MAKALAH STASISTIKA

T A Q I Y Y U D D I N H A M M A M A .

X S C I AS M A N E G E R I 2 B A N D A R

L A M P U N G

  Latar Belakang

Seringkali dalam kehidupan sehari– hari manusia dihadapkan pada persoalan untuk menguji apakah hipotesis atau pernyataan yang kita ambil adalah benar atau salah melalui suatu pernyataan yang diambil dengan bukti– bukti yang akurat. Dalam ilmu statistika, pernyataan yang akan diuji kebenarannya disebut hipotesis, sedangkan metode untuk menguji kebenaran hipotesis disebut pengujian hipotesis. Pengujian hipotesis dapat dilakukan berdasarkan rata-rata, varians, dan proporsi. Namun, metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah pengujian hipotesis berdasarkan rata-rata. Pengujian hipotesis dapat berupa pengujian satu arah dan dua arah. Pengujian satu arah merupakan pengujian hipotesis dengan hipotesis alternatif kurang dari atau lebih dari parameter yang digunakan. Sedangkan pengujian hipotesis dua arah dengan hipotesis alternatif tidak sama dengan parameter yang digunakan. Dalam penelitian ini, pengujian yang digunakan adalah pengujian hipotesis dua arah. Dalam makalah ini, saya memutuskan untuk menguji indeks prestasi nilai ujian mata kuliah Pemetaan Radar Fakultas Teknik Sipil Universitas Lampung.

Landasan Teori

Penggunaan istilah statistika berakar dari istilah istilah dalam bahasa latin modern statisticum collegium ("dewan negara") dan bahasa Italia statista ("negarawan" atau "politikus").

Gottfried Achenwall (1749) menggunakan Statistik dalam bahasa Jerman untuk pertama kalinya sebagai nama bagi kegiatan analisis data kenegaraan, dengan mengartikannya sebagai "ilmu tentang negara (state)". Pada awal abad ke-19 telah terjadi pergeseran arti menjadi "ilmu mengenai pengumpulan dan klasifikasi data". Sir John Sinclair memperkenalkan nama (Statistics) dan pengertian ini ke dalam bahasa Inggris. Jadi, statistika secara prinsip mula-mula hanya mengurus data yang dipakai lembaga-lembaga administratif dan pemerintahan. Pengumpulan data terus berlanjut, khususnya melalui sensus yang dilakukan secara teratur untuk memberi informasi kependudukan yang berubah setiap saat.

Pada abad ke-19 dan awal abad ke-20 statistika mulai banyak menggunakan bidang-bidang dalam matematika, terutama peluang. Cabang statistika yang pada saat ini sangat luas digunakan untuk mendukung metode ilmiah, statistika inferensi, dikembangkan pada paruh kedua abad ke-19 dan awal abad ke-20 oleh Ronald Fisher (peletak dasar statistika inferensi), Karl Pearson (metode regresi linear), dan William Sealey Gosset (meneliti problem sampel berukuran kecil). Penggunaan statistika pada masa sekarang dapat dikatakan telah menyentuh semua bidang ilmu pengetahuan, mulai dari astronomi hingga linguistika. Bidang-bidang ekonomi, biologi dan cabang-cabang terapannya, serta psikologi banyak dipengaruhi oleh statistika dalam metodologinya. Akibatnya lahirlah ilmu-ilmu gabungan seperti ekonometrika, biometrika (atau biostatistika), dan psikometrika.

Meskipun ada pihak yang menganggap statistika sebagai cabang dari matematika, tetapi sebagian pihak lainnya menganggap statistika sebagai bidang yang banyak terkait dengan matematika melihat dari sejarah dan aplikasinya. Di Indonesia, kajian statistika sebagian besar masuk dalam fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam, baik di dalam departemen tersendiri maupun tergabung dengan matematika.

Statistika Secara Umum

Statistika adalah cabang dari matematika yang mempelajari cara mengumpulkan data, menyusun data, menyajikan data, mengolah dan menganalisis data, menarik kesimpulan, dan menafsirkan parameter.

