1

3. RUANG VEKTOR

3.1 VEKTOR (GEOMETRIK) – PENGANTAR

• Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif, maka tupel-terorde (ordered-n-tuple)

adalah sebuah urutan n bilangan riil (a1, a2, ..., an). Himpunan semua tupel-terorde

dinamakan ruang-n dan dinyatakan dengan nR .

• Dua vektor u = (u1, u2, ..., un) dan v = (v1, v2, ..., vn) pada nR dinamakan sama jika

nn vuvuvu === ,,, 2211 …

jumlah u + v didefinisikan oleh

( )nn vuvuvu +++=+ ,,, 2211 …vu dan jika k adalah sembarang skalar, maka perkalian skalar ku didefinisikan oleh

( ),,2,1 ,, nkukukuk …=u

• Vektor-vektor dapat dinyatakan secara geometris sebagai segmen-segmen garis

terarah atau panah-panah di ruang-2 atau ruang-3; arah panah menentukan arah

vektor dan panjang panah menyatakan besarnya. Ekor panah dinamakan titik awal

(initial point) dari vektor, dan ujung panah dinamakan titik terminal (terminal

point). Selanjutnya vektor akan dinyatakan dengan huruf kecil tebal misalnya, a, v,

w, dan x. Bila membahas vektor, maka bilangan akan dinyatakan sebagai skalar.

Semua skalar merupakan bilangan riil dan akan dinyatakan oleh huruf kecil biasa

misalnya, k, dan l.

• Jika, seperti pada gambar 3.1 a titik awal vektor v adalah A dan titik terminalnya

adalah B, maka kita tuliskan

v = AB

2

Gambar 3.1 (a). Vektor AB (b). Vektor-vektor ekivalen

• Vektor-vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama walaupun mungkin

diletakkan pada kedudukan yang berbeda-beda, seperti vektor-vektor pada gambar

3.1b dinamakan ekivalen. Jika v dan w ekivalen maka kita tuliskan

v = w

• Definisi. Jika v dan w adalah sebarang dua vektor, maka penjumlahan didefinisikan

oleh

v + w = w + v (gambar 3.2)

Gambar 3.2

3

• Jika v adalah sebarang vektor yang tak nol, maka vektor w yang memenuhi v + w = 0

adalah negatif dari v (gambar 3.2)

w = - v

• Definisi. Jika v dan w adalah sebarang dua vektor, maka pengurangan didefinisikan

oleh v - w = v + (-w) (gambar 3.3)

Gambar 3.3

• Soal-soal yang melibatkan vektor seringkali dapat disederhanakan dengan

memperkenalkan sebuah sistem koordinat siku-siku. Misalkan v adalah vektor dalam

bidang (ruang-2), dan anggaplah seperti dalam gambar 3.4, bahwa v telah didudukkan

sehingga titik permulaannya berada di titik asal sebuah sistem koordinasi siku-siku.

Koordinat-koordinat (v1, v2) dari titik terminal v dinamakan komponen-komponen

dari v, dan kita menuliskannya sebagai

v = (v1, v2)

Gambar 3.4

4

• Operasi penambahan vektor dan operasi perkalian oleh skalar sangat mudah untuk

dilaksanakan di dalam komponen-komponen, seperti yang dilukiskan dalam gambar

3.5, jika v = (v1, v2) dan w = (w1, w2), maka

v + w = (v1 + w1, v2 + w2)

Gambar 3.5

• Jika v = (v1, v2) dan k adalah sebarang skalar, maka dengan menggunakan argumental

geometrik yang melibatkan segitiga-segitiga yang serupa, dapat diperlihatkan bahwa

kv = (kv1, kv2 ) (gambar 3.6)

Gambar 3.6

5

3.2 NORMA VEKTOR; ILMU HITUNG VEKTOR

• Teorema 1.

Jika u =(u1, u2, ..., un), v = (v1, v2, ..., vn) dan w = (w1, w2, ..., wn) adalah vektor –

vektor pada nR dan k serta l adalah skalar , maka :

(a) u + v = v +u

(b) u + (v + w ) =(u + v) + w

(c) u + 0= 0 +u = u

(d) u + (-u) =0, yakni, u – u = 0

(e) k(lu) = (kl)u

(f) k(u + v) = ku + kv

(g) (k + l)u = ku + lu

(h) lu = u (Ingat: 1 adalah skalar bernilai 1)

• Panjang sebuah vektor v seringkali dinamakan norma dari v dan dinyatakan dengan

||v||. Jelaslah dari teorema Phythagoras bahwa norma sebuah vektor v = (v1, v2) di

dalam ruang-2 adalah 2221 vv +=v

Jika v adalah vektor dalam ruang-3, maka 2322

21 vvv ++=v (gambar 3.7)

