turunan berarah dan aturan rantai
TRANSCRIPT
-
8/9/2019 Turunan berarah dan aturan rantai
1/21
TURUNAN DALAM RUANG BERDIMENSI – n
Oleh :
KELOMPOK III
1. Mahatma Adi Pranata Giri Mukti 1313011048
2. Ni Putu Santhi Widiasih 1313011050
3. Made !udi Suardi 1313011054
4. Putu "ina Widiastini 1313011084
#$%$SAN P&N""'AN MA(&MA('A
)A'$*(AS MA(&MA('A "AN *M$ P&NG&(A+$AN A*AM
$N,&%S(AS P&N""'AN GAN&S+A
SNGA%A#A
2014
-
8/9/2019 Turunan berarah dan aturan rantai
2/21
15.5 TURUNAN BERARAH DAN GRADIEN
Pokok Bahasan :
15.5.1 "e-inisi (urunan erarah
15.5.2 *a/u Peruahan Maksimum
15.5.3 'ura 'etinian dan Gradien
Prasyara :
1. 'nse (urunan Parsial2. 'eterdi-erensialan
3. 'nse ,ektr
Bahan D!sk"s! :
1. aaimana menentukan turunan erarah dari suatu -unsi di suatu titik
dalam arah tertentu
2. aaimana 6ara menentukan ektr satuan ada arah dimana
f
meninkat alin 6eat dititik tertentu dan eraakah la/u eruahan ada
arah terseut
Kaa K"n#! :
,ektr Satuan
(urunan erarah
*a/u Peruahan
15.5.1 T"r"nan B$rarah
-
8/9/2019 Turunan berarah dan aturan rantai
3/21
Pada -unsi dua euah
789 y x f
turunanturunan arsial
79 y x f xdan
789 y x f y
menukur la/u eruahan 9dan kemirinan aris sinun7 ada arah
se/a/ar denan sumu x
dan sumu
y
. $ntuk la/u eruahan
f
ada semaran
arah menarah ada knse turunan erarah ;an ada ilirann;a erhuunan
denan radien.
maka kedua turunan arsial dari
( ) y x f z 8= daat dide-inisikan ulan Misalkan
p=( x , y ) , ! adalah ektr satuan ada arah sumu x dan % adalah ektr satuan
ada arah sumu y men/adi
f x ( p )=limh → 0
f ( p+h i )− f ( p)h
f y ( p )= limh →0
f ( p+h j )−f ( p)h
"enan menantikan ! dan % denan ektr satuan " semaran maka daat
dide-inisikan turunan erarah dari
( ) y x f z 8= di titik
p=( x , y ) seaai
"e-inisi
$ntuk semaran ektr satuan " misalkan
Du f ( p )= limh→ 0
f ( p+hu )− f ( p)h
*imit ini ika ada diseut "r"nan &$rarah directional derivative dari
f
di
-
8/9/2019 Turunan berarah dan aturan rantai
4/21
#adi Di f ( p )= f x ( p ) dan D j f ( p )= f y ( p )
Ga(&ar 1
'arena p=( x , y ) kita /ua menunakan ntasi Du f ( x , y )
Gamar 1 men;atakan interretasi emetrik dan D
uf
( x
0
, y0 ) ,ektr ini
menentukan seuah aris * di idan xy melalui
7.9 00 y x
idan ;an melalui *
ini teak lurus terhada idan xy dan memtn ermukaan
789 y x f z =
ada
kura
-
8/9/2019 Turunan berarah dan aturan rantai
5/21
∇ f ( p) daat din;atakan denan
