Download - ukuran pemusatanstat
![Page 1: ukuran pemusatanstat](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020711/548431bbb4af9f4b088b4b89/html5/thumbnails/1.jpg)
PENGUKURAN NILAI PUSAT DAN UKURAN LETAK
By ; Siti Nadhifah Ir, MM
PENDAHULUAN
Beberapa macam ukuran letak seperti median,modus, desil dan persentil ini
sering digunakan. Ukuran yang dihitung dari kumpulan data dalam sample dinamakan
statistic. Sedangkan apabila ukuran itu dihitung dari kumpulan data dalam populasi atau
dipakai untuk menyatakan populasi maka dinamakan parameter. Jadi ukuran yang
sama dapat bernama statistic atau parameter tergantung pada ukurannya, apakah
sample atau populasi.
UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK
1. PENDAHULUAN
Untuk mendapatkan gambaran yang lebih jelas tentang sekumpulan data
mengenai sesuatu hal, baik mengenai sample ataupun populasi, selain daripada
data itu disajikan dalam tabel dan diagram, masih diperlukan ukuran-ukuran
yang merupakan wakil kumpulan data tersebut. Dalam bab ini akan diuraikan
tentang ukuran gejala pusat dan ukuran letak. Beberapa macam ukuran dari
golongan pertama adalah: rata-rata atau rata-rata hitung, rata-rata ukur, rata-rata
harmonic, dan modus. Golongan kedua meliputi: median, kuartil, desil dan
persentil.
Ukuran yang dihitung dari kumpulan data dalam sample dinamakan
statistik. Ini telah juga disinggung dalam Bagian 1. Bab 1. Apabila ukuran itu
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ir. Siti Nadifa MMSTATISTIKA SOSIAL
2
Tujuan Instruksional Khusus:
1. Mahasiswa diharapkan mengetahui cara menghitung median, modus, desil dan persentil.
2. Mahasiswa dapat menerapkan kapan menggunakan median, modus, desil dan persentil.
![Page 2: ukuran pemusatanstat](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020711/548431bbb4af9f4b088b4b89/html5/thumbnails/2.jpg)
dihitung dari kumpulan data dalam populasi atau dipakai untuk menyatakan
populasi, maka namanya parameter. Jadi ukuran yang sama dapat bernama
statistik atau parameter bergantung pada apakah ukuran dimaksud untuk sample
atau populasi.
2. RATA – RATA ATAU RATA-RATA HITUNG
Untuk keperluan ini, dan perhitungan selanjutnya, akan digunakan
simbul-simbul. Nilai-nilai data kuantitatif akan dinyatakan dengan x1, x2, ... xn,
apabila dalam kumpulan data itu terdapat n buah nilai. Simbul n juga akan
dipakai untuk menyatakan ukuran sample, yakni banyak data atau objek yang
diteliti dalam sample. Simbul N dipakai untuk menyatakan ukuran populasi, yakni
banyak anggota terdapat dalam populasi.
Jika ada lima nilai ujian dari lima orang mahasiswa untuk mata kuliah
statistika berbentuk: 70, 69, 45, 80 dan 56, maka dalam simbul ditulis : x1= 70,
x2= 69, x3= 45, x4=80 dan x5= 56. Dalam hal ini n= 5, yang menyatakan sebuah
sampel berukuran 5.
Rata-rata, atau lengkapnya rata-rata hitung, untuk data kuantitatif yang
terdapat dalam sebuah sample dihitung dengan jalan membagi jumlah nilai data
oleh banyak data.
Simbul rata-rata untuk sample ialah x ( baca: eks garis ) sedangkan
rata-rata untuk populasi dipakai simbul μ ( baca: mu ). Jadi x adalah
statistik sedangkan u adalah parameter untuk menyatakan rata-rata. Rumus
untuk rata-rata x adalah: n
Σ xi
x = x1 + x2 + . . . . . + xn atau x = i=1
n
atau lebih sederhana lagi ditulis:
IV ( 1 ) . . . . . . . . x = Σ xi
n
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ir. Siti Nadifa MMSTATISTIKA SOSIAL
![Page 3: ukuran pemusatanstat](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020711/548431bbb4af9f4b088b4b89/html5/thumbnails/3.jpg)
dengan Σxi singkatan dari n xi yang berarti jumlah semua harga x yang ada
Σ
i = 1
dalam kumpulan itu.
Untuk kelima nilai ujian di atas, nilai rata-ratanya ialah:
x = 70 + 69 + 45 + 80 + 56 = 64
5
Jika ada lima mahasiswa mendapat nilai 70, enam mendapat nilai 69, tiga mendapat 45
dan masing-masing seorang mendapat nilai 80 dan 56, maka lebih baik data itu ditulis
sebagai berikut:
xi fi xi menyatakan nilai ujian, dan
70 5 fi menyatakan frekuensi untuk nilai xi
69 6 yang bersesuaian.