Gambar 3.7

• Jika P1 = (x1, y1, z1) dan P2 = (x2, y2, z2) adalah dua titik didalam ruang-3, maka jarak

diantara kedua titik tersebut adalah norma vektor 21PP (gambar 3.8)

),,( 12121221 zzyyxxPP −−−=

6

Maka jelaslah bahwa

( ) ( ) ( )212212212 zzyyxxd −+−+−=

Gambar 3.8

• Jika u = (u1, u2, ..., un) dan v = (v1, v2, ..., vn) adalah sembarang vektor pada nR ,

maka hasil kali dalam Euclidis (Euclidis inner product) u . v kita definisikan

dengan

u . v = ( )nn vuvuvu ⋅++⋅+⋅ …2211

3.3 RUANG -n EUCLIDIS

• Definisi. Jika V adalah sebuah ruang hasil kali dalam, maka norma (atau panjang)

vektor u dinyatakan oleh ||u|| dan didefinisikan oleh 2

1

,uuu =

• Definisi. Jika V adalah sebuah ruang hasil kali dalam, maka jarak antara dua titik

(vektor) u dan v dinyatakan oleh d(u,v) dan didefinisikan oleh

d(u,v) = ||u – v||

7

• Teorema 2.

Jika u,v, dan w adalah vektor pada nR dan k adalah sembarang skalar, maka :

a) u . v = v . u

b) (u + v) . w = u . w + v . w

c) (ku) . v = k(u . v)

d) v . v ≥ 0, Selanjutnya, v . v = 0 jika dan hanya jika v = 0

3.4 RUANG VEKTOR UMUM

• Misalkan V sebarang himpunan benda yang dua operasinya kita definisikan, yakni

penambahan dan perkalian dengan skalar (bilangan riil). Penambahan tersebut kita

pahami untuk mengasosiasikan sebuah aturan dengan setiap pasang benda u dan v

dalam V, yang mengandung elemen u + v, yang kita namakan jumlah u dan v ;

dengan perkalian skalar kita artikan aturan untuk mengasosiasikannya baik untuk

setiap skalar k maupun setiap benda u pada V yang mengandung elemen ku, yang

dinamakan perkalian scalar (scalar multiple) u oleh k.

• Jika aksioma aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u, v, w pada V dan oleh

semua skalar k dan l, maka kita namakan V sebuah ruang vector (vector space) dan

benda – benda pada V kita namakan vector:

a) Jika u dan v adalah benda – benda pada V, maka u + v berada di V.

b) u + v = v + u c) u + (v + w) = (u + v) + w d) ada sebuah benda 0 di V sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u di V.

e) Untuk setiap u di V, ada sebuah benda – u di V yang kita namakan negatif u sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0.

f) Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang benda di V, maka ku berada

di V.

g) k(u + v) = ku + kv

h) (k + l)u = ku + lu

i) k(lu) = (kl)(u)

j) lu = u

8

• Teorema 3.

Misalkan V adalah sebuah ruang vektor, u sebuah vektor pada V, dan k sebuah

skalar; maka :

(a) 0u = 0

(b) k0 = 0

(c) (-1)u = - u

(d) jika ku = 0, maka k = 0 atau u = 0

3.5 SUBRUANG

• Subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V dinamakan subruang (subspace) V jika

W itu sendiri adalah ruang vektor di bawah penambahan dan perkalian skalar yang

didefinisikan pada V.

• Teorema 4.

Jika W adalah himpunan dari satu atau lebih vektor dari sebuah ruang vektor V,

maka W adalah subruang dari V jika dan hanya jika kondisi-kondisi berikut berlaku.

(a) Jika u dan v adalah vektor-vektor pada W, maka u + v terletak di W.

(b) Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor pada W, maka ku

berada di W.

• Sebuah vektor w dinamakan kombinasi linear dari vektor-vektor v1, v2, ....,vr jika

vektor tersebut dapat diungkapkan dalam bentuk

w = k1v1 + k2v2 + ... + krvr dimana k1, k2, ...., kr adalah skalar.

• Contoh 1

Perlihatkan bahwa w = (9, 2, 7) merupakan kombinasi linier dari u = (1, 2, -1) dan v

= (6, 4, 2). Tunjukkan pula bahwa w’ = (4, -1, 8) bukan merupakan kombinasi linier

dar vektor u dan v tersebut

Jawab

Supaya w merupakan kombinasi linier dari u dan v, maka harus ada skalar k1 dan k2

sehingga w = k1u + k2v; yakni

9

(9, 2, 7) = k1(1, 2, -1) + k2(6, 4, 2)

