

N

n

nN

N

uu

uN

n

nN

N

uuu

N

n

N

n

n

NN

n

N

nuu

N

n

N

nu

n

zzuuzVun

yV

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

iN

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

N

i

i

N

i

i

i

N

i ji

ji

i

N

i ji

jii

N

i ji

jijiii

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 24: Random Sampling

11

3. akan dibuktikan

N

nN

n

syV

2

ˆ adalah taksiran tak bias yV ,

n

i

i yyn

s1

22

1

1 , yang berarti akan dibuktikan yVyVE ˆ

2

2

ˆ

sENn

nN

N

nN

n

sEyVE

dimana

n

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

ynVyVn

ynyEn

ynynyEn

ynyynyEn

yyynyEn

yyyyEn

yyyyEn

yyEn

yyEn

yyn

EsE

1

1

22

22

1

2

2

1

2

1

2

1

2

11

2

1

2

1

22

1

2

1

2

1

22

1

1

1

1

21

1

21

1

21

1

21

1

21

1

1

1

1

1

1

1

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 25: Random Sampling

12

)8.1.2...(................................................................................1

1

1

1

11

11

1

1

1

11

11

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

22

2

1

2

N

N

N

nN

n

N

NNn

n

N

nNnNn

n

N

nNNn

n

N

nNn

n

N

nN

nnn

n

ynVnn

ynVyVn

sEn

i

maka dari persamaan (2.1.8) didapat

)9.1.2.....(................................................................................

1

1

ˆ

2

2

2

2

yV

N

nN

n

N

N

Nn

nN

sENn

nN

N

nN

n

sEyVE

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 26: Random Sampling

13

karena yVyVE ˆ , maka terbukti bahwa

N

nN

n

syV

2

ˆ adalah

taksiran tak bias untuk yV .

2.1.2 Taksiran untuk total populasi

Didefinisikan total populasi sebagai

N

i

iY1

dan mean populasi

sebagai

N

i

iYN 1

1 , selanjutnya didefinisikan taksiran untuk total populasi

adalah n

y

NyN

n

i

i 1 dan dapat dibuktikan bahwa:

1. merupakan taksiran tak bias untuk

2. Variansi dari adalah

22

N

nN

nNV

3.

N

nN

n

sNV

22ˆˆ adalah taksiran tak bias untuk V

bukti:

1. akan dibuktikan adalah taksiran tak bias , yang berarti akan

dibuktikan )ˆ(E

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 27: Random Sampling

14

yNE

yNEE

)ˆ(

dari persamaan (2.1.5) didapat yE , sehingga

)10.1.2....(................................................................................

)ˆ(

NE

karena ˆE , maka terbukti yN adalah taksiran tak bias untuk .

2. akan ditunjukkan variansi dari adalah

22

N

nN

nNV

.

yVN

yNVV

2

ˆ

dari persamaan (2.1.7) didapat

1

2

N

nN

nyV

, sehingga

)11.1.2..(............................................................1

ˆ

22

2

N

nN

nN

yVNV

telah ditunjukkan bahwa variansi dari adalah

22

N

nN

nNV

3. akan dibuktikan bahwa V adalah taksiran tak bias untuk V , yang

berarti akan dibuktikan bahwa ˆˆˆ VVE

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 28: Random Sampling

15

yVEN

yVNE

yNVEVE

ˆ

ˆ

ˆˆˆ

2

2

dari persamaan (2.1.9) didapat

2

N

nN

nyVE

, sehingga

)12.1.2...(......................................................................ˆ

1

ˆˆˆ

22

2

V

N

nN

nN

yVENVE

karena ˆˆˆ VVE , maka terbukti V adalah taksiran tak bias untuk

V

2.2 Metode untuk mencari taksiran dari probabilitas terdeteksinya suatu

objek pengamatan

Metode Detectability Simple Random Sampling merupakan suatu

metode pengambilan sampel yang mempertimbangkan adanya probabilitas

terdeteksinya suatu objek pengamatan. Namun dalam penerapannya,

adakalanya probabilitas terdeteksinya suatu objek pengamatan p tidak

diketahui, sehingga harus ditaksir berdasarkan data penelitian sebelumnya.

Karena dalam penerapan pada tugas akhir ini nilai taksiran untuk p didapat

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 29: Random Sampling

16

dari penelitian sebelumnya yang menggunakan metode Direct Sampling

untuk menaksir total banyak katak di sekeliling suatu danau, yang berada di

lingkungan Kampus Universitas Indonesia Depok, maka pada subbab ini

akan dijelaskan tentang metode untuk mendapatkan taksiran untuk p pada

metode Direct Sampling. Metode Direct Sampling dilakukan untuk menaksir

probabilitas terdeteksinya suatu objek pengamatan p , yang dilakukan

dengan cara sebagai berikut:

Ambil sampel sebanyak t objek pengamatan, ditandai, dan kemudian

dilepaskan kembali ke habitatnya. Selanjutnya pada kesempatan lain, diambil

lagi sampel sebanyak n objek pengamatan, dan dihitung banyak objek yang

telah ditandai pada pengambilan sampel sebelumnya. Misalkan s adalah

objek pengamatan yang tertandai. Karena n suatu nilai fixed, maka s akan

berdistribusi pnb , dengan p merupakan probabilitas terdeteksinya suatu

objek pengamatan.

Definisikan n

sp ˆ , dan dapat dibuktikan bahwa:

1. p adalah taksiran tak bias untuk p ,

2. variansi untuk p adalah

n

pppV

1ˆ ,

3.

2

2

1

1ˆˆ

n

s

n

s

npV adalah taksiran tak bias untuk pV ˆ

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 30: Random Sampling

17

bukti:

1. akan dibuktikan p adalah taksiran tak bias untuk p , yang berarti akan

dibuktikan ppE ˆ

sEn

n

sEpE

1

ˆ

karena s berdistribusi pnb , dengan npsE , maka

)1.2.2....(..........................................................................................

1

p

npn

sEn

pE

karena ppE ˆ , maka terbukti p adalah taksiran tak bias untuk p

2. akan ditunjukkan bahwa variansi untuk p adalah

n

pppV

sVn

n

sVpV

2

1

ˆ

karena s berdistribusi pnb , dengan pnpsV 1 , maka

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 31: Random Sampling

18

)2.2.2....(................................................................................