Kegiatan Statistika meliputi:

1. Mengumpulkan data2. Menyusun data3. Menyajikan data

4. Mengolah dan Menganalisis data 5. Menarik kesimpulan6. Menafsirkan

Datum dan Data

    Di Kelas IX telah dipelajari pengertian datum dan data. Agar tidak lupa pelajari uraian berikut.Misalkan, hasil pengukuran berat badan 5 murid adalah 43 kg, 46 kg, 44 kg, 55 kg, dan 60 kg. Adapun tingkat kesehatan dari kelima murid itu adalah baik, baik, baik, buruk, dan buruk. Data pengukuran berat badan, yaitu 43 kg, 46 kg, 44 kg, 55 kg, dan 60 kg disebut fakta dalam bentuk angka. Adapun hasil pemeriksaan kesehatan, yaitu baik dan buruk disebut fakta dalam bentuk kategori. Selanjutnya, fakta tunggal dinamakan datum. Adapun kumpulan datum dinamakan data.

Populasi dan Sampel Misal, seorang peneliti ingin meneliti tinggi badan rata-rata siswa SMA di Kabupaten Tegal. Kemudian, ia kumpulkan data tentang tinggi badan seluruh siswa SMA di Kabupaten Tegal. Data tinggi badan seluruh siswa SMA di Kabupaten Tegal disebut populasi. Namun, karena ada beberapa kendala seperti keterbatasan waktu, dan biaya, maka data tinggi badan seluruh siswa SMA di Kabupaten Tegal akan sulit diperoleh. Untuk mengatasinya, dilakukan pengambilan tinggi badan dari beberapa siswa SMA di Kabupaten Tegal yang dapat mewakili keseluruhan siswa SMA di Kabupaten Tegal. Data tersebut dinamakan data dengan nilai perkiraan, sedangkan sebagian siswa SMA yang dijadikan objek penelitian disebut sampel. Agar diperoleh hasil yang berlaku secara umum maka dalam pengambilan sampel, diusahakan agar sampel dapat mewakili populasi.

Pengumpulan Data

Menurut sifatnya, data dibagi menjadi 2 golongan, yaitusebagai berikut.1)  Data kuantitatif adalah data yang berbentuk angka atau     bilangan. Data kuantitatif terbagi atas dua bagian, yaitu     data cacahan dan data ukuran.     a) Data cacahan (data diskrit) adalah data yang diperoleh         dengan cara membilang. Misalnya, data tentang         banyak anak dalam keluarga.     b) Data ukuran (data kontinu) adalah data yang diperoleh         dengan cara mengukur. Misalnya, data tentang         ukuran tinggi badan murid.2)  Data kualitatif adalah data yang bukan berbentuk bilangan.     Data kualitatif berupa ciri, sifat, atau gambaran dari kualitas     objek. Sebagai contoh, data mengenai kualitas pelayanan,      yaitu baik, sedang, dan kurang.

Cara untuk mengumpulkan data, antara lain adalah melakukanwawancara, mengisi lembar pertanyaan (questionery), melakukan pengamatan (observasi), atau menggunakan data yang sudah ada, misalnya rataan hitung nilai rapor.

Bentuk-bentuk Penyajian Data

A. Penyajian Data dalam Bentuk Diagram

1. Diagram Garis

Penyajian data statistik dengan menggunakan diagram berbentuk garis lurus disebut diagram garis lurus atau diagram garis. Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan data statistik yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu ke waktu secara berurutan.

2. Diagram BatangDiagram batang umumnya digunakan untuk menggambarkan perkembangan nilai suatu objek penelitian dalam kurun waktu tertentu. Diagram batang menunjukkan keterangan-keterangan dengan batang-batang tegak atau mendatar dan sama lebar dengan batang-batang terpisah.

3. Diagram LingkaranDiagram lingkaran adalah penyajian data statistik dengan menggunakan gambar yang berbentuk lingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran menunjukkan bagian-bagian atau persen dari keseluruhan. Untuk membuat diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya persentase tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut pusat sektor lingkaran.

B. Penyajian Data dalam Bentuk Tabel Distribusi Histogram, Poligon dan Ogive

 1. Distribusi Frekuensi TunggalData tunggal seringkali dinyatakan dalam bentuk daftar bilangan, namun kadangkala dinyatakan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi. Tabel distribusi frekuensi tunggal merupakan cara untuk menyusun data yang relatif sedikit.

2. Distribusi Frekuensi Kelompok Data yang berukuran besar (n > 30) lebih tepat disajikan dalam tabel distribusi frekuensi kelompok, yaitu cara penyajian data yang datanya disusun dalam kelas-kelas tertentu. Langkah-langkah penyusunan tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut.