Penyamaan komponen-komponen yang bersesuaian memberikan

7224296

21

21

21

=+−=+=+

kkkkkk

Dengan memecahkan sistem ini akan menghasilkan k1 = -3, k2 = 2 sehingga

w = 3 u + 2 v

Demikian juga supaya w’ merupakan kombinasi linier dari u dan v, maka harus ada

skalar k1 dan k2 sehingga w = k1u + k2v; yakni

(4, -1, 8) = k1(1, 2, -1) + k2(6, 4, 2)

Penyamaan komponen-komponen yang bersesuaian memberikan

8214246

21

21

21

=+−−=+=+

kkkkkk

Sistem-sistem persamaan ini tidak konsisten (buktikan) sehingga tidak ada skalar k1

dan k2 yang memenuhi w = k1u + k2v. Dengan demikian jelas w’ bukanlah kombinasi

linier dari u dan v.

• Definisi. Jika v1, v2, .....,vr adalah vektor-vektor pada ruang vektor V dan jika masing-

masing vektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear v1, v2, ....,vr maka

kita mengatakan bahwa vektor-vektor ini merentang V.

• Teorema 5.

Jika v1, v2, ....,vr adalah vektor-vektor pada ruang vektor V, maka :

(a) Himpunan W dari semua kombinasi linear v1, v2, ....,vr adalah subruang V.

(b) W adalah subruang terkecil dari V yang mengandung v1, v2, ....,vr dalam arti

bahwa setiap subruang lain dari V yang mengandung v1, v2, ....,vr harus

mengandung W.

10

3.6 KEBEBASAN LINEAR

• Jika S = {v1, v2, ....,vr} adalah himpunan vektor, maka persamaan vektor

k1v1 + k2v2 + ... + krvr = 0

mempunyai paling sedikit satu pemecahan, yakni

k1 = 0, k2 = 0, ...., kr = 0

Jika ini adalah satu-satunya pemecahan, maka S kita namakan himpunan bebas

linear (linearly independent). Jika ada pemecahan lain, maka S kita namakan

himpunan tak bebas linear (linearly dependent).

• Contoh 2.

Himpunan vektor-vektor S = {v1, v2, v3} dengan v2 = (1, 2, 5, -1), v3 = (7, -1, 5, 8)

adalah himpunan tak bebas linier karena 3v1 + v1 + v3 = 0

• Teorema 6.

Himpunan S dengan dua vektor atau lebih adalah

(a) Tak bebas linear jika dan hanya jika paling tidak satu diantara anggota

himpunan vektor S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari anggota

himpunan vektor S lainnya.

(b) Bebas linear jika tidak ada anggota himpunan vektor S yang dapat dinyatakan

sebagai kombinasi linear dalam anggota himpunan vektor S lainnya.

• Teorema 7.

(a) Jika sebuah himpunan mengandung vektor nol, maka himpunan itu takbebas

linear.

(b) Sebuah himpunan yang mempunyai persis dua vektor takbebas linear jika dan

hanya jika salah satu dari vektor itu adalah perkalian dari skalar lainnya.

• Teorema 8.

Misalkan S = {v1, v2, ....,vr} adalah himpunan vektor-vektor pada Rn. Jika r > n,

maka S takbebas linear.

11

3.7 BASIS DAN DIMENSI

• Jika V adalah sebarang ruang vektor dan S = {v1, v2, ....,vr} merupakan

himpunan berhingga dari vektor-vektor pada V, maka S kita namakan basis

untuk V jika

(a) S bebas linear ;

(b) S merentang V

• Contoh 3

Misalkan v1 = (1, 2, 1) , v2 = (2, 9, 0), dan v3 = (3, 3, 4). Perlihatkanlah bahwa

himpunan S = { v1, v2, v3} adalah basis untuk R3.

Jawab.

Untuk memperlihatkan bahwa S merentang R3, maka harus ditunjukkan

bahwa sembarang vektor b = (b1, b2, b3) dapat dinyatakan sebagai kombinasi

linier

b = k1v1 + k2 v2 + k3v3

dari vektor-vektor S. Dengan menyatakan persamaan ini dalam komponen-

komponennya maka akan memberikan

(b1, b2, b3) = k1(1, 2, 1) + k2 (2, 9, 0)+ k3 (3, 3, 4)

atau

(b1, b2, b3) = (k1 + 2 k2 + 3 k3, 2k1 + 9k2 + 3k3, k1 + 4 k3)

atau

331

2321

1321

439232

bkkbkkkbkkk

=+=++=++

Jadi untuk memperlihatkan bahwa S merentang V, maka kita harus

perlihatkan bahwa sistem persamaan (3.1) mempunyai pemecahan untuk

semua pilihan b = (b1, b2, b3). Untuk membuktikan S bebas linier (BL), harus

ditunjukkan bahwa satu-satunya pemecahan dari

k1v1 + k2 v2 + k3v3 = 0

adalah k1 = k2 = k3 = 0.