1

11

2

2

n

pp

pnpn

sVn

pV

telah ditunjukkan bahwa variansi untuk p adalah

n

pppV

3. akan dibuktikan bahwa

2

2

1

1ˆˆ

n

s

n

s

npV adalah taksiran tak bias

untuk pV ˆ , yang berarti akan dibuktikan bahwa pVpVE ˆˆˆ

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

11

1

1

11

1

1

1

1

1

1

1

1ˆˆ

sEsVn

sEnn

sEn

sEnn

n

sE

n

sE

n

n

s

n

sE

n

n

s

n

s

nEpVE

karena s berdistribusi pnb , dengan npsE dan pnpsV 1 , maka

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 32: Random Sampling

19

)3.2.2....(................................................................................ˆ

1

1

11

1

11

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

111

1

1

11

1

1ˆˆ

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

pV

n

pp

nn

npp

nn

ppppn

nn

pp

n

pp

nn

pp

n

pp

n

pppp

n

pn

ppp

n

pn

ppp

n

n

pn

n

pnpp

n

nppnpn

npnn

sEsVn

sEnn

pVE

karena pVpVE ˆˆˆ , maka terbukti pV ˆˆ adalah taksiran tak bias

pV ˆ

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 33: Random Sampling

20

BAB III

DETECTABILITY SIMPLE RANDOM SAMPLING

Pada bab ini akan dijelaskan mengenai bagaimana cara pengambilan

sampel dengan metode Detectability Simple Random Sampling, serta cara

mencari taksiran total populasi dimana sampel diambil dengan metode

Detectability Simple Random Sampling.

3.1 Pengertian dasar tentang metode Detectability Sampling

Dalam pengambilan sampel di alam bebas dengan objek pengamatan

hewan, pasti akan menemukan masalah yaitu tidak semua objek

pengamatan dapat terdeteksi. Salah satu cara untuk mengatasinya adalah

dengan menggunakan metode Detectability Sampling, yaitu sebuah metode

pengambilan sampel dengan mempertimbangkan probabilitas terdeteksinya

objek pengamatan.

Misal:

adalah total banyak objek yang sebenarnya

y adalah banyak objek pengamatan yang terdeteksi

p adalah probabilitas terdeteksinya suatu objek pengamatan

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 34: Random Sampling

21

y akan berdistribusi binomial pb , dengan pyE dan

ppyV 1

Jika probabilitas terdeteksinya objek pengamatan p telah diketahui,

maka akan didefinisikan taksiran untuk adalah p

y . Selanjutnya dapat

ditunjukkan bahwa:

1. adalah taksiran tak bias untuk

2. variansi untuk adalah

p

pV

3.

2

1ˆˆ

p

pyV

adalah taksiran tak bias untuk V

bukti:

1. akan dibuktikan bahwa adalah taksiran tak bias untuk , dengan

perkataan lain akan dibuktikan bahwa ˆE

)1.1.3.(..........................................................................................

1

1

ˆ

pp

yEp

p

yEE

karena ˆE , maka terbukti p

y adalah taksiran tak bias .

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 35: Random Sampling

22

2. akan ditunjukkan bahwa variansi untuk adalah

p

pV

)2.1.3.(................................................................................1

11

1

ˆ

2

2

p

p

ppp

yVp

p

yVV

terbukti bahwa variansi untuk adalah

p

pV

3. akan dibuktikan bahwa

2

1ˆˆ

p

pyV

adalah taksiran tak bias untuk

V , dengan perkataan lain akan dibuktikan bahwa ˆˆˆ VVE

)3.1.3..(......................................................................ˆ

1

1

1

1ˆˆ

2

2

2

V

p

p

pp

p

yEp

p

p

pyEVE

karena ˆˆˆ VVE , maka terbukti

2

1ˆˆ

p

pyV

adalah taksiran

tak bias untuk V .

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 36: Random Sampling

23

Jika probabilitas terdeteksinya objek pengamatan p tidak diketahui,

namun ditaksir dengan p , dimana p adalah taksiran tak bias untuk p dan

p tidak berkorelasi dengan y , maka akan didefinisikan taksiran untuk total

populasi adalah p

y

ˆˆ . Variansi untuk p , sebut pV ˆ , dan taksiran untuk

pV ˆ , sebut pV ˆˆ , dapat dicari berdasarkan metode yang digunakan untuk

menaksir p . Selanjutnya dapat dibuktikan bahwa:

1. adalah taksiran tak bias untuk ,

2. variansi untuk adalah pVpp

pV ˆ

2

2

,

bukti:

1. akan dibuktikan adalah taksiran tak bias untuk , yang berarti akan

dibuktikan bahwa ˆE

berdasarkan Delta Method, XE

YE

X

YE

, sehingga

)4.1.3.......(................................................................................

ˆ

ˆˆ

p

p

pE

yE

p

yEE

karena ˆE , maka terbukti p

y

ˆˆ adalah taksiran tak bias untuk .

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 37: Random Sampling

24

2. akan ditunjukkan bahwa pVpp

pV ˆ

2

2

berdasarkan Delta Method,

YX

XE

YEXV

XE

YEYV

XEX

YV ,cov

2134

2

2

, sehingga

ypp

ppV

p

pyV

p

yppE

yEpV

pE

yEyV

pE

p

yVV

,ˆcov2

ˆ1

,ˆcovˆ

ˆˆ

1

ˆˆ

34

2

2

34

2

2

karena p tidak berkorelasi dengan y , maka 0,ˆcov yp , sehingga

)5.1.3....(............................................................ˆ1

ˆ11

ˆ1

,ˆcov2

ˆ1

ˆ

2

2

4

22

2

4

2

2

34

2

2

pVpp

p

pVp

ppp

p

pVp

pyV

p

ypp

ppV

p

pyV

pV

telah ditunjukkan bahwa variansi untuk adalah pVpp

pV ˆ

2

2

Taksiran dari V dapat dicari dengan formula sebagai berikut:

)6.1.3..(......................................................................ˆˆˆˆ

ˆ1ˆˆ

4

2

2pV

p

y

p

pyV

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 38: Random Sampling

25

3.2 Pengertian dan cara pengambilan sampel dengan metode

Detectability Simple Random Sampling

Detectability Simple Random Sampling adalah cara pengambilan

sampel secara Simple Random Sampling dengan memperhatikan

probabilitas terdeteksinya suatu unit sampling. Probabilitas terdeteksinya

suatu unit sampling adalah probabilitas sebuah objek teramati (baik terlihat,

terdengar, tertangkap, maupun terdeteksi oleh suatu alat pendeteksi) dalam

suatu daerah pengamatan.

Metode Detectability Simple Random Sampling sering digunakan

untuk menaksir total banyak suatu jenis hewan di daerah tertentu. Namun

penaksiran total banyak objek pengamatan sangat bergantung pada

probabilitas terdeteksinya objek pengamatan tersebut. Probabilitas

terdeteksinya suatu objek pengamatan, dinotasikan sebagai p , dapat

dianggap telah diketahui atau ditaksir dari data penelitian sebelumnya.

