tugas aljabar - rumiteputri.files.wordpress.com subgrup dari . bukti: ... 1.13 teorema lagrange ......
TRANSCRIPT
TUGAS ALJABAR
RESUME GRUP, GRUP PERMUTASI, RING, dan RING POLINOMIAL
oleh
WAYAN RUMITE
NRP 1213201037
Kelas: A
Dosen Pengampu MK:
Dr. SUBIONO, M.Sc.
PROGRAM PASCASARJANA MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER
SURABAYA
2013
1. GRUP
1.1 Definisi Grup
Suatu grup (πΊ,β) merupakan himpunan tidak kosong (πΊ β β ) bersama-sama dengan suatu
operasi biner β: πΊ π₯ πΊ β πΊ dengan (π, π) didefinisikan pada πΊ dan memenuhi aksioma-aksioma
berikut:
1. Tertutup terhadap operasi biner(β): π β π β πΊ untuk semua π, π β πΊ.
2. Berlaku sifat assosiatif: (π β π) β π = π β (π β π) untuk semua π, π, π β πΊ.
3. Mempunyai elemen identitas: β π β πΊ, β π β π = π = π β π, β π β πΊ.
4. Setiap elemen mempunyai invers: β π β πΊ β πβ1 β π β πβ1 = π = πβ1 β π
Biasanya lambang (πΊ,β) hanya dituliskan πΊ, demikian juga ab artinya π β π.
Tambahan: Jika juga terpenuhi bahwa π β π = π β π untuk semua π, π β πΊ, maka grup πΊ
dinamakan grup komutatif/Abelian.
Contoh:
Himpunan bilangan bulat β€ (berasal dari bahasa Jerman yang berarti Zahlen), merupakan grup
komutati (abelian) dengan operasi penjumlahan biasa.
Bukti:
Ambil sebarang π, π, π β β€, maka:
1. π + π β β€, untuk setiap π, π β β€ (tertutup).
2. (π + π) + π = π + (π + π), untuk semua π, π, π β β€ (assosiatif).
3. Ada suatu elemen 0 β β€ sehingga π + 0 = 0 + π = π, Untuk semua π β β€
(0 disebut elemen identitas).
4. Setiap π β β€ ada suatu elemen βπ β β€ sehingga π + (βπ) = (βπ) + π = 0 (βπ disebut
invers dari π).
5. Setiap π, π β β€ maka berlaku π + π = π + π (komutatif).
Jadi, (β€,+) adalah grup komutatif (abelian).
1.2 Sifat-Sifat Grup
Misalkan πΊ adalah suatu grup, maka:
1. Hanya ada satu (tunggal) elemen identitas.
Bukti:
Misalkan π1 dan π2 adalah elemen identitas di πΊ, maka π1 β π2 = π1 (π2sebagai elemen
identitas) dan π1 β π2 = π2 (π1 sebagai elemen identitas), sehingga diperoleh π1 = π1 β π2 =
π2, atau π1 = π2.
2. Setiap π β πΊ, invers dari π adalah tunggal.
Bukti:
Andaikan invers dari π β πΊ tidak tunggal yaitu π1β1 dan π2
β1 dengan
π1β1 β π2
β1 dan e adalah unsur identitas di πΊ, maka:
π1β1= π1
β1 β π
= π1β1 β (π β π2
β1)
= (π1β1 β π) β π2
β1
= π β π2β1
= π2β1
π1β1 = π2
β1, hal ini kontradiksi dengan pengandaian bahwa π1β1 β π2
β1.
Jadi, haruslah π1β1 = π2
β1, yang artinya unsur di πΊ memiliki invers tunggal.
3. Jika π, π β πΊ, maka ada dengan tunggal π₯ dan π¦ sehingga π β π₯ = π dan π¦ β π = π.
Bukti:
Diketahui: π, π β πΊ, maka terdapat πβ1, πβ1 β πΊ.
i) Jika π β π₯0 = π, maka πβ1 β (π β π₯0) = πβ1 β π
(πβ1 β π) β π₯0 = πβ1 β π
π β π₯0 = πβ1 β π
π₯0 = πβ1 β π
Sehingga untuk π₯ = πβ1 β π berakibat π β π₯ = π β πβ1 β π
π β π₯ = π β π
π β π₯ = π
Jadi, π β π₯ = π mempunyai solusi tunggal yaitu π₯ = πβ1 β π.
ii) Selanjutnya untuk π¦0 β π = π (kalikan kedua ruas dengan πβ1 dari kanan)
(π¦0 β π) β πβ1 = π β πβ1
π¦0 β (π β πβ1) = π β πβ1
π¦0 β π = π β πβ1
π¦0 = π β πβ1
Jadi, π¦ β π = π mempunyai solusi tunggal yaitu π¦ = π β πβ1.
4. Jka π β π₯ = π β π¦, maka π₯ = π¦ untuk π₯, π¦, π β πΊ (kanselasi kiri).
Bukti:
Jika π β π₯ = π β π¦, maka πβ1 β π β π₯ = πβ1 β π β π¦ (kanselasi kiri)
π β π₯ = π β π¦
π₯ = π¦
5. Jka π₯ β π = π¦ β π, maka π₯ = π¦ untuk π₯, π¦, π β πΊ (kanselasi kanan).
Bukti:
Jika π₯ β π = π¦ β π maka π₯ β π β πβ1 = π¦ β π β πβ1 (kanselasi kanan)
π₯ β π = π¦ β π
π₯ = π¦
6. Jika π β πΊ, maka (πβ1)β1 = π.
Bukti:
Karena π β πΊ maka πβ1 β πΊ sehingga π β πβ1 = π
(π β πβ1) β (πβ1)β1 = π β (π)β1
π β (πβ1 β (πβ1)β1) = (πβ1)β1
π β π = (πβ1)β1
π = (πβ1)β1
7. Jika π, π β πΊ, maka berlaku (ππ)β1 = πβ1πβ1.
Bukti:
Jika π, π β πΊ maka πβ1, πβ1 β πΊ sehingga (π β π)β1 β (π β π) = π
(π β π)β1 β (π β π) β πβ1 = π β πβ1
(π β π)β1 β π β π = πβ1
(π β π)β1 β π = πβ1
(π β π)β1 β π β πβ1 = πβ1 β πβ1
(π β π)β1 β π = πβ1 β πβ1
Jadi, (π β π)β1 = πβ1 β πβ1.
1.3 Order Grup dan Order Elemen
i. Order dari suatu grup πΊ adalah banyaknya elemen dalam grup πΊ dan biasanya ditulis |πΊ|.
ii. Order dari suatu elemen/unsur π β πΊ merupakan bilangan bulat positif terkecil π sehingga
memenuhi ππ = π . Jika tidak ada π yang demikian, maka |π| = +β.
iii. Sifat untuk order elemen:
a. ππ+π = ππ β ππ
b. (ππ)π = πππ
Contoh:
Diberikan (β€4, +) adalah grup yang elemen-elemennya adalah
β€4 = {[0]4, [1]4, [2]4, [3]4} maka:
i. Order grup β€4 adalah 4, ditulis |β€4| = 4.
ii. Order elemen β€4 yaitu:
|[0]4| = 1
|[1]4| = [1]4 + [1]4 + [1]4 + [1]4 = [1 + 1 + 1 + 1]4 = [4]4 = [0]4 = 4
|[2]4| = [2]4 + [2]4 = [2 + 2]4 = [4]4 = [0]4 = 2
|[3]4| = [3]4 + [3]4 + [3]4 + [3]4 = [3 + 3 + 3 + 3]4 = [12]4 = [0]4 = 4
1.4 Subgrup (Grup Bagian)
i. Definisi:
Misalkan πΊ suatu grup dan π» β πΊ dengan π» β β , π» dikatakan subgrup dari πΊ jika π»
merupakan grup dengan operasi biner yang sama dengan grup πΊ. Hal ini dinotasikan oleh
π» < πΊ.
ii. Sifat Subgrup
Misalkan πΊ adalah suatu grup. Himpunan π» adalah subgrup dari πΊ jika dan hanya jika
untuk sebarang π, π β π» maka ππβ1 β π» (πβ1π β π»). Bukti:
(βΉ). Diketahui π» < πΊ, berarti π). π, π β π» βΉ ππ β π»
ππ). π β π» βΉ πβ1 β π»
π β π», πβ1 β π» βΉ ππβ1 β π»
(βΈ). Jika π β π» maka ππβ1 = π β π»
π β π», π β π» βΉ ππβ1 = πβ1 β π»
π β π» βΉ πβ1 β π»
Jadi, π, πβ1 β π» βΉ π(πβ1)β1 = ππ β π».