3.1

3.2

12

Seperti sebelumnya jika persamaan 3.2 dinyatakan dalam komponen-

komponennya, maka pembuktian BL akan direduksi menjadi pembuktian

bahwa sistem tersebut homogen , yaitu

040392032

31

321

321

=+=++=++

kkkkkkkk

yang hanya mempunyai pemecahan trivial. Perhatikan bahwa persamaan

(3.1) dan (3.3) mempunyai matriks koefisien yang sama. Selanjutnya tinjau

kembali bagian (a), (b), dan (d) dari teorema 12 handout kuliah pada bagian

“Hasil Selanjutnya mengenai Sistem Persamaan dan Keterbalikan” (atau

Howard Anton teorema 15 pada bagian 1.7). Menurut bagian tersebut jelas

secara serempak dapat dibuktikan bahwa S bebas linier dan merentang R3

dengan memperlihatkan bahwa matriks koefisien

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

401392321

A

pada persamaan (3.1) dan (3.3) dapat dibalik (mempunyai inverse). Hal ini

sama dengan membuktikan bahwa det (A) ≠0, yaitu

( ) 1401392321

det −==A

Jelas karena det (A) ≠0, maka menurut A dapat dibalik. Jadi, S adalah sebuah

basis untuk R3.

• Contoh 4

Misalkan

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1001

1M , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0010

2M , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0100

3M , dan ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1000

4M

Himpunan S = [M1, M2, M3, M4] adalah sebuah basis untuk ruang vektor M22

dari matriks-matriks 2 x 2. Untuk melihat bahwa S merentang M22,

perhatikanlah bahwa sebuah vektor khas (matriks)

13

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡dcba

dapat kita tulis sebagai

1111

1000

0100

0010

0001

dMcMbMaM

dcbadcba

+++=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

Untuk melihat bahwa S bebas linier, anggaplah bahwa

1111 dMcMbMaM +++=

yakni,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡0000

1000

0100

0010

0001

dcba

maka

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡0000

dcba

Jadi a = b = c = d = 0 sehingga S bebas linier

Basis S dalam contoh ini disebut basis baku untuk M22.

• Definisi. Sebuah ruang vektor taknol V dinamakan berdimensi berhingga

(finite dimensional) jika ruang vektor tersebut mengandung sebuah himpunan

berhingga dari vektor-vektor { v1, v2, ....,vn } yang membentuk sebuah basis.

Jika tidak ada himpunan seperti itu, maka V dinamakan berdimensi

takberhingga (infinite dimensionel). Tambahan lagi, kita akan menganggap

ruang vektor nol sebagai ruang vektor berdimensi berhingga walaupun ruang

vektor tersebut tidak mempunyai himpunan bebas linear, sehingga basis pun

tidak ada.

• Teorema 9.

Jika S = { v1, v2, ....,vn } adalah basis untuk ruang vektor V, maka setiap

himpunan dengan lebih dari n vektor adalah takbebas linear.

14

• Teorema 10.

Sebarang dua basis untuk ruang vektor berdimensi berhingga mempunyai

jumlah vektor yang sama.

• Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan

sebagai banyaknya vektor pada basis untuk V, Tambahan lagi, kita

mendefinisikan ruang vektor nol mempunyai dimensi nol.

• Teorema 11.

(a) Jika S = { v1, v2, ....,vn } adalah sebuah himpunan n vektor bebas linear

pada sebuah ruang V yang berdimensi n, maka S adalah sebuah basis untuk

V.

(b) Jika S = { v1, v2, ....,vn } adalah sebuah himpunan n vektor yang merentang

ruang V yang berdimensi n, maka S adalah basis untuk V.

(c) Jika S = { v1, v2, ....,vn } adalah sebuah himpunan bebas linear pada ruang

V yang berdimensi n dan r < n, maka S dapat diperbesar menjadi basis

untuk V ; yakni, vektor-vektor vr+1 ,....,vn sehingga {v1, v2,,....,vr,vr+1,....,vn}

adalah sebuah basis untuk V.

3.8 RUANG BARIS DAN KOLOM MATRIKS; RANK; PENERAPAN TERHADAP PENCARIAN BASIS

Tinjaulah matriks m x n

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

21

22221

11211

Vektor-vektor

15

( )( )

( )mnmmm

n

n

aaar

aaaraaar

,,,

,,,,,,

21

222212

112111

=

==

terbentuk dari baris-baris A yang kita namakan vektor-vektor baris A, dan vektor-

vektor

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1

21

11

1

ma

aa

c ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

2

22

12

2

ma

aa

c , ... ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

3

23

13

3

ma

aa

c

terbentuk dari kolom-kolom A yang kita namakan vektor-vektor kolom A.