Probabilitas terdeteksinya suatu objek pengamatan dapat ditaksir

dengan berbagai metode, misalnya dengan metode perbandingan banyak

objek yang teramati dari udara terhadap banyak objek yang diamati dari

darat, metode perbandingan jumlah salah satu spesies terhadap seluruh

spesies dari objek, metode Double Sampling, metode Direct Sampling,

metode Inverse Sampling, dan metode-metode pendeteksian lainnya. Dalam

tugas akhir ini, p ditaksir berdasarkan data yang diambil dengan metode

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 39: Random Sampling

26

Direct Sampling. Dengan metode Direct Sampling telah dibuktikan n

sp ˆ

adalah taksiran tak bias untuk p , dan

2

2

1

1ˆˆ

n

s

n

s

npV adalah taksiran

tak bias untuk variansi dari p .

Cara pengambilan sampel dengan metode Detectability Simple

Random Sampling dilakukan dengan membagi wilayah pengamatan menjadi

N daerah pengamatan, kemudian dari N daerah pengamatan tersebut,

dipilih n daerah pengamatan secara Simple Random Sampling. Dari setiap

n daerah pengamatan yang terpilih, akan dicatat banyak objek yang

terdeteksi di daerah pengamatan tersebut. Seperti yang telah disebutkan

sebelumnya, untuk mencari taksiran total banyak objek di setiap daerah

pengamatan bergantung pada probabilitas terdeteksinya suatu objek

pengamatan p , yang untuk setiap daerah pengamatan dapat diketahui

maupun tidak, dan dapat bernilai sama maupun tidak. Sehingga pembahasan

mengenai penaksiran total populasi dimana sampel diambil dengan metode

Detectability Simple Random Sampling akan dibedakan menjadi:

1) p diketahui dan bernilai sama untuk setiap daerah pengamatan

2) p diketahui, namun bernilai beda untuk setiap daerah pengamatan

3) p tidak diketahui, namun ditaksir dengan p yang diasumsikan

bernilai sama untuk setiap daerah pengamatan.

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 40: Random Sampling

27

3.3 Taksiran untuk total populasi dimana sampel diambil dengan

metode Detectability Simple Random Sampling

3.3.1 Jika probabilitas terdeteksinya suatu objek diketahui dan bernilai

sama untuk setiap daerah pengamatan

Misalkan:

Wilayah pengamatan dibagi menjadi N daerah pengamatan,

Sampel merupakan n daerah pengamatan yang diambil secara Simple

Random Sampling dari N daerah pengamatan,

iY adalah banyak sebenarnya objek di daerah pengamatan ke- i ,

iy adalah banyak objek terdeteksi oleh peneliti di daerah pengamatan ke- i ,

p adalah probabilitas objek terdeteksi, dimana p diasumsikan diketahui dan

bernilai sama untuk setiap daerah pengamatan.

Jika nilai-nilai NYYY ,...,, 21 fixed, maka variabel random iy berdistribusi

binomial pYb i , , dengan pYyE ii dan ppYyV ii 1 . Didefinisikan

taksiran untuk banyak sebenarnya objek pada daerah pengamatan ke- i , iY

adalah p

yY i

i ˆ .

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 41: Random Sampling

28

Didefinisikan total banyak objek diseluruh daerah pengamatan sebagai

N

i

iY1

. Kemudian didefinisikan taksiran untuk total populasi adalah

p

yN dimana

n

i

i

n

yy

1

. Dapat ditunjukkan bahwa:

1. iY adalah taksiran tak bias untuk iY

2. adalah taksiran tak bias untuk

3.

np

p

nN

nNNV

1

22 dimana

N

i

i

N

Y

1

2

2 ,

N

i

iYN 1

1

4.

y

Np

p

np

s

N

nNNV

22

22 1

ˆˆ adalah taksiran tak bias untuk V ,

dimana

n

i

i

n

yys

1

2

2

1 dan

n

i

iyn

y1

1

bukti:

1. akan dibuktikan iY adalah taksiran tak bias iY , yang berarti akan

dibuktikan ii YYE ˆ

)1.3.3(................................................................................

1

1

ˆ

i

i

i

i

i

Y

pYp

yEp

p

yEYE

karena ii YYE ˆ , maka terbukti p

yY i

i ˆ adalah taksiran tak bias untuk iY .

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 42: Random Sampling

29

2. akan dibuktikan adalah taksiran tak bias , yang berarti akan dibuktikan

bahwa ˆE

didefinisikan

n

i

iYn

Y1

1 , dan dari persamaan (2.1.5) didapat YE ,

dimana

N

i

iYN 1

1 .

Untuk suatu sampel s tertentu berlaku pYsyE ii | . Jika dimisalkan s

berukuran n , maka

)2.3.3....(................................................................................

1

|

|

|

|ˆˆ

1

1

1

1

1

1

N

i

i

N

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

Y

YN

N

N

YNE

YNE

Yn

NE

pYnp

NE

syEnp

NE

synp

NEE

sp

yNEE

sEEE

karena ˆE , maka terbukti p

yN merupakan taksiran tak bias .

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 43: Random Sampling

30

3. akan ditunjukkan bahwa

np

p

nN

nNNV

1

22 dengan

N

i

i

N

Y

1

2

2 dan

N

i

iYN 1

1

dari persamaan (2.1.5) dan (2.1.7) didapat YE dan nN

nNYV

2

1

,

sehingga

)3.3.3.........(........................................1

1

1

1

1

11

1

1

||

||

||

|ˆ|ˆˆ

22

222

22

1

2

1

2

1

1

2

1

1

2

1

11

np

p

nN

nNN

p

p

n

N

nN

nNN

YEp

p

n

NYVN

Yn

Ep

p

n

NYNV

Yp

p

n

NEY

n

NV

ppYnp

NEpY

np

NV

syVnp

NEsyE

np

NV

synp

NVEsy

np

NEV

sp

yNVEs

p

yNEV

sVEsEVV

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 44: Random Sampling

31

telah ditunjukkan bahwa

np

p

nN

nNNV

1

22 dengan

N

i

i

N

Y

1

2

2 dan

N

i

iYN 1

1 .

4. akan dibuktikan V adalah taksiran tak bias untuk V , dengan

perkataan lain, akan dibuktikan bahwa ˆˆˆ VVE

Misalkan Nyyy ,...,, 21y adalah ni lai dari iy jika seluruh N daerah

pengamatan terpilih menjadi sampel

Dengan mengondisikan bersyarat y , maka Simple Random Sampling untuk

n unit, akan menghasilkan

N

i

iyN

yE1

1| y

N

i

N

i

ii yN

yNnN

nNyV

1

2

1

11

1| y

dan

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

i

N

i

i YN

ppppY

NyV

NyV

Ny

NVyEV

12

12

12

12

1

11

1111| y

y

y

|1

|ˆˆˆˆ

22

22 y

Np

p

np

s

N

nNNEE

VEEVE

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 45: Random Sampling

32

)4.3.3......(..........................................................................................ˆ

|ˆ|ˆ

||

||

111

1

1

1

1

1

11

1

|1

1

|1

|

|1

|1

ˆˆ

2

2

12

1 12

2

12

2

2

2

12

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

V

EVVE

yp

NEVy

p

NVE

yEVyVEp

N

YN

ppy

Ny

NnN

nN

p

N

yEN

p

nN

nNE

p

N

yEN

p

nN

nNE

p

N

yNN

pE

nN

nNE

p

N

yEN

pE

nN

nNE

p

N

yN

pEE

n

s

N

nNEE

p

N

yN

p

n

s

N

nNEE

p

N

yN

p

n

s

N

nN

p

NEEVE

N

i

i

N

i

N

i

ii

N

i

i

N

i

i

N

i

i

yy

yy

yy

y

yy

y

y

karena ˆˆˆ VVE , maka terbukti

y

Np

p

np

s

N

nNNV

22

22 1

ˆˆ

merupakan taksiran tak bias V , dimana

n

i

i

n

yys

1

2

2

1 dan

n

i

iyn

y1

1 .

