Tugas Model

1. Menganalisis persamaan (50.1)dFdt

=F (a−bF−cS)

dSdt

=S (−k+ λF)

Persamaan diatas dengan mengasumsikan b=0 akan berubah menjadi persamaan berikut:

dFdt

=F (a−cS)

dSdt

=S (−k+ λF)

Persamaan inilah yang akan dianalisis, perhatikan bahwa:

Persamaan dFdt

=F (a−cS )

a. jika S>ac

(populasi shark cukup besar) maka dFdt

<0 (populasi fish berkurang).

b. jika S=ac

pada saat itu dFdt

=0 maka populasi fish tidak berubah.

c. Demikian juga jika S<ac

, populasi fish akan bertambah.

Sementara itu:

Persamaan dSdt

=S (−k+ λF)

a. Jika F= kλ

maka dSdt

=0, populasi shark tidak berubah.

b. Jika F> kλ

maka dSdt

<0, populasi shark berkurang.

Perhatikan bahwa tidak ada solusi yang sederhana untuk modeldFdt

=F (a−cS)

dSdt

=S (−k+ λF)

Untuk memahami paling tidak perilaku kualitatif solusi, trajektori dari solusi dalam bidang phase akan disketsa

dFdS

=F (a−cS )S( λF−k )

Hanya kuadran positif yang akan dianalisis. (F≥0 , S ≥0¿

Jika F=0 maka dFdS

=0 dan jika S=0 maka dFdS

=∞. Selanjutnya diperoleh bahwa

garis F=0 dan S=0, dua-duanya adalah isoklin dan juga merupakan suatu solusi. Isoklin yang lain yaitu:

S=ac,( dFdS =0)danF= k

λ,( dFdS =∞)

Isoklin ini, F= kλ, S=a

c, bukan merupakan kurva solusi. Perpotongan antara dua slope

yang berbeda merupakan titik singular, yang juga dinamakan keseimbangan populasi. Titik keseimbangannya yaitu:

a. F= kλ

dan S=ac

( ac , kλ )dan

b. F=0 dan S=0 (0 ,0 )

Jika F= kλ, dan S=

ac

, ekosistem mangsa pemangsa mencapai keseimbangan

dinamik. Akan ditunjukkan bahwa TK ini stabil. Jika populasi tidak berada pada TK, maka bidang phase digunkan untuk menentukan perubahan populasi.

Jika S=0→dFdt

=aF ,F selalu menaik

Jika F=0→dSdt

=−kS ,S selalu menurun

Jika F= kλ→dFdt

= kλ(a−cS) ,

Jika S<ac→dFdt

>0

Jika S>ac→dFdt

<0

Jika S=ac→dSdt

=ac(λF−k )

Jika F> kλ→dSdt

>0

Jika F< kλ→dSdt

<0

2. Menganalisis persamaan 54.3dxdt

=0→y (c−dy−σx )=0

dydt

=0→x (a−bx−ky )=0

Diperoleh TK (0,0) ,(a /b ,0),(0 , a/b) dan (xE , y E) jika ada

Dimana

xE=ck−adσk−bd

y E=aσ−bcσk−bd

Analisis untuk kestabilan TK, digunakan metode pelinearan model di sekitar TK dengan deret Taylor.Misalkan,

G=ax−b x2−kxyH=cy−d y2−σxy

Matriks Jacobinya adalah

J=(∂G∂x

∂G∂ y

∂ H∂x

∂H∂ y

)=(a−2bx−ky −ky−σy c−2dy−σx )

Selanjutnya matriks J dievaluasi pada titik TK, untuk TK (0,0) diperoleh

J=(a 00 c)→x=ax , y=cy

Persamaan karakteristik, f ( x )=|J−λI|=0

|a−λ 00 c− λ|=0→λ=a , λ=c

Karena nilai eigen positif, yang menyatakan bahwa TK (0,0) untuk model linear tidak stabil, selanjutnya juga disimpulkan bahwa TK (0,0) untuk model nonlinear juga tidak stabil.

a. Untuk TK (0 , cd )→ TK adalah sadle point, stabil.

b. Untuk TK ( ab ,0)→ TK adalah sadle point, stabil.

c. Untuk TK ( ck−adσk−bd,aσ−bcσk−bd ) berada pada keadaan pertama

jikai. ck−ad>0 , aσ−bc>0 dan σk−bd>0 atauii. ck−ad<0 aσ−bc<0 dan σk−bd<0

Perhatikan bahwa ck−adσk−bd

< ab

dan aσ−bcσk−bd

< cd

Misalkan c=a dan d=b dan diasumsikan bahwa populasi x kompetitior yang

lebih kuat dari populasi y, yaitu σ>k. Karena jika x= y , maka dxdt

> dydt

.

Untuk x kompetitor yang kuat, diasumsikan bahwa interaksi antara spesies, kxy

dan σxy , lebih besar dari b x2 dan b y2, (kxy>b x2 , σxy>b y2 ). Olehnya itu σ>b dan

k>b. Karena σ>k maka diperoleh σ>k>b

Dalam kasus ini suatu TK dapat wujud seperti berikut:

Di sini: ak−ab>0, aσ−ab>0, σk−b2>0

Selanjutnya memeriksa kestabilan TK (x E−ak−abσk−b2 , y E−aσ−abσk−b2 )

Dengan menggunakan bidang phase, akan disketsa trajektori dengan

memperhatikan dxdt

dan dydt

.

Dari dxdt

=x (a−bx−ky ) dan dydt

= y (a−by−σx)

Jika x=0 {dydt >0 , y< ab

dydt

<0 , y> ab

Jika y=0{dxdt >0 , x< ab

dxdt

<0 , x> ab

Secara umum diperoleh,

dxdt

>0 jika a−bx−ky>0

dxdt

<0 jika a−bx−ky<0

Dipisahkan oleh isoklin yang mengakibatkan dydx

=∞

dydt

>0 jika a−by−σx>0

dydt

<0 jika a−by−σx<0

Dipisahkan oleh isoklin yang mengakibatkan dydx

=0

Dari analisis di atas diperoleh gambar berikut, beserta dengan arahnya

Bagan 1 gbr: perilaku trajektori dari 2 spesies berkompetisi

Dari gambar di atas diperoleh informasi bahwa TK (xE , y E) tidak stabil, sementara TK

(0 , a /b) dan TK (a /b ,0) adalah stabil, dan untuk TK (0,0) tidak stabil node.