Untuk Sifat Assosiatif menurun, karena π» β πΊ.
Jadi, π» < πΊ jika dan hanya jika ππβ1 β π» (πβ1π β π»).
iii. Contoh
Himpunan ππΏ(π,β) dengan operasi biner perkalian matriks adalah subgrup dari
πΊπΏ(π,β).
Bukti:
ππΏ(π, β) adalah suatu matrik dengan determinan sama dengan 1.
Ambil sebarang π΄, π΅ β ππΏ(π,β).
karena π΄, π΅ β ππΏ(π,β) maka det(π΄) = 1 dan det(π΅) = 1.
det(π΄β1π΅) = det(π΄β1) . det (π΅)
= π
det(π΄) . det(π΅)
=π
1 . 1 = 1 .1 = 1 β ππΏ(π,β)
Jadi, himpunan ππΏ(π,β) dengan operasi biner perkalian matriks adalah subgrup dari
πΊπΏ(π,β).
1.5 Sifat Subgrup
Jika {π»πΌ} adalah himpunan subgrup-subgrup dari grup πΊ, maka irisan dari anggota-anggota
π»πΌ adalah subgrup dari πΊ.
Bukti:
Jika π» =β© π»πΌ, maka π» β β . Karena π β π». Jika π, π β π», maka π, π β π»πΌ dan π β πβ1 β
π»πΌ, juga π β πβ1 β π». Jadi untuk π, π β π» mengakibatkan π β πβ1 β π», sehingga π» <
πΊ.
1.6 Grup Siklik dan Generator
Misalkan πΊ adalah grup. Grup πΊ dikatakan grup siklik jika dan hanya jika ada π β πΊ
sedemikian hingga setiap elemen dari πΊ dapat dibangun oleh π.
Dalam hal ini, jika πΊ dibangun oleh π, maka ditulis sebagai πΊ = β¨πβ© atau πΊ = {ππ|π β β€}.
Dengan π β πΊ disebut sebagai generator atau pembangun.
Contoh:
(β€4, +) adalah grup siklik, karena β€4 = β¨1,3β©, untuk 1,3 β β€4.
β¨[1]4β© = {[0]4, [1]4, [2]4, [3]4} membangun β€4. (untuk π = 1,2,3,4)
β¨[3]4β© = {[3]4, [2]4, [1]4, [0]4} membangun β€4. (untuk π = 1,2,3,4)
1.7 Sifat Grup Siklik
Setiap grup siklik adalah komutatif (abelian)
Bukti:
Misal πΊ adalah grup siklik yang dibangun oleh π, maka dapat ditulis πΊ = β¨πβ© atau πΊ ={ππ|π β β€}.
Ambil sebarang ππ, ππ β πΊ sehingga ππ β ππ = ππ+π = ππ+π = ππ β ππ.
Jadi ππ β ππ = ππ β ππ.
1.8 Homomorfisma Grup dan Isomorfisma Grup
Misalkan πΊ dan π» adalah grup dan π merupakan fungsi pemetaan dari πΊ ke π» yang
dinotasikan oleh π: πΊ βΆ π» maka π dikatakan homomorpisma jika π(ππ) = π(π)π(π)
untuk setiap π, π β πΊ. Suatu homomorpisma grup yang bijektif dinamakan isomorpisma
grup dan πΊ isomorpik dengan π» dinotasikan oleh πΊ β π».
Contoh:
Pemetaan π: β€ βΆ β€π. π merupakan suatu homomorpisma terhadap operasi penjumlahan.
Bukti:
Ambil sebarang π, π β β€.
Misal π(π) = [π]π dan π(π) = [π]π. Maka:
π(π + π) = [π + π]π = [π]π + [π]π = π(π) + π(π).
1.9 Sifat Homomorfisma
Misalkan π adalah suatu homomorfisma grup πΊ β π», maka:
1. π(ππΊ) = ππ» dengan masing-masing π1 dan π2 adalah elemen identitas di πΊ dan π».
Misalkan π β πΊ maka π(π) . ππ» = π(π)
= π(π β ππΊ)
= π(π) . π(ππΊ)
(π(π))β1 . π(π) . ππ» = (π(π))
β1 . π(π) . π(ππΊ)
ππ» . ππ» = ππ» . π(ππΊ)
ππ» = π(ππΊ)
2. Untuk setiap π β πΊ berlaku π(πβ1) = (π(π))β1
Ambil sebarang π β πΊ maka π(π)β1 = π(π)β1π ππ»
= π(π)β1π(π(ππΊ))
= π(π)β1π(π(π β πβ1))
= π(π)β1π(π(π)ππ(πβ1))
= (π(π)β1ππ(π))ππ(πβ1)
= ππ»ππ(πβ1)
= π(πβ1)
1.10 Kernel (Ker) dam Imagr (Im)
Jika f suatu homomorfisma grup, maka:
i. Kernel dari f yaitu: πΎππ(π) = {π β πΊ|π(π) = ππ»}
ii. Image dari f yaitu: πΌπ(π) = {β β π»|β = π(π), untuk beberapa π β πΊ}
1.11 Koset dan Partisi
Misalkan πΊ adalah suatu grup dan π» subgrup dari πΊ. Jika π elemen tetap di πΊ, maka ππ» =
{πβ|β β π»} disebut koset kiri dari π» di πΊ dan π»π = {βπ|β β π»} disebut koset kanan dari
π» di πΊ.
Contoh:
Diberikan πΊ = (β€,+) suatu grup dengan operasi penjumlahan dan π» = 2β€ = {2π |π β β€}
suatu subgrup dari πΊ. Tunjukkan bahwa π»+π = π», untuk π bilangan bulat genap.
Jawab:
Misal π = 2π,π β β€, maka koset kanan dari π» di πΊ yaitu:
π»+π = { β + π |β β π», π = 2π,π β β€}
= {2π + 2π|π,π β β€}
= {2(π + π)|π,π β β€}
= {2π|π β β€}
= π»
1.12 Sifat Koset
Untuk setiap π, π β πΊ dan π» < πΊ, maka
i. Jika π~π maka π»π = π»π (ππ» = ππ»)
ii. Jika π β π maka π»π β© π»π = β (ππ» β© ππ» = β )
iii. ππ» = ππ» jika dan hanya jika πβ1π β π»
iv. π»π = π»π jika dan hanya jika ππβ1 β π»
Bukti:
i. Misal π~π maka β0 = ππβ1 untuk β0 β π», didapat π = β0π atau π = β0
β1π. Misal
βπ β π»π, didapat βπ = β(β0π) = (ββ0)π β π»π. Sehingga π»π β π»π. Misal βπ β π»π
maka βπ = β(β0β1π) = (ββ0
β1)π β π»π. Sehingga π»π β π»π. Jadi π»π = π»π.
ii. Misal π β π dan andaikan π β π»π β© π»π maka π = β1β1π dan πβ1 = πβ1β2 untuk
β1, β2 β π». Sehingga ππβ1 = β1β1ππβ1β2 = β1
β1β2 β π». Jadi π~π. Kontradiksi
dengan π β π. Jadi haruslah π»π β© π»π = β .
iii. Jika ππ» = ππ» maka πβ1ππ» = πβ1ππ», didapat π» = πβ1ππ». Jadi πβ1π β π».
