ukuran pemusatanstat

PENGUKURAN NILAI PUSAT DAN UKURAN LETAK

By ; Siti Nadhifah Ir, MM

PENDAHULUAN

Beberapa macam ukuran letak seperti median,modus, desil dan persentil ini

sering digunakan. Ukuran yang dihitung dari kumpulan data dalam sample dinamakan

statistic. Sedangkan apabila ukuran itu dihitung dari kumpulan data dalam populasi atau

dipakai untuk menyatakan populasi maka dinamakan parameter. Jadi ukuran yang

sama dapat bernama statistic atau parameter tergantung pada ukurannya, apakah

sample atau populasi.

UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK

1. PENDAHULUAN

Untuk mendapatkan gambaran yang lebih jelas tentang sekumpulan data

mengenai sesuatu hal, baik mengenai sample ataupun populasi, selain daripada

data itu disajikan dalam tabel dan diagram, masih diperlukan ukuran-ukuran

yang merupakan wakil kumpulan data tersebut. Dalam bab ini akan diuraikan

tentang ukuran gejala pusat dan ukuran letak. Beberapa macam ukuran dari

golongan pertama adalah: rata-rata atau rata-rata hitung, rata-rata ukur, rata-rata

harmonic, dan modus. Golongan kedua meliputi: median, kuartil, desil dan

persentil.

Ukuran yang dihitung dari kumpulan data dalam sample dinamakan

statistik. Ini telah juga disinggung dalam Bagian 1. Bab 1. Apabila ukuran itu

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ir. Siti Nadifa MMSTATISTIKA SOSIAL

2

Tujuan Instruksional Khusus:

1. Mahasiswa diharapkan mengetahui cara menghitung median, modus, desil dan persentil.

2. Mahasiswa dapat menerapkan kapan menggunakan median, modus, desil dan persentil.

dihitung dari kumpulan data dalam populasi atau dipakai untuk menyatakan

populasi, maka namanya parameter. Jadi ukuran yang sama dapat bernama

statistik atau parameter bergantung pada apakah ukuran dimaksud untuk sample

atau populasi.

2. RATA – RATA ATAU RATA-RATA HITUNG

Untuk keperluan ini, dan perhitungan selanjutnya, akan digunakan

simbul-simbul. Nilai-nilai data kuantitatif akan dinyatakan dengan x1, x2, ... xn,

apabila dalam kumpulan data itu terdapat n buah nilai. Simbul n juga akan

dipakai untuk menyatakan ukuran sample, yakni banyak data atau objek yang

diteliti dalam sample. Simbul N dipakai untuk menyatakan ukuran populasi, yakni

banyak anggota terdapat dalam populasi.

Jika ada lima nilai ujian dari lima orang mahasiswa untuk mata kuliah

statistika berbentuk: 70, 69, 45, 80 dan 56, maka dalam simbul ditulis : x1= 70,

x2= 69, x3= 45, x4=80 dan x5= 56. Dalam hal ini n= 5, yang menyatakan sebuah

sampel berukuran 5.

Rata-rata, atau lengkapnya rata-rata hitung, untuk data kuantitatif yang

terdapat dalam sebuah sample dihitung dengan jalan membagi jumlah nilai data

oleh banyak data.

Simbul rata-rata untuk sample ialah x ( baca: eks garis ) sedangkan

rata-rata untuk populasi dipakai simbul μ ( baca: mu ). Jadi x adalah

statistik sedangkan u adalah parameter untuk menyatakan rata-rata. Rumus

untuk rata-rata x adalah: n

Σ xi

x = x1 + x2 + . . . . . + xn atau x = i=1

n

atau lebih sederhana lagi ditulis:

IV ( 1 ) . . . . . . . . x = Σ xi

n


dengan Σxi singkatan dari n xi yang berarti jumlah semua harga x yang ada

Σ

i = 1

dalam kumpulan itu.

Untuk kelima nilai ujian di atas, nilai rata-ratanya ialah:

x = 70 + 69 + 45 + 80 + 56 = 64

5

Jika ada lima mahasiswa mendapat nilai 70, enam mendapat nilai 69, tiga mendapat 45

dan masing-masing seorang mendapat nilai 80 dan 56, maka lebih baik data itu ditulis

sebagai berikut:

xi fi xi menyatakan nilai ujian, dan

70 5 fi menyatakan frekuensi untuk nilai xi

69 6 yang bersesuaian.