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 46: Random Sampling

33

3.3.2 Jika probabilitas terdeteksinya suatu objek diketahui, namun

memiliki nilai yang berbeda untuk setiap daerah pengamatan

Misalkan:

Wilayah pengamatan terdiri dari N daerah pengamatan,

Sampel merupakan n daerah pengamatan yang dipilih secara Simple

Random Sampling,

iY adalah banyak sebenarnya objek di daerah pengamatan ke- i ,

iy adalah banyak objek terdeteksi oleh peneliti di daerah pengamatan ke- i ,

ip adalah probabilitas suatu objek terdeteksi untuk daerah pengamatan ke- i ,

dimana setiap ip diasumsikan diketahui.

Jika nilai-nilai NYYY ,...,, 21 fixed, maka variabel random iy berdistribusi

binomial ii pYb , , dengan iii pYyE dan iiii ppYyV 1 . Didefinisikan

taksiran untuk banyak sebenarnya objek pada daerah pengamatan iY ,

adalah i

i

ip

yY ˆ .

Didefinisikan total banyak objek diseluruh daerah pengamatan sebagai

N

i

iY1

. Kemudian didefinisikan taksiran total populasi adalah

n

i i

i

p

y

n

N

1

.

Dapat ditunjukkan bahwa:

1. iY adalah taksiran tak bias untuk iY

2. adalah taksiran tak bias untuk

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 47: Random Sampling

34

3.

N

i i

N

i

i

i

i

ii

N

i

i Yp

p

n

NYY

Nn

nNY

n

nNV

1 1' 1

'

1

2 1

1

4.

n

i i

n

i

i

i

i

i

i

i

in

i i

i yp

p

n

N

p

y

p

y

nn

nN

n

N

p

y

n

nN

n

NV

1 1' 12

'

'

12

2 1

1ˆˆ adalah

taksiran tak bias untuk V .

bukti:

1. akan dibuktikan iY adalah taksiran tak bias iY , yang berarti akan

dibuktikan bahwa ii YYE ˆ

)5.3.3........(................................................................................

1

1

ˆ

i

ii

i

i

i

i

i

i

Y

pYp

yEp

p

yEYE

karena ii YYE ˆ , maka terbukti i

i

ip

yY ˆ adalah taksiran tak bias untuk iY .

2. akan dibuktikan adalah taksiran tak bias , yang berarti ˆE

didefinisikan

n

i

iYn

Y1

1 , dan dari persamaan (2.1.5) didapat YE ,

dimana

N

i

iYN 1

1 .

Untuk suatu sampel s tertentu berlaku iii pYsyE | . Jika dimisalkan s

berukuran n , maka

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 48: Random Sampling

35

)6.3.3.....(..........................................................................................

1

...1

1...

11

|1

...|1

|1

|...

|

|

|ˆˆ

1

1

21

22

2

11

1

2

2

1

1

2

2

1

1

1

1

N

i

i

N

i

i

n

nn

n

n

n

n

n

n

i i

i

n

i i

i

Y

YN

N

N

YNE

YYYn

NE

pYp

pYp

pYpn

NE

syEp

syEp

syEpn

NE

sp

y

p

y

p

yE

n

NE

sp

yE

n

NE

sp

y

n

NEE

sEEE

karena ˆE , terbukti

n

i i

i

p

y

n

N

1

adalah taksiran tak bias .

3. akan ditunjukkan

N

i i

N

i

i

i

i

ii

N

i

i Yp

p

n

NYY

Nn

nNY

n

nNV

1 1' 1

'

1

2 1

1

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 49: Random Sampling

36

n

i i

ii

n

i

i

n

n

nn

nnn

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

i i

in

i i

i

n

i i

in

i i

i

p

pYE

n

NYV

n

N

p

pY

p

pYE

n

NYYV

n

N

ppYp

ppYp

En

NpY

ppY

pV

n

N

syVp

syVp

En

NsyE

psyE

pV

n

N

sp

yVs

p

yVE

n

Ns

p

yEs

p

yEV

n

N

sp

y

p

yVE

n

Ns

p

y

p

yEV

n

N

sp

yVE

n

Ns

p

yEV

n

N

sp

y

n

NVEs

p

y

n

NEV

sVEsEVV

12

2

12

2

1

112

2

12

2

21112

1

2

2

11

1

2

2

212

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

12

2

12

2

11

1

1...

1...

11

...111

...1

|1

...|1

|1

...|1

|...||...|

|...|...

||

||

|ˆ|ˆˆ

misalkan variabel indikator

sampelbukanikeunit

sampelmenjadiikeunitzi

,0

,1, sehingga

N

i i

i

ii

N

i

ii

n

i i

ii

n

i

i

p

pzYE

n

NzYV

n

N

p

pYE

n

NYV

n

NV

12

2

12

2

12

2

12

2

1

1

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 50: Random Sampling

37

dari persamaan (2.1.6), (2.1.1), (2.1.2), dan (2.1.4) didapat

N

i i

iiii

N

i

ii

N

i

ii zzYYzVYzYV1 1'

''

1

2

1

,cov dengan N

nzE i ,

N

n

N

nzV i 1 , dan

1

11,cov '

NN

n

N

nzz ii

, sehingga

)7.3.3.........(....................

1

1

1

1

111

1

1

111

1

1

111

1,cov

11

'

1'1

2

11 1'

'

1

2

11 1'

'

1

2

12

2

1 1'

'

1

2

2

2

12

2

1 1'

''

1

2

2

2

12

2

12

2

N

i

i

i

iN

i

ii

i

N

i

i

N

i i

ii

N

i i

ii

N

i

i

N

i i

ii

N

i i

ii

N

i

i

N

i i

i

i

N

i i

ii

N

i

i

N

i

i

i

i

i

N

i i

iiii

N

i

ii

N

i i

iii

N

i

ii

Yp

p

n

NYY

Nn

nNY

n

nN

p

pY

n

N

Nn

NYY

n

NY

n

N

p

pY

NN

n

n

NYY

N

n

n

NY

N

n

p

pY

n

N

NN

n

N

nYY

N

n

N

nY

n

N

zEp

pY

n

NzzYYzVY

n

N

p

pzYE

n

NzYV

n

NV

telah ditunjukkan

N

i i

N

i

i

i

i

ii

N

i

i Yp

p

n

NYY

Nn

nNY

n

nNV

1 1' 1

'

1

2 1

1 .