45 3
80 1 Misalnya: f1= 5 untuk x1= 70, f2=6
56 1 untuk x2= 69 dan seterusnya.
Untuk data berbentuk demikian, rumus rata-ratanya adalah:
IV ( 2 ) . . . . . . . . . . . . . . x= Σ fi xi
Σ fi
ialah jumlah hasil kali antara frekuensi dan nilai data dibagi oleh jumlah frekuensi.
Untuk contoh di muka, dianjurkan dibuat tabel penolong seperti berikut.
Xi fi fi xi Dari tabel didapat
70 5 350 Σ fi = 16 dan
69 6 414 Σ fixi = 1035
45 3 135 sehingga
80 1 80 x = Σ fi xi atau x = 1035 = 64,6
56 1 56 Σ fi 16
Jumlah 16 1035
Nilai rata-rata ujian statistik untuk ke-16 mahasiswa itu adalah 64,6.
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ir. Siti Nadifa MMSTATISTIKA SOSIAL
![Page 4: ukuran pemusatanstat](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020711/548431bbb4af9f4b088b4b89/html5/thumbnails/4.jpg)
Rumus IV ( 2 ) disebut pula rumus rata-rata diboboti yang sering dipakai untuk
memperbaiki rata-rata yang dihitung oleh Rumus IV ( 1 ).
Contoh: Data berikut merupakan daftar barang yang disimpan di gudang, diantaranya
terdapat yang rusak.
DAFTAR IV ( 1 )
BARANG DISIMPAN RUSAK %
A 100 96 96
B 200 92 46
C 160 80 50
D 80 60 75
JMLH 540 328 ---I
Jika rata-rata mengenai persen barang yang rusak dihitung dengan Rumus IV ( 1 ),
maka
x = 96 + 46 + 50 + 75 % = 66,75 %
4
Tetapi barang yang rusak ada 328 dari 540. Ini berarti 328 x 100%= 60,07%. Hasil ini
540
didapat dengan menggunakan Rumus IV ( 2 ) seperti dalam daftar berikut.
Xi ( % ) fi fi xi Dalam tabel disamping ini, xi= persen yang rusak
96 100 96 fi = banyak barang. Dari tabel dan Rumus IV ( 2 ) didapat:
46 200 92 x = Σ fi xi x 100%
75 160 80 Σ fi
75 80 60 = 328 x 100 %
540
= 60,07
Rata-rata terdapat 60,07% barang yang rusak.
Selanjutnya kita juga dapat menentukan rata-rata gabungan, yaitu rata-rata dari
beberapa sub sample lalu dijadikan satu. Kalau ada k buah sub sample masing-masing
dengan keadaan berikut:
sub sample 1:berukuran n1 dengan rata-rata x1
sub sample 2:berukuran n2 dengan rata-rata x2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ir. Siti Nadifa MMSTATISTIKA SOSIAL
![Page 5: ukuran pemusatanstat](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020711/548431bbb4af9f4b088b4b89/html5/thumbnails/5.jpg)
sub sample k : berukuran nk dengan rata-rata xk
maka rata-rata gabungan dari k buah sub sample itu dihitung dengan:
IV ( 3 ) . . . . . . . . . . . . x = Σ ni xi
Σ ni
Contoh: Tiga sub sample masing-masing berukuran 10,6 dan 8 sedangkan rata-ratanya
masing-masing 145, 118 dan 162.
Adalah salah jika rata-rata gabungan dihitung dengan Rumus IV ( 1 ) , ialah
x = 145 + 118 + 162 = 141,7
3
Yang benar, harus dihitung dengan Rumus IV ( 3 ), ialah:
X = (10) (145) + (6) (118) + (8) (162) = 143,9
10 + 6 + 8
Untuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, rata-ratanya dihitung
dengan Rumus IV ( 2 ), ialah:
IV ( 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . x = Σ fi xi
Σ fi
hanya di sini xi = tanda kelas interval dan fi = frekuensi yang sesuai dengan tanda kelas
xi.
Contoh: Marilah kita hitung rata-rata untuk nilai ujian statistika yang terdapat dalam
Daftar III ( 1 ) halaman 45. Untuk keperluan ini kita buat tabel berikut.
NILAI UJIAN FREK TANDA KEL PRODUK
fi xi fi xi
31 – 40 1 35,5 35,5
41 – 50 2 45,5 91,0
51 – 60 5 55,5 277,5
61 – 70 15 65,5 982,5
71 – 80 25 75,5 1887,5
81 – 90 20 85,5 1710,0
91 – 100 12 95,5 1146,0
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ir. Siti Nadifa MMSTATISTIKA SOSIAL
![Page 6: ukuran pemusatanstat](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020711/548431bbb4af9f4b088b4b89/html5/thumbnails/6.jpg)
JUMLAH 80 ----- 6130,0
Catatan: Frekensi berbeda dari yang terdapat dalam Daftar III ( 1 ).