∇ f ( p )= f x ( p ) i+ f y ( p ) j
T$or$(a A
Misalkan
f
daat didi-erensialkan di ada arah ektr satuanu=u1i+u2 j
dan
Du f ( p )=u ∙ f ( p)
;akni
Du f ( x , y )=u1 f x ( x , y )+u2 f y ( x , y )
,ONTOH 1
1. #ika
y x y x f 279 =
tentukan turunan erarah di = 91 27 ada arah ektr
a = 3! – 4 % denan :
a. "e-inisi . (erema
Penyelesaian
a. "enan "e-inisi
,ektr satuan " ada arah a adalah
5
48
5
3−
Du f ( p ) = limh →0
f ( p+h u)−f ( p)h
Du f (1,2) = limh →0
f ( (1,2 )+h(35 ,−4
5 ))−f (1,2)h
-
8/9/2019 Turunan berarah dan aturan rantai
6/21
=
(1+ 35 h ,2−4
5 h)−f (1,2)
¿f ¿
¿limh→ 0
¿
= limh → 0
(1+ 35 h)2
(2−45 h)−12 .2h
= limh → 0
(1+ 65 h+ 925 h2
)(2− 45 h)−2h
= limh →0
(2−45 h+ 125 h−245 h2
+ 1825
h2
− 36125
h3
−2)h
= limh → 0
−45 +
12
5 −
24
5 h+
18
25 h−
36
125h
2
=−45 +
12
5
=8
5
. "enan (erema
#ika f ( x , y )= x2 y ; p=(1,2 ); a=3 i−4 j
Makaf x ( x , y )=2 xy → f x (1,2)=4
f y ( x , y )= x2 → f y (1,2 )=1
dan
∇ f (1,2)=⟨4,1 ⟩ ektr satuan " ada arah a adalah
5
48
5
3−
Sehina
Du f ( p )=u . f ( p)
-
8/9/2019 Turunan berarah dan aturan rantai
7/21
Du f (1,2)=∙ ⟨4,1⟩
¿12
5 −
4
5=
8
5
2. (entukan turunan erarah dari f di titik ' ada arah a dari
1. f ( x , y )= y2ln x ; p=(1,4 );a=i− j
2. f ( x , y )= x2−3 xy+2 y 2 ; p=(−1,2 ); a=2 i− j
3. f ( x , y )=e− xy ; p=(1,−1 ) ; a=−i+√3 j
Penyelesaian
1. #ika f ( x , y )= y2ln x ; p=(1,4 );a=i− j
Maka f x ( x , y )= y2
x → f x (1,4 )=16
f y ( x , y )=2 y ln x → f y (1,4 )=0
dan ∇ f (1,4 )= ⟨16, 0⟩ ektr satuan " ada arah a adalah
1
√2 ⟨1,−1 ⟩
Sehina
Du f ( p )=u . f ( p)
Du f ( p )=[ 1√ 2 ⟨1,−1 ⟩] ∙ ⟨16,0 ⟩
Du f (1,4) ≈11.3137
2. #ika f ( x , y )= x2−3 xy+2 y2 ; p=(−1,2); a=2 i− j
Maka
f x ( x , y )=2 x−3 y → f x (−1,2)=−8
-
8/9/2019 Turunan berarah dan aturan rantai
8/21
f y ( x , y )=−3 x+4 y → f y (−1,2 )=11
dan ∇ f (−1,2)=−8 i+11 j=⟨−8,11⟩ ektr satuan " ada arah a
adalah1
√ 5⟨2,−1 ⟩
Sehina
Du f ( p )=u . f ( p)
Du f ( p )=[ 1√ 5 ⟨2,−1 ⟩] ∙ ⟨−8,11 ⟩
Du f (−1,2 ) ≈−12.0748
3. #ika f ( x , y )=e− xy
; p=(1,−1 ) ; a=−i+√3 j
Maka f x ( x , y )=− y e− xy
→ f x (1,−1 )=e
f y ( x , y )=− x e− xy
→ f y (1,−1 )=−e
dan ∇ f (1,−1 )=−e i+e j= ⟨−e , e ⟩ ektr satuan " ada arah a adalah
1
2 ⟨−1, √ 3 ⟩
Sehina
Du f ( p )=u . f ( p)
Du f ( p )=[12 ⟨−1,√ 3⟩ ]∙ ⟨e ,−e ⟩=−e−e √ 32
-
8/9/2019 Turunan berarah dan aturan rantai
9/21
Du f (1,−1 ) ≈3.71
15.5.- La%" P$r"&ahan Maks!("(
