tulisan euler number

8/20/2019 Tulisan Euler Number

http://slidepdf.com/reader/full/tulisan-euler-number 1/5

Bilangan Euler(e)

Rukmono Budi Utomo30115301

Pengampu: Prof. Taufiq Hidayat

March 5, 2016

1 1. Asal Mula Bilangan Euler

Bilangan Euler e merupakan suatu konstanta dalam matematika dan merupakan basisdalam Logaritma. Bilangan e ini juga dikenal sebagai bilangan John Napier, seorangahli matematika berkebangsaan Skotlandia atas dedikasinya memperkenalkan konseplogaritma pertamakalinya. Sama seperti bilangan pi (π) dan konstanta Golden Rasio(φ), bilangan e juga merupkan bilangan tak hingga desimal, dan karenanya bilanggan ebukan merupakan bilangan rasional.

Bilangan e pada awalnya ditemukan oleh John Napier, seorang ilmuwan matematikaberkebangsaan Skotlandia pada tahun 1918. Pada saat tersebut, John Napier meru-muskan pertama kalinya konsep mengenai logaritma. Pada tahun 1947, Sains-Vincent

berusaha untuk menghitung daerah di bawah Hiperbola persegi panjang. Saint-Vincentberusaha merumuskan hubungan antara daerah dibawa Hiperbola persegi panjang den-gan logaritma hasil penelitian John Napier. Pada tahun 1661, Huygens menemukanhubungan antara Hiperbola persegi panjang dan logaritma. Huygen memeriksa secaraeksplisit hubungan anatara daerah dibawah persegi panjang hiperbola yx = 1 dan loga-ritma. Huygens menemukan suatu konstanta sedemikian rupa sehingga daerah dibawahhiperbola persegi panjang dari 1 sampai konstanta tersebut sama dengan 1. Bilangantersebut merupakan cikal bakal munculnya bilangan e.

pada tahun 1983, Jacob Bernoulli memandang masalah bunga majaemuk kontinu.Bernoulli mencoba untuk menemukan batas dari suatu fungsi f (x) = (1 + 1

x) untuk x

yang cenderung membesar dan menuju tak hingga. Limit dari pada fungsi f (x) tersebutyang sekarang ini disebut sebagai bilangan e itu sendiri.

e = limx→∞

1 +

1

x

x

Bernoulii menggunakan teorema binomila untuk menunjukkan bahwa batas dari limittersebut harus terletak anatara bilangan 2 dan 3, sehingga ecara implisit , Bernoulli meru-pakan orang yang pertama kalinya memberikan penafsiran pendekatan atas bilangan e.

1



Jacob Bernoulli selain merupakan orang yang pertama kali mendeskripsikan pendekatanakan bilanagan e, juga merupakan pencetus bahwa fungsilogaritma merupakan kebalikandari fungsi eksponensial

Pada tahun 1683, Leibniz menulis surat kepada Huygens dan memberikan nama no-tasi atas konstanta dari penelitian Huygens, yakni b (bukan e). Notasi b Leibniz bertahansampai tahun 1731 hingga akhirnya notasi e muncul menggantikan notasi b dalam sebuahsurat yang ditulis Euler kepada Goldbach. Pada tahun 1748, Euler menerbitkan salahsatu karya fenomenalnya yang berjudul Introductio di Analysin Infinitorum . Dalamkarya fenomenal tersebut, Euler menunjukkan bahwa

e = 1 + 1

1! +

1

2! +

1

3! + · · ·

atau apabila disajikan dalam bentuk limit dituliskan sebagai

e = limx→∞

1 +

1

x

x

Banyak yang menanyakan mengapa Euler mengunakan notasi e untuk menggan-tikan notasi b yang dicetuskan oleh Leibniz. Ada pihak yang berargumen bahwa notasie yang dicetuskan oleh Euler merupakan huruf awal dari namanya, namun ada jugayang berpendapat bahwa notasi e tersebut merupakan inisial dari kata eksponensial .Faktanya notasi e saat ini dikenal sebagai bilangan Euler. Hal tersebut mungkin dikare-nakan notasi e tersebut muncul dalam surat yang dituliskan Euler terhadap Golbach,

atau mungkin juga karena karya fenomenal Euler yang berjudul Introuctio di Analysin Infitorum tersebut. Meskipun demikian, ada juga pihak yang menyebutkan bahwa bi-langan e merupakan bilangan John Napier, hal ini bisa dimaklumi karena John Napiermerupakan orang yang pertama kali memperkenalkan konsep logaritma.

2 Bilangan Euler e

Meskipun Bernoulli merupakan orang yang pertama kali meneliti akan adanya suatubilangan x pada fungsi f (x) untuk nilai x yang semakin membesar dan menuju takhingga, namun faktanya Euler merupakan orang yang berhasil merumuskan bahwa

e = limx→∞

1 + 1

x

x

Dengan menggunakan bentun binomial Newton

1 +

1

x

x

=x

h=0

x

h

1x−h

1

x

h

2



dapat dijelaskan bahwa

e = limx→∞

1 +

1

x

x

≈ 2.71828

Banyaknya digit desimal dibelakang koma dari nilai e sebenarnya berjumlah tak hinggabanyaknya, sehingga niali e dikatakan bukan merupakan bilangan rasional. Nilai e ≈2.71828 di atas merupakan pembulatan saja karena pemotongan dari tak hingga banyakyadigit dibelakang koma pada bilangan e. Sebagai pengetahuan niali e tiga puluh digitdibelakang koma tanpa pembulatan bernilai 2.718281828459045235360287471352

3 Identitas Euler

Euler merumuskan suatu hubungan fenomenal yang sangat terkenal yakni

eiθ = cos θ + i sin θ

Bukti untuk identitas ini dapat dijelaskan sebagai berikut. Menurut Euler

e = limx→∞

1 +

1

x

x

Analog dengan hal tersebut

ex = limn→∞

1 +

x

n

n

Untuk x = z diperoleh

ez = limn→∞

1 + z

n

n

karena z = x + iy adalah suatu fungsi imaginer , maka diperoleh bentuk

ex+iy = limn→∞

1 +

x + iy

n

n

atau dapat ditulis

ex+iy = limn→∞

1 +

x

n

+ i

y

n

n· · · (∗1)

Dari (∗1) dapat diperoleh

ex+iy = lim

n→∞

1 +

x

n

+ i

y

n

n

atau dapat dituliskan kembali sebagai

ex+iy = lim

n→∞

1 +

2x

n +

x2

n2 +

y2

n2

n2

3



5 Referensi

www.id.wikipedia.org(Bilangan Euler)

Dikutip tanggal 3 maret 2016 pukul 14.15 wibwww.id.wikipedia.org(Identitias Euler)Dikutip tanggal 3 maret 2016 pukul 14.16 wibwww.mathematics.blogspot.comDikutip tanggal 5 maret 2016Gazali, Wikaria,Penurunan Rumus Euler, makalah

5

tulisan euler number

Documents