PEMBANGKITAN VARIATESRANDOMRiza Auliya Rahman

Pendekatan Umum Inverse Transform inverse dari fungsi CDF Composition pemisahan sesuai proporsi luas kurva(misalnya triangular)

Convolution penggabungan variabel acak daridistribusi lain (misalnya Erlang)

Acceptance-Rejection pengambilan dan penolakanvariabel acak, berdasarkan prasyarat keacakan(misalnya nonstationary poisson)

Pendekatan yang umum digunakan adalahThe Inverse Transformation.

Pembangkitan dengan Metode InverseTransformation

Continuous distribution For a given probability density function f(x), find thecumulative distribution function of X, i.e., F(x) = P(X x).

Set U = F(x), where U is uniform (0, 1) and solve for x. Solving for x yields x = F-1(U). The equation x = F-1(U) transforms U into a value for xthat conforms to the given distribution f(x).

Inverse Transformation MethodInverse transformation for continuous distribution

Inverse Transformation MethodGenerating variates from the exponential distributionwith mean . The probability density function f(x):

The cumulative distribution function F(x):

elsewhere,0

0,1 / xexf

x

elsewhere,00,1 / xe

xFx

Setting U = F(x) and solving for x yields:/1 xeU

Ue x 1/ Ue x 1lnln /

Ux 1ln Ux 1ln

The random variate x is exponentiallydistributed with mean .

Inverse Transformation Method

63.027.01ln227.0 11 xU 41.489.01ln289.0 22 xU2

Inverse Transformation Method

Discrete distribution For a given probability mass function p(x), find thecumulative distribution function of X, i.e., F(x) = P(X x).

It is assumed that X take on only the values x1, x2, ...where x1 < x2 < ... .

Algorithm: Generate U ~ U(0, 1) Determine the smallest positive integer I such that U F(xi),and return X = Xi.

Inverse Transformation Method

RI-1504/SSI/2007/SEW/#19

Inverse transformation for discrete distributionInverse Transformation Method

RI-1504/SSI/2007/SEW/#110

Generating variates from the following probabilitymass function (arbitrary discrete distribution):

3,60.02,30.01,10.0

x

x

x

xXPxp

Inverse Transformation Method

RI-1504/SSI/2007/SEW/#111

The cumulative distribution function F(x)

U1 = 0.27, because 0.10 < U1 0.40 then x1 = 2

Inverse Transformation Method

Generating variates from other distributions:

Techniques and algorithms for generating variatesfrom other distributions: continuous: uniform, exponential, m-Erlang, Gamma,Weibull, normal, lognormal, beta, Pearson type V, Pearsontype VI, triangular, empirical distribution,

discrete: Bernoulli, discrete uniform, arbitrary discretedistribution, binomial, geometric, negative binomial,Poisson

see Law and Kelton, Simulation Modeling and Analysis,Chapter 8.

DistribusiKontinyu

Distribusi UniformDisimbolkan dengan X ~ U(a,b)Prosedurnya adalah :a. Membangkitkan nilai U dari pembangkit bilanganacak[ U ~ U(0,1) ]

b. Selanjutnya nilai X diperoleh dari formulasi :X = a + ( b a ).U

Distribusi ExponentialDisimbolkan dengan X ~ Exp()Prosedurnya adalah :a. Membangkitkan nilai U dari pembangkit bilanganacak[ U ~ U(0,1) ]

b. Selanjutnya nilai X diperoleh dari formulasi :X = - .ln(1-U)

Distribusi WeibullDisimbolkan dengan X ~ Weibull(,)Prosedurnya adalah :a. Membangkitkan nilai U dari pembangkit bilanganacak[ U ~ U(0,1) ]

b. Selanjutnya nilai X diperoleh dari formulasiX = .[-ln(U)]1/

Distribusi NormalDisimbolkan dengan X ~ N(,2)Prosedurnya adalah :a. Membangkitkan nilai U1 dan U2 dari pembangkitbilangan acak[ U ~ U(0,1) ]

b. Lalu diperoleh nilai V1 dan V2 dari formulasiVi = 2.Ui 1

c. Dan W=V12 + V22

Distribusi NormalProsedurnya adalah :d. Jika W < 1 maka Y = [(-2.ln(W))/W] ,jika tak sesuai ulangi dari poin a.

e. Lalu diperoleh nilai P1 dan P2 dari formulasiPi = Vi.Y

f. Selanjutnya nilai X diperoleh dari formulasiX = + .P

Distribusi TriangularDisimbolkan dengan X ~ (a,b,c)Prosedurnya adalah :a. Nilai parameter d diperoleh darid = (c a) / (b a)

b. Membangkitkan nilai U dari pembangkit bilanganacak[ U ~ U(0,1)]

c. Jika U < d makaP = (d.U)

Distribusi TriangularProsedurnya adalah :d. Jika U > d makaP = 1 [(1 d).(1 U)]

e. Selanjutnya nilai X diperoleh dari formulasiX = a + (b a).P

DistribusiDiskrit

Distribusi Uniform DiskritDisimbolkan dengan X ~ DU(a,b)Prosedurnya adalah :a. Membangkitkan nilai U dari pembangkit bilanganacak[ U ~ U(0,1) ]

b. Selanjutnya nilai X diperoleh dari formulasiX = a + [(b a + 1).U]

Distribusi PoissonDisimbolkan dengan X ~ Poisson()Prosedurnya adalah :a. Nilai parameter a,b dan i diperoleh daria = e- , b = 1 , i = 0

b. Membangkitkan nilai Ui+1 dari pembangkitbilangan acak[ U ~ U(0,1)]

Distribusi PoissonProsedurnya adalah :c. b = b.Ui+1d. Jika b > a maka i = i + 1 dan ulangi dari poin be. Jika b < a maka X = i

Tugas (1) Bangkitkan 100 random uniform [ U ~ U(0,1)]dengan metode LCG dengan parameter (a, c, mdan Z0) yang kalian tentukan sendiri sesuai kaidah.

Gunakan bilangan random di atas untukmembangkitkan waktu antar kedatangan 100variates random X : Distribusi Eksponensial dengan X ~ Expo(4)

Uji kerandoman dan distribusi hasilnya dengansoftware

Tugas (2) Bangkitkan 100 random uniform [ U ~ U(0,1)] denganmetode Midsquare method dengan m= 1000 danZ0=2pqpq=dua digit terakhir Nomer Induk Mahasiswa (NIM).Misal NIM = xxxxxx0042, maka Z0=242

Gunakan bilangan random di atas untukmembangkitkan waktu pelayanan 100 variatesrandom X : Distribusi Triangular dengan X ~ (3,8,5)

Uji kerandoman dan distribusi hasilnya dengan software

Tugas (3)

Kedatangan Pelanggan PelayananPelanggan

Mulai dilayaniWaktu Pelanggan

Meninggalkan sistemLama

mengantriLama didalamsistemi Zi Ui

Waktu antarkedatangan

WaktuPelanggandatang

i Zi Ui Waktu Pelayanan

0123

100

Lengkapi tabel di bawah ini kemudian lakukananalisis hasilnya.

Tugas (4) Tugas dikumpulkan ketua kelas, di jadikan satufolder dan dikirim ke emailrizaauliyarahman@gmail.comJumat, 5 Juni 2015Pukul 13.00 WIB