MAKALAH

RESONATOR OPTIK

Pengampu : Dr. Dwi P. Sasongko, M.Si

OLEH :

KESAWA SUDARSI 24040111400008

MARYAM RESTIWIJAYA 24040111400009

MUHAMAD AKROM 24040111400010

MAGISTER ILMU FISIKA

FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS DIPONEGORO

2012

1

RESONATOR OPTIK

1. Pendahuluan

Resonator optik merupakan suatu ruang yang terdiri atas medium aktif yang berfungsi

untuk meresonansikan berkas optik sehingga mengalami penguatan dan terbentuklah

sinar yang koheren.

Gambar 1. Ruang resonator optik.

Pada resonator optik, terdapat faktor kualitas yang didefinisikan dengan hubungan

berikut:

Q=ω× energi medan yang tersimpan pada resonatordaya yang dibutuhkan oleh resonator (01)

Medan dalam pada resonator dinyatakan dengan:

e (z, t) = E sin t sin kz (02)

Energi listrik rata-rata yang tersimpan pada resonator adalah:

ξlistrik=Aε2T

∫0

l

∫0

T

e2( z , t ) dz dt(03)

Dengan menggunakan persamaan (02) akan diperoleh:

ξlistrik=

18

εE2 V(04)

Jika dianggap energi magnetik rata-rata setara dengan energi listrik rata-rata, maka

energi total rata-rata yang tersimpan pada resonator adalah:

ξlistrik=14

εE2 V(05)

2

Dengan memasukkan daya pada resonator (P), persamaan (01) didapatkan:

Q=ωε E2 V4 P

dan medan puncak dapat dituliskan:

E=√ 4 QPωε V (06)

Berdasarkan persamaan Maxwell, deketahuai bahwa:

( εε o )=ω2

c2=k2=(k x2+k

y2+kz2)

dengan kondisi:

k x=2 πl

Lk y=

2 πmL

k z=2 πn

L (07)

dimana l, m, dan n adalah integer.

Dari persamaan (07), pada ruang k, dalam volume: dkx dky dkz = (2/L)3

Jumlah mode resonator (Nk) yang merupakan vektor-vektor gelombang yang

besarnya antara 0 sampai k, dapat diperoleh dengan membagi volume total pada ruang

k, [(4/3)k3] dengan volume tiap mode (2/L)3 dan hasilnya dikalikan dengan 2, akan

didapatkan:

Nk=k3 L3

3 π 2

Jika k = 2n/c, dimana n = (/o)1/2 merupakan indeks refraksi.

3

N ν=8πν 3 n3 L3

3c3=8 πν 3 n3 V

3c3

N ν

V=8 πν3 n3

3 c3

merupakan jumlah mode per satuan volume antara = 0 dan .

Rapat mode tiap satuan frekuensi () dinyatakan dengan:

ρ( ν )=dN ν

dν=

d ( 8 πν 3 n3 V3 c3 )dν

N ν=8πν 2 n3 V

c3

(08)

2.Fabry-Perot Etalon

Fabry-Perot Etalon merupakan resonator optik yang terdiri atas plat sejajar dengan

ketebalan l dan indeks bias n yang berada pada medium dengan indeks bias n’.

Gambar 2. Mekanisme pembentukan berkas optik pada etalon.

4

Gelombang datar datang pada etalon dengan sudut datang terhadap bidang normal.

Beda fase antara dua gelombang bagian dinyatakan dengan:

δ=4 π nl cosθλ (09)

sebagaimana dijelaskan pada gamabar 3 berikut:

Gambar 3. Dua gelombang transmisi A1 dan A2.

Berdasarkan gambar 3, dapat dijelaskan sebagai berikut:

δL=AB+BC=lcos2 θcosθ

+ lcosθ

=2 l cosθ

δ=2 π ( δL)n

λ=4 π nl cosθ

λ

Jika adalah panjang gelombang ruang hampa dari gelombang datang dan adalah

sudut datang, Ai = amplitudo kompleks gelombang datang, B1, B2, B3, …… =

5

bagian-bagian refleksi, r, t = koefisien refleksi dan koefisien transmisi gelombang

datang dari n’ menuju n, r’, t’ = jumlah korespondensi untuk gelombang yang

menjalan dari n menuju n’, maka amplitudo kompleks total dari gelombang yang

direfleksikan (Ar) :

B1 = rAi B2 = tt’r’Aiei B3 = tt’r’3Aie 2i B4 = tt’r’5

Aie 3i

Ar = B1 + B2 + B3 + ….