Misaln;aθ
adalah sudut antarau
dan ∇f ( p)
maka:
Du f ( p )=u .∇ f ( p )=|u||∇ f ( p )|cosθ=|∇ f ( p )|cosθ
#adi Du f ( p )
akan ernilai maksimum ila0=θ
dan ernilai
minimum ketikaπ θ =
T$or$(a B
Seuah -unsi meninkat alin 6eat di ' ada arah radienn;a 9denan la/u
|∇ f ( p )| 7 dan menurun alin 6eat ada arah erla>anan 9denan la/u
−|∇ f ( p )| 7
,ONTOH )
(entukan ektr satuan ada arah dimana
( ) xe y x f y sin8 =meninkat alin
6eat di titik
( )08?5π dan eraakah la/u eruahan ada arah terseut
Penyelesaian
( ) xe y x f y x 6s8 =
( )2
308?5 −=π x f
-
8/9/2019 Turunan berarah dan aturan rantai
10/21
( ) xe y x f y y sin8 =
( )2
108?5 =π y f
∇ f ( x , y )=e y cos x i+e y sin x j
∇ f (5π /6,0 )=√ 32
i+−12
j
,ektr satuan n;a adalah
√ 32
i+−12
j=⟨ √ 32 ,−12 ⟩ dan la/u eruahan terhada
arah terseut adalah
( ) 108?5 =∇ π f
,ONTOH -
(entukan ektr satuan ada arah dimana f meninkat alin 6eat di '.
eraakah la/u eruahan ada arah terseut #ika ( x , y )= x3− y5 @ ' = 9217
Penyelesaian
Aar f meninkat maka menurut (erema haruslah f searah denan radienn;a.
#ika f ( x , y )= x3− y5 maka
f x ( x , y )=3 x2→ f x (2,−1 )=12
f y ( x , y )=−5 y4
→ f y (2,−1 )=−5
Sehina ∇ f (2,−1 )=12 i−5 j= ⟨12,−5 ⟩ dan ⟨ 1213 , −513 ⟩ adalah ektr satuan ada arah terseut. Maka la/u eruahan ada arah terseut adalah
|∇ f (2,−1 )|=|⟨12,−5 ⟩|=13
15.5. K"r/a K$!n**!an +an Gra+!$n
-
8/9/2019 Turunan berarah dan aturan rantai
11/21
'ura ketinian dari ermukaan
789 y x f z =
adalah r;eksi ada idan
xy dari kurakura ertnan ermukaan terseut denan idan
k z =
;an
se/a/ar denan idan xy. Nilai -unsi di seluruh titik ada kura ketinian ;an
sama adalah knstan 9Gamar 27.
'ura ketinian dari
789 y x f
;an melalui titik ;an diilih se6ara
semaran
79 00 y x P
ada daerah asal dari
f
dintasikan denan L @ dan misalkan
ektr satuan u adalah ersinunan denan L di titik P. 'arena nilai
f
adalah
sama diseluruh titik ada kura ketinian L maka turunan erarah
789 00 y x f Du
;an meruakan la/u eruahan
789 y x f
ada arah " adalah nl ketika " adalah
ersinunan denan L.
0= Du f ( x0 , y 0 )=u .∇ f ( x0 , y0 ) = |u||∇ f ( x0 , y 0)|cosθ
Kar$na Du f ( x0, y 0 ) = 0 maka haruslah θ = 90 ° . Sehina kita daat
men;imulkan ah>a
f ∇
dan " salin teak lurus.
Ga(&ar )
-
8/9/2019 Turunan berarah dan aturan rantai
12/21
T$or$(a ,
Gradien
f
di titik P teak lurus terhada kura ketinian
f
;an melalui P .