45 3

80 1 Misalnya: f1= 5 untuk x1= 70, f2=6

56 1 untuk x2= 69 dan seterusnya.

Untuk data berbentuk demikian, rumus rata-ratanya adalah:

IV ( 2 ) . . . . . . . . . . . . . . x= Σ fi xi

Σ fi

ialah jumlah hasil kali antara frekuensi dan nilai data dibagi oleh jumlah frekuensi.

Untuk contoh di muka, dianjurkan dibuat tabel penolong seperti berikut.

Xi fi fi xi Dari tabel didapat

70 5 350 Σ fi = 16 dan

69 6 414 Σ fixi = 1035

45 3 135 sehingga

80 1 80 x = Σ fi xi atau x = 1035 = 64,6

56 1 56 Σ fi 16

Jumlah 16 1035

Nilai rata-rata ujian statistik untuk ke-16 mahasiswa itu adalah 64,6.


Rumus IV ( 2 ) disebut pula rumus rata-rata diboboti yang sering dipakai untuk

memperbaiki rata-rata yang dihitung oleh Rumus IV ( 1 ).

Contoh: Data berikut merupakan daftar barang yang disimpan di gudang, diantaranya

terdapat yang rusak.

DAFTAR IV ( 1 )

BARANG DISIMPAN RUSAK %

A 100 96 96

B 200 92 46

C 160 80 50

D 80 60 75

JMLH 540 328 ---I

Jika rata-rata mengenai persen barang yang rusak dihitung dengan Rumus IV ( 1 ),

maka

x = 96 + 46 + 50 + 75 % = 66,75 %

4

Tetapi barang yang rusak ada 328 dari 540. Ini berarti 328 x 100%= 60,07%. Hasil ini

540

didapat dengan menggunakan Rumus IV ( 2 ) seperti dalam daftar berikut.

Xi ( % ) fi fi xi Dalam tabel disamping ini, xi= persen yang rusak

96 100 96 fi = banyak barang. Dari tabel dan Rumus IV ( 2 ) didapat:

46 200 92 x = Σ fi xi x 100%

75 160 80 Σ fi

75 80 60 = 328 x 100 %

540

= 60,07

Rata-rata terdapat 60,07% barang yang rusak.

Selanjutnya kita juga dapat menentukan rata-rata gabungan, yaitu rata-rata dari

beberapa sub sample lalu dijadikan satu. Kalau ada k buah sub sample masing-masing

dengan keadaan berikut:

sub sample 1:berukuran n1 dengan rata-rata x1

sub sample 2:berukuran n2 dengan rata-rata x2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


sub sample k : berukuran nk dengan rata-rata xk

maka rata-rata gabungan dari k buah sub sample itu dihitung dengan:

IV ( 3 ) . . . . . . . . . . . . x = Σ ni xi

Σ ni

Contoh: Tiga sub sample masing-masing berukuran 10,6 dan 8 sedangkan rata-ratanya

masing-masing 145, 118 dan 162.

Adalah salah jika rata-rata gabungan dihitung dengan Rumus IV ( 1 ) , ialah

x = 145 + 118 + 162 = 141,7

3

Yang benar, harus dihitung dengan Rumus IV ( 3 ), ialah:

X = (10) (145) + (6) (118) + (8) (162) = 143,9

10 + 6 + 8

Untuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, rata-ratanya dihitung

dengan Rumus IV ( 2 ), ialah:

IV ( 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . x = Σ fi xi

Σ fi

hanya di sini xi = tanda kelas interval dan fi = frekuensi yang sesuai dengan tanda kelas

xi.

Contoh: Marilah kita hitung rata-rata untuk nilai ujian statistika yang terdapat dalam

Daftar III ( 1 ) halaman 45. Untuk keperluan ini kita buat tabel berikut.

NILAI UJIAN FREK TANDA KEL PRODUK

fi xi fi xi

31 – 40 1 35,5 35,5

41 – 50 2 45,5 91,0

51 – 60 5 55,5 277,5

61 – 70 15 65,5 982,5

71 – 80 25 75,5 1887,5

81 – 90 20 85,5 1710,0

91 – 100 12 95,5 1146,0


JUMLAH 80 ----- 6130,0

Catatan: Frekensi berbeda dari yang terdapat dalam Daftar III ( 1 ).

