JURUSAN PERKAPALAN UNIVERSITAS HASANUDDIN

Mata Kuliah

TEKNIK PRODUKSI KAPAL

MAKALAH TENTANG “STATISTIKA”

NAMA : MUHAMMAD ARDI SARNA

NIM : D 311 07 002

PRODI : PERKAPALAN

1. Statistika

Statistika didefinisikan sebagai Ilmu dan Seni-ada juga yang mengatakan sebagai teknik-

tentang pengumpulan data, penyajian data, analisis data, dan pengambilan kesimpulan data yang telah

berhasil dihimpun tersebut. (Bambang Kustituanto dan Rudy Badrudin, Statistika I.

Gunadarma,1994)

2. Diagram Batang

Seringkali, sebuah organisasi, organisasi bisnis misalnya, perlu menyajikan berbagai data

yang menginformasikan perkembangan berbagai prestasi seperti perkembangan berbagai prestasi

sebagai perkembangan laba yang diperoleh, perkembangan nilai penjualan, dan lain sebagainya.

Selain dapat disajikan dalam bentuk tabel-tabel, yang dapat memberikan informasi rinci,

kadang-kadang pihak tertentu ingin memperoleh informasi secara sepintas, yang tentu saja keakuratan

informasi yang diperolehnya memang tidak diperhatikan. Dalam hal ini data yang telah disajikan

dalam bentuk tabel-tabel perlu disajikan dalam bentuk lain yang lebih menarik. Diagram batang, atau

Bar chart adalah salah satu bentuk yang dimaksud. Berikut contohnya :

*) Sumber : Laporan Tahunan 1987 Bank Bumi Daya

Disamping itu, diagram batang tidak hanya dapat disajikan secara tegak saja, namun dapat

juga disajikan secara mendatar. Perhatikan contoh berikut ini :

3. Diagram Garis

Fungsi diagram garis sebenarnya tidak berbeda dengan fungsi diagram batang yang

memberikan informasi mengenai perkembangan sesuatu dari periode ke periode. Hanya saja, sepeti

namanya, diagram diwujudkan dengan garis-garis yang menghubungkan puncak-puncak frekuensi

tiap periode. Perhatikan contoh berikut ini :

*) sumber : Bank Indonesia, Laporan Tahunan 1987/1988, halaman 91 tabel 8.3.

(Bambang Kustituanto dan Rudy Badrudin, Statistika I. Gunadarma,1994)

4. Diagram Pencar

Diagram pencar bertujuan untuk mengetahui hubungan antara dua variabel dalam

menentukan karakteristik mutu serta untuk memastikan hubungan antara sebab dan akibat.

Langkah Membuat Diagram Pencar :

1. Kumpulkan pasangan data (x,y), yaitu hal-hal yang ingin dipelajari keterkaitannya dan atur data

dalam sebuah tabel dengan data paling sedikit 30 pasangan data.

2. Carilah nilai maksimum dan minimum untuk kedua x dari y. Tetapkan skala pada sumbu horisontal dan vertikal sehingga panjang keduanya mendekati sama, sehingga diagram akan lebih mudah

terbaca.

3. Gambar data pada kertas. Bila didapatkan nilai data yang sama dari pengamatan yang berbeda, tunjukkan titik ini dengan menggambar lingkaran sepusat atau gambar titik ke dua dalam daerah

terdekat dari yang pertama.

4. Masukkan semua item yang diperlukan. Pastikan item berikut termasuk sehingga setiap orang di luar yang membuat diagram dapat mengerti secara sepintas:

a. Selang waktu. c. Judul dan unit setiap sumbu

b. Jumlah pasangan data. d. Judul grafik

Cara Penggunaan Diagram Pencar :

MASALAH : Pembuat tangki plastik yang membuat dengan metode cetak hembusan menghadapi masalah dengan tangki rusak yang mempunyai dinding tipis. Diduga variasi tekanan

udara, yang berbeda dari hari ke hari, yang menyebabkan ketidaksesuaian ketebalan dinding.