,ONTOH 5
Sketsalah kura ketinian darif ( x , y )=
y
x2 ;an melalui p=(1,2 ) .
+itunlah ektr radient dan amarlah ektr ini denan menematkan titik
a>aln;a di '. Aakah ;an seharusn;a enar tentan ∇ f ( p )
Penyelesaian
'ura ketiniann;a adalah
y
x2=k
untuk menentukan nilai k ;an terdaat di
kura ketinian terseut kita sustitusikan 9127 ke dalam 9;7 dan memerleh
k=2. #adi ersamaan kura ketinian terseut adalah y=2 x2
.
Misalkanf ( x , y )= y
x2 .
'arenaf x ( x , y )=
−2 y x3
→ f x (1,2)=−4
f y ( x , y )= 1
x2 → f y (1,2)=1
Maka∇ f (1,2)=f x (1,2 ) i+ f y (1,2 ) j=−4 i+ j=⟨−4 ,1 ⟩ dan akan teak lurus
ada arala di 9127.
-
8/9/2019 Turunan berarah dan aturan rantai
13/21
,ONTOH 0
"iketahui suatu kura f ( x , y )= x2− y2 di p=(1,2 ) .
1. Maka tentukanlah :
Gradien dari f di titik '
(entukan ektr satuan " sehina Du f ( p )• Maksimum
• Minimum
• Sama denan nl
2. Gamarlah eta kntur dan in-rmasi ;an dierleh dari erhitunan
diatas di '
Penyelesaian
1. 'arenaf x ( x , y )=2 x → f x (1,2 )=2
f y ( x , y )=−2 y → f y (1,2)=−4
Sehina ∇ f (1,2 )=2i−4 j=⟨2,−4 ⟩
-
8/9/2019 Turunan berarah dan aturan rantai
14/21
Aar maksimum maka haruslah Du f ( x , y ) ada arah e6tr
∇ f (1,2 )=2i−4 j . ,e6tr satuan ada arah e6tr radient
terseut adalah u=
⟨2,−4 ⟩
√ 22+ (−4 )2=
1
√ 5⟨1,−2 ⟩
Aar minimum maka haruslah Du f ( x , y ) erla>anan terhada
arah e6tr ∇ f (1,2 )=2i−4 j . Sehina e6tr satuann;a
adalahu=−
1
√ 5⟨1,−2 ⟩
.
Aar Du f ( x , y ) sama denan nl maka sudut diantara " dan
∇ f ( x , y ) haruslah teak lurus. Maka e6tr satuan " daat
di6ari denan rtasi 90 ° karena e6tr
∇ f (1,2 )=2i−4 j=⟨ 2,−4 ⟩ maka setelah di rtasi 90 °
maka didaat e6tr a = ⟨4,2 ⟩ ektr satuan ada arah a adalah
u= 1
√ 5⟨2,1⟩
;an men;eakan Du f ( x , y ) sama denan nl.