Subruang Rn yang direntang oleh vektor-vektor baris yang kita namakan ruang

baris (row space) A dan subruang Rm yang direntang oleh vektor-vektor kolom

kita namakan ruang kolom (column space) A.

• Contoh 5

Misalkan ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=413012

A

Vektor-vektor baris A adalah

r1 = (2, 1, 0) dan r2 = (3, -1, 4)

Vektor-vektor kolom A adalah

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

32

1c , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=1

12c , dan ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

40

3c

• Teorema 12.

Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris sebuah matriks.

• Teorema 13.

Vektor-vektor baris taknol berbentuk eselon baris dari matriks A membentuk

basis untuk ruang baris A.

16

• Contoh 6.

Carilah sebuah basis untuk ruang yang direntang oleh vektor-vektor

v1 = (1, -2, 0, 0, 3), v2 = (2, -5, -3, -2, 6), v3 = (0, 5, 15, 10, 0)

v4 = (2, 6, 18, 8, 6)

Jawab. Ruang yang direntang oleh vktor-vektor ini adalah ruang baris dari

matriks

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−

−

68186201015506235230021

Dengan mereduksi matriks ini menjadi bentuk eselon baris (buktikan sendiri!),

didapatkan

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

00000011000231030021

Vektor-vektor baris taknol pada matriks ini adalah

w1 = (1, -2, 0, 0, 3), w2 = (0, 1, 3, 2, 0), dan w3 = (0, 0, 1, 1, 0)

Vektor-vektor ini membentuk basis bagi ruang baris tersebut dan sebagai

konsekuensinya maka akan membentuk basis untuk ruang yang direntang

oleh v1, v2, v3, dan v4

• Teorema 14.

Jika A adalah sebarang matriks, maka ruang baris dan ruang kolom A

mempunyai dimensi yang sama.

• Dimensi ruang baris dan ruang kolom matriks A dinamakan rank A dan

dinyatakan dengan rank (A).

17

• Teorema 15.

Jika A adalah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen

satu sama lain.

(a) A dapat dibalik.

(b) A x = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial.

(c) A ekivalen baris dengan In.

(d) A x = b konsisten untuk tiap-tiap matriks b yang berukuran n x 1.

(e) det(A) ≠ 0.

(f) A mempunyai rank n.

(g) Vektor-vektor baris A bebas linear.

(h) Vektor-vektor kolom A bebas linear.

• Teorema 16.

Sebuah sistem persamaan linear Ax = b adalah konsisten jika dan hanya jika

b berada pada ruang kolom A.

• Teorema 17.

Sebuah sistem persamaan linear Ax = b akan konsisten jika dan hanya jika

rank dari matriks koefisien A sama dengan rank dari matriks yang diperbesar

[A|b].

• Teorema 18.

Jika Ax = b adalah sistem linear konsisten dari m persamaan n bilangan

takdiketahui, dan jika A mempunyai rank r, maka pemecahan sistem tersebut

mengandung n – r parameter.

3.9 RUANG HASIL KALI DALAM

• Sebuah hasil kali dalam (inner product) pada ruang vektor riil V adalah

fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil vu, dengan masing-masing

pasangan vektor u dan v pada V sedemikian rupa sehingga aksioma-aksioma

18

berikut dipenuhi untuk semua vektor u, v, dan w di V dan juga untuk semua

skalar k.

1) uvvu ,, = (aksioma simetri)

2) wvwuwvu ,,, +=+ (aksioma penambahan)

3) vuvu ,, kk = (aksioma kehomogenan)

4) 0, ≥vv ; dan 0, =vv (aksioma kepositifan)

jika dan hanya jika v = 0

Sebuah ruang vektor riil dengan sebuah hasil kali dalam dinamakan ruang

hasil kali dalam riil (real product space).

• Teorema 19.

Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor pada ruang hasil kali dalam riil dan k

sebarang skalar, maka

(a) 0,, == 0vv0 u

(b) wuvuwvu ,,, +=+

(c) vuvu ,, kk =

3.10 PANJANG DAN SUDUT DI RUANG HASIL KALI DALAM Di R2, panjang vektor u = (u1, u2) diberikan oleh

22

21 uu +=u

yang dapat kita tuliskan dalam ruas-ruas hasil kali dalam titik sebagai

( ) 21uuuuu ⋅=⋅=

Dengan cara yang sama, jika u = (u1, u2, u3) adalah vektor di R3, maka

( ) 21232221 uuu ⋅=++= uuu

Selanjutnya diperoleh definisi berikut

• Definisi. Jika V adalah sebuah ruang hasil kali dalam, maka norma (atau

panjang) vektor u dinyatakan oleh u dan didefinisikan oleh

19

21uu,u =

• Definisi. Jika V adalah sebuah ruang hasil kali dalam, maka jarak antara dua

titik (vektor) u dan v dinyatakan oleh d(u,v) dan didefinisikan oleh

( ) vuvu, −=d

• Contoh 7.