Data Tekanan Udara Hembus dan Persentase Plastik Kerusakan Tangki

Data :

x maks = 9,4 (kgf/cm2)

x min = 8,2 (kgf/cm2)

y maks = 0,928 (%)

y min = 0,864 (%)

Tandai sumbu horizontal dalam interval 0,5 (kgf/cm2) dari 8,0 ke 9,5 (kgf/cm2), dan sumbu vertikal

dalam interval 0,01 (%) dari 0,85 ke 0,93 (%)

Langkah pembuatan diagram pencar :

1. Tabel 1 ada 30 data

2. Sumbu x : tekanan udara hembus

Sumbu y : persentase kerusakan

3. Gambar data

4. Tambahkan keterangan data.

Diagram Pencar Tekanan Udara Hembus dan Persentase Kerusakan (1 Okt – 9 Nov)

Cara Penggunaan Diagram Pencar :

Korelasi Positif Korelasi Negatif

Tidak ada Korelasi

Referensi : Moch. Zen S. Hadi, ST. Communication Digital Lab.

5. Daftar Distribusi Frekuensi

Distribusi frekuensi adalah Pengelompokkan data dalam beberapa kelas sehingga ciri-ciri

penting data tersebut dapat segera terlihat. Frekuensi adalah banyaknya pemunculan data.

Bentuk Umum

Kelas (Kategori) Frekuensi (Fi)

Kelas ke-1 f1

Kelas ke-2 f2

Kelas ke-3 f3

: :

: :

: :

Kelas ke-k fk

Jumlah (∑) n

n : banyak data fi : frekuensi pada kelas ke-i, i = 1,2,3,…, k sehingga

Dari suatu gugus data dapat dibentuk beberapa Tabel Distribusi Frekuensi

Contoh :

Berikut adalah data ukuran 50 file (dalam Kbyte) 19 40 38 31 42

23 16 26 30 41

18 27 33 31 27

43 56 45 41 26 30 17 50 62 19

20 27 22 37 42

37 26 28 51 63 42 27 38 42 16

30 37 31 25 18

26 28 39 42 55

Ketiga Tabel DF ini berbeda dalam banyak kelas, batas atas dan batas bawah kelas. Tapi

jumlah pengamatan (jumlah data) tetap sama.

Sumber : 02DistrifrekST.pdf

6. Ukuran Statistik

Ukuran Statistik: 1. Ukuran Pemusatan

Bagaimana, di mana data berpusat?

♦ Rata-Rata Hitung = Arithmetic Mean

♦ Median

♦ Modus

♦ Kuartil, Desil, Persentil

2. Ukuran Penyebaran

Bagaimana penyebaran data?

♦ Ragam, Varians

♦ Simpangan Baku

Ukuran Statistik nantinya akan mencakup data:

1. Ungrouped Data : Data yang belum dikelompokkan

2. Grouped Data : Data yang telah dikelompokkan � Tabel Distribusi Frekuensi

1. Ukuran Pemusatan

1. Rata-rata hitung = Arithmetic Mean

A. Rata-Rata Hitung untuk Ungrouped Data

𝜇 = 𝑥𝑖𝑁𝑖=1

𝑁 dan 𝑥 =

𝑥𝑖𝑁𝑖=1

𝑛

μ: rata-rata hitung populasi 𝑥 : rata-rata hitung sampel

N : ukuran Populasi n : ukuran Sampel

xi : data ke-i

Contoh :

Misalkan diketahui Di kota A hanya terdapat 6 PTS, masing-masing tercatat mempunyai

banyak mahasiswa sebagai berikut : 850, 1100, 1150, 1250, 750, 900

Berapakah rata-rata banyak mahasiswa PTS di kota A? Rata-Rata Populasi atau Sampel ?

Jawab: μ = 6000

6 = 1000

B. Rata-Rata Hitung untuk Grouped Data

Nilainya merupakan pendekatan, biasanya berhubungan dengan rata-rata hitung sampel.