Dari tabel diatas didapat: Σ fi= 80 dan Σ fi xi= 6130,0
Rumus IV ( 4 ) memberikan:
x = 6130,0 = 76,62
80
Rata-rata nilai ujian statistika 76,62.
Dalam perhitungan di atas, diambil tanda kelas yaitu setengah dari jumlah ujung bawah
dan ujung atas, sebagai wakil tiap kelas interval. Jadi telah dianggap ada seorang
mahasiswa yang mendapat nilai 35,5 , ada dua orang yang mendapat nilai 45,5 dan
begitu seterusnya. Nilai-nilai asli seperti tertera pada halaman 46, sudah tidak terdapat
lagi di sini dan telah diganti oleh tanda kelas. Karena keadaan inilah maka hasil
perhitungan rata-rata bisa berbeda.
Cara kedua untuk menghitung rata-rata dari data dalam daftar distribusi frekuensi ialah
dengan cara sandi atau cara singkat. Untuk ini ambil salah satu tanda kelas, namakan
x0. Untuk harga xo ini diberi nilai sandi c= 0. Tanda kelas yang lebih kecil dari xo
berturut-turut diberi harga-harga sandi c = -1, c= -2, c= -3, dan seterusnya. Tanda kelas
yang lebih besar dari xo berturut-turut mempunyai harga-harga sandi c= +1, c= +2, c=
+3 dan seterusnya. Dengan ini semua jika p= panjang kelas interval yang sama
besarnya, maka rata-rata dihitung oleh:
IV ( 5 ) . . . . . . . . . . . . . x = x0 + p ( Σ fi ci )
Σ fi
MODUS
Untuk menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi atau paling banyak
terdapat digunakan ukuran modus disingkat Mo. Ukuran ini juga dalam keadaan tidak
disadari sering dipakai untuk menentukan rata-rata dari data kualitatif. Contoh:
kebanyakan kecelakaan lalulintas terjadi karena kecerobohan pengemudi, kebanyakan
kematian di Indonesia disebabkan oleh penyakit malaria. Kedua kasus diatas adalah
merupakan contoh modus dari penyebab kematian dan kecelakaan lalu lintas.
Sedangkan modus untuk data kuantitatif ditentukan dengan jalan menetukan
frekuensi terbanyak di antara data itu.
Contoh: Sampel dengan data sebagai berikut 12, 34, 14, 34, 28, 34, 34, 28, 14
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ir. Siti Nadifa MMSTATISTIKA SOSIAL
![Page 7: ukuran pemusatanstat](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020711/548431bbb4af9f4b088b4b89/html5/thumbnails/7.jpg)
Setelah diurutkan dan ternyata frekuensi terbanyak adalah 4 dengan nilai 34,
sehingga dapat disimpulkan bahwamodusnya adalah 34.
Bagaimana apabila datanya dalam bentuk distribusi frekuensi, maka modusnya dapat
ditentukan dengan rumus:
Contoh data di atas apabila dibentuk dalam table:
xi fi
12 1
14 2
28 2
34 4
Keterangan:
b = batas bawah kelas modus (kelas
interval dengan frekuensi terbanyak
p = panjang kelas interval
b1= frekuensi kelas modus dikurangi
frekuensi kelas interval dengan tanda
kelas yang lebih kecil sebelum tanda kelas modus.
b2= frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas
interval dengan tanda kelas yang lebih besar sesudah tanda kelas modus
Contoh:
Nilai Ujian fi
31 – 40 1
41 - 50 2
51 – 60 5
61 – 70 15
71 – 80 25
81 – 90 20
91 – 100 12
Jumlah 80
10
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ir. Siti Nadifa MMSTATISTIKA SOSIAL
b1
Mo = b + p ( ________ ) b1+b2
![Page 8: ukuran pemusatanstat](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020711/548431bbb4af9f4b088b4b89/html5/thumbnails/8.jpg)
Kelas modus = kelas kelima Mo = 70,5 + (10) ( ________ )
b = 70,5 10 + 5
b1 = 25 – 15 = 10
b2 = 25 – 20 = 5
p = 10
Modus dibandingkan dengan ukuran lainnya, tidak tunggal, hal ini berarti bahwa
di dalam sekumpulan data bias memiliki lebih dari satu modus.
Median (Me)
Media dapat menentukan letak data setelah data tersebut disusun menurut
urutan nilainya. Jadi nilai median akan samam dengan Me, dimana 50 % dari harga-
harganya paling tinggi sama dengan Me sedangkan 50 % lagi harga-harganya paling
rendah sama dengan Me.