4. akan dibuktikan

n

i i

n

i

i

i

i

i

i

i

in

i i

i yp

p

n

N

p

y

p

y

nn

nN

n

N

p

y

n

nN

n

NV

1 1' 12

'

'

12

2 1

1ˆˆ adalah

taksiran tak bias V , yang berarti akan dibuktikan bahwa ˆˆˆ VVE

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 51: Random Sampling

38

n

i

i

i

in

i i

ii

n

i

i

n

i i

i

n

i

i

i

in

i i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

i

in

i i

ii

n

i

ii

n

i i

i

i

i

n

i i

ii

n

i

i

n

i

i

i

i

n

i i i

i

i

in

i i

i

n

i

i

i

i

n

i i i

i

i

in

i i

i

n

i

i

i

i

n

i i i

i

i

in

i i

i

n

i i

n

i

i

i

i

i

i

i

in

i i

i

Yp

p

n

NEYY

nn

nN

n

NE

Yn

nN

n

NEs

p

yV

n

nN

n

NE

sYEp

p

n

NEYY

nn

nN

n

NE

sYEn

nN

n

NEsYV

n

nN

n

NE

sYp

pE

n

NEsYEsYE

nn

nN

n

NE

sYEsYVn

nN

n

NE

sp

y

p

pE

n

NE

sYYEnn

nN

n

NEsYE

n

nN

n

NE

syp

pE

n

NE

sp

y

p

yE

nn

nN

n

NEs

p

yE

n

nN

n

NE

syp

pE

n

NE

sp

y

p

yE

nn

nN

n

NEs

p

yE

n

nN

n

NE

syp

p

n

NEE

sp

y

p

y

nn

nN

n

NEEs

p

y

n

nN

n

NEE

syp

p

n

N

p

y

p

y

nn

nN

n

N

p

y

n

nN

n

NEEsVEE

11 1'

'

1

2

1

11 1'

'

1

2

1

11 1'

'

1

2

1

1 1'

'

1

2

12

1 1' '

'

12

2

12

1 1' '

'

12

2

12

1 1' '

'

12

2

1 1' 12

'

'

12

2

1

1

|

|ˆ1

1

|ˆ|ˆ

|ˆ1|ˆ|ˆ

1

|ˆ|ˆ

|1

|ˆˆ1

|1

|1

|

|1

|1

|

|1

|1

|

|1

1|ˆˆ

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 52: Random Sampling

39

n

i

i

i

in

i i

ii

n

i

i

n

i i

i

i

n

i

i

i

in

i i

ii

n

i

i

n

i

iii

i

n

i

i

i

in

i i

ii

n

i

i

n

i

i

i

Yp

p

n

NEYY

nn

nN

n

NE

Yn

nN

n

NE

p

pY

n

nN

n

NE

Yp

p

n

NEYY

nn

nN

n

NE

Yn

nN

n

NEppY

pn

nN

n

NE

Yp

p

n

NEYY

nn

nN

n

NE

Yn

nN

n

NEsyV

pn

nN

n

NEsVEE

11 1'

'

1

2

1

11 1'

'

1

2

12

11 1'

'

1

2

12

1

1

1

1

1

11

1

1

|1

|ˆˆ

misalkan variabel indikator

sampelbukanikeunit

sampelmenjadiikeunitzi

,0

,1, sehingga

i

N

i

i

i

iii

N

i i

ii

i

N

i

ii

N

i

i

i

i

N

i

ii

i

iN

i i

iiii

N

i

ii

N

i

ii

i

i

zEYp

p

n

NzzEYY

nn

nN

n

N

zEYn

nN

n

NzEY

p

p

n

nN

n

N

zYp

p

n

NEzYzY

nn

nN

n

NE

zYn

nN

n

NEzY

p

p

n

nN

n

NEsVEE

1

'

1 1'

'

1

2

1

11 1'

''

1

2

1

1

1

1

1

1

1|ˆˆ

dari bab sebelumnya, telah dibuktikan bahwa N

nzE i ,

1

1'

N

n

N

nzzE ii

sehingga

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 53: Random Sampling

40

)8.3.3.........(................................................................................ˆ

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1|ˆˆ

11 1'

'

1

2

11 1'

'

1

2

11 1'

'

1

2

1

11 1'

'

1

2

11 1'

'

1

2

1

11 1'

'

1

2

1

V

Yp

p

n

NYY

Nn

nNY

n

nN

Yp

p

n

NYY

Nn

nNY

n

nN

Yp

p

n

nNYY

Nn

nNY

n

nN

Yp

p

Yp

p

n

nNYY

Nn

nNY

n

nN

Yp

pYY

Nn

nN

Yn

nNY

p

p

n

nN

N

nY

p

p

n

N

N

n

N

nYY

nn

nN

n

N

N

nY

n

nN

n

N

N

nY

p

p

n

nN

n

NsVEE

N

i

i

i

iN

i i

ii

N

i

i

N

i

i

i

iN

i i

ii

N

i

i

N

i

i

i

iN

i i

ii

N

i

i

N

i

i

i

i

N

i

i

i

iN

i i

ii

N

i

i

N

i

i

i

iN

i i

ii

N

i

i

N

i

i

i

i

N

i

i

i

iN

i i

ii

N

i

i

N

i

i

i

i

karena ˆˆˆ VVE , maka terbukti V adalah taksiran tak bias V

3.3.3 Jika probabilitas terdeteksinya suatu objek tidak diketahui, namun

diasumsikan bernilai sama untuk setiap daerah pengamatan

Misalkan:

Wilayah pengamatan dibagi menjadi N daerah pengamatan,

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 54: Random Sampling

41

Sampel merupakan n daerah pengamatan yang diambil secara Simple

Random Sampling dari N daerah pengamatan,

iY adalah banyak sebenarnya objek di daerah pengamatan ke- i ,

iy adalah banyak objek terdeteksi oleh peneliti di daerah pengamatan ke- i ,

p adalah probabilitas suatu objek pengamatan terdeteksi,

p adalah taksiran tak bias untuk p dimana p diasumsikan sama untuk

setiap daerah pengamatan dan p tidak berkorelasi dengan iy

pV ˆ adalah variansi dari p ,

pV ˆˆ adalah taksiran tak bias untuk pV ˆ ,

Nilai dari p dan pV ˆˆ dicari berdasarkan metode yang digunakan pada

penelitian sebelumnya.