𝑥 = 𝑓𝑖𝑥𝑖𝑘𝑖=1

𝑖𝑘𝑖=1

sehingga : 𝑥 = 𝑓𝑖𝑥𝑖𝑘𝑖=1

𝑛

𝑥 : rata-rata hitung sampel k : banyak kelas

n : ukuran Sampel 𝑓𝑖 : frekuensi di kelas ke-i

𝑥𝑖 : Titik Tengah Kelas ke-i

Contoh :

2. Modus

Nilai yang paling sering muncul

Nilai yang frekuensinya paling tinggi

A. Modus untuk Ungrouped Data

Bisa terjadi data dengan beberapa modus (multi-modus)

Bisa terjadi data tanpa modus Contoh :

a. Sumbangan PMI warga Depok:

Rp.7500 8000 9000 8000 3000 5000 8000

Modus : Rp. 8000 b. Berat 5 unit kendaraan (ton): 3.6 3.5 2.9 3.1 3.0

(Tidak Ada Modus)

c. Umur Mahasiswa (tahun) : 19 18 19 18 23 21 19 21 18 20 22 17

Modus : 18 dan 19

B. Modus untuk Grouped Data

Kelas Modus : Kelas di mana Modus berada Kelas dengan frekuensi tertinggi

Kelas Modus = 24 - 31

TBB Kelas Modus = 23.5

i = 8

frek. kelas Modus = 17

frek, kelas sebelum kelas Modus = 10

frek. kelas sesudah kelas Modus = 7

d1 = 17 - 10 = 7

d2 = 17 - 7 = 10

3. Median, Kuartil, Desil dan Persentil

Median → Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending)

menjadi 2 bagian yang sama besar

Kuartil → Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending)

menjadi 4 bagian yang sama besar

Desil → Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending)

menjadi 10 bagian yang sama besar

Persentil → Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending)

menjadi 100 bagian yang sama besar

A. Median untuk Ungrouped Data

Letak Median → Letak Median dalam gugus data yang telah tersortir

Letak Median = 𝑛 + 1

2 n : banyak data

Contoh 1:

Tinggi Badan 5 mahasiswa :

1.75 1.78 1.60 1.73 1.78 meter

Sorted : 1.60 1.73 1.75 1.78 1.78 meter

n = 5 Letak Median = 5+1

2 =

6

2 = 3

Median = Data ke 3 = 1.75

B. Median untuk Grouped Data

Letak Median = 𝑛

2 n : banyak data

Kelas Median : Kelas di mana Median berada

Kelas Median didapatkan dengan membandingkan Letak Median dengan Frekuensi Kumulatif

Atau

di mana : TBB : Tepi Batas Bawah

s : selisih antara Letak Median dengan Frekuensi Kumulatif sebelum kelas Median

TBA : Tepi Batas Atas

s’ : selisih antara Letak Median dengan Frekuensi Kumulatif sampai kelas Median

i : interval kelas

𝑓𝑀 : Frekuensi kelas Median

Contoh :

Kelas Median = 24 - 31

Letak Median = 𝑛

2 =

50

2 = 25

Median = Data ke-25 terletak di kelas 24-31 Kelas Median = 24 - 31

TBB Kelas Median = 23.5 dan TBA Kelas Median = 31.5

𝑓𝑀= 17

Frek. Kumulatif sebelum Kelas Median = 10→ s = 25 - 10 = 15

Frek. Kumulatif sampai Kelas Median = 27 → s’ = 27 - 25 = 2

interval = i = 8

2. Ukuran Penyebaran

Ragam = Varians (Variance) dan Simpangan Baku = Standar Deviasi

(Standard Deviation)

1. Ragam dan Simpangan Baku untuk Ungrouped Data

Contoh :

Data Usia 5 mahasiswa : 18 19 20 21 22 tahun

a. Hitunglah μ, σ² dan σ (anggap data sebagai data populasi)

b. Hitunglah x , s² dan s (data adalah data sampel)

2. Ragam dan Simpangan Baku untuk Grouped Data

Contoh :

Koefisien Ragam = Koefisien Varians

Semakin besar nilai Koefisien Ragam maka data semakin bervariasi, keragamannya data makin tinggi.