= {r + tt’r’e i(1 + r’2e i + r’4e 2i + ….)}Ai (10)

Amplitudo kompleks total dari gelombang yang ditransmisikan (At) :

A1 = tt’Ai A2 = tt’r’2Aiei A3 = tt’r’4Aie2i

At = tt’(1 + r’2ei + r’4e2i + ….) Ai

(11)

Dalam bentuk deret geometri tak hingga, persamaan (10) dan (11) dapat dituliskan :

Ar=(1−eiδ )√R

1−ReiδA i

(12)

Ar=T

1−ReiδA i

(13)

dengan : r’ = -r

6

r2 + tt’ = 1

R r2 r’2 ; R = fraksi intensitas refleksi

T tt’ ; T = fraksi intensitas transmisi

Jika AiAi* merupakan intensitas gelombang datang, fraksi intensitas gelombang

datang yang direfleksikan (Ir/Ii) adalah :

I r

I i

=A r A r

¿

A i A i¿

=( (1−e iδ )√R

1−ReiδA i) ((1−e−iδ )√R

1−Re−iδAi

¿)A i Ai

¿

=R(1−eiδ )(1−e−iδ )

(1−Reiδ )(1−Re−iδ )

=R[ 1−(cos δ+i sin δ ) ] [ 1−(cos δ−isin δ ]

[1−R (cosδ+ isin δ ) ] [ (1−R (cosδ−i sin δ ) ]

=R[ 1−cos δ−i sin δ ) ] [ 1−cos δ+i sin δ ]

[1−R cos δ−isin δ ) ] [ (1−R cosδ+i sin δ ) ]

=R(1−2cosδ+cos2 δ+sin2 δ )

(1−2R cos δ+R2cos2 δ+R2sin2δ )

=R (1−2 cosδ+1)

(1−2 R cos δ+R2)

=R (2−2cosδ )

1+R2−2 R cosδ

=R [ 2−2 (1−2 sin2 ( δ /2 ) ) ]

1+R2−2 R (1−2 sin2 (δ /2 ) )

=R [2−2+4sin2 (δ /2 ) ]

1+R2−2R+4 R sin2 (δ /2 )

=4 R sin2 ( δ /2 )

1−2 R+R2+4 R sin2 (δ /2 )

7

I r

I i

=4 R sin2 ( δ /2 )

(1−R )2+4 R sin2 (δ /2 ) (14)

Fraksi intensitas gelombang datang yang ditransmisikan (It/Ii) adalah :

I t

I i

=A t A t

¿

Ai Ai¿

=( T

1−ReiδA i) ( T

1−Re−iδA i

¿)Ai Ai

¿

= T 2

(1−Reiδ )(1−Re−iδ )

=( tt ')2

(1−R)2+4 R sin2 (δ /2 )

=(1−r 2)2

(1−R)2+4 R sin2 (δ /2 )

I t

I i

=(1−R )2

(1−R )2+4 R sin2 (δ /2 )

(15)

Perhatikan gambar 4 berikut:

Gambar 4. Karakteristik transmisi (secara teori) dari Fabry-Perot Etalon.

Menurut persamaan (15), transmisi akan bernilai 1 apablia:

8

δ=4 π nl cosθλ

=2 πmm = kelipatan bilangan bulat (16)

Dengan persamaan (09), kondisi pada (16) untuk transmisi maksimum dapat

dinyatakan dengan:

vm=mc

2 nl cosθ m = kelipatan bilangan bulat (17)

Jika c = adalah kecepatan cahaya (ruang hampa), adalah frekuensi optik, maka

persamaan (17) merupakan frekuensi resonansi dari etalon. Terdapat pula ruang

spktral bebas (free spectral range) yang merupakan jarak antara dua puncak pada

grafik karakteristik transmisi.

Gambar 5. Karakteristik transmisi (secara eksperimen) dari Fabry-Perot Etalon

dengan = 6328 amstrong, R = 0,9 dan A = 0,98.