Didefinisikan taksiran untuk total populasi , adalah p

yN

ˆˆ , dimana

n

i

iyn

y1

1 . Maka dapat dibuktikan bahwa:

1. adalah taksiran tak bias untuk

2. variansi untuk adalah

pV

pnp

p

nN

nNNV ˆ

1

4

222

,

bukti:

1. akan dibuktikan bahwa adalah taksiran tak bias untuk , yang

berarti bahwa akan dibuktikan bahwa ˆE

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 55: Random Sampling

42

n

i

i

n

i

i

n

i

i

sp

yEE

n

N

sp

yEE

n

N

sp

y

n

NEE

sp

yNEEsEE

1

1

1

|

berdasarkan Delta Method, XE

YE

X

YE

, sehingga

)9.3.3..(................................................................................

1

ˆ

|

1

1

1

1

1

1

N

i

i

N

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

Y

YN

N

N

YNE

YEn

N

p

pYE

n

N

pE

syEE

n

N

sp

yEE

n

NsEE

karena ˆE , maka terbukti adalah taksiran tak bias untuk

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 56: Random Sampling

43

2. akan ditunjukkan bahwa variansi untuk adalah

pV

pnp

p

nN

nNNV ˆ

1

4

222

,

berdasarkan Delta Method,

YX

XE

YEXV

XE

YEYV

XEX

YV ,cov

2134

2

2

, sehingga

ypp

pVp

yVp

N

yppE

yEpV

pE

yEyV

pEN

p

yVN

p

yNVV

,ˆcov2

ˆ1

,ˆcovˆ

ˆˆ

1

ˆ

ˆˆ

34

2

2

2

34

2

2

2

2

karena p tidak berkorelasi dengan iy , maka 0,ˆcov yp ,

sehingga

pVp

Nyp

NV

pVp

NyVp

N

pVp

yVp

N

ypp

pVp

yVp

NV

ˆ

ˆ

ˆ1

,ˆcov2

ˆ1

ˆ

4

22

4

22

2

2

4

2

2

2

34

2

2

2

dari persamaan (3.3.3) didapat

np

p

nN

nNN

p

yNV

1

1

22 , sehingga

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 57: Random Sampling

44

)10.3.3.......(....................ˆ1

1

ˆ1

1

ˆˆ

4

222

4

22

22

4

22

pVpnp

p

nN

nNN

pVp

Nnp

p

nN

nNN

pVp

Nyp

NVV

telah ditunjukkan bahwa variansi untuk adalah

pV

pnp

p

nN

nNNV ˆ

1

4

222

Taksiran untuk V dapat dicari dengan formula sebagai berikut:

)11.3.3.(........................................ˆˆˆ

ˆ1

ˆˆˆ

2

22

2

2

pV

p

yy

N

p

n

s

N

nN

p

NV

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 58: Random Sampling

45

BAB IV

APLIKASI

Pada bab ini akan dijelaskan penerapan metode Detectability Simple

Random Sampling dalam menaksir total populasi katak di sekeliling Danau

Agatis Universitas Indonesia.

4.1 Katak sebagai bioindikator tingkat kebersihan danau

Katak adalah salah satu jenis amfibi, yang merupakan hewan

ectothermal, yang berarti hewan yang suhu tubuhnya berfluktuasi tergantung

pada suhu lingkungan di sekitarnya (Sutanto 2006). Amfibi juga merupakan

hewan yang dapat hidup di dua habitat, yaitu habitat air dan habitat darat.

Kehidupan amfibi secara umum sangat berhubungan erat dengan air, karena

air berkaitan dengan sebagian dari siklus hidupnya, yaitu pada saat fase telur

dan fase berudu (Sutanto 2006).

Katak baik digunakan sebagai bioindikator kebersihan air karena

katak lebih menyukai hidup di habitat dekat dengan perairan yang bersih.

Selain itu, katak memiliki jumlah yang berlimpah di alam, mudah diamati, dan

perilakunya mudah dipantau (Sutanto 2006). Biasanya katak hanya dapat

hidup di suatu habitat tertentu dan tak mudah untuk berpindah tempat,

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 59: Random Sampling

46

sehingga jika habitat tempat hidupnya terganggu, maka siklus hidup dan

regenerasi katak tersebut akan terganggu, dan pada akhirnya populasi di

habitat tersebut akan menurun. Sebagai contoh seharusnya katak banyak

hidup di habitat dekat perairan tenang yang luas dan terbuka seperti Danau

Agatis, Universitas Indonesia. Jika banyak katak di sekeliling Danau Agatis

hanya sedikit, hal itu mengindikasikan bahwa Danau Agatis sudah mulai

tercemar. Suatu peneli tian pernah dilakukan pada tahun 2006 di sekeliling

salah satu danau di Kampus Universitas Indonesia Depok, yang memiliki

keadaan yang similar dengan Danau Agatis. Dari penelitian yang

menggunakan metode Direct Sampling tersebut, didapat taksiran probabilitas

katak terdeteksi adalah sebesar 3390.0ˆ p , taksiran untuk variansi p

sebesar 001126.0ˆˆ pV . Dengan mempertimbangkan taksiran probabilitas

katak terdeteksi beserta taksiran dari variansinya diatas, akan ditaksir total

banyak katak di sekeliling Danau Agatis untuk tahun 2008, beserta sampling

errornya. Dari suatu penelitian di sekeliling danau yang bersih, didapat

banyak katak per luas adalah sebesar 13.1 . Dengan membandingkan banyak

katak per luas di sekeliling Danau Agatis terhadap banyak katak per luas di

sekeliling danau yang bersih tersebut, dapat diindentifikasi kebersihan Danau

Agatis, Universitas Indonesia. Taksiran probabilitas terdeteksinya katak di

salah satu danau di Kampus Universitas Indonesia Depok dapat digunakan

karena probabilitas terdeteksinya katak tidak dipengaruhi lingkungan

(Thompson 2002).

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 60: Random Sampling

47

4.2 Pengambilan sampel katak di sekeliling Danau Agatis Universitas

Indonesia

Pengambilan sampel dilakukan pada bulan November 2008, pada

malam hari antara pukul 18:00 hingga 21:00. Alat bantu yang digunakan

adalah ember dengan tutup rapat, meteran, lampu emergensi, senter, jaring

bergagang panjang, kamera digital, kertas, dan alat tulis. Penelitian dilakukan

di sekeliling Danau Agatis Universitas Indonesia, yang merupakan danau

alami yang berada di seberang Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Alam. Penelitian pertama dilakukan untuk melihat lokasi pengambilan sampel

dan penentuan pembagian daerah pengamatan. Sekeliling Danau Agatis

dibagi menjadi 23 daerah pengamatan per 10 meter, dengan batasan

pengamatan hingga 2 meter keluar danau.