Untuk Populasi → Koefisien Ragam = 𝛿

𝜇 x 100%

Untuk Sampel → Koefisien Ragam = 𝑠

𝑥 x 100%

Contoh :

𝑥 = 33.58 s = 11.6054

Koefisien Ragam = 𝑠

𝑥 x 100% =

11.6054

3358 x 100% = 34.56%

Sumber : 03UkStatST.pdf

7. Kuartil, Desil, dan Persentil

Kuartil

Untuk kelompok data dimana n ≥ 4, kita tentukan tiga nilai, katakanlah Q1, Q2, dan Q3 yang membagi kelompok data tersebut menjadi 4 bagian yang sama, yaitu setiap bagian memuat data yang

sama atau jumlah observasinya sama. Nilai-nilai tersebut dinamakan nilai 25% data/observasi sama

atau lebih kecil dari Q1, 50% data/observasi sama atau lebih kecil dari Q2, 75% data/Observasi sama

atau lebih kecil dari Q3. Rumus Kuartil

Kalau suatu kelompok data atau nilai sudah diurutkan dari yang terkecil (X1) sampai yang

terbesar (Xn), maka untuk menghitung Q1, Q2, dan Q3 harus dipergunakan rumus berikut :

I (n + 1)

Qi = nilai yang ke , i = 1, 2, 3 4

Contoh :

Berikut ini adalah data upah dari 13 karyawan dalam ribuan rupiah, yaitu 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100, (n = 13). Cari nilai Q1, Q2, dan Q3.

Penyelesaian : • Pertama-tama data diurutkan dahulu :

X1=30, X2=35, X3=40, X4=45, X5=50, X6=55, X7=60, X8=65, X9=70, X10=80, X11=85,

X12=95, X13=100. • Q1 = nilai yang ke i(n + 1)

4

= nilai ke 1(13 + 1)

4 = nilai ke-3½ (nilai yang ke-3½, berarti rata-rata dari X3 dan X4)

• Jadi :

Q1 = ½(X3 + X4) = ½(40 + 45)

= 42,5

• Jadi :

Q2 = nilai yang ke i(n + 1) 4

= nilai ke 2(13 + 1)

4 = nilai ke-7, nilai X7

Jadi :

Q2 = X7 = 60 Q3 = nilai ke 3(13 + 1)

4

= nilai ke-10½ (nilai yang ke-10½ berarti rata-rata dari X10 dan X11

• Jadi : Q1 = ½(X10 + X11)

= ½(80 + 85)

= 82,5 (nilai kuartil tidak perlu sesuai dengan nilai data yang asli)

Desil

Untuk kelompok data dimana n ≥ 10, dapat ditentukan 9 nilai bagian yang sama, misalnya D1, D2,

… Q9, artinya setiap bagian mempunyai jumlah observasi yang sama, sedemikian rupa sehingga nilai 10% data/observasi sama atau lebih kecil dari D1, nilai 20% data/observasi sama atau lebih kecil dari

D2, dan seterusnya. Nilai tersebut dinamakan desil pertama, kedua dan seterusnya sampai desil

kesembilan.

Kalau suatu kelompok data atau nilai sudah diurutkan dari yang terkecil (X1) sampai yang

terbesar (Xn), maka rumus desil adalah sebagai berikut :

i(n + 1)

Di = nilai yang ke , i = 1, 2, …, 9

10

Contoh:

Berdasarkan contoh pada kuartil (diatas), hitunglah D1, D2, dan D9 D1 = nilai ke 1(13 + 1)

10

= nilai ke-14/10 = nilai ke-14/10, berarti X1 + 4/10(X2 – X1)

= 30 + 4/10(35 – 30)

= 32

D2 = nilai ke 2(13 + 1)

10

= nilai ke-28/10, berarti X2 +

8/10 (X3 – X2)

= 35 + 8/10 (40 – 35)

= 39

D9 = nilai ke 9(13 + 1) 10

= nilai ke-126/10, berarti X12 +

6/10 (X13 – X12)

= 95 + 6/10 (100 – 95)

= 98

Persentil

Untuk kelompok data dimana n ≥ 100, dapat ditentukan 99 nilai, P1, P2, … P99, yang disebut

persentil pertama, kedua dan ke-99, yang membagi kelompok data tersebut menjadi 100

bagian,masing-masing mempunyai bagian dengan jumlah observasi yang sama, dan sedemikian

rupa sehingga 1% data/observasi sama atau lebih kecil dari P1, 2% data/observasi sama atau lebih

kecil dari P2.