Dari tabel diatas didapat: Σ fi= 80 dan Σ fi xi= 6130,0

Rumus IV ( 4 ) memberikan:

x = 6130,0 = 76,62

80

Rata-rata nilai ujian statistika 76,62.

Dalam perhitungan di atas, diambil tanda kelas yaitu setengah dari jumlah ujung bawah

dan ujung atas, sebagai wakil tiap kelas interval. Jadi telah dianggap ada seorang

mahasiswa yang mendapat nilai 35,5 , ada dua orang yang mendapat nilai 45,5 dan

begitu seterusnya. Nilai-nilai asli seperti tertera pada halaman 46, sudah tidak terdapat

lagi di sini dan telah diganti oleh tanda kelas. Karena keadaan inilah maka hasil

perhitungan rata-rata bisa berbeda.

Cara kedua untuk menghitung rata-rata dari data dalam daftar distribusi frekuensi ialah

dengan cara sandi atau cara singkat. Untuk ini ambil salah satu tanda kelas, namakan

x0. Untuk harga xo ini diberi nilai sandi c= 0. Tanda kelas yang lebih kecil dari xo

berturut-turut diberi harga-harga sandi c = -1, c= -2, c= -3, dan seterusnya. Tanda kelas

yang lebih besar dari xo berturut-turut mempunyai harga-harga sandi c= +1, c= +2, c=

+3 dan seterusnya. Dengan ini semua jika p= panjang kelas interval yang sama

besarnya, maka rata-rata dihitung oleh:

IV ( 5 ) . . . . . . . . . . . . . x = x0 + p ( Σ fi ci )

Σ fi

MODUS

Untuk menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi atau paling banyak

terdapat digunakan ukuran modus disingkat Mo. Ukuran ini juga dalam keadaan tidak

disadari sering dipakai untuk menentukan rata-rata dari data kualitatif. Contoh:

kebanyakan kecelakaan lalulintas terjadi karena kecerobohan pengemudi, kebanyakan

kematian di Indonesia disebabkan oleh penyakit malaria. Kedua kasus diatas adalah

merupakan contoh modus dari penyebab kematian dan kecelakaan lalu lintas.

Sedangkan modus untuk data kuantitatif ditentukan dengan jalan menetukan

frekuensi terbanyak di antara data itu.

Contoh: Sampel dengan data sebagai berikut 12, 34, 14, 34, 28, 34, 34, 28, 14


Setelah diurutkan dan ternyata frekuensi terbanyak adalah 4 dengan nilai 34,

sehingga dapat disimpulkan bahwamodusnya adalah 34.

Bagaimana apabila datanya dalam bentuk distribusi frekuensi, maka modusnya dapat

ditentukan dengan rumus:

Contoh data di atas apabila dibentuk dalam table:

xi fi

12 1

14 2

28 2

34 4

Keterangan:

b = batas bawah kelas modus (kelas

interval dengan frekuensi terbanyak

p = panjang kelas interval

b1= frekuensi kelas modus dikurangi

frekuensi kelas interval dengan tanda

kelas yang lebih kecil sebelum tanda kelas modus.

b2= frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas

interval dengan tanda kelas yang lebih besar sesudah tanda kelas modus

Contoh:

Nilai Ujian fi

31 – 40 1

41 - 50 2

51 – 60 5

61 – 70 15

71 – 80 25

81 – 90 20

91 – 100 12

Jumlah 80

10


b1

Mo = b + p ( ________ ) b1+b2

Kelas modus = kelas kelima Mo = 70,5 + (10) ( ________ )

b = 70,5 10 + 5

b1 = 25 – 15 = 10

b2 = 25 – 20 = 5

p = 10

Modus dibandingkan dengan ukuran lainnya, tidak tunggal, hal ini berarti bahwa

di dalam sekumpulan data bias memiliki lebih dari satu modus.