Transmisi minimum mendekati nol, dimana R mendekati satu. Jika terjadi refleksi

yang tidak sempurna (losses) pada etalon, puncak transmisi kurang dari 1. Fraksi

intensitas yang berkurang/hilang setiap kali lewat (loss per pass) tersebut dinyatakan

dengan (1–A), didapatkan bahwa transmisi maksimumnya berkurang dari 1 menjadi:

( I t

I i)maks

=(1−R )2 A

(1−RA )2

(18)

9

3.

Fabry-Perot Etalon Sebagai Penganalisa Spektrum Oprik

Dengan mengetahui frekuensi dari transmisi maksimum, frekuensi puncak dapat

diketahui. Jarak dari satu puncak ke puncak lainnya dinamakan FSR (free spectral

range).

FSR=Δv≡vm+1−vm= c2 nl cosθ

(19)

Pada etalon ideal, frekuensi dari jarak dua puncak transmisi maksimum bergantung

pada indeks refraksi (n) dan ketebalan (l). Nilai dari n – l dinamakan OPL (optikal

path length). Pada saat OPL menunjukkan puncak lokasi dari frekuensi yang

diberikan, reflektansi pada etalon menunjukkan bentuk dari puncak.

Faktor F (finesse) atau kualitas pada resonator menunjukkan kapasitas dari resolusi.

Terdapat hubungan antara lebar puncak resonansi dengan harga reflektansi, yang

dinyatakan dengan:

F=FSRΔν

(20)

10

Gambar 5. Definisi dari finesse.

Dari gambar tersebut, FWHM (full width at half maximum ) dihitung dengan:

I=I max−I min

2

Jika dianggap R 1 dan Imin 0, maka:

I=I max−I min

2≈

I max

2

atau It/Ii =1/2. Menurut persamaan (15), maka:

I t

I i

=(1−R )2

(1−R )2+4 R sin2 (δ /2 )=1

2

sin( δ2 )=±1−R

2√ R

δ1=2. arcsin ( 1−R2√ R )

11

δ2=−2. arcsin ( 1−R2√R )

Untuk (1 – R) << R, fungsi arcsin dapat diganti menjadi:

δ1−δ2=2 .1−R

√R

dengan

δ=k−2 d=2 πλ

.2 d=2 πνc

. 2 d

Δν= c2 πd

.1−R

√ R

dengan memasukkan ke persamaan (20), didapatkan:

F=FSRΔν

= c .√R . 2 π . d2 d . c .(1−R )

(21)

Dapat disimpulkan bahwa finesse bergantung pada reflektivitas R pada cermin.

12

δ1−δ2=4 πd

c. Δν=2.

1−R

√R

F=π √ R1−R

Gambar 6. Kurva transmisi resonator untuk beberapa nilai R.

Nilai finess F = 100 membutuhkan reflektansi 97%. Gambar 7 menunjukkan harga

finesse dari resonansi bergantung pada faktor kualitas etalon (Q).

Gambar 7. Transmisi etalon: Finesse untuk berbagai harga R, (F = 100 GHz).

13

4.

Kriteria Stabilitas Resonator

Kemampuan resonator optik untuk mengurasi terjadinya pemantulan tidak sempurna

bergantung pada jarak antar cermin l dan kelengkungan kurva R1 dan R2. Kondisi

kestablian pada resonator optik dinyatakan dengan:

0≤(1−1

R1)(1−

1R2

)≤1

(22)

Pada diagram kestabilan berikut, dapat dilihat bahwa resonator konsentris simetris (R1

= R2 = 1/2), konfokal (R1 = R2 = 1), dan bidang-paralel (R1 = R2 = ) berada pada

ambang ketidakstabilan yang dapat menyebabkan terjadinya losses (pemantulan tak

sempurna) yang besar.

14

Gambar 8. Diagram kestabilan resonator optik.

15

5. Modalitas dalam Resonator Umum – The Self – Consistent Method

Secara umum resonator terdiri atas dua cermin speris yang berhadapan sebagai

reflektornya. Sebagai kasus sederhana dengan menempatkan sebuah lensa diantara

dua reflektor speris. Namun kasus lainnya adalah gelombang berjalan pada

resonator dimana berkas gelombang menjalar hanya pada satu sisi saja.

Pada kedua kasus tersebut, perlu dipastikan jika dalam keadaan stabil (low-

loss) berada dalam resonator kompleks, maka dapat untuk memecahkan (z) – spot

size dan jari-jari kurva R(z).