Apabila data sudah disusun mulai dari yang terkecil (X1) sampai yang terbesar (Xn), maka

rumus persentil adalah sebagai berikut :

i(n + 1)

Pi = nilai yang ke , i = 1, 2, …, 99

100

Kuartil, Desil, dan Persentil (Data Berkelompok)

Rumus Desil : in

/10 – (fi)0 Qi = L0 + c fd

Rumus Persentil : in

/100 – (fi)0 Qi = L0 + c fp

Dimana :

L0 = nilai batas bawah dari kelas yang memuat kuartil ke-i, desil ke-i, dan persentil ke-i

N = banyaknya observasi = jumlah semua frekuensi

(fi)0 = jumlah frekuensi dari semua kelas sebelum kelas yang mengandung kuartil ke-i,

desil ke-i, dan persentil ke-i fq = frekuensi dari kelas yang mengandung kuartil ke-i, desil ke-i, dan persentil ke-i

c = besarnya kelas interval yang mengandung kuartil ke-i, desil ke-i, dan persentil ke-i

in = i kali n

Contoh Soal

Berdasarkan data berikut, hitunglah Q1, Q3, D6, dan P50 !

in

/4 – (fi)0 Q1 = L0 + c

fq

= 73,05 + 0,30

100/4 – 17

13

= 73,23

3n

/4 – (fi)0 Q3 = L0 + c

fq 300

/4 – 57

= 73,65 + 0,30 23

= 73,89

6n

/10 – (fi)0 D6 = L0 + c

fd 600

/10 – 57

= 73,65 + 0,30 23

= 73,69

Artinya nilai 60% dari observasi sama atau lebih kecil dari 73,69

50n/100 – (fi)0

P50 = L0 + c

fp 5000

/100 – 30 = 73,65 + 0,30

27

= 73,57

Artinya nilai 50% dari observasi mempunyai nilai sama atau lebih kecil dari 73,57

Sumber : wisnu.stmik-aub.ac.id

8. Rentang

Dalam statistik deskriptif , Rentang adalah panjang interval terkecil yang berisi semua data. Hal

ini dihitung dengan mengurangi pengamatan terkecil (sampel minimum) dari yang terbesar

(maksimum sampel) dan memberikan indikasi dispersi statistik . Hal ini diukur dalam satuan yang sama sebagai data. Karena hanya bergantung pada dua dari

pengamatan, itu adalah ukuran miskin dan lemah dispersi kecuali jika ukuran sampel besar. (Contoh:

a, b, c = range = ca)

Untuk populasi, kisaran lebih besar dari atau sama dengan dua kali standar deviasi , dengan kesetaraan hanya untuk lempar koin ( distribusi Bernoulli dengan p = ½).

Kisaran, dalam arti perbedaan antara nilai tertinggi dan terendah, juga disebut rentang mentah.

Bila skala pengukuran baru dikembangkan, maka potensi maksimum atau minimum akan berasal dari skala ini. Ini disebut rentang (mentah) potensial. Tentu saja rentang ini tidak harus dipilih terlalu

kecil, untuk menghindari efek langit-langit . Ketika pengukuran yang didapat, pengamatan terkecil

atau terbesar yang dihasilkan, akan memberikan rentang (mentah) diamati. The midrange titik, yaitu titik tengah antara dua ekstrim, merupakan indikator dari kecenderungan

pusat data. Sekali lagi itu tidak terlalu kuat untuk sampel kecil.

Sumber : Wikipedia.org

9. Rata-rata Simpangan Rata-rata simpangan (jarak antara tiap data dengan nilai rata-rata, jarak selalu memberi tanda

positif, atau harga mutlak)

RS = (Σ I X-μ I)/N

Dimana:

X = nilai observasi

μ = rerata aritmatik N = jumlah observasi

I = tanda mutlak

Sumber : simpangan-dan-kemencengan.ppt

10. Koefisien Variasi

Koefisien variasi adalah perbandingan antara simpangan standar dengan nilai rata-rata yang dinyatakan dengan persentase. Koefisien variasi berguna untuk melihat sebaran data dari rata-rata

hitungnya.