Penelitian kedua adalah saat pengambilan sampel, yang dilakukan

dengan cara sebagai berikut, daerah pengamatan 10x2 meter persegi yang

dipilih secara acak sebagai sampel disusuri secara perlahan dengan

menggunakan lampu emergensi dan senter. Pada saat seekor katak

terdeteksi, segera ditutup ruang geraknya dengan menggunakan jaring

bergagang panjang, dan ditangkap menggunakan tangan, kemudian

dimasukkan ke dalam ember yang ditutup rapat.

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 61: Random Sampling

48

4.3 Populasi dan sampel

Dalam tugas akhir ini, sekeliling Danau Agatis dibagi menjadi 23N

daerah pengamatan yang sama besar )20( 2m . Dari 23 daerah pengamatan

tersebut, diambil sampel secara Simple Random Sampling sebanyak 12n

daerah pengamatan. Dari masing-masing daerah pengamatan yang menjadi

sampel dilakukan pengamatan banyak katak yang terdeteksi. Data yang

diperoleh adalah sebagai berikut:

4.4 Hasil penelitian dan pembahasan

Hasil penelitian di sekeliling Danau Agatis Universitas Indonesia,

disajikan dalam tabel di bawah ini:

n Banyak katak 1 6 2 2 3 4 4 5 5 4 6 3 7 3 8 4 9 1

10 3 11 5 12 7

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 62: Random Sampling

49

Dengan menggunakan bantuan program SPSS 13.0, dihasilkan

analisa deskriptif dari data sebagai berikut:

Descriptive Statistics

N Minimum Maximum Mean Std. Deviation katak 12 1.00 7.00 3.9167 1.67649 Valid N (listwise) 12

Dari tabel di atas didapat: 23N , 12n , 9167.3y , 67649.12 s , dan telah

diketahui bahwa dari penelitian yang pernah dilakukan didapat 3390.0ˆ p ,

001126.0ˆˆ pV ,

sehingga dari persamaan (3.3.9) dan (3.3.11) akan didapat:

266

734801.265

553687.1123

3390.0

9167.323

ˆˆ

p

yN

1726

66566.1725

374887.016217.4603

150307.0112563.0112017.016217.4603

001126.0114921.0

34054.159167.3

23

6610.0

12

81062.2

23

11

114921.0

529

001126.03390.0

9167.39167.3

23

3390.01

12

67649.1

23

1223

3390.0

23

ˆˆˆ

ˆ1

ˆˆˆ

2

22

2

2

2

22

2

2

pV

p

yy

N

p

n

s

N

nN

p

NV

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 63: Random Sampling

50

selanjutnya dapat dihitung sampling error sebagai berikut:

60

59.82502

172644.1

ˆˆ44.1

VSE

Total populasi katak di sekeliling Danau Agatis, Universitas Indonesia

diperkirakan sebanyak 266ˆ ekor katak. Dengan tingkat kepercayaan %85 ,

dipercaya total populasi katak di sekeliling Danau Agatis, Universitas

Indonesia berada pada interval 326,206

Banyak katak per luas di sekeliling Danau Agatis 578.0460

266 ,

sedangkan dari penelitian sebelumnya dilakukan di sekeliling danau yang

bersih didapat banyak katak per luas adalah sebesar 13.1 . Sehingga dapat

disimpulkan bahwa densitas katak di sekeliling Danau Agatis lebih sedikit

dibanding densitas katak di sekeliling danau yang bersih, yang berarti Danau

Agatis dapat dikatakan sudah mulai tercemar. Hal ini didukung oleh fakta

bahwa banyak ditemukan sampah di sekeliling Danau Agatis, Universitas

Indonesia seperti yang terlihat pada foto-foto berikut:

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 64: Random Sampling

51

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 65: Random Sampling

52

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

Pada bab ini akan dijelaskan kesimpulan dan saran yang dapat

diambil dari tugas akhir ini, baik dari aplikasinya, maupun dari keseluruhan

tugas akhir ini.

5.1 Kesimpulan

1. Untuk menaksir total populasi dimana tidak semua objek

pengamatan dapat terdeteksi, metode Detectability Simple

Random Sampling baik digunakan karena menghasilkan taksiran

yang tak bias.

2. Taksiran untuk total populasi dimana sampelnya diambil

berdasarkan metode Detectability Simple Random Sampling jika

probabilitas terdeteksinya suatu unit sampling diketahui dan

bernilai sama untuk setiap daerah pengamatan adalah

p

yN

dengan sampling error ˆ44.1 V dimana

y

Np

p

np

s

N

nNNV

22

22 1

ˆˆ

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 66: Random Sampling

53

adalah taksiran tak bias untuk , dan V adalah taksiran tak

bias untuk V

3. Taksiran untuk total populasi dimana sampelnya diambil

berdasarkan metode Detectability Simple Random Sampling jika

probabilitas terdeteksinya suatu unit sampling diketahui namun

bernilai beda untuk setiap daerah pengamatan adalah

n

i i

i

p

y

n

N

1

dengan sampling error ˆ44.1 V dimana

n

i i

n

i

i

i

i

i

i

i

in

i i

i yp

p

n

N

p

y

p

y

nn

nN

n

N

p

y

n

nN

n

NV

1 1' 12

'

'

12

2 1

1ˆˆ

adalah taksiran tak bias untuk , dan V adalah taksiran tak

bias untuk V

4. Taksiran untuk total populasi dimana sampelnya diambil

berdasarkan metode Detectability Simple Random Sampling jika

probabilitas terdeteksinya suatu unit sampling ditaksir dari

penelitian sebelumnya dan bernilai sama untuk setiap daerah

pengamatan adalah

p

yN

ˆˆ

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 67: Random Sampling

54

dengan sampling error ˆ44.1 V dimana

pV

p

yy

N

p

n

s

N

nN

p

NV ˆˆ

ˆ

ˆ1

ˆˆˆ

2

22

2

2

adalah taksiran tak bias untuk , dan V adalah taksiran bias

untuk V .

5. Dari contoh penerapan, didapat hasil bahwa:

Taksiran total banyak katak di sekeliling Danau Agatis,

Universitas Indonesia adalah sebesar 266ˆ katak dengan

sampling error 60SE

Densitas banyak katak per luas di sekeliling Danau Agatis,

Universitas Indonesia, lebih kecil dibanding densitas banyak

katak di sekeliling danau yang bersih, sehingga dapat

disimpulkan Danau Agatis sudah mulai tercemar

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 68: Random Sampling

55

5.2 Saran

1. Metode Detectability Sampling dapat diterapkan tidak hanya pada

pengambilan sampel dengan Simple Random Sampling, namun

juga dengan metode pengambilan sampel lainnya, seperti Stratified

Random Sampling, Cluster Sampling, dan metode-metode

pengambilan sampel lainnya.

2. Pimpinan Universitas Indonesia seharusnya lebih memperhatikan

kebersihan dari danau-danau alami yang terdapat di lingkungan

kampus Universitas Indonesia, Depok, Jawa Barat.