2. Gamarlah eta kntur dan in-rmasi ;an dierleh dari erhitunan
diatas di '
-
8/9/2019 Turunan berarah dan aturan rantai
15/21
15.0 ATURAN RANTAI
Pokok Bahasan :
15.?.1 Aturan %antai ,ersi Pertama
-
8/9/2019 Turunan berarah dan aturan rantai
16/21
-
8/9/2019 Turunan berarah dan aturan rantai
17/21
dydt =
dydx
dxdt
15.0.1 A"ran Rana! $rs! P$ra(a
T$or$(a A Aturan %antai
Misalkan
( )t x x = dan
( )t y y =daat didi-erensialkan di
t dan misalkan
( ) y x f z 8= daat didi-erensialkan di
( ) ( )( )t yt x 8 maka
( )( ) ( )( )t y f t x f z 8= daat
didi-erensialkan di t dan
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
∂
∂+
∂
∂=
,ONTOH 1
Andaikan
32
y x z =di mana
3t x =dan
2
t y = (entukan
dt
dz
Penyelesaian
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
∂
∂+
∂
∂=
( )( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )11
22232323
2223
12
2332
2332
t
t t t t t t
t y xt xy
=
+=
+=
,ONTOH )
Andaikan
xz yz xyw ++=
di mana
2t x =
21 t y −=
dant z −=1
(entukandt
dw
Penyelesaian
-
8/9/2019 Turunan berarah dan aturan rantai
18/21
dt
dx
z
w
dt
dy
y
w
dt
dx
x
w
dt
dw
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
124
112112
122
3
2222
−+−=
+−−−+−−+−=
−++−+++=
t t
t t t t t t t t
x yt z xt z y
15.0.) A"ran Rana! $rs! K$+"a
T$or$(a B Aturan %antai
Misalkan
( )t s x x 8= dan
( )t s y y 8= memun;ai turunan arsial ertama di
( )t s8
dan misalkan
( ) y x f z 8= daat didi-erensialkan di
( ) ( )( ).888 t s yt s xMaka
( ) ( )( )t s yt s x f z 888= memun;ai turunan arsial ertama ;an din;atakan denan
9i7
s
y
y
z
s
x
x
z
s
z
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
9ii7
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
,ONTOH -
#ika
y xw 2=
dimana st x =
dan
t s y −=
tentukan
∂ w∂t
dan n;atakan dalam s
dan t
Penyelesaian
t
y
y
w
t
x
x
w
t
w
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
-
8/9/2019 Turunan berarah dan aturan rantai
19/21
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
223
2
2
32
2
12
t st s
st st s st
x s xy
−=
−−=
−+=
,ONTOH
#ika z= xy+ x+ y , x=r+s+ t,dan y=rst , tentukan∂ z∂ s|r=1,s=−1,t =2
Penyelesaian
∂ z∂ s
=∂ z∂ x
∂ x∂ s
+ ∂ z∂ y
∂ y∂ s
= ( y+1 ) (1 )+( x+1 ) (rt )=(rst +1 )+(r+s+ t +1 ) (rt )
¿ rt (2 s+r+t +1 )+1
Sehina∂ z∂ s|(1,−1,2 )=5
15.0.- 2UNGSI IMPLISIT
Andaikan
( ) 08 = y x F mende-inisikan
y
se6ara imlisit seaai seuah -unsi dari
x misaln;a
( ) x g y = maka denan menurunkan terhada
xdidaat:
0=∂
∂+
∂
∂
dx
dy
y
F
dx
dx
x
F
#adi
-
8/9/2019 Turunan berarah dan aturan rantai
20/21
y F
x F
dx
dy
∂∂
∂∂−=
B
B
,ONTOH
(entukandx
dy
/ika
02 323
=−+ y y x x
denan menunakan
a Aturan %antai
Pendi-erensialan imlisit
Peyelesaian
a Misalkan
( ) .28 323 y y x x y x F −+= Maka
22
2
32
43
B
B
y x
xy x
y F
x F
dx
dy
−
+−=
∂∂
∂∂−=
"i-erensialkan kedua ruas terhada x
untuk menhasilkan
03423 222
=−++
dx
dy y xy
dx
dy x x
( ) ( ) xy x y xdx
dy4332
222+−=−
22
2
32
43
y x
xy x
dx
dy
−
+−=
Misalkan
( ) 088 = z y x F mende-inisikan z se6ara imlisit seaai -unsi x dan
y
.
Maka denan menurunkan se6ara arsial terhada x
dan
y
maka dierleh:
z F
x F
x
z
∂∂
∂∂−=
∂
∂
B
B
z F
y F
y
z
∂∂
∂∂−=
∂
∂
B
B
-
8/9/2019 Turunan berarah dan aturan rantai
21/21
,ONTOH 5
#ika
0sin =+− x z ye x
tentukan z
x
∂
∂
Penyelesaian
( ) x z ye x
x z ye
x
x F
z F
z
x x x
6s
sin
6s
sin
B
B
−=
+−−=
∂∂
∂∂−=
∂
∂
−−