Besarnya Koefisien Variasi dinyatakan dengan rumus,

KV = 𝑠

𝑥 x 100%

KV = koefisien variasi

S = simpangan standar

𝑥 = rata-rata

Contoh :

Nilai rata-rata matematika Kelas III AK 1adalah 80 dengan simpangan standar 4,5 dan nilai

rata-rata Kelas III AK 2 adalah 70 dengan simpangan standar 5,2. Hitunglah koefisien variasi masing-

masing.

Jawab :

KV III AK 1 = 𝑠

𝑥 x 100%

= 4,5

80 x 100% = 5,6%

KV III AK 2 = 5,2

70 x 100% = 7,4%

Sumber : koef-variasi.ppt

11. Distribusi Normal

Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss, adalah distribusi probabilitas yang paling

banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika. Distribusi normal baku adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan simpangan baku satu. Distribusi ini juga dijuluki kurva

lonceng (bell curve) karena grafik fungsi kepekatan probabilitasnya mirip dengan bentuk lonceng.

Distribusi normal memodelkan fenomena kuantitatif pada ilmu alam maupun ilmu sosial. Beragam skor pengujian psikologi dan fenomena fisika seperti jumlah foton dapat dihitung melalui

pendekatan dengan mengikuti distribusi normal. Distribusi normal banyak digunakan dalam berbagai

bidang statistika, misalnya distribusi sampling rata-rata akan mendekati normal, meski distribusi

populasi yang diambil tidak berdistribusi normal. Distribusi normal juga banyak digunakan dalam berbagai distribusi dalam statistika, dan kebanyakan pengujian hipotesis mengasumsikan normalitas

suatu data.

- Fungsi densitas probabilitas

- Fungsi distribusi kumulatif

Sumber : wikipedia.org

12. Check Sheets

Alat pengumpulan/ penyajian data sederhana Proses penyusunan :

1. Rancang pemilahan

2. Catat data yang sesuai 3. Hitung tally

4. Jumlahkan

5. Tabulasikan

Contoh

MATA KULIAH JUMLAH PESERTA JUMLAH TIDAK LULUS % TIDAK LULUS

MA 114 60 IIIII II = 7 11.67

FI 118 40 IIIII = 5 12.50

MS 156 30 III = 3 10.00

MS 178 25 IIIII = 5 25.00 MS 188 30 I = 1 3.33

Sumber : teaching improvement workshop (TIW)

13. Peluang

- Dasar teori peluang • Ruang Sampel

• Kejadian dan Operasinya

• Menghitung Titik Sampel :

– Permutasi – Kombinasi

a. Ruang sampel

• Kumpulan dari semua hasil dari percobaan statistik, dinyatakan dengan notasi S

• Contoh : Percobaan pelemparan mata uang

b. Kejadian

• Dari setiap percobaan kita mungkin ingin mengetahui munculnya elemen-elemen dari ruang

sampel yang mempunyai ciri tertentu. Sekelompok titik sampel itu membentuk himpunan

bagian dari S • Contoh : Percobaan pelemparan 3 koin

S

A

c. Operasi dengan kejadian

• Definisi 1 :

Irisan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan lambang A B ialah kejadian yang unsurnya

termasuk A dan B. • Gambar diagram Venn

A B

• Contoh : Tentukan irisan antara A = {1,2,3,4,5} dan B ={2,4,6,8} jawab : 2 & 4

• Definisi 2 : Dua kejadian A dan B saling terpisah bila A ∩ B = 0

• Contoh : Sebuah dadu dilantunkan. A menyatakan kejadian bahwa bilangan genap muncul di sebelah atas dan B kejadian bahwa bilangan ganjil yang muncul di sebelah atas.

• Definisi 3 : Gabungan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan lambang A∪B ialah kejadian

yang mengandung semua unsur yang termasuk A dan B atau keduanya.