Jika banyaknya data tersebut adalah ganjil, maka median setelah data disusun
menurut nilainya, merupakan data paling tengah. Apabila n = 2k, maka k = n/2. n :
banyaknya data.
Contoh: sample dengan data 4, 12, 5, 7, 8, 10, 10 setelah disusun menurut nilainya dari
kecil ke yang terbesar menjadi 4, 5, 7, 8, 10, 10, 12. Sehingga data paling tengah
bernilai 8. Jadi Me = 8.
Bagaimana apabila data tersebut berukuran genap. Setelah data tersebut
disusun menurut urutan nilainya, median sama dengan rata-rata hitung dua data tengah.
Jika n = 2k. maka k = n/2, sehingga mediannya = ½ { k + (k+1)}.
Contoh : Sampel dengan data 12, 7, 8, 14, 16, 19, 8, 10. Setelah disusun menurut
nilainya menjadi 7, 8, 8, 10, 12, 14, 16, 19 nilai tengahnyanya adalah 10 dan 12.
n = 8 dan k = 8/2 = 4.
Sehingga median = ½ ( 10 + 12 ) = 11.
Apabila data yang disusun berbentuk daftar distribusi frekuensi, maka
mediannya dapat dihitung dengan rumus:
½ n – F Keterangan:
Me = b + p ( ________ ) b: batas bawah median, kelas dimana median akan
f terletak.
p: panjang kelas median
n : ukuran sample atau banyak data
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ir. Siti Nadifa MMSTATISTIKA SOSIAL
![Page 9: ukuran pemusatanstat](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020711/548431bbb4af9f4b088b4b89/html5/thumbnails/9.jpg)
F : Jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas
lebih kecil dari tanda kelas median
f : frekuensi kelas median.
Contoh: Jika untuk nilai ujian 80 mahasiswa akan dihitung mediannya dengan
menggunakan daftar sebagai berikut:
Jawab: Karena banyaknya data 80, maka setengah dari seluruh data ada 40 buah.
Jadi median akan terletak di kelas interval kelima, karena sampai dengan ini
jumlah frekuensi sudah lebih dari 40.
Nilai Ujian fi
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 - 80
81 – 90
91 - 100
1
2
5
15
25
20
12
Jumlah 80
Hal ini berarti bahwa ada 50 % dari data yang bernilai paling rendah 77,3 dan
setengahnya lagi bernilai paling besar 77,3. Pada bab sebelumnya dengan data
80 mahasiswa, telah didapat rata-rata x = 76,62, Modus Mo = 77,17 dan Median Me =
77,3. Ternyata bahwa harga-harga statistic tersebut berlainan. Ketiga nilai yaitu rata-
rata, median, dan modus akan sama bila kurva halusnya simetrik. Untuk kondisi kurva
halus dan negative, hubungan empiric yang berikut dapat diandalkan
Rata-rata – Mo = 3 ( Rata-rata – Me )
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ir. Siti Nadifa MMSTATISTIKA SOSIAL
Dari kelas median ini didapat :B = 70.5; p = 10 f = 25Adapun F = 1 + 2 +5 + 15 = 23, sehingga
Me = 70.5 + (10)( 40 – 23 ) = 77.3 25
![Page 10: ukuran pemusatanstat](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020711/548431bbb4af9f4b088b4b89/html5/thumbnails/10.jpg)
Mo Me Rata-rata Rata-rata Me Mo
(A) kurva positif (B) kurva negatif
Kalau dalam rata-rata kita bias menentukan rata-rata gabungan dari beberapa
sample, maka tidaklah demikian halnya dengan median. Hal ini disebabkan karena
urutan nilai data sample akan merubah urutan nilai data sample gabungan. Selain itu
rata-rata sample bersifat lebih stabil disbanding dengan median sample. Hal ini yang
dimaksudkan adalah jika dari sebuah populasi diambil sebuah sample dan dari tiap
sample dihitung rata-rata dan mediannya, maka harga median bervariasi lebih besar bila
dibandingkan dengan rata-rata. Karena sifat stabil inilah antara lain statistic x lebih
banyak digunakan untuk analisa lebih lanjut dibandingkan dengan statistic lainnya.
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ir. Siti Nadifa MMSTATISTIKA SOSIAL
![Page 11: ukuran pemusatanstat](https://reader031.vdokumen.com/reader031/viewer/2022020711/548431bbb4af9f4b088b4b89/html5/thumbnails/11.jpg)
Daftar Pustaka:
1. Sudjana. Metoda Statistika. Penerbit Tarsito Bandung. 1996.
2. Walpole. Introduction Statistic. Penerbit Gramedia. Jakarta. Edisi ke -3.
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ir. Siti Nadifa MMSTATISTIKA SOSIAL