Jika πβ1π β π» maka diperoleh πβ1ππ» = π» βΊ ππ» = ππ».
Jadi, ππ» = ππ» jika dan hanya jika πβ1π β π».
iv. Jika π»π = π»π maka π»ππβ1 = π»ππβ1 βΊπ»ππβ1 = π»di dapat ππβ1 β π».
Jika ππβ1 β π» maka diperoleh π»ππβ1 = π» βΊ π»π = ππ».
Jadi, π»π = π»π jika dan hanya jika ππβ1 β π».
1.13 Teorema Lagrange
Misalkan πΊ adalah grup dan π» < πΊ dengan |πΊ| berhingga, maka |πΊ| = |[πΊ:π»]|π»|.
Bukti:
Misal |πΊ| = π, |π»| = π dan |[πΊ: π»]| = π.
Berdasarkan definisi |π»| = |π» β π| = |π β π»| = π, maka untuk setiap ππ» β [πΊ:π»] atau
dengan kata lain π + π + π +β―+ πβ π
= π. Sehingga ππ = π. Jadi |πΊ| = |[πΊ:π»]|π»|.
1.14 Centralizer, Normalizer, dan Center dari Suatu Grup
Misal πΊ adalah grup dan π΄ β πΊ dengan π΄ β β .
1. Normalizer
Normalizer didefinisikan sebagai himpunan elemen di πΊ yang memenuhi π β π β πβ1 β
π΄ untuk setiap π β π΄, atau bisa dituliskan dengan ππΊ(π΄) = {π β πΊ|π β π΄ β πβ1, π β π΄}.
2. Centralizer
Centralizer didefinisikan dengan himpunan elemen-elemen di πΊ yang komutatif dengan
semua elemen π΄. Atau biasa dituliskan dengan πΆπΊ(π΄) = {π β πΊ|π β π = π β π, π β π΄}.
3. Center
Center didefinisikan sebagai himpunan elemen di πΊ yang komutatif dengan semua
elemen πΊ, atau bisa dituliskan dengan π(πΊ) = {π β πΊ|π β β = β β π, β β πΊ}. Karena
π β π β πβ1 = π iff π β π = π β π maka πΆπΊ(π΄) dapat dinyatakan dengan πΆπΊ(π΄) = {π β
πΊ|π β π β πβ1 = π, π β π΄}.
II. GRUP PERMUTASI
2.1 Sifat Subgrup
a. Bila π» < πΊ maka π»π» = π» dan π»β1 = π».
b. Bila π» suatu subgrup dari πΊ maka (ππ»)(ππ») = (ππ)π» untuk semua π, π β πΊ bila dan
hanya bila ππ»πβ1 = π» untuk semua π β πΊ.
Bukti:
a. i) π» < πΊ, ambil sebarang π₯ = ππ β π»π».
Akan dibuktikan ππ β π». Pada ππ β π»π», meunjukkan untuk suatu ππ β π». Karena π»
Adalah subgrup, maka ππ = π₯ β π». Jadi, βπ₯ β π»π» β π₯ β π» atau dapat ditulis
π»π» β π».
ii) Ambil sebarang π₯ β π». Akan dibuktikan π₯ β π»π».
π₯ β π», karena π» subgrup maka π β π», sehingga π₯π β π»π» = π₯ β π»π»
Jadi, βπ₯ β π» β π₯ β π»π» atau dapat ditulis π» β π»π».
Dari i) dan ii) diperoleh π»π» = π».
iii) Jika β β π» (π» subgrup), maka ββ1 β π». Sehingga (ββ1)β1 β π»β1βΊ β β π»β1.
Jadi π» β π»β1. Sebaliknya, π₯ β π»β1 maka π₯ = ββ1 dengan β β π». Jika β β π» maka
ββ1 β π» (π» subgrup). Akibatnya π₯ β π». Jadi π»β1 β π». Sehingga π»β1 = π».
b. i. Jika π»πΎ < πΊ maka π»πΎ memuat semua invers dari π»πΎ.
π»πΎ = (π»πΎ)β1 = πΎβ1 β π»β1 = πΎπ»
ii. Misal π»πΎ = πΎπ» didapatkan (π»πΎ)β1 = πΎβ1π»β1 = πΎπ» = π»πΎ .
Jadi, semua elemen di π»πΎ punya invers. Untuk (π»πΎ)(π»πΎ) = π»πΎπ»πΎ = π»π»πΎπΎ =
π»πΎ. Jadi, untuk (π»πΎ)(π»πΎ) = π»πΎ, tertutup. Elemen identitasnya adalah dirinya
sendiri, sesuai dengan definisi. Berlaku hukum assosiatif, karena π» dan πΎ subgrup dari
πΊ.
2.2 Subgrup Normal dan Grup Faktor (Kuasi)
Suatu subgrup π dari πΊ dinamakan subgrup normal dari πΊ Jika memenuhi:
πππβ1 = π untuk semua π β πΊ dan dinotasikan dengan π β² πΊ. Ddikatakan juga sebagai
subgrup normal jika koset kanan sama dengan koset kiri.
Jika πβπΊ maka πΊ/π dinamakan grup faktor atau grup kuasi dari πΊ oleh π.
Jika π βπΊ dan |πΊ| < β, maka dari teorema Lagrange diperoleh |πΊ/π| = |[πΊ:π]| = |πΊ|/|π|.
Contoh:
Diberikan grup GL(π,β), maka SL(π,β) adalah subgroup normal dari GL(π,β).
Ambil π΄ β GL(π, β) dan π΅ β ππΏ(π,β), maka:
det (π΄π΅π΄β1) = (det π΄)(det π΅)(det π΄)β1 , (det π΄)β1 = 1
detπ΄)
= 1 . 1 . 1
1= 1
Jadi, π΄π΅π΄β1 β ππΏ(π,β)untuk semua π΄ β πΊπΏ(π,β) dan π΅ β πΊπΏ(π,β).
2.3 Grup Permutasi
Misalkan π = {1,2,3, β¦ , π} dan ππ adalah himpunan dari semua fungsi satu-satu pada π βΆ
π β π. Jika dengan operasi komposisi fungsi ππ adalah suatu grup, maka ππ dinamakan
grup permutasi atau grup simetri.
Misalkan π(1) = π1, π(2) = π2,β¦., π(π) = ππ, dengan ππ β π untuk π = 1,2,3β¦ , π.
Notasi pemetaan π yaitu:
π = (1 2 β¦ π
π1 π2 β¦ ππ)
Hasil dari komposisi ini juga bijektif, sehingga πππ β ππ.
Dalam kompoosisi fungsi berlaku sifat assosiatif yaitu: π(πβ) = (ππ)β.
Elemen netral di ππ, yaitu fungsi identitas:
π = (1 2 β¦ π
1 2 β¦ π)
Untuk π β ππ, maka invers π β ππ adalah πβ1 diberikan oleh:
πβ1 = (π1 π2 β¦ ππ1 2 β¦ 3
)
Contoh:
Misalkan π = {1,2, 3}, maka |π3| = 3! = 6. Elemen-elemen dari π3 adalah:
π = (1 2 3
1 2 3) , π = (
1 2 3
1 3 2) , π = (
1 2 3
2 1 3),
π = (1 2 3
2 3 1) , π = (
1 2 3
3 1 2 ) , π = (
1 2 3
3 2 1)
Kemudian
ππ = (1 2 3
1 3 2) (1 2 3
2 1 3) = (
1 2 3
3 1 2) = π,
ππ = (1 2 3
2 1 3) (1 2 3
1 3 2) = (
1 2 2
2 3 1) = π,
πβ1 (1 2 3
1 3 2) = π, πβ1 (
1 2 3
2 3 1) = π.
Terlihat bahwa ππ β ππ, sehingga π3 tidak komutatif.
2.4 Sikel dan Notasi Sikel
Misalkan π = {1,2,3,β¦ , π} dan ππ,ππ , β¦ β π. Bila π β ππ dengan π(π1) = π2, π(π2) =
π3, β¦ . , π(ππβ1 = ππ, π(ππ) = π1 dan π(ππ) = ππ untuk π β 1,2,3,β¦ . , π. ππ dikatakan
suatu permutasi sikel atau sikel-π dan dinotasikan dengan π = (π1, π2, β¦ , ππ), jika
terdapat suatu fungsi pemetaan π β ππ, dengan π: π βΆ π, yaitu π(ππ) = π(π πππ π)+1
untuk π = 1,2,3, β¦ , π dan π(ππ) = ππ untuk π β 1,2,3, β¦ , π.Dalam hal ini π adalah
panjang sikel π.
Notasi sikel untuk π3 yaitu: π = (), π = (2,3), π = (1,2), π = (1,2,3), π = (1,3,2) dan
π = (1,3).
Sikel dengan panjang 2 dinamakan transposisi. Pada π3 yang merupakan transposisi
yaittu: π = (2,3), π = (1,2), dan π = (1,3).
Dua sikel π dan π adalah disjoint bila representasi dari masing-masing sikel tidak ada
yang sama dan berlaku ππ = ππ.
2.5 Teorema Sikel
Misalkan π dan π adalah dua sikel yang saling asing di ππ, maka π π π = π π π.
Bukti:
Misal π = (π1, π2, π3, β¦ , ππ) dan π = (π1, π2, π3, β¦ , ππ).
Akan ditunjukkan bahwa π π π(π₯) = π π π(π₯), untuk setiap π₯ β π.
Jika π₯ tidak di π atau di π, maka π(π₯) = π₯ dan π(π₯) = π₯.
Sehingga: π π π(π₯) = π(π(π₯))
= π(π₯) = π₯ = π(π₯) = π(π(π₯)) = π π π(π₯)
Selanjutnya jika π₯ β π maka π₯ = ππ untuk π = 1,2,3,β¦ ,π dan untuk π(ππ) = π(π πππ π)+1
dan π₯ β π dan π(π₯) = π₯, maka: π π π(π₯) = π π π(ππ)
= π(π(ππ)) = π(ππ) = π(π πππ π)+1
= π(π(π πππ π)+1)
= π(π(ππ))
= π(π(π₯))
= π π π(π₯)
Dan jika π₯ β π maka π₯ = ππ untuk π = 1,2,3, β¦ , π dan untuk π(ππ) = π(π πππ π)+1 dan π₯ β
π dan π(π₯) = π₯, maka: π π π(π₯) = π π π(ππ) = π(π(π πππ π)+1) = π(π πππ π)+1
= π(ππ)
= π (π(ππ))
= π(π(π₯))
= π π π(π₯)
2.6 Definisi Tanda dalam Sikel
Misalkan ada permutasi π β ππ, maka π ππ(π) merupakan tanda dari sikel yang
didefinisikan sebagai:
π ππ(π) =βπ(π) β π(π)
π β ππ<π
Contoh:
1. π3 = (1,2,3) dan π = (1,2,3)
Untuk π = 1, maka π yang mungkin adalah 2 dan 3.
Untuk π = 2, maka π yang mungkin adalah 3.
Sehingga π ππ(π) =(π(1)βπ(2))
1β2.(π(1)βπ(3))
1β3.(π(2)βπ(3))
2β3=1β2
1β2.1β3
1β3.2β3
2β3= 1.1.1 = 1
(πππ(π) = π, Dinamakan permutasi genap)
2. π3 = (1,2,3) dan π = (1,2)
Untuk π = 1 maka π yang mungkin adalah 2 dan 3.
Untuk π = 2 maka π yang mungkin adalah 3.
Sehingga π ππ(π) =(π(1)βπ(2))
1β2.(π(1)βπ(3))
1β3.(π(2)βπ(3))
2β3=2β1
1β2.2β3
1β3.1β3
2β3= β1
(πππ(π) = βπ, Dinamakan permutasi ganjil)
2.7 Grup Alternating dan Grup Dihedral
i. Grup Alternating dinotasikan dengan π΄π yaitu himpunan bagian dari grup permutasi
ππ yang menyatakan himpunan dari semua permutasi genap dan banyaknya permutasi
genap di ππ untuk π β₯ 2 adalah π!
2.
Contoh:
Grup Alternating π΄4 dari grup permutasi π4 dengan elemenβelemen permutasi genap
yaitu:
( ), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3), (1,2,3), (1,3,2), (1,2,4) (1,4,2), (1,3,4), (1,4,3),
(2,3,4), (2,4,3).
ii. Grup Dihedral adalah suatu grup permutasi yang mempertahankan bentuk geometri dari
segi-n beraturan terhadap rotasi dan refleksi. Banyaknya elemen grup dihedral segi-π
yang diperoleh melalui rotasi dan refliksi adalah 2π dan dinotasikan dengan |π·π| = 2π.
Contoh:
Grup dihedral segi-4 beraturan.
Elemen diperoleh dari rotasi: π = (1,2,3,4), π2 = (1,3)(2,4), π3 = (1,4,3,2), π4 = () dan
pencerminan π 1 = (2,4) dan π 2 = (1,3). Dua elemen lainnya adalah π π π 1 = (1,2)(3,4)
dan π3 π π 1 = (1,4)(2,3). Jadi, banyak elemen dari grop dihedral segi-4 yaitu 8 atau
|π·4| = 2 . 4 = 8.
2.8 Tindakan Suatu Grup
Misalkan πΊ suatu grup dan himpunan tak kosong π. Tindakan dari πΊ pada π direpresentasi
sebagai permutasi Ξ¦:πΊ β ππ₯. Umumnya Ξ¦(π)(π₯)ditulis dalam bentuk ππ₯, sedemikian
sehingga terpenuhi:
i. π. π₯ = π₯ untuk setiap π₯ β π
ii. (π. β). π₯ = π. (β. π₯) untuk setiap π, β β πΊ.
2.9 Orbit dan Stabilizer
Misal tindakan suatu grup πΊ pada himpunan tak kosong π.
Orbit dari π₯ β π adalah himpunan bagian dariπ dan dinotasikan oleh:
πΊπ₯ = {ππ₯|π β πΊ} β π.
Stabilizer dari π₯ β π adalah himpunan bagian dari πΊ dan dinotasikan oleh πΊ(π₯) =
{π β πΊ|ππ₯ = π₯} β πΊ, dengan πΊ(π₯) < πΊ.
2.10 Sifat Tindakan Grup
i. Misalkan grup (πΊ,β) bertindak pada suatu himpunan berhingga π, maka
|π| = β |[πΊ βΆ πΊ(π₯π)]|ππ=1 dengan π adalah banyaknya orbit yang berbeda dari πΊ pada π.
ii. Misalkan (πΊ,β) bertindak pada himpunan berhingga π dan π adalah banyaknya orbit
berbeda dari πΊ pada π. Untuk sebarang π tetap di πΊ didefinisikan sebgai:
πΌ(π) = |{π₯ β π|π β π₯ = π₯}|, maka π =πΌ
|πΊ|β πΌ(π)πβπΊ .
Bukti:
ii. Definisikan suatu fungsi: π: πΊ π₯ π β {0,1}oleh π(π, π₯)πππ={1, ππ₯ = π₯π₯ 0, ππ₯ β π₯
Sehingga untuk sebarang π tetap di πΊ diperoleh πΌ(π) = β π(π, π₯)π₯βπ dan untuk
sebarang π₯ tetap di π diperoleh |πΊ(π₯)| = β π(π, π₯)πβπΊ .
Misal π₯1, π₯2, β¦ , π₯π adalah π orbit yang saling asing dari πΊ dalam π.
Maka:
βπΌ(π)
πβπΊ
= β(βπ(π, π₯)
π₯βπ
)
πβπΊ
=β(βπ(π, π₯)
πβπ
)
π₯βπΊ
=β|πΊ(π₯)| =
π₯βπ
β|πΊ|
|πΊπ₯|π΅βπ
=β β|πΊ|
|πΊπ₯|π₯βπΊπ₯π
π
π=1
=β β|πΊ|
|πΊπ₯π|π₯βπΊπ₯π
π
π=1
=β|πΊπ₯π|
π
π=1
|πΊ|
|πΊπ₯π|= β|πΊ|
π
π=1
= π. |πΊ|.
Diperoleh π =1
|πΊ|β πΌ(π)πβπΊ .
Contoh:
Diberikan 3 jenis warna yaitu merah, hitam, biru dan sati batang tongkat yang terdiri
dari dua bagian. Berapa banyak cara yang berbeda dari hasil pewarnaan tongkat itu, bila
aturan pewarnaan tongkat tersebut yaitu setiap bagian hanya boleh diwarnai oleh satu
warna saja.
Penyelesaian:
Dimisalkan warna-warna yangdiberikan yaitu: π = merah, β = hitam, dan π = biru.
Maka kemungkinan pewarnaan dari 2 bagian tongkat tersebut adalah 32 = 9 cara
pewarnaan.
Kemungkinan-kemungkinan itu yaitu: π₯1 = ππ, π₯2 = ββ, π₯3 = ππ, π₯4 = πβ, π₯5 =
ππ, π₯6 = βπ, π₯7 = βπ, π₯8 = ππ, π₯9 = πβ.
Sehingga himpunan tak kosong = {π₯1, π₯2, π₯3, π₯4, π₯5, π₯6, π₯7, π₯8, π₯9} dan
πΊ = {( ), (1,2)} adalah grup permutasi.
Tindakan Grup πΊ b pada π yaitu: ( )π₯π = π₯π , π = 1,2,3, β¦ ,9
(1,2)π₯1 = π₯1, (1,2)π₯2 = π₯2, (1,2)π₯3 = π₯3, (1,2)π₯4 = π₯5, (1,2)π₯5 = π₯4, (1,2)π₯6 =
π₯7, (1,2)π₯7 = π₯6, (1,2)π₯8 = π₯9, (1,2)π₯9 = π₯8
Maka πΌ(π) = |{π₯ β π|ππ₯ = π₯}| atau πΌ(ππ) = |{π₯ β π|πππ₯ = π₯}|
Untuk: ( )π₯π = π₯π , π = 1,2,3, β¦ ,9
Untuk: (1,2)π₯π = π₯π , π = 1,2,3.
Didapat π =1
|πΊ|β πΌ(ππ)2π=1 =
1
2(9 + 3) = 6.
Jadi, Berapa banyak cara yang berbeda dari hasil pewarnaan tongkat itu, bila aturan
pewarnaan tongkat tersebut yaitu setiap bagian hanya boleh diwarnai oleh satu warna
saja adalah 6 cara.
III. Ring
3.1 Definisi Ring
Suatu ring (π ,+, . ) adalah suatu himpunan tak kosong π dengan operasi biner penjumlahan
(+) dan perkalian (.). Pada π , setiap π, π β π , memenuhi sifat-sifat berikut:
1. (π ,+) adalah suatu grup komutatif (Abelian).
2. Tertutup terhadap operasi perkalian dan (π . π) . π = π . (π . π) assosiatif terhadap
perkalian.
3. Ada 1 β π sedemikian hingga 1. π = π. 1 = π.
4. Berlaku hukum distributif perkalian:
π . (π + π) = π. π + π. π dan (π + π). π = π. π + π. π
5. Jika π memenuhi: π . π = π . π untuk semua π, π β π , maka ring π dikatakan ring yang
komutatif.
Contoh:
Himpunan bilangan bulat modul π, ππ dengan dua operasi biner
[π] + [π] β [π + π] dan [π]. [π] β [π. π]
Untuk setiap π, π β ππ adalah suatu ring komutatif.
Penyelesaian:
1. (β€π, +)
a). Tertutup
β[π]π, [π]π β β€π, maka [π]π + [π]π = [π + π]π β β€π
b). Assosiatif
β[π]π, [π]π, [π]π β β€π, maka ([π]π + [π]π) + [π]π = ([π + π]π) + [π]π
= [π + π + π]π
= [π]π + ([π + π]π)
= [π]π + ([π]π + [π]π)
c). Elemen Satuan
β[0]π β β€π, β[π]π β β€π, sedemikian sehingga:
[0]π + [π]π = [0 + π]π = [π]π = [π + 0]π = [π]π + [0]π
d). Invers
β[π]π β β€π, β(β[π]) β β€π, sedemikian sehingg:
[π]π + (β[π]π) = ([π]π + (β[π]π)) = [0]π = (β[π]π + [π]π) = β[π]π + [π]π
e). Komutatif
β[π]π, [π]π β β€π maka [π]π + [π]π = [π + π]π = [π + π]π = [π]π + [π]π
2). (β€π,β)
a). Tertutup
β[π]π, [π]π β β€π, maka [π]π[π]π = [ππ]π β β€π
b). Assosiatif
β[π]π, [π]π, [π]π β β€π, maka ([π]π. [π]π). [π]π = ([π . π]π). [π]π = [π . π . π]π
= [π]π . ([π. π]π)
= [π]π. ([π]π. [π]π)
3). Elemen Satuan
β[1]π β β€π, β[π]π β β€π sedemikian sehingga:
[1]π. [π]π = [1 . π]π = [π]π = [π .1]π = [π]π . [1]π
4). Hukum Distributif
β[π]π, [π]π, [π]π β β€π, maka:
[π]π. ([π]π + [π]π) = [π]π. ([π + π]π) = [π . π + π . π]π = [π . π]π + [π . π]π
β[π]π, [π]π, [π]π β β€π, maka:
([π]π + [π]π) . [π]π = ([π + π]π) . [π]π = [π . π + π . π]π = [π . π]π + [π . π]π
5) β[π]π, [π]π β β€π, maka [π]π . [π]π = [π . π]π = [π . π]π = [π]π . [π]π
Jadi β€π adalah ring komutatif.
3.2 Sifat Ring
Bila π suatu ring, maka untuk semua π, π β π berlaku:
(1) π. 0 = 0. π = 0
Bukti:
Berdasarkan sifat distributif, maka: π. 0 = π. (0 + 0) = π. 0 + π. 0
Tambahkan dengan β (π . 0) kedua ruas, didapat:
π. 0 + (β (π . 0)) = (π. 0 + π. 0) + (β (π . 0))
0 = π .0 + 0
π . 0 = 0
Dengan cara serupa didapat 0 . π = 0
(2) π . (βπ) = (βπ) . π = β(π . π)
Bukti:
β(π. π) adalah invers dari (π. π).
Akan ditunjukkan bawa π . (βπ) adalah balikan dari (π . π).
(π . π) + (π . (βπ)) = π . (π + (βπ)) = π . 0 = 0
Sehingga diperoleh π . (βπ) = β(π . π).
(3) (β1). π = βπ
Bukti:
Dari (2), maka (β1) . π = β(1 . π) = βπ
(4) (β π). (βπ) = π . π
Bukti:
Dari (3), maka β π = (β1) . π dan β π = (β1) . π, didapat:
(βπ). (βπ) = ((β1) . π) . ((β1) . π) = (β1) . (β1) . (π . π) = 1 . (π . π) = π . π
(5) (β1) . (β1) = 1
Bukti:
Dari (4), maka (β1) . (β1) = 1 . 1 = 1
3.3 Daerah Integral
i. Definisi Pembagi Nol
Misalkan π suatu ring komutatif, suatu elemen π β π dikatakan suatu pembagi nol bila
ada suatu elemen tak nol π β π yang memenuhi π . π = 0.
Contoh:
β€4 = {[0]4, [1]4, [2]4, [3]4}
Misal π = [2]4 β β€4, dan π = [2]4 β [0]4 β β€4, maka [2]4 . [2]4 = [4]4 = [0]4
Jadi, β€4 memuat pembagi nol.
ii. Definisi Daerah Integral
Jika π adalah suatu ring komutatif yang tidak memuat pembagi nol, maka disebut daerah
integral. Dengan kata lain, jika π . π = 0, maka π = 0 atau π = 0.
Contoh:
β€5 = {[0]5, [1]5, [2]5, [3]5, [4]5} adalah Daerah Integral.
Karena untuk sebarang π β [0]5 β β€5 dan π β [0]5 β β€5, tidak ada yang mengakibatkan
π . π = [0]5. Kecuali π = [0]5 atau π = [0]5 atau π = π = [0]5.
3.4 Sifat Daerah integral
Bila π suatu elemen taknol dari suatu daerah integral π dan π . π = π . π, maka π = π.
Bukti:
π . π = π . π, (tambahkan kedua ruas dengan β (π . π) sehingga:
π . π + (β(π . π) = π . π + (β(π . π))
π . π β π . π = π . π β π . π
π. (π β π) = π. π β π. π = 0. Karena π adalah suatu daerah integral. Maka π tak memuat
pembagi nol (π β 0), maka haruslah (π β π) = 0 atau π = π.
3.5 Definisi Lapangan (Field)
Suatu lapangan (field) adalah suatu ring komutatif π dan juga memenuhi sifat: Untuk setiap
elemen taknol π β π ada πβ1 β π sehingga π. πβ1 = πβ1. π = 1.
Contoh:
β€5 = {[0]5, [1]5, [2]5, [3]5, [4]5} adalah Field (Lapangan)
Berikut ini disajikan tabel operasi biner perkalian pada elemen-elemen di β€5.
. [1]5 [2]5 [3]5 [4]5
[1]5 [1]5 [2]5 [3]5 [4]5
[2]5 [2]5 [4]5 [1]5 [3]5
[3]5 [3]5 [1]5 [4]5 [2]5
[4]5 [4]5 [3]5 [2]5 [1]5
Dari tabel di atas,tampak bahwa,selain elemen [0]5 di β€5, semua elemen yang lainnya
mempunyai invers yang secara umum: untuk elemen tak nol π β β€5 ada πβ1 β β€5 sehingga
π. πβ1 = πβ1. π = [1]5.
3.6 Sifat Lapangan (field)
Setiap lapangan adalah suatu daerah integral.
Bukti:
Jika π . π = 0 belaku dalam suatu lapangan πΉ, maka untuk π β 0 β πΉ pastilah π β πΉ
mempunyai invers πβ1 β πΉ. Sehingga π = 1 . π = (πβ1. π). π = πβ1. (π . π) = πβ1. 0 = 0.
Hal ini menunjukkan bahwa, bila π β 0 dan π. π = 0 berakibat π = 0. Jadi π bukan elemen
pembagi nol. Oleh karena itu πΉ adalah suatu daerah integral.
3.7 Sifat Lapangan (field)
Setiap daerah integral dengan elemen berhingga adalah suatu lapangan.
Bukti:
Misalkan daerah integral π· = {π₯0, π₯1, π₯2, β¦ , π₯π} dengan π₯0 = π dan π₯1 = π. Untuk sebarang
π₯π β π, himpunan π₯π . π· = {(π₯π . π₯0), (π₯π . π₯1), (π₯π . π₯2), β¦ , (π₯π . π₯π)} adalah sama dengan
π· sendiri. Sebab jika π₯π . π₯π = π₯π . π₯π maka π₯π = π₯π. Jadi semua elemen π₯π . π· adalah
berbeda. Tetapi π₯π . π· β π·, jadi haruslah π₯π . π· = π·. Oleh karena itu ada elemen π₯π yang
memenuhi π₯π . π₯π = π₯1 = π sehingga diperoleh π₯πβ1 = π₯π . Sehingga D adalah field.
3.8 Subring dan Homomorpisma Ring
Jika π himpunan bagian tak kosong dari suatu ring π , maka π dikatakan subring π bila untuk
semua π, π β π berlaku sifat-sifat berikut.
(1) π β π β π
(2) π . π β π
(3) 1 β π
Contoh:
β(β2) = {π + πβ2|π, π β β} adalah subring dari β.
Bukti:
Misal π = π1 + π1β2 β β(β2) dan π = π2 + π2β2 β β(β2), maka akan ditunjukkan
memenuhi ketiga sifat subring.
1). π β π = (π1 + π1β2) β (π2 + π2β2) = (π1 β π2) + (π1 β π2)β2
= π3 + π3β2 β β(β2)
2). π . π = (π1 + π1β2) . (π2 + π2β2) = π1 . π2 + π1 . π2β2 + π1β2 . π2 + 2π1 . π2
= (π1 . π2 + 2π1 . π2) + (π1 . π2 + π2 . π1)β2 β β(β2)
3). 1 = 1 + 0β2 β β(β2)
Jadi, β(β2) = {π + πβ2|π, π β β} adalah subring dari β.
3.9 Homomorpisma Ring
Misalkan (π ,+, . ) dan (π,β,β) masing-masing adalah ring, maka fungsi π: π β π
dikatakan suatu homomorpisma ring bila untuk semua π, π β π :
(1) π(π + π) = π(π) β π(π).
(2) π(π . π) = π(π) . π(π).
(3) π(1π ) = 1π .
Jika homomorpisma ring π adalah satu-satu pada, maka π disebut Isomorpisma Ring.
Dalam hal ini ring π dan π dikatakan saling isomorpik dan ditulis π β π.
Contoh:
Fungsi π: β€ βΆ β€π yang didefinisikan oleh π(π₯) = [π₯]π, βπ₯ β β€ adalah suatu
homomorpisma ring dari β€ ke β€π.
Bukti:
Misal π, π β β€
(1) π(π + π) = [π + π]π = [π]π + [π]π = π(π) + π(π) (2) π(π . π) = [π . π]π = [π]π . [π]π = π(π) . π(π) (3) π(1) = [1]π
Jadi π adalah homomorpisma ring.
3.10 Karakteristik Daerah Integral
Misalkan π· adalah daerah Integral, π· dikatakan berkarakteristik berhingga jika ada
beberapa bilangan bulat positip π > 0 dan beberapa π β 0 β π· yang memenuhi ππ = 0.
Elemen terkecil yang memenuhi ππ = 0 untuk beberapa π β π· dinamakan karakteristik
dari π·. Jila tidak ada π yang memenuhi ππ = 0, maka π· dikatakan berkarakteristik nol .
Diberikan: ππ = π + π + π +β―+ πβ π
= 0, maka untuk sebarang π₯ β π· berlaku:
0 = (ππ)π₯ = (π + π + π +β―+ π)β π
π₯
= (ππ₯ + ππ₯ + ππ₯ +β―+ πβ π
π₯
= π(π₯ + π₯ + π₯ +β―+β π
π₯ = π(ππ₯)
Karena π β 0 dan π· tidak memuat pembagi nol, maka haruslah ππ₯ = 0, βπ₯ β π·.
Contoh:
1). β€3 = {[0]3, [1]3, [2]3} adalah Daerah Integral.
Untuk ππ β 0 β π·, maka π1 = [1]3, π2 = [2]3
π = 3 adalah elemen terkecil yang memenuhi πππ = 0, βππ β π·.
Jadi β€3 berkarakteristik 3.
2). β€4 = {[0]4, [1]4, [2]4, [3]4} bukan Daerah Integral.
Untuk ππ β 0 β π·, maka π1 = [1]4, π2 = [2]4, π3 = [3]4
π. π1 = 4. [1]4 = 0
π. π2 = 2. [2]4 = 0
π. π3 = 4. [3]4 = 0
karena nilai π lebih dari satu jenis untuk setiap ππ β π· yang mengakibatkan
π. π1 = 0 , yaitu π = 2 dan π = 4, maka β€4 berkarakteristik nol.
3.11 IDEAL
Diketahui π adalah suatu ring dan πΌ β π dengan (πΌ, +) adalah subgroup dari π , maka πΌ
dikatakan ideal dari π bila ππ, ππ β πΌ untuk setiap π β πΌ dan π β π .
i. Ideal Utama
Jika π suatu ring komutatif dan sebarang π β π dengan π tetap yang didefinisikan
(π) = {ππ|π β π }, maka ini disebut ideal utama yang dibangun oleh π.
ii. Ideal Terkecil
Jika π suatu ring komutatif. Ideal (π)merupakan Ideal Terkecil di π yang memuat π dan
πgenerator dari ideal tersebut.
iii. Ideal Maksimal
Jika π suatu ring. π disebut ideal sebagai ideal maksimal jika tidak ada ideal selain nol
yang memuat π kecuali π sendiri yaitu bila ada ideal lain πΌ di π dengan π β πΌ, maka
πΌ = π .
iv. Ideal Prima
Suatu ideal disebut ideal prima jika π, π β πππ πππππ maka π β πππ πππππ atau π β
πππ πππππ.
3.12 Pemetaan Proyeksi Natural dan Ring Faktor
Misal π adalah suatu ring dan πΌ adalah suatu ideal dari ring π maka π /πΌ disebut sebagai
ring faktor jika memenuhi dua sifat berikut.
i. (π + πΌ) + (π + πΌ) = (π + π ) + πΌ ii. (π + πΌ) . (π + πΌ) = ππ + πΌ
3.13 Teorema Isomorpisma Pertama
Misalkan f : R β S suatu homomorpisma ring, maka R/f β Im (f).
Bukti:
Miasalkan K = Ker (f). difinisikan π Μ : R/Kβ Im oleh π Μ ( a + K) = f(a). Dapat diselidiki
bahwa definisi ini well defined isomorpisma grup. Tinggal menyelidiki operasi perkalian
koset π Μ ((a + K)(b + K)) = π Μ (ab+ K)=f(a)f(b)=π(Μ a+K)πΜ (Μ b+K).
Jadi π Μ adalah suatu homomorpisma ring dan π Μ bijektif, dengan demikian suatu
isomorpisma.
3.14 Teorema Isomorpisma Kedua
Misalkan R adalah ring. I β R adalah suatu ideal dan S β R subring. Maka S+ I adalah
suatu subring dari R I adalah suatu ideal dari S + i, S β© I adalah suatu ideal dari S. Ada
suatu isomorpik ring (S + I)/ I β S/(S β© I).
Bukti:
Misalkan π , π β² β π dan π, π1 β πΌ, maka
(π + π)(π β² + πβ²) = π π β² + (ππ β² + π πβ² + ππβ²) β π + πΌ.
Jadi π + πΌ tertutup terhadap perkalian. Dari pembahasan grup jelas bahwa π + πΌ adalah
grup komutatif terhadap operasi tambah . dengan demikian π + πΌ adalah subring dari π .
fakta dari πΌ suatu ideal dari π + πΌ dan π β© πΌ suatu ideal dari π adalah jelas. Misalkan
π: π β π /πΌ suatu homomorpisma natural dan π0 adalah pembatasan dari π pada . maka
π0 adalah suatu homomorpisma ring dengan ker (π0) = π β© πΌ dengan menggunakan
teorema isomorpisma pertama didapat π/(π β© πΌ) = π/Ker (π0) β Im (π0) .
Tetapi im (π0) adalah himpunan dari semua koset dari πΌ dengan representasi di π. Jadi im
(π0) = (π + πΌ)/πΌ. Dengan demikian (π + πΌ)/πΌ β π/(π β© πΌ).
3.15 Teorema Isomorpisma Ketiga
Misalkan π adalah suatu ring. πΌ dan π½ adalah ideal dari π dengan πΌ β π½. maka π½/πΌ adalah
ideal dari π /πΌ dan π /π½ β (π /πΌ)(π½/πΌ) .
Bukti:
Didefinisikan suatu fungsi π: π /πΌ β π /π½ Oleh π(π + πΌ) = π + π½. βπ + πΌ β π /πΌ.
Mudah dicek bahwa π well-defining homomorpisma ring,
maka ker(π) = {π + πΌ|π + π½ = π½} = {π + πΌ|π β π½} = π½/πΌ.
Dengan menggunakan teorema isomorpisma pertama didapat: π /π½ β (π /πΌ)/(π½/πΌ).
IV. Ring Polinomial
4.1 Ring Produk
Misalkan ada dua buah ring (π , +, . ) dan (π, +, . ),maka produk ringnya adalah (π x π, +, . )
adalah suatu himpunan pasangan terurut dua elemen yang dinotasikan dengan π x π =
{(π, π )| π π π , π π π} dan operasi biner didifinisikan oleh:
i. (π1, π 1) + (π2, π 2) = (π1 + π2) + (π 1 + π 2)
ii. (π1, π 1) . (π2, π 2) = (π1 . π2, π 1 . π 2)
Contoh:
misal β€2 = {[0]2, [1]2} dan β€3 = {[0]3, [1]3, [2]3}
maka: β€2 x β€3 =
{([0]2, [0]3), ([0]2, [1]3), ([0]2, [2]3), ([1]2, [0]3), ([1]2, [1]3), ([1]2, [2]3)}
β€2 dan β€3 adalah suatu ring dari himpunan bilangan bulat modulo 2 dan 3.
4.2 Sifat Ring Produk
Ring β€π x β€π isomorpik dengan ring β€ππ bila dan hanya bila gcd(π, π) = 1.
Bukti:
Jika gcd(π, π) = 1, maka π: β€ππ β β€π x β€π yang di definisikan oleh π([π₯]ππ =
([π₯]π, [π₯]π) adalah suatu isomorpisma grup.
Funsi π juga mempertahankan perkalian, yaitu:
π([π₯]ππ . [π¦]ππ) = π[π₯π¦]ππ
= ([π₯π¦]π, [π₯π¦]π)
= ([π₯]π, [π₯]π). ([π¦]π, [π¦]π)
= π([π₯]ππ) . π([π¦]ππ)
Contoh:
β€6 isomorpik dengan β€2 x β€3 (perhatikan ring produk β€2 x β€3 di contoh sebelumnya). funsi
pemetaan ini didefinisikan sebagai:
π([π₯]6) = ([π₯]2, [π₯]3), βπ₯ β β€ berikut ini adalah bentuk pemetaanya:
[0]6 β ([0]2, [0]3)
[1]6 β ([1]2, [1]3)
[2]6 β ([0]2, [2]3)
[3]6 β ([1]2, [0]3)
[4]6 β ([0]2, [1]3)
[5]6 β ([1]2, [2]3)
Dari hasil pemetaan diatas, maka β€6 isomorpik dengan β€2 x β€3 .
4.3 Ring polinomial
Misalkan π adalah ring komutatif. Polinom π(π₯) atas ring π dinyatakan sebagai: π(π₯) =
π0 + π1π₯ + π2π₯2 + β¦+ πππ₯
π, dengan ππ adalah koefisien dari π₯π dan π π π. Selanjutnya
polinomial nol yaitu suatu polinomial yang semua ππ = 0. Jika untuk π > 0, ππ β 0, maka
nilai terbesar dari π yang demikian disebut derajat dari π(π₯) yang dinotasikan oleh
πππ(π(π₯)) = π.
Contoh:
1) π(π₯) = π (π π β€) atas β€ berderajat 0.
2) π(π₯) = βπ₯ + 23
+ π₯2 atas β berderajat 2.
3) π(π₯) = 2π₯ + (7 + 2π)π₯2 β π atas β berderajat 2.
4.4 Penjumlahan dan Perkalian Polinomial
Himpunan semua polinomial dalam π₯ dinyatakan sebagai:
π [π₯] = {π0 + π1π₯ + π2π₯2 + β¦+ πππ₯
π | ππ π π , π π π}
Misalkan π(π₯), π(π₯) π π [π₯], dengan π(π₯ ) = β πππ0 π₯π dan π(π₯ ) = β ππ
π0 π₯π
Maka:
i. π(π₯) + π(π₯) = β (ππ + ππ)max (π,π)0 π₯π
ii. π(π₯) . π(π₯) = β πππ+π0 π₯π dengan ππ = β πππππ+π=π
Contoh:
Diberikan polinomial π(π₯) = 3π₯3 + π₯ + 2 dan π(π₯) = 2π₯2 + 4π₯ + 1, dalam β€5, maka:
i. π(π₯) + π(π₯) = (3π₯3 + π₯ + 2) + (2π₯2 + 4π₯ + 1) = 3π₯3 + 3
ii. π(π₯). π(π₯) = (3π₯3 + π₯ + 2). (2π₯2 + 4π₯ + 1) = π₯5 + 2π₯4 + 3π₯2 + 4π₯ + 2
4.5 Teorema Ring
(1) Jika ring π komutatif maka π [π₯] komutatif.
(2) Jika π mempunyai anggota satuan maka π [π₯] mempunyai anggota satuan.
(3) Jika π daerah integral maka π [π₯] daerah integral.
Bukti:
(1) Jika f(x) dan g(x) dalam R[x] maka f(x) dan g(x) dapat dinyatakan sebagai
π(π₯) = ππ π₯π + ππ β 1 π₯
π β 1 + β¦β¦ .+ π1 π₯1 + π0 π₯
0
π(π₯) = ππ π₯π + ππ β 1 π₯
π β 1 + β¦ . . + π1 π₯1 + π0 π₯
0
sehingga koefisien π₯π dari:
π(π₯) π(π₯) = ( ππ π₯π + ππ β 1 π₯
π β 1 + β¦β¦ .+ π1 π₯1 + π0 π₯
0 ) (ππ π₯π + ππ β
1 π₯π β 1 + β¦ . . + π1 π₯
1 + π0 π₯0 ) adalah π0 ππ + π1 ππ β 1 + β¦β¦ .+ ππ π0 .
Pada sisi lain koefisien dari π₯π dalam π(π₯)π(π₯) sama dengan π0 ππ + π` ππ β 1 +
β¦β¦ .+ ππ π0 dan hal ini sama dengan π0 ππ + π1 ππ β 1 + β¦β¦ .+ ππ π0 karena π
ring komutatif. Berarti π(π₯) π(π₯) = π(π₯) π(π₯) untuk semua π(π₯), π(π₯) dalam π [π₯].
(2) Misalkan π(π₯) = β πππ₯ππ
π=0 dalam π [π₯].
Sifat ini berlaku 1π₯0 . β πππ₯ππ
π=0 = β ((1π₯0)(πππ₯π))π
π=0
= β (1ππ)π₯0+ππ
π=0
= β πππ₯ππ
π=0
= π(π₯)
Diperoleh juga bahwa π(π₯) . 1π₯0 = π(π₯)
(3) Misalkan π daerah integral. Dengan menggunakan sifat (1) dan (2) maka π [π₯]
komutatif dan mempunyai anggota satuan. Tinggal ditunjukkan bahwa tidak ada
pembagi nol dalalm π [π₯]. Misalkan π(π₯), π(π₯) polinomial tidak nol dalam π [π₯] dan
π(π₯), π(π₯) dinyatakan sebagai:
π(π₯) = ππ π₯π
+ ππ β 1 π₯πβ1
+ β¦β¦ .+ π1 π₯1
+ π0 π₯0
π(π₯) = ππ π₯π
+ ππ β 1 π₯πβ1
+ β¦ . . + π1 π₯1
+ π0 π₯
Karena π(π₯) dan π(π₯) polinomial tidak nol maka koefisien pemimpin polinomial
π(π₯) yaitu an tidak nol dan bm juga tidak nol. Karena π daerah integral maka ππ ππ
tidak nol sehingga koefisien pemimpin dari π(π₯) π(π₯) juga tidak nol. Berarti
π(π₯) π(π₯) tidak nol atau π [π₯] tidak mempunyai pembagi nol.
4.6 Pembagian Bilangan Bulat
Dalam sistem pembagian bilangan bulat dikenal dengan adanya bilangan yang dibagi (π),
pembagi (π), hasil bagi (π), dan sisi dari pembagian (π).
i. Untuk π dan π > 0 adalah bilangan bulat tak nol, maka ada tunggal bilangan bulat π
dan π. Sehingga dapat diformulasikan dalam bentuk matematika sebagai berikut: π =
ππ + π dan 0 β€ π < π.
Contoh:
Misal π = 7, π = 2, maka 7 = (3) .2 + 1.
Tampak bahwa π = 3(π‘π’πππππ), π = 1(π‘π’πππππ), dengan 0 β€ 1 < 2.
ii. Untuk π dan π adalah bilangan bulat dan π β 0, maka ada tunggal bilangan bulat π dan
π. Sehingga π = ππ + π dan 0 β€ π < |π|.
Contoh:
Misal π = 7, π = β2, maka 7 = (β4) . β2 + (β1).
Tampak bahwa π = β4(π‘π’πππππ), π = β1(π‘π’πππππ), dengan
0 β€ β1 < |β2|.
4.7 Ring Euclidean
Suatu daerah integral π dinamakan suatu RING EUCLIDE bila untuk setiap elemen tak nol
π π π ada bilangan bulat tak negatif πΏ (π) sedemikian hingga:
i. Bila π dan π elemen tak nol