Jika u = (u1, u2, ..., un) dan v = (v1, v2, ..., vn) adalah vektor pada Rn dengan

hasil kali dalam Euclidis, maka

222

21

21, nuuu +++== uuu

dan

( )

( ) ( ) ( )2222211

21,

nn vuvuvu

d

−++−+−=

−−=−= vuvuvuvu,

Amatilah bahwa persamaan ini tak lain dari rumus baku untuk norma

Euclidis dan jarak yang dibahas pada sub bab “Ruang-n Euclidis”.

• Teorema 20.

(Ketaksamaan Cauchy-Schwarz). Jika u dan v adalah vektor pada sebuah

ruang hasil kali dalam, maka

vvuuvu ,,, 2 ≤

Berikut adalah tinjauan terhadap sifat-sifat yang paling penting dari panjang

Euclidis dan jarak Euclidis dalam R2 dan R3 dalam bentuk tabel

Sifat-sifat dasar panjang (L) Sifat-sifat dasar jarak (D) L1. 0≥u D1. ( ) 0, ≥vud L2. 0=u jika dan hanya jika 0=u D2. ( ) 0, =vud jika dan hanya jika vu =L3. uu kk = D3. ( ) ( )uvvu ,, dd = L4. vuvu +≤+ (ketaksamaan segitiga)

D4. ( ) ( ) ( )vwwuvu ,,, ddd +≤ (ketaksamaan segitiga)

20

Teorema berikutnya akan mengakui definisi-definisi mengenai normal dan

jarak pada ruang hasil kali dalam

• Teorema 21.

Jika V adalah ruang hasil kali dalam, maka norma 21

,uuu = dan jarak

d(u,v) = ||u–v|| memenuhi semua sifat yang didaftarkan pada tabel di atas.

• Definisi. Dalam ruang hasil kali dalam, dua vektor u dan v dinamakan

ortogonal jika 0, =vu . Selanjutnya jika u ortogonal terhadap setiap vektor

pada himpunan W, maka kita katakan bahwa u ortogonal terhadap W.

• Teorema 22.

(Teorema Pythagoras yang digeneralisasi). Jika u dan v adalah vektor-

vektor ortogonal pada ruang hasil kali dalam, maka

||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2

3.11 BASIS ORTONORMAL; PROSES GRAM-SCHMIDT

• Definisi. Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dinamakan

himpunan ortogonal jika semua pasangan vektor-vektor yang berada dalam

himpunan tersebut ortogonal. Sebuah himpunan ortogonal yang setiap

vektornya mempunyai norma 1 dinamakan ortonormal.

• Contoh 8

Misalkan ( )0,1,01 =v ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

21,0,

21

2v dan ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

21,0,

21

3v

Himpunan S = {v1, v2, ....,vn} ortonormal jika R3 mempunyai hasil kali dalam

Euclidis, karena 0,,, 323121 === vvvvvv dan

1321 === vvv

21

Jika v adalah vektor taknol pada ruang hasil kali dalam, maka menurut sifat

L3 dari teorema 20 vektor

vv1 mempunyai norma 1, karena

111 == vv

vv

Proses pengalian vektor v taknol ini dengan kebalikan panjangnya untuk

mendapatkan vektor yang normanya 1 dinamakan menormalisasikan v.

Himpunan ortogonal dari vektor taknol selalu dapat dikonversikan terhadap

ortonormal dengan menormalisasikan vektornya masing-masing

• Contoh 9

Himpunan S = {u1, u2, u3}, dimana

u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), dan u3 = (1, 0, -1)

adalah ortogonal, karena 0,,, 323121 === uuuuuu .

Karena 11 =u , 22 =u , dan 23 =u , dengan

menormalisasikan masing-masing vektornya akan menghasilkan himpunan

ortonormal pada contoh 8

• Teorema 23.

Jika S = {v1, v2, ....,vn} adalah basis ortonormal untuk ruang hasil kali dalam

V, dan u adalah sebarang vektor dalam V, maka

nn vvuvvuvvuu ,,, 2211 +++=

• Teorema 24.

Jika S = = {v1, v2, ....,vn} adalah himpunan ortogonal vektor taknol dalam

ruang hasil kali dalam, maka S bebas linear.

22

• Teorema 25.