Median (Me)

Media dapat menentukan letak data setelah data tersebut disusun menurut

urutan nilainya. Jadi nilai median akan samam dengan Me, dimana 50 % dari harga-

harganya paling tinggi sama dengan Me sedangkan 50 % lagi harga-harganya paling

rendah sama dengan Me.

Jika banyaknya data tersebut adalah ganjil, maka median setelah data disusun

menurut nilainya, merupakan data paling tengah. Apabila n = 2k, maka k = n/2. n :

banyaknya data.

Contoh: sample dengan data 4, 12, 5, 7, 8, 10, 10 setelah disusun menurut nilainya dari

kecil ke yang terbesar menjadi 4, 5, 7, 8, 10, 10, 12. Sehingga data paling tengah

bernilai 8. Jadi Me = 8.

Bagaimana apabila data tersebut berukuran genap. Setelah data tersebut

disusun menurut urutan nilainya, median sama dengan rata-rata hitung dua data tengah.

Jika n = 2k. maka k = n/2, sehingga mediannya = ½ { k + (k+1)}.

Contoh : Sampel dengan data 12, 7, 8, 14, 16, 19, 8, 10. Setelah disusun menurut

nilainya menjadi 7, 8, 8, 10, 12, 14, 16, 19 nilai tengahnyanya adalah 10 dan 12.

n = 8 dan k = 8/2 = 4.

Sehingga median = ½ ( 10 + 12 ) = 11.

Apabila data yang disusun berbentuk daftar distribusi frekuensi, maka

mediannya dapat dihitung dengan rumus:

½ n – F Keterangan:

Me = b + p ( ________ ) b: batas bawah median, kelas dimana median akan

f terletak.

p: panjang kelas median

n : ukuran sample atau banyak data


F : Jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas

lebih kecil dari tanda kelas median

f : frekuensi kelas median.

Contoh: Jika untuk nilai ujian 80 mahasiswa akan dihitung mediannya dengan

menggunakan daftar sebagai berikut:

Jawab: Karena banyaknya data 80, maka setengah dari seluruh data ada 40 buah.

Jadi median akan terletak di kelas interval kelima, karena sampai dengan ini

jumlah frekuensi sudah lebih dari 40.

Nilai Ujian fi

31 – 40

41 – 50

51 – 60

61 – 70

71 - 80

81 – 90

91 - 100

1

2

5

15

25

20

12

Jumlah 80

Hal ini berarti bahwa ada 50 % dari data yang bernilai paling rendah 77,3 dan

setengahnya lagi bernilai paling besar 77,3. Pada bab sebelumnya dengan data

80 mahasiswa, telah didapat rata-rata x = 76,62, Modus Mo = 77,17 dan Median Me =

77,3. Ternyata bahwa harga-harga statistic tersebut berlainan. Ketiga nilai yaitu rata-

rata, median, dan modus akan sama bila kurva halusnya simetrik. Untuk kondisi kurva

halus dan negative, hubungan empiric yang berikut dapat diandalkan

Rata-rata – Mo = 3 ( Rata-rata – Me )


Dari kelas median ini didapat :B = 70.5; p = 10 f = 25Adapun F = 1 + 2 +5 + 15 = 23, sehingga

Me = 70.5 + (10)( 40 – 23 ) = 77.3 25

Mo Me Rata-rata Rata-rata Me Mo

(A) kurva positif (B) kurva negatif

Kalau dalam rata-rata kita bias menentukan rata-rata gabungan dari beberapa

sample, maka tidaklah demikian halnya dengan median. Hal ini disebabkan karena

urutan nilai data sample akan merubah urutan nilai data sample gabungan. Selain itu

rata-rata sample bersifat lebih stabil disbanding dengan median sample. Hal ini yang

dimaksudkan adalah jika dari sebuah populasi diambil sebuah sample dan dari tiap

sample dihitung rata-rata dan mediannya, maka harga median bervariasi lebih besar bila

dibandingkan dengan rata-rata. Karena sifat stabil inilah antara lain statistic x lebih

banyak digunakan untuk analisa lebih lanjut dibandingkan dengan statistic lainnya.


Daftar Pustaka:

1. Sudjana. Metoda Statistika. Penerbit Tarsito Bandung. 1996.

2. Walpole. Introduction Statistic. Penerbit Gramedia. Jakarta. Edisi ke -3.


ukuran pemusatanstat

Documents