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 69: Random Sampling

57

Lampiran 1:

Pembuktian: YXabYVbXVabYaXV ,cov222

bukti:

Misalkan terdapat dua variabel random X dan Y , dengan bobot

masing-masing a dan b , maka

YXabYVbXVa

YEXEXYEabYEYEbXEXEa

YEXabEXYabEYEbYEbXEaXEa

YEbYEXabEXEaYEbXYabEXEa

bYEbYEaXEaXEYEbXYabEXEa

bYEbYEaXEaXEYbEabXYEXaE

bYEaXEYbabXYXaE

bYaXEbYaXEbYaXV

,cov2

2

22

22

22

22

2

22

222222

22222222

22222222

222222

222222

22222

22

terbukti YXabYVbXVabYaXV ,cov222

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 70: Random Sampling

58

Lampiran 2:

Pembuktian:

1. XE

YE

X

YE

2.

YX

XE

YEYV

XEXV

XE

YE

X

YV ,cov

21324

2

bukti:

Delta Method merupakan suatu metode pendekatan ekspansi deret

Taylor yang sering digunakan untuk mencari pendekatan variansi untuk

fungsi dari variabel random. Ekspansi deret Taylor untuk fungsi xf jika

diketahui ni lai dari a adalah sebagai berikut:

...!2

'''

2

ax

afaxafafxf

namun sering kali bentuk derajat yang lebih tinggi dapat diabaikan sehingga

menghasilkan pendekatan

axafafxf '

Jika terdapat variabel random Y yang merupakan fungsi dari variabel

random X , atau dengan perkataan lain XfY , maka ekspansi deret

Taylor dari XfY dengan diketahui nilai dari XE , akan berbentuk

XEXXEfXEfY '

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 71: Random Sampling

59

dan akan didapatkan juga hasil sebagai berikut:

XEfE

XEXEfXEXEfXEfE

XEEXEfXEXEfXEfE

XEXEfEXXEfEXEfE

XEXEfXXEfXEfE

XEXXEfXEfEYE

''

''

''

''

'

dan

XVXEf

XXEfV

XEXEfXXEfXEfV

XEXXEfXEfVYV

2'

'

''

'

Selanjutnya akan dijelaskan ekspansi deret Taylor untuk dua variabel.

Misalkan terdapat fungsi yxf , , jika diketahui nilai dari ax 0 dan by 0 ,

maka ekspansi deret Taylor dari yxf , adalah

...,,

,,,,

by

y

yxfax

x

yxfbafyxf

baba

Jika terdapat YXf , yang merupakan fungsi dari dua variabel

random X dan Y dengan diketahui nilai dari XE dan YE , maka ekspansi

deret Taylor untuk YXf , adalah

...,,

,,,,

YEY

Y

YXfXEX

X

YXfYEXEfYXf

YEXEYEXE

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 72: Random Sampling

60

Sehingga jika X

YYXf , , dan diketahui nilai dari XE dan YE , maka

ekspansi deret Taylor untuk X

YYXf , adalah

YEY

XEXEX

XE

YE

XE

YE

YEYY

YXfXEX

X

YXfYEXEf

X

YYXf

YEXEYEXE

1

,,,

,

2

,,

sehingga akan didapatkan hasil sebagai berikut

XE

YE

YEXE

YEXE

XEXE

YEXE

XE

YE

XE

YE

YEEXE

YEXE

XEEXE

YEXE

XE

YE

XE

YE

YEXE

EYXE

EXEXE

YEEX

XE

YEE

XE

YEE

YEXE

YXE

XEXE

YEX

XE

YE

XE

YEE

YEYXE

XEXXE

YE

XE

YEE

X

YE

11

11

11

11

1

22

22

22

22

2

maka terbukti XE

YE

X

YE

dan

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 73: Random Sampling

61

YX

XE

YEYV

XEXV

XE

YE

YXXE

YEYV

XEXV

XE

YE

YXXE

YEY

XEVX

XE

YEV

YEXE

YXE

XEXE

YEX

XE

YE

XE

YEV

YEYXE

XEXXE

YE

XE

YEV

X

YV

,cov21

,cov21

,cov21

11

1

324

2

3

22

2

32

22

2

maka terbukti bahwa

YX

XE

YEYV

XEXV

XE

YE

X

YV ,cov

21324

2

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 74: Random Sampling

62

Lampiran 3:

Pembuktian:

1. 212 | XEXXEE

2. 12122 || XXEVXXVEXV

bukti:

Misalkan:

1X dan 2X adalah variabel random diskrit

p.d.f bersama dari 1X dan

2X adalah 21, xxf

p.d.f marginal dari 1X adalah

2

2111 ,x

xxfxf

p.d.f marginal dari 2X adalah 1

2122 ,x

xxfxf

maka

12

11

1

12

11

1 2

122

11

1 2 11

212

1 2 11

11212

1 2

2122

|

|

|

,

,

,

xxEE

xfxxE

xfxxfx

xfxf

xxfx

xf

xfxxfx

xxfxXE

x

x x

x x

x x

x x

terbukti bahwa 212 | XEXXEE

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 75: Random Sampling

63

dan

22

2

22 XEXEXV

dari pembuktian sebelumnya didapat 212 | XEXXEE , sehingga

1212

2

12

2

12

2

121

2

2

2

12

2

12

2

121

2

2

2

12

2

12

2

121

2

2

2

12

2

12

2

121

2

2

2

121

2

22

||

||||

||||

||||

||||

||

XXEVXXVE

XXEEXXEEXXEXXEE

XXEEXXEEXXEEXXEE

XXEEXXEEXXEEXXEE

XXEEXXEEXXEEXXEE

XXEEXXEEXV

terbukti bahwa 12122 || XXEVXXVEXV

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.

Page 76: Random Sampling

64

DAFTAR PUSTAKA

Cochran, W.G. 1977. Sampling Techniques (3rd ed). John Wiley and Sons

Hogg, R.V. and Craig, A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics

(5th ed). Prentice Hall Inc.

Ramsey, F.L., & Harrison, K. 2004. A closer look at detectability. Journal

of Environment and Ecological Statistics: 73-84

Scheaffer, R.L., Mendenhall III, W., Ott, L. 1996. Elementary Survey

Sampling (5th ed). Duxburry Press

Sutanto, D. 2006. Struktur komunitas amfibi di kampus Universitas

Indonesia, Depok, Jawa Barat. Skripsi

Thompson, S.K. 2002. Sampling (2nd ed). Wiley series in probability and

statistics

Thompson, S.K., & Seber, G.A.F. 2002. Detectability in conventional and

adaptive sampling. Journal of Biometrics, 50: 712-724

http://www.math.umt.edu/patterson/549/Delta.pdf (25 Maret 2009 12:11

WIB)

Metode detectability...,Andika Dwi Isfandiari, FMIPA UI, 2009.