Misalkan V adalah ruang hasil kali dalam dan = {v1, v2, ....,vn} adalah

himpunan ortonormal dari vektor-vektor V. Jika W menyatakan ruang yang

direntang oleh v1, v2, ....,vn maka setiap vektor u dalam V dapat diungkapkan

dalam bentuk

u = w1 + w2

dimana w1 terletak di W dan w2 ortogonal terhadap W dengan memisalkan

nn vvuvvuvvuw ,,, 22111 +++= …

dan

nn vvuvvuvvuuw ,,, 22112 −−−−= …

(Lihat gambar3.9 untuk melukiskannya pada R3)

Gambar 3.9

Menurut gambar 3.9 maka kita namakan sebagai proyeksi ortogonal u pada W

dan menyatakannya dengan proyw u. Vektor w2 = u - proyw u kita namakan

komponen u yang ortogonal terhadap W. Dengan notasi ini rumus (3.3) dan

(3.4) dapat dituliskan sebagai

nnw vvuvvuvvuu ,,,proy 2211 +++= …

(proyeksi ortogonal u pada W)

nnw vvuvvuvvuuuu ,,,proy 2211 −−−−=− …

(komponen u ortogonal terhadap W)

3.3

3.4

3.5

3.6

W

u

w2

w1

23

• Contoh 10.

Misalkan R3 mempunyai hasil kali dalam Euclidis dan misalkan W adalah

subruang yang direntang oleh vektor-vektor ortonormal ( )0,1,01 =v dan ( )53542 ,0,−=v . Proyeksi ortogonal u = (1, 1, 1) pada W adalah

( )( ) ( )( ) ( )253,2545354512211

,1,0,0,1,01

,,proy

−=−−+=

+= vvuvvuuw

Komponen u yang ortogonal terhadap W adalah

( ) ( ) ( )2528,2521253,254 ,0,11,1,1proy =−−=− uu w Perhatikanlah bahwa uu wproy− ortogonal baik terhadap v1 maupun v2

sehingga vektor ini ortogonal terhadap setiap vektor para ruang W yang

direntang oleh v1 dan v2 sebagai mana yang diharapkan.

• Teorema 26.

Setiap ruang hasil kali dalam berdimensi berhingga taknol mempunyai

sebuah basis ortonormal.

Misalkan V adalah sebarang ruang hasil kali dalam berdimensi berhingga

taknol dan misalkan S = {u1, u2, ..., un} adalah sebarang basis untuk V. Urutan

langkah-langkah berikut akan menghasilkan basis ortonormal {v1, v2, ..., vn}

untuk V Proses Gram-Schmidt

Langkah 1. Misalkan 111 uuv = . Vektor v1 mempunyai norma 1.

Langkah 2. Buat/bangun vektor v2 yang normanya 1 yang ortogonal terhadap v1.

Caranya adalah hitung komponen u2 yang ortogonal terhadap ruang

W1 yang direntang oleh v1 dan kemudian normalisasikanlah

komponen u2 tersebut; yakni

1122

1122

212

2122 ,

,proyproy

vvuuvvuu

uuuu

v−

−=

−−

=w

w

24

Gambar 3.10

Langkah 3. Buat/bangun vektor v3 yang normanya 1 yang ortogonal terhadap v1

maupun v2. Caranya adalah hitung komponen u3 yang ortogonal

terhadap ruang W2 yang direntang oleh v1 dan v2 dan

menormalisasikannya (gambar ...); yakni

2231133

2231133

323

3233 ,,

,,proyproy

vvuvvuuvvuvvuu

uuuuv

−−

−−=

−−

=w

w

Gambar 3.11

Langkah 4. Buat/bangun vektor v4 yang normanya 1 yang ortogonal terhadap v1,

v2, dan v3. Caranya adalah hitung komponen u4 yang ortogonal

terhadap ruang W3 yang direntang oleh v1, v2 dan, v3 dan

menormalisasikannya. Jadi,

proyw1 u2

W1

v1

v2

u2

u2- proyw1 u2

v1

u3

u3- proyw2 u3

v2

W2

v3

proyw2 u3

25

3342241144

3342241144

434

4344 ,,,

,,,proyproy

vvuvvuvvuuvvuvvuvvuu

uuuu

v−−−

−−−=

−−

=w

w

Dengan meneruskannya dalam cara ini, kita akan mendapatkan himpunan

ortonormal dari vektor-vektor {v1, v2, ...., vn}. Karena V berdimensi n dan karena

setiap himpunan ortonormal bebas linier, maka himpunan {v1, v2, ...., vn}akan

merupakan basis ortonormal untuk V.

Pembentukan langkah demi langkah diatas untuk mengubah sembarang

basis ke basis ortonormal dinamakan proses Gram-Schmidt diperlihatkan

bahwa pada masing-masing tahapan proses ini, vektor-vektor v1, v2, ...., vk membentuk basis ortonormal untuk subruang yang direntang oleh u1, u2, ...., uk

Contoh 11.