Langkah ke-1 menentukan Jangkauan (J) = Xmax - Xmin

Langkah ke-2 menentukan banyak interval (K) dengan rumus "Sturgess" yaitu: K= 1 + 3,3 log n dengan n adalah banyak data. Banyak kelas harus merupakan bilangan bulat positif hasil pembulatan ke bawah.

Langkah ke-3 menentukan panjang interval kelas (I) dengan menggunakan rumus:

                J          I = ––––                 K

Langkah ke-4 menentukan batas-batas kelas. Data terkecil harus merupakan batas bawah interval kelas pertama atau data terbesar adalah batas atas interval kelas terakhir.

Langkah ke-5 memasukkan data ke dalam kelas-kelas yang sesuai dan menentukan nilai frekuensi setiap kelas dengan sistem turus.

3. Histogram Dari suatu data yang diperoleh dapat disusun dalam tabel distribusi frekuensi dan disajikan dalam bentuk diagram yang disebut histogram. Jika pada diagram batang, gambar batang-batangnya terpisah maka pada histogram gambar batang-batangnya berimpit.

4. Poligon Apabila pada titik-titik tengah dari histogram dihubungkan dengan garis dan batang-batangnya dihapus, maka akan diperoleh poligon frekuensi. Berdasarkan contoh di atas dapat dibuat poligon frekuensinya seperti gambar berikut ini.Berikut simulasi histogram dan poligon

5. Distribusi Frekuensi Kumulatif Daftar distribusi kumulatif ada dua macam, yaitu sebagai berikut.a. Daftar distribusi kumulatif kurang dari (menggunakan tepi atas).b. Daftar distribusi kumulatif lebih dari (menggunakan tepi bawah).

6. Ogive (Ogif)Grafik yang menunjukkan frekuensi kumulatif kurang dari atau frekuensi kumulatif lebih dari disebut poligon kumulatif. Poligon kumulatif dibuat mulus, yang hasilnya disebut ogif. Ada dua macam ogif, yaitu sebagai berikut.a. Ogif frekuensi kumulatif kurang dari disebut ogif positif.b. Ogif frekuensi kumulatif lebih dari disebut ogif negatif.

Median(Me)

1) Median untuk data tunggal    Median adalah suatu nilai tengah yang telah diurutkan. Median dilambangkan Me.    Untuk menentukan nilai  Median  data tunggal dapat dilakukan dengan cara:    a) mengurutkan data kemudian dicari nilai tengah,    b) jika banyaknya data besar, setelah data diurutkan, digunakan rumus:

     

Untuk n ganjil  : Me = X1/2(n + 1)

                                           Xn/2  + Xn/2 +1      Untuk n genap: Me =   ––––––––––––                                                   2

      Keterangan:      xn/2 = data pada urutan ke-n/2 setelah diurutkan.

      Contoh:      Tentukan median dari data: 2, 5, 4, 5, 6, 7, 5, 9, 8, 4, 6, 7, 8      Jawab:     

Data diurutkan menjadi: 2, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9      Median = data ke-(13 + 1)/2 = data ke-7      Jadi mediannya = 6

2) Median untuk data kelompokJika data yang tersedia merupakan data kelompok, artinya data itu dikelompokkan ke dalam interval-interval kelas yang sama panjang. Untuk mengetahui nilai mediannya dapat ditentukan dengan rumus berikut ini:

Keterangan: L = tepi bawah kelas medianc = lebar kelasn = banyaknya dataF = frekuensi kumulatif kurang dari sebelum kelas medianf  = frekuensi kelas median

Modus(Mo)Modus ialah nilai yang paling sering muncul atau nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi. Jika suatu data hanya mempunyai satu modus disebut unimodal dan bila memiliki dua modus disebut bimodal, sedangkan jika memiliki modus lebih dari dua disebut multimodal. Modus dilambangkan dengan Mo.

1) Modus data tunggal    Modus dari data tunggal adalah data yang sering muncul atau data dengan    frekuensi tertinggi.    Perhatikan contoh soal berikut ini.    Contoh:    Tentukan modus dari data di bawah ini.    2, 1, 4, 1, 1, 5, 7, 8, 9, 5, 5, 10    Jawab:    Data yang sering muncul adalah 1 dan 5. Jadi modusnya adalah 1 dan 5.

