ATURAN RANTAI(CHAIN RULE)

= menentukan turunan fungsi komposisi =

CONTOH KASUS 1

• y = (3x + 5)2. Tentukan turunan y

terhadap x.

• Cara I: y = 9x2 + 30x + 25

• y ‘ = 18x + 30

• Cara II: y = u2 dengan u = 3x + 5

• y’ = 2u = 2(3x + 5) = 6x + 10

• HASIL BERBEDA !!!

MENGAPA CARA II SALAH?

• y = (3x + 5)2 ; ditanya: y ‘ = ???

• Note: 𝒚′ =𝒅𝒚

𝒅𝒙

• y = 9x2 + 30x + 25

• y ‘ = 18x + 30

ATURAN RANTAI (CHAIN RULE)

• Misalkan y = f(u), u = g(x) masing-masing fungsi riil. Jika g

diferensiabel di x dan f diferensiabel di u = g(x) maka fungsi

komposisi (f ∘ g) [yang didefinisikan sebagai (f∘g)(x) = f(g(x)]

diferensiabel di x, dan berlakulah:

(f ∘ g)’(x) = f ’(g(x)).g’(x)

atau, dengan notasi Leibniz: 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑢∙𝑑𝑢

𝑑𝑥

PENYELESAIAN CONTOH KASUS 1

• y = (3x + 5)2. Tentukan turunan y terhadap x.

• y dapat dipandang sebagai komposisi dua

fungsi

• Fungsi pertama: y = f(u) = u2

• Fungsi kedua: u = g(x) = 3x + 5

• sehingga aturan rantai harus diterapkan

CONTOH KASUS 2

• Tentukan turunan dari y = ln (x2 + 1)

• Jawab:

y = ln u ; u = x2 + 1

𝑑𝑦

𝑑𝑢=

1

𝑢;𝑑𝑢

𝑑𝑥= 2𝑥

𝑦′ =𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑𝑦

𝑑𝑢∙𝑑𝑢

𝑑𝑥=1

𝑢∙ 2𝑥 =

2𝑥

𝑥2 + 1

CONTOH KASUS 3

• Diketahui y = f(x) = (4-x)7. Tentukan f ‘(2).

• Jawab:

y = u7 ; u = 4 – x

𝑑𝑦

𝑑𝑢= 7𝑢6 ;

𝑑𝑢

𝑑𝑥= −1

𝑦′ = 𝑓′ 𝑥 =𝑑𝑦

𝑑𝑢∙𝑑𝑢

𝑑𝑥= 7𝑢6 ∙ −1 = −7𝑢6 = −7 4 − 𝑥 6

𝑓′ 2 = −7 4 − 2 6 = −7 ∙ 26 = −448