Dengan menggunakan hukum ABCD, yakni:

qs=Aqs+B

Cq s+D

(23)

dimana A, B, C, dan D merupakan elemn matriks ”sinar” untuk satu kali perjalan

gelombang dari awal sampai akhir pada bidang yang dilalui.

Pemecahan (23) dalam bentuk 1/qs adalah:

(24)

karena elemen individu dalam resonator dijelaskan oleh matriks unimodular, yaitu,

AiDi - BiCi = 1, maka dijelaskan bahwa matriks A, B, C, D, yang merupakan hasil dari

matriks individu, memenuhi

dan (24) dapat ditulis sebagai

(25)

di mana

(26)

16

Kondisi batasan berkas gaussian adalah kuadrat dari ukuran bidang luasan

menjadi angka positif. Mengingat bahwa q berkaitan dengan ω dan jari-jari

kelengkungan R sebagai

Untuk < 0, pada (26) dinyatakan

(27)

dan parameter berkas pada kondisi tetap adalah

(28)

Persamaan (27) dapat ditinjau sebagai kondisi stabilitas umum dari (22) untuk

sembarang resonator. Jari-jari kelengkungan R dan ukuran spot ω pada bidang datar diperoleh

dari (28) dengan menggunakan (26)

(29)

6. Frekuensi Resonansi dari Resonator Optik

Frekuensi ditentukan oleh beda fase dalam satu putaran penuh dari mode resonan

yang merupakan kelipatan dari 2π. Persyaratan ini ekivalen dengan pandu gelombang

resonatro dimana panjang resonator merupakan bilangan integral setengah panjang pandu

gelombang. Persyaratan ini memungkinkan pola gelombang berdiri stabil terbentuk sepanjang

sumbu distribusi pada bidang transversal yang menunjukkan mode penjalaran.

Jika kita mempertimbangkan sebuah resonator cermin speris dengan cermin di z2 dan

z1, kondisi resonansi untuk mode l, m dapat ditulis sebagai

(30)

dimana q adalah bilangan integer dan , pergeseran fasa, dinyatakan dengan

17

(31)

Kondisi resonansi (30) dengan demikian

(32)

dimana d = z2 - z1 adalah panjang resonator. Berikut bahwa

atau menggunakan ,

(33)

untuk jarak frekuensi intermode.

Perhatikan efek dari berbagai macam mode l dan m q tetap. Dari (32) bahwa frekuensi

resonansi tergantung pada jumlah (l + m) dengan l dan m tidak terpisah, jadi untuk q pada

semua mode dengan nilai yang sama l + m memiliki frekuensi resonansi yang sama.

Mempertimbangkan (32) pada dua nilai yang berbeda dari l+m dinyatakan

dengan pengurangan,

(34)

dan (35)

untuk perubahan Δv dalam frekuensi resonansi disebabkan oleh perubahan Δ(l + m) dihitung

. Sebagai contoh, dalam kasus resonator konfokal , , karena itu,

, dan (35) menjadi

(36)

18

Membandingkan (36) dengan (33) kita menemukan bahwa pada resonator confocal

frekuensi resonansi merupakan hasil dari perubahan l dan m, dan perubahan pola longitudinal

indeks q. Situasi ini digambarkan pada Gambar 9.

Gambar 9 Posisi frekuensi resonansi dari confocal (d = R) resonator optik sebagai

fungsi dari mode indeks l, m, dan q.

Untuk melihat apa yang terjadi pada frekuensi resonansi transversal (yaitu dalam

kaitannya dengan variasi l dan m) pada resonator confocal, kita dapat mempertimbangkan

resonator yang hampir sama di mana dan adalah kecil dibandingkan dengan

(yaitu, d << R1 dan R2). dalam hal ini, (35) menjadi

Δν≈ c2 π nzo

Δ ( l+m)(37)

Pengelompokan mode untuk kasus ini diilustrasikan pada Gambar 10.

19

Gambar 10 Frekuensi resonan untuk yang hampir sama (R >> d) resonator optiknya seperti

fungsi dari mode indeks l, m, dan q.

Situasi yang digambarkan pada gambar 10 adalah sangat sesuai jika resonator

digunakan sebagai pembacaan interferometer. Alasannya adalah bahwa dalam merekonstruksi

spektral dari sinyal yang tidak diketahui, sebuah ambiguitas disebabkan oleh transmisi

simultan (serentak) lebih dari satu frekuensi. Ambiguitas ini diselesaikan dengan

menggunakan etalon confocal yang mode jaraknya seperti pada Gambar 9 dan dengan

memilih d cukup kecil agar intermode jarak melebihi lebar daerah spektral yang

dibaca.