2. Modus data kelompok    Modus data kelompok dirumuskan sebagai berikut:

   Keterangan:   L   = tepi bawah kelas modus

   c    = lebar kelas   d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya   d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya   

Kuartil (Q)

Seperti yang sudah dibahas sebelumnya, bahwa median membagi data yang telah diurutkan menjadi dua bagian yang sama banyak. Adapun kuartil adalah membagi data yang telah diurutkan menjadi empat bagian yang sama banyak.1) Kuartil data tunggal    Urutkan data dari yang kecil ke yang besar, kemudian tentukan kuartil dengan rumus sebagai berikut:

   

    Contoh:    Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data : 3, 4, 7, 8, 7, 4, 8, 4, 6, 9, 10, 8, 3, 7, 12.     Jawab:     Langkah 1: urutkan data dari  kecil ke besar sehingga diperoleh                       3, 3, 4, 4, 4, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 12.                                                 1(15+1)     Langkah 2: Letak data Q1=–––––––– = 4                                                      4                      Jadi Q1 terletak pada data ke-empat yaitu 4

                                                 2(15+1)     Langkah 3: Letak data Q2=–––––––– = 8                                                      4                      Jadi Q2 terletak pada data ke-delapan yaitu 7

                                                 3(15+1)     Langkah 4: Letak data Q1=–––––––– = 12                                                      4                      Jadi Q3 terletak pada data ke-duabelas yaitu 8

2) Kuartil data kelompok

Nilai kuartil dirumuskan sebagai berikut.

Keterangan:Qi = kuartil ke-i (1, 2, atau 3)L  = tepi bawah kelas kuartil ke-in = banyaknya dataF = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas kuartilc = lebar kelasf = frekuensi kelas kuartil

Ukuran Penyebaran Data

Ukuran pemusatan yaitu mean, median dan modus, merupakan informasi yang memberikan penjelasan kecenderungan data sebagai wakil dari beberapa data yang ada. Adapun ukuran penyebaran data memberikan gambaran seberapa besar data menyebar dari titik-titik pemusatan.

1. Jangkauan (Range)

Ukuran penyebaran yang paling sederhana (kasar) adalah jangkauan (range) atau rentangan nilai, yaitu selisih antara data terbesar dan data terkecil.a) Range data tunggal    Untuk range data tunggal dirumuskan dengan:

    R = xmaks – xmin

    Contoh :    Tentukan range dari data-data di bawah ini.     6, 7, 3, 4, 8, 3, 7, 6, 10, 15, 20

     Jawab:     Dari data di atas diperoleh xmaks = 20 dan xmin = 3     Jadi, R = xmaks – xmin                 = 20 – 3 = 17

b) Range data kelompokUntuk data kelompok, nilai tertinggi diambil dari nilai tengah kelas tertinggi dan nilai terendah diambil dari nilai kelas yang terendah.

2. Simpangan Rata-Rata (Deviasi Rata-Rata)

    Simpangan rata-rata suatu data adalah nilai rata-rata dari selisih setiap data dengan nilai rataan hitung.

     a) Simpangan rata-rata data tunggal         Simpangan rata-rata data tunggal dirumuskan sebagai berikut.

       

     b) Simpangan rata-rata data kelompok          Simpangan rata-rata data kelompok dirumuskan:

         3. Simpangan Baku (Deviasi Standar) dan Ragam

Sebelum membahas simpangan baku atau deviasi standar, perhatikan contoh berikut. Kamu tentu tahu bahwa setiap orang memakai sepatu yang berbeda ukurannya. Ada yang berukuran 30, 32, 33, ... , 39, 40, dan 41. Perbedaan ini dimanfaatkan oleh ahli-ahli statistika untuk melihat penyebaran data dalam suatu populasi. Perbedaan ukuran sepatu biasanya berhubungan dengan tinggi badan manusia. Seorang ahli matematika Jerman, Karl Ganss mempelajari penyebaran dari berbagai macam data. Ia menemukan istilah deviasi standar untuk menjelaskan penyebaran yang terjadi. Saat ini, ilmuwan menggunakan deviasi standar atau simpangan baku untuk mengestimasi akurasi pengukuran. Deviasi standar adalah akar dari jumlah kuadrat deviasi dibagi banyaknya data.

a) Simpangan baku dan ragam data tunggal    Simpangan baku/deviasi standar data tunggal dirumuskan sebagai berikut.

       

       

b) Ragam dan Simpangan baku data kelompok Ragam dirumuskan sebagai berikut.

Metodelogi

PEMBAHASAN

DIAGRAM LINGKARAN

DIAGRAM BATANG

Modus data nilai diatas adalah B dengan jumlah 19 orang. Range data adalah 7,7-0,0 = 7,7