Download - Tugas modelanalisis
![Page 1: Tugas modelanalisis](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082812/55b95d9abb61eb34798b45f1/html5/thumbnails/1.jpg)
Tugas Model
1. Menganalisis persamaan (50.1)dFdt
=F (a−bF−cS)
dSdt
=S (−k+ λF)
Persamaan diatas dengan mengasumsikan b=0 akan berubah menjadi persamaan berikut:
dFdt
=F (a−cS)
dSdt
=S (−k+ λF)
Persamaan inilah yang akan dianalisis, perhatikan bahwa:
Persamaan dFdt
=F (a−cS )
a. jika S>ac
(populasi shark cukup besar) maka dFdt
<0 (populasi fish berkurang).
b. jika S=ac
pada saat itu dFdt
=0 maka populasi fish tidak berubah.
c. Demikian juga jika S<ac
, populasi fish akan bertambah.
Sementara itu:
Persamaan dSdt
=S (−k+ λF)
a. Jika F= kλ
maka dSdt
=0, populasi shark tidak berubah.
b. Jika F> kλ
maka dSdt
<0, populasi shark berkurang.
Perhatikan bahwa tidak ada solusi yang sederhana untuk modeldFdt
=F (a−cS)
dSdt
=S (−k+ λF)
Untuk memahami paling tidak perilaku kualitatif solusi, trajektori dari solusi dalam bidang phase akan disketsa
dFdS
=F (a−cS )S( λF−k )
Hanya kuadran positif yang akan dianalisis. (F≥0 , S ≥0¿
Jika F=0 maka dFdS
=0 dan jika S=0 maka dFdS
=∞. Selanjutnya diperoleh bahwa
garis F=0 dan S=0, dua-duanya adalah isoklin dan juga merupakan suatu solusi. Isoklin yang lain yaitu:
S=ac,( dFdS =0)danF= k
λ,( dFdS =∞)
![Page 2: Tugas modelanalisis](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082812/55b95d9abb61eb34798b45f1/html5/thumbnails/2.jpg)
Isoklin ini, F= kλ, S=a
c, bukan merupakan kurva solusi. Perpotongan antara dua slope
yang berbeda merupakan titik singular, yang juga dinamakan keseimbangan populasi. Titik keseimbangannya yaitu:
a. F= kλ
dan S=ac
( ac , kλ )dan
b. F=0 dan S=0 (0 ,0 )
Jika F= kλ, dan S=
ac
, ekosistem mangsa pemangsa mencapai keseimbangan
dinamik. Akan ditunjukkan bahwa TK ini stabil. Jika populasi tidak berada pada TK, maka bidang phase digunkan untuk menentukan perubahan populasi.
Jika S=0→dFdt
=aF ,F selalu menaik
Jika F=0→dSdt
=−kS ,S selalu menurun
Jika F= kλ→dFdt
= kλ(a−cS) ,
Jika S<ac→dFdt
>0
Jika S>ac→dFdt
<0
Jika S=ac→dSdt
=ac(λF−k )
Jika F> kλ→dSdt
>0
Jika F< kλ→dSdt
<0
![Page 3: Tugas modelanalisis](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082812/55b95d9abb61eb34798b45f1/html5/thumbnails/3.jpg)
2. Menganalisis persamaan 54.3dxdt
=0→y (c−dy−σx )=0
dydt
=0→x (a−bx−ky )=0
Diperoleh TK (0,0) ,(a /b ,0),(0 , a/b) dan (xE , y E) jika ada
Dimana
xE=ck−adσk−bd
y E=aσ−bcσk−bd
Analisis untuk kestabilan TK, digunakan metode pelinearan model di sekitar TK dengan deret Taylor.Misalkan,
G=ax−b x2−kxyH=cy−d y2−σxy
Matriks Jacobinya adalah
J=(∂G∂x
∂G∂ y
∂ H∂x
∂H∂ y
)=(a−2bx−ky −ky−σy c−2dy−σx )
Selanjutnya matriks J dievaluasi pada titik TK, untuk TK (0,0) diperoleh
J=(a 00 c)→x=ax , y=cy
Persamaan karakteristik, f ( x )=|J−λI|=0
|a−λ 00 c− λ|=0→λ=a , λ=c
Karena nilai eigen positif, yang menyatakan bahwa TK (0,0) untuk model linear tidak stabil, selanjutnya juga disimpulkan bahwa TK (0,0) untuk model nonlinear juga tidak stabil.
a. Untuk TK (0 , cd )→ TK adalah sadle point, stabil.
b. Untuk TK ( ab ,0)→ TK adalah sadle point, stabil.
c. Untuk TK ( ck−adσk−bd,aσ−bcσk−bd ) berada pada keadaan pertama
jikai. ck−ad>0 , aσ−bc>0 dan σk−bd>0 atauii. ck−ad<0 aσ−bc<0 dan σk−bd<0
Perhatikan bahwa ck−adσk−bd
< ab
dan aσ−bcσk−bd
< cd
![Page 4: Tugas modelanalisis](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082812/55b95d9abb61eb34798b45f1/html5/thumbnails/4.jpg)
Misalkan c=a dan d=b dan diasumsikan bahwa populasi x kompetitior yang
lebih kuat dari populasi y, yaitu σ>k. Karena jika x= y , maka dxdt
> dydt
.
Untuk x kompetitor yang kuat, diasumsikan bahwa interaksi antara spesies, kxy
dan σxy , lebih besar dari b x2 dan b y2, (kxy>b x2 , σxy>b y2 ). Olehnya itu σ>b dan
k>b. Karena σ>k maka diperoleh σ>k>b
Dalam kasus ini suatu TK dapat wujud seperti berikut:
Di sini: ak−ab>0, aσ−ab>0, σk−b2>0
Selanjutnya memeriksa kestabilan TK (x E−ak−abσk−b2 , y E−aσ−abσk−b2 )
Dengan menggunakan bidang phase, akan disketsa trajektori dengan
memperhatikan dxdt
dan dydt
.
Dari dxdt
=x (a−bx−ky ) dan dydt
= y (a−by−σx)
Jika x=0 {dydt >0 , y< ab
dydt
<0 , y> ab
Jika y=0{dxdt >0 , x< ab
dxdt
<0 , x> ab
Secara umum diperoleh,
dxdt
>0 jika a−bx−ky>0
![Page 5: Tugas modelanalisis](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022082812/55b95d9abb61eb34798b45f1/html5/thumbnails/5.jpg)
dxdt
<0 jika a−bx−ky<0
Dipisahkan oleh isoklin yang mengakibatkan dydx
=∞
dydt
>0 jika a−by−σx>0
dydt
<0 jika a−by−σx<0
Dipisahkan oleh isoklin yang mengakibatkan dydx
=0
Dari analisis di atas diperoleh gambar berikut, beserta dengan arahnya
Bagan 1 gbr: perilaku trajektori dari 2 spesies berkompetisi
Dari gambar di atas diperoleh informasi bahwa TK (xE , y E) tidak stabil, sementara TK
(0 , a /b) dan TK (a /b ,0) adalah stabil, dan untuk TK (0,0) tidak stabil node.