7. Pantulan Tak Sempurna (Losses) Dalam Resonator Optik

Masa hidup foton tc dari mode ruang didefinisikan melalui persamaan

(38)

di mana ε adalah energi yang tersimpan dalam mode. Jika fraksi (intensitas) yang hilang

setiap lewat (loss per pass) adalah L dan panjang resonator adalah l, maka fraksi yang

hilangan tiap satuan waktu adalah cL / nl, karena itu

dan, dari (38),

(39)

20

untuk kasus resonator dengan cermin refleksi R1 dan R2 dan distribusikan rata-rata yang

hilang konstan α, rata-rata fraksi yang hilang tiap kali lewat adalah

sehingga

(40)

ketika .

Faktor kualitas dari resonator didefinisikan secara umum sebagai

(41)

di mana ε adalah energi yang tersimpan, ω adalah frekuensi resonansi, dan

adalah daya yang dihamburkan. Dengan membandingkan (41) dan (38) kita memperoleh

(42)

faktor Q berhubungan dengan lebar penuh (pada batas setengah daya) dari kurva resonator

Lorensian sebagai

(43)

Sehingga, menurut (40)

(44)

Secara umum, fraksi yang hilang dalam resonator optik disebabkan oleh:

1. Kehilangan sebagai akibat dari refleksi yang tidak sempurna. Kehilangan refleksi tidak

dapat dihindari, karena tanpa beberapa transmisi memungkinkan adanya output daya. Di

samping itu, cermin tidak ada yang ideal, dan bahkan ketika cermin dibuat untuk

menghasilkan reflektifitas tertinggi, beberapa sisa penyerapan dan hamburan mengurangi

reflektifitas itu agak kurang dari 100 persen.

2. Penyerapan dan hamburan dalam media laser. Transisi dari beberapa tingkat atom, yang

mana akan diisi dalam proses memompa, ke tingkat yang berada lebih tinggi terdapat

mekanisme kehilangan dalam resonator optik ketika mereka digunakan sebagai osilator

laser. Menyebar dari ketidakseragaman dan ketidaksempurnaan terutama benar-benar

dalam solid-state (keadaan padat) media laser.

3. Kegagalan difraksi. Energi perambatan cahaya meluas untuk jarak yang melebar dari

sumbu. Ketika sebuah resonator dibentuk oleh "jebakan" sinar yang merambat antara dua

21

reflektor, jelas bahwa untuk reflektor dimensi terbatas sebagian energi cahaya tidak akan

ditangkap oleh cermin dan oleh karena itu akan hilang. Fakta ini digunakan untuk

mencegah mode osilasi yang lebih tinggi dengan memasukkan ke dalam lubang resonator

laser dengan pembukaan cukup besar untuk memberikan penambahan dasar (0, 0, q)

melalui mode mendasar namun cukup kecil untuk meningkatkan secara substansial

kehilangan untuk mode yang lebih tinggi. Gambar 11 menunjukkan kegagalan difraksi dari

sejumlah orde rendah resonator confocal. Yang mesti diperhatikan adalah penurunan

dramatis dari kegagalan difraksi yang dihasilkan dari penggunaan reflektor bola yang

bukan bidang-paralel.

Gambar 11 Kegagalan difraksi untuk bidang-paralel dan beberapa orde rendah resonator

confocal, adalah jari-jari cermin dan l adalah jarak mereka. Pasangan nomor di bawah anak

panah mengacu pada l indeks mode melintang l, m.

8 Ketidakstabilan Resonator Optik

Ketidakstabilan pada resonator optic umumnya disebabkan oleh beberapa alasan

berikut:

22

1. Operasi pada keadaan stabil terjadi pada berkas Gaussian sempit. Situasi ini tidak

sesuai dengan kebutuhan daya output tinggi yang membutuhkan volume penguat

besar.

2. Kehilangan dalam resonator tidak stabil didominasi oleh difraksi (yaitu, daya berkas

"hilang/berkurang" pada reflektor) dan dalam situasi yang menentukan besar rasio

pasangan keluaran.

3. Sifat dari hasil pasangan dalam berkas keluaran dengan celah besar yang akibatnya

juga sejajar tanpa menggunakan teleskop optik.

Analisis teoritis yang lebih canggih dari masalah ini menggunakan metode integral

Huygen untuk menurunkan kehilangan difraksi dan mode distribusi bidang dari resonator

tidak stabil. Dalam perlakuan singkat berikut kita akan menggunakan hasil analisis geometris

dikemukakan oleh Siegman yang menekankan karakteristik fisik penting dari resonator dan

yang menghasilkan kebenaran hasil dengan percobaan.

Mengacu pada gambar 12 kita mengasumsikan bahwa gelombang yang bergerak ke

kanan meninggalkan cermin M1 adalah gelombang berbentuk bola yang berasal dari sebuah

pusat virtual (sebenarnya) P1 itu adalah tidak, pada umumnya, pusat kelengkungan pada

cermin M1. Gelombang ini adalah peristiwa pada M2, dari yang mana sebagian kecil dari

intensitas aslinya disajikan sebagai gelombang berbentuk bola seragam berasal dari P2 pusat

virtual. Konsistensi diri gelombang ini, maka, tercermin dari M1 seolah berasal di P1. Kondisi

konsistensi diri terpenuhi jika gambar virtual dari P1 pada refleksi dari M2 di P2 dan

sebaliknya.

Menerapkan formula pencitraan optik geometris dengan konfigurasi gambar 12,

kondisi konsistensi diri menjadi

(45)

di mana , dan tanda R, sehingga dalam contoh gambar 12 R1 dan R2

adalah negatif.

Pemecahan (45) untuk r1 dan r2 memberikan

23

(46)

Pernyataan (46) untuk r1 dan r2 dapat digunakan untuk menghitung, dalam perkiraan

geometris optik, hilangnya per putaran dari resonator tidak stabil.

Gambar 12 Gambar gelombang bola dari mode dalam resonator tidak stabil. titik P1

dan P2 adalah pusat virtual dari gelombang bola. Setiap gelombang divergen sehingga

sebagian besar dari energi yang lewat tertumpah pada cermin adalah berlawanan.

Gelombang konsisten diri, dengan seketika mengikuti refleksi dari cermin 1, ini

diambil untuk memiliki energi total persatuan. Pada refleksi dari M2 total energi berkurang

menjadi

(47)

24

untuk sampai pada hasil akhir, kami memperhitungkan cahaya dua dimensi menyebar karena

pancaran virtual dari P1 antara M1 dan M2. Faktor transmisi total per putaran karena kedua

cermin adalah

(48)

dan untuk cermin bola (dengan kelengkungan pada kedua bidang)

dan (49)

Hilangnya daya rata-rata per perjalanan dapat di gunakan, setelah (4.7-3), sebagai

(50)

Kehilangan pada resonator tidak stabil tergantung pada jari-jari kelengkungan dan

pemisahan.

Gambar dari kehilangan fraksi pada beberapa resonator simetris tak stabil yang

diperoleh dari (46) dan (49) ditunjukkan pada Gambar 13.

25

Gambar 13 Kehilangan per pantulan dibandingkan jumlah Fresnel untuk resonator

stabil dan tidak stabil.

9. Resonator Optik – Teori Pendekatan Difraksi

Menurut teori difraksi skalar, amplitudo kompleks U2 ( ) di beberapa titik dari

medan elektromagnetik monokromatik (frekuensi ) terkait dengan bahwa pada

beberapa ∑ celah oleh integral

(51)

di mana (sehingga adalah panjang gelombang dalam medium)

dan simbol-simbol lainnya seperti pada gambar 14.

Persamaan (51) dapat disederhanakan dalam situasi dimana sudut sangat

kecil. Ini benar ketika jarak z dari bidang pengamatan terhadap celah bidang jauh melebihi

dimensi transversal (x1, y1) dan (x2, y2) yang menarik. Pada kondisi ini kita dapat

menggunakan pendekatan tersebut

Cos (n, r21) 1

26

Gambar 14 Geometri digunakan dalam Persamaan (4.9-1). adalah vektor satuan luar biasa

pada bidang terbuka.

dan mengganti r21 di penyebut (51) dengan z. Hasilnya adalah

(52)

Perhatikan bahwa kita belum mengganti r21 dengan z dalam eksponen, karena itu dikalikan

dengan ik yang mana besarnya adalah m, misalnya, adalah 107m-1. Pada kondisi ini

perbedaan antara kr21 dan kz bisa sebanding dengan atau lebih besar dari 2π.

Kita dapat menggunakan persamaan (51) untuk memperoleh secara resmi persamaan

integral untuk mode dari resonator optik. Itu, bagaimanapun, lebih bisa menerima pemecahan

numerik. Untuk lebih spesifik, kami akan mempertimbangkan mode dari resonator generik

(turunan) ditunjukkan pada gambar 15.

Untuk menurunkan mode dari resonator dengan metode difraksi integral, kita

asumsikan bahwa mode sesuai dengan gelombang yang terus menerus memantul bolak-balik

antara reflektor 1 dan 2. Itu sejalan dengan transmisi gelombang yang sama melalui urutan

dua periodik tak terbatas lensa yang setara (f1,2 = R1,2) yang dipisahkan oleh L dan ditetapkan

dalam penyerapan layar buram seperti pada gambar 15 (b). Kita akan berusaha untuk

menemukan apakah struktur demikian memiliki solusi bidang yang berulang dalam perkalian

kompleks konstan setelah setiap putaran. Ini akan sesuai dengan eigen modes dari resonator.

27

Gambar 15 (a) Dua reflektor bola dipisahkan oleh d memiliki jari-jari kelengkungan

R1 dan R2. (b) Urutan dua periodik lensa yang setara dengan resonator (a). Jarak fokus

lensa adalah sama dengan reflektor yang setara, yaitu, f1, 2 = R1, 2/2. d jarak dari lensa

adalah sama seperti yang dari reflektor.

DAFTAR PUSTAKA

Boyd, G. D., and H. Kogelnik, “Generalized confocal resonatorvtheory,” Bell System Tech. J.,

vol 41, p. 1347, 1962.

Casperson, L., “Gaussian light beams in homogenous media,” Appl. Opt., vol 12, p. 2434,

1973.

Demtröder, W., “Basics and techniques of laser spectroscopy,” Springer-Verlag. Germany.

ISBN 3-540-08331-6.

Kogelnik, H., and T. Li, “Laser beams and resonators,” Proceedings of the IEEE, vol. 54, No.

10, October, 1966.

28

Lange, W., Introduction to Laser Physics. Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt

Germany. ISBN 3-534-06835-1.

Luhs

, W., Fabry-Perot Resonator. MEOS GmbH 79427 Eschbach, 1992/2003.

Peterson, D. G., and A. Yariv, “Interferometry and laser control with Fabry Perot Etalons,”

Appl. Opt., vol 5, p. 985, 1966.

Ramo, S., J. R. Whinnery, and T. Van Duzer, Fileds and Waves in Communication

Electronics. New York: Wiley, 1965.

Siegman, A. e., “Unstabel optical resonators for laser applications,’ Proc. IEEE, vol. 53, p.

277, 1965.

Yariv, A., Quantum eEectronics, 3rd. California institute of technology. John wiley and sons,

inc. 1988.

Lampiran: Pertanyaan-pertanyaan dalam presentasi.

1.Pada resonator, jika berkas cahaya digunakan adalah polikromatis, apa yang akan

terjadi?

29

2.Dapatkah cermin pada resonator digunakan dengan cermin pada percobaan Michelson

Morley?

3.Dapatkan medium yang dipakai dalam resonator bukanlah plan paralel?

Pembahasan:

1.Berdasarkan persamaan

δ=4 π nl cosθλ

, jika berkas cahaya yang digunakan adalah

polikromatis, maka dapat mengakibatkan perubahan pada beda fase yang berbeda-

beda, padahal yang diharapkan pada resonator adalah berkas sinar tercipta koheren

(beda fasenya sama).

2.Pada percobaan Michelson Morley, cermin berfungsi sebagai beam splitter (pemecah

berkas) sedangkan pada resonator cermin berfungsi untuk reflektansi berkas agar

terjadi penguatan berkas optik.

3.Maksud dari plan paralel pada resonator adalah untuk merefleksikan bolak-balik

berkas optik yang fungsinya untuk mengosilasikan berkas optik agar terjadi

penguatan, jadi dalam resonator harus dipasang paralel bidang/plan yang digunakan

itu.

30

31