Tinjaulah ruang vektor R3 dengan hasil kali dalam Euclidis. Terapkanlah proses

Gram-Schmidt untuk mentransformasikan basis u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1), dan

u3 = (0, 0, 1) ke dalam basis ortonormal.

Jawab

Langkah 1. ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛===

31,

31,

31

31,1,1

1

11 u

uv

Langkah 2.

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−=−

31,

31,

32

31,

31,

31

321,1,0

,proy 1122212 vvuuuu w

Maka,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

−−

=6

1,6

1,6

231,

31,

32

63

proyproy

212

2122 uu

uuv

w

w

26

Langkah 3.

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

−−=−

21,

21,0

61,

61,

62

31,

31,

31

311,1,0

,,proy 2231133323 vvuvvuuuu w

Maka,

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

−−

−−=

−−

=2

1,2

1,021,

21,02

,,,,

proyproy

2231133

2231133

323

3233 vvuvvuu

vvuvvuuuuuuv

w

w

Jadi,

,3

1,3

1,3

11 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=v ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

61,

61,

62

2v , ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

21,

21,03v

membentuk basis ortonormal untuk R3.

3.12 EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Jika A adalah matriks n x n, , sering kita jumpai tidak ada hubungan geometrik

yang nyata diantara vektor x dan bayangannya Ax di bawah perkalian oleh A

(gambar 3.12 a). Akan tetapi ada beberapa vektor tak nol yang sering memetakan

A ke dalam skalar dengan perkalian skalarnya sendiri (Gambar 3.12b). Pada

bagian ini akan ditunjukkan bagaimana mencari vektor-vektor ini.

Gambar 3.12

• Definisi. Jika A adalah matriks n x n, maka vektor taknol x di dalam Rn

dinamakan vektor eigen (eigenvector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar

AxAx

(a) (b)

27

dari x, yakni, Ax = λx untuk suatu skalar λ. Skalar λ dinamakan nilai eigen

(eigenvalue) dari A dan x dikatakan vektor eigen yang bersesuaian

• Contoh 12.

Vektor x ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

21

adalah vektor eigen dari ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=18

03A yang bersesuaian

dengan nilai eigen λ = 3 karena Ax =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=63

21

1803

3 x

Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran n x n maka dapat

dituliskan kembali Ax = λx sebagai

xx IA λ=

atau secara ekivalen

( ) 0x =− AIλ Supaya menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan tak nol dari

persamaan ini. Menurut teorema 15 bagian “Ruang Baris dan Kolom Matriks;

Rank; Penerapan terhadap Pencarian Basis” maka persamaan (3.1) akan

mempunyai pemecahan tak nol jika dan hanya jika

( ) 0det =− AIλ Ini dinamakan persamaan karakteristik A; skalar yang memenuhi persamaan ini

adalah nilai eigen dari A.

• Contoh 13

Carilah nilai-nilai eigen dari matriks ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=0123

A

Jawab.

Karena ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−

λλ

λλ1

230123

1001

AI

maka polinom karakteristik dari A adalah

3.1

28

( ) 231

23detdet 2 +−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=− λλ

λλ

λ AI

dan persamaan karakteristik dari A adalah

0232 =+− λλ

Pemecahan-pemecahan persamaan ini adalah 1=λ dan 2=λ ; inilah nilai-

nilai eigen dari A.

• Contoh 14

Carilah nilai-nilai eigen dari⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

8174100010

A

Jawab. Sebagaimana contoh-contoh terdahulu, maka

( ) 041788174

1001

detdet 23 =−+−=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=− λλλ

λλ

λλ AI

Maka nilai-nilai eigen dari A harus memenuhi persamaan pangkat tiga

4178 23 −+− λλλ

dengan memecahkan persamaan ini, maka diperoleh pemecahan nilai-nilai

eigen dari A adalah (Buktikan sendiri!)

4=λ 32 +=λ dan 32 −=λ

• Teorema 34.

Jika A adalah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen satu

sama lain

(a) λ adalah nilai eigen dari A

(b) Sistem persamaan (λI - A)x = 0 mempunyai pemecahan yang taktrivial

(c) Ada vektor taknol x di dalam Rn sehingga Ax = λx

(d) λ adalah pemecahan riil dari persamaan karakteristik det (λI - A) = 0

3.3

3.1-Vektor (Geometrik)-Pengantar3.2-Norma VEktor; Ilmu Hitung Vektor3.3-Ruang-n Euclidis3.4-Ruang Vektor Umum3.5-Subruang3.6-Kebebasan Linier3.7-Basis dan Dimensi3.8-Ruang Baris dan Kolom Matriks; Rank3.9-Ruang Hasil Kali Dalam3.10-Panjang dan Sudut di Ruang Hasil Kali Dalam3.11- Basis Ortonormal;Proses Gram-Schmidt3.12-Eigen dan Vektor Eigen