• Contoh : Tentukan gabungan dari kejadian A = {1,2,3,4,5} dengan B = {2,4,6,8} • Definisi 4 : Komplemen suatu kejadian A terhadap S ialah himpunan semua unsur S yang tidak

termasuk A. Komplemen A dinyatakan dengan lambang A'.

• Contoh : Q menyatakan kejadian bahwa seorang karyawan yang dipilih secara acak dari

suatu pabrik adalah seorang perokok. Nyatakan

kejadian komplemen Q ?

d. Menghitung titik sampel

• Teorema 1 : Bila suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara, bila untuk tiap cara ini operasi kedua dapat

dikerjakan dengan n2 cara, maka kedua operasi itu dapat dikerjakan bersama-sama dengan n1n2

cara.

• Contoh : Banyaknya titik sampel dalam ruang sampel sepasang dadu dilantunkan satu kali.

• Teorema 2 :

Bila suatu operasi dapat dikerjakan dengan n1 cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi kedua dapatdikerjakan dengan n2 cara , dan bila untuk setiap kedua cara operasi tersebuat operasi

ketiga dapat dikerjakandengan n3 cara, dan seterusnya, maka deretan k operasi dapat dikerjakan

dengan n1n2…nk cara.

• Contoh : Berapa macam hidangan dapat disajikanjika masing-masing hidangan dapat terdiri dari sop, nasi goreng, bakmi, dan soto bila tersedia 4 macam soto, 3 macam nasi goreng, 5 macam

bakmi, dan 4 macam soto.

• Definisi 5

Suatu permutasi ialah suatu susunan urutan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan benda

yang diambil sebagian atau seluruhnya. • Contoh : Ambil tiga huruf a, b dan c.

• Teorema 3

Banyak permutasi n benda yang berlainan adalah n! • Contoh : Permutasi empat huruf a,b,c, dan d adalah 4!=24

• Teorema 4 Banyak permutasi n benda berlainan bila diambil r sekaligus adalah

nPr= 𝑛 !

𝑛−𝑟 !

• Contoh : Dari 20 lotere, dua diambil untuk hadiah pertama dan kedua. Hitunglah banyak

titik sampel dalam ruang S.

• Teorema 5

Banyak permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah (n-1)!

• Contoh : Dalam suatu permainan bridge ada empat pemain duduk melingkar. Berapa

susunan duduk yang berlainan dalam permainan tersebut?

• Teorema 6

Banyak permutasi yang berlainan dari n benda bila n1 diantaranya berjenis pertama, n2berjenis kedua,…, nk berjenis ke k adalah...

𝑛 !

𝑛1!𝑛2!𝑛3!……..𝑛𝑘 !

• Contoh : Suatu pohon natal dihias dengan 9 bola lampu yang dirangkai seri. Ada berapa cara

menyusun 9 bola lampu itu bila tiga diantaranya berwarna merah, empat kuning dan dua biru?

• Teorema 7

Banyaknya cara menyekat n benda dalam r sel, masing-masing berisi n1 elemen dalam sel

pertama, n2 dalam sel ke dua dst, adalah:

𝑛

𝑛1 ,𝑛2 ,𝑛3 ,……..𝑛𝑘 =

𝑛 !

𝑛1!𝑛2!𝑛3!……..𝑛𝑘 !

Dengan n1 + n2 + n3 … + nk = n. • Contoh : Berapa banyak cara untuk menampung tujuh petinju dalam tiga kamar hotel, bila

satu kamar bertempat tidur tiga sedangkan dua lainnya mempunyai dua tempat tidur ?

• Teorema 8

Jumlah kombinasi dari n benda yang berlainan bila diambil sebanyak r adalah :

𝑛

𝑟 =

𝑛 !

𝑟 ! 𝑛−𝑟 !

• Contoh : Bila ada empat kimiawan dan tiga fisikawan, carilah banyaknya panitia tiga orang yang dapat dibuat beranggotakan dua kimiawan dan satu fisikawan.

Sumber : Christine Surya di Departemen Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung