TUGAS

PEMODELAN DAN SIMULASI

DISTRIBUSI KONTINU

Oleh

Dede Yanuar Ferdiansyah

10111727

MOSI 6

TEKNIK INFORMATIKA

FAKULTAS TEKNIK DAN ILMU KOMPUTER

UNVERSITAS KOMPUTER INDONESIA

BANDUNG

2014

Distribusi kontinu

1. Distribusi Uniform / Seragam Kontinu

• Distribusi Seragam kontinu adalah distribusi peluang kontinu yang paling sederhana.

• Suatu peubah acak X dikatakan memiliki distribusi seragam pada selang (a, b), dinotasikan

X ~ UNIF(a,b), dengan fungsi densitas peluang.

𝑓(𝑥, 𝑎, 𝑏) = {1

𝑏 − 𝑎0

𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

• Kurva fungsi padat peluangnya

Rataan dan variansi dari distribusi seragam kontinu adalah:

𝜇 =(𝑎 + 𝑏)

2 𝑑𝑎𝑛 𝜎2 =

(𝑏 − 𝑎)2

12

Fungsi kumulatif:

𝑓(𝑥) = {

0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < 𝑎𝑥 − 𝑎

𝑏 − 𝑎 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑎 < 𝑏

1 𝑥 ≥ 𝑎

Kasus khusus: jika a = 0 dan b = 1, maka distribusinya disebut distribusi seragam baku (standard

uniform distribution), dilambangkan dengan U(0,1).

Contoh :

1. Sebuah ruang konferensi dapat disewa untuk rapat yang lamanya tidak lebih dari 4 jam.

Misalkan X adalah peubah acak yang menyatakan waktu rapat, yang mempunyai distribusi

seragam.

a) Tentukan fungsi densitas peluang dari X.

b) Tentukan peluang suatu rapat berlangsung 3 jam atau lebih.

Jawaban :

a) a = 0, b = 4, sehingga 𝑓(𝑥) = {1

4, 0 ≤ 𝑥 < 4

0, 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑦𝑎

b) p(x ≥ 3) = ∫1

4

4

3 dx =

1

4 𝑥|𝑥=3

𝑥=4 =4

4−

3

4 =

1

4

2. Distribusi Normal (GAUSSIAN)

Distribusi normal pertama kali dipublikasikan oleh Abraham de Moivre pada tahun 1733

sebagai Suatu pendekatan terhadap distribusi jumlah peubah acak binomial. Suatu peubah acak

X dikatakan berdistribusi normal (atau Gauss) dengan rata-rata dan 𝜇 varians 𝜎2,

dinotasikan𝑋 ~ 𝒩(𝜇, 𝜎2), jika ia memiliki fungsi densitas peluang dengan bentuk

𝑛(𝑥, 𝜇, 𝜎) =1

√2𝜋𝜎𝑒−(1/2)[𝜒−𝜇/𝜎], −∞ < 𝑥 < ∞

Misal didefinisikan

Untuk memeriksa apakah fungsi integral fungsi densitas peluang ini sama dengan 1,

gunakan teknik substitusi, misal z =(x - 𝜇 )/ 𝜎 dengan dx = 𝜎 dz.Perhatikanbahwa f(z)=(1/sqrt

2𝜋)exp(-𝑧2 ) adalah fungsi genap, yakni f(z)= f(-z). Dengan demikian

Apabila dimisalkan w = 𝑧2/2, maka z = √2𝑤 dan dz =(𝑤−1/2/√2), sehingga

Distribusi normal adalah distribusi yang paling penting di antara distribusi yang lain. Kurva

dari distribusi normal mempunyai bentuk setangkup seperti lonceng:

• Nama lainnya: distribusi Gauss (Gaussian distribution)

• Kurva distribusi normal disebut juga kurva normal atau kurva topi orang Meksiko (mexican

hat).

yang dalam hal ini π = 3.14159... dan e = 2.71828...

• Cukup dengan mengetahui µ dan σ, maka seluruh kurva normal diketahui.

• Misalnya bila µ = 30 dan σ = 8, maka ordinat n(x; 30, 8) dapat dihitung untuk berbagai nilai x

dan kurvanya dapat digambarkan.

• Kurva normal dengan µ1 < µ2 dan σ1 = σ2 :

• Kurva normal dengan µ1 < µ2 dan σ1 < σ2 :

• Kurva normal dengan µ1 = µ2 dan σ1 < σ2 :

Contoh :

2. Diberikan distribusi normal baku, hitunglah daerah di bawah kurva yang dibatasi:

(a) sebelah kanan z = 1.84

(b) antara z = -1.97 dan z = 0.86

Jawaban:

(a) Luas sebelah kanan = 1 – luas sebelah kiri z = 1.84 (lihatgambar di halaman berikut ini).

Dari tabel luas sebelah kiri = gambar di halaman berikut ini). Dari tabel luas sebelah kiri =

0.9671, jadi Luas sebelah kanan = 1 – 0.9671 = 0.0329

(b) Luas daerah antar batas tersebut adalah luas di sebelah kiri z = 0.86 dikurangi dengan luas di

sebelah kiri z = -1.97. Dari tabel diperoleh 0.8051 - 0.0244 = 0.7807

3. Distribusi Gamma

• Fungsi gamma adalah fungsi berbentuk:

(𝑎) = ∫ 𝑥𝑎−1∞

0𝑒−𝑥 𝑑𝑥 untuk α > 0

• Peubah acak kontinu X mempunyai distribusi gamma, dengan parameter α danβ, jika fungsi

padat peluangnya diberikan oleh:

f(x) ={1

𝛽Γ(𝑎)𝑥𝑎−1𝑒−𝑥 𝛽 ,Untuk x>0⁄

0 dengan α > 0 dan β > 0

• Grafik fungsi gamma:

Contoh 6.2

Suatu data pengujian kekuatan luluh suatu baja menunjukkan rata-rata dan standar deviasi

sebesar 39.09 dan 9.92 N/mm2. Tentukan probabilitas kekuatan luluh yang terjadi pada 20

N/mm .

Jawaban:

𝜎2 =𝑟

2→ 𝜆 =

𝑥

𝜎2=

39.09

9.922= 0.397 (

𝑁

𝑚𝑚2) − 1

𝑟 = 𝑥 𝜆 = 15.5

𝑓𝑥 = (𝑥; 0.397,15.5) = 0.018092

4. Distribusi Eksponensial

Suatu peubah acak X dikatakan berdistribusi eksponensial dengan parameter 𝜃> 0,

dinotasikanX~ EXP(𝜃) jika memiliki fungsi densitas peluang dengan bentuk

Distribusi eksponensial dengan parameter, yakni EXP(𝜃) adalah kejadian khusus dari

distribusi gamma dengan parameter 𝜅 =1 ,yakni GAM(𝜃 ,1). Dengan demikian sifat-sifat

distribusi gamma berlaku untuk distribusi eksponensial.

4.1 Fungsi distribusi kumulatif

Fungsi distribusi kumulatif X dapat dinyatakan sebagai

Dengan menghitung langsung integral persamaan diatas maka diperoleh

4.2 Rata-rata dan varians

Rata-rata dan varians juga merupakan hasil khusus dari distribusi GAM(θ, 1). untuk rata-

rata dan varians distribusi gamma dengan memanfaatkan kedua hasil ini serta mensubstitusikan

𝜅=1 maka diperoleh E(X)= 𝜃𝜅 = 𝜃 .1= 𝜃 dan var(X)= 𝜃2𝜅 = 𝜃2. 1 = 𝜃2 .

Contoh :

Suatu sistem mengandung sejenis komponen yang daya tahannya dalam tahun

dinyatakan oleh peubah acak T. Peubah acak T berdistribusi eksponensial dengan parameter

waktu rataan sampai gagal β = 5. Jika terdapat 5 buah komponen dipasang pada sistem yang

berlainan, tentukan peluang sekurang-kurangnya 2 komponen masih berfungsi sampai akhir

tahun ke-8

Jawaban:

Peluang komponen masih berfungsi hingga akhir tahun ke 8 adalah

P (T> 8) =1

5∫ 𝑒−8 5⁄∞

8𝑑𝑡 = 𝑒−8 5⁄ ≈ 0.2

Misalkan X adalah jumlah komponen yang masih berfungsi hingga akhir tahun ke-8, maka

dengan distribusi binomial

P(x≥ 2) = ∑ 𝑏(𝑥; 5,0.2) = 1 − ∑ 𝑏(𝑥; 5,0.2) = 1 −1𝑥=0

5𝑥=2 0.7373 = 0.2627

5. Distribusi Khi-kuadrat

• Distribusi gamma khusus ke dua diperoleh bila α=ν/2, β=2 dan ν bilangan bulat positif. Fungsi

peluang padat seperti itu disebut Distribusi Khi-kuadrat dengan derajat kebebasan ν .

• Distribusi Khi-kuadrat Peubah acak kuntinu X berdistribusi khi-kuadrat, dengan derajat

kebebasan ν , bila fungsi padatnya diberikan oleh :

𝑓(𝑥) = 1

22 𝑣⁄ Γ(𝑣2⁄ )

𝑥𝑣 2−1⁄ 𝑒−𝑥 2⁄

Rataan dan variansi distribusi khikuadrat adalah :

μ = ν dan σ2 = 2ν

6. Distribusi Weibull

Distribusi Weibul merupakan salah satu distribusi yang banyak digunakan dalam

bidang pengujian tahan hidup benda. Distribusi ini diberi nama setelah fisikawan

W.Weibull,menyarankan penggunaannya pada berbagai aplikasi, terutama uji kelelahan

dan kekuatan material.

Peubah acak kontinu X dikatakan memiliki distribusi Weibull dengan parameter 𝛽

> 0 dan 𝜃 > 0 untuk x > 0, dinotasikan WEI(𝜃, 𝛽 ), bila memiliki fungsi idensitas

peluang dengan bentuk

Parameter 𝛽 disebut parameter bentuk (shape parameter). Seperti halnya pada

distribusi gamma, maka akan ada tiga bentuk dasar bergantung pada 𝛽 < 1, 𝛽 =1,atau

𝛽>1.

Dan fungsi cdf sebagai berikut :

Dari kurva yang terlihat diatas dengan parameter bentuk β = 1, 2, dan 4 serta parameter skala

λ = 1. Dengan bertambah besarnya nilai β maka kurva cenderung menjadi simetris.

Mean dan varian Distribusi Weibull

Contoh :

Pengukuran kecepatan angin dilakukan untuk menghitung kekuatan struktur lepas pantai erhadap

beban angin. Diperoleh data parameter weibull λ=25 m/s dan β=1. hitunglah probabilitas

kecepatan angin sekurang-kurangnya 35 m/s.

Jawaban :

Daftar Pustaka

1. sumarjaya, i. w. (2010). statistika matematika . jimbaran.

2. diktat itb. (2014, maret senin). Retrieved from

http://www.informatika.org/~rinaldi/Probstat/2010-2011/Distribusi%20Peluang%20Kontinu.pdf

3. Singh, V. (2009). System Modeling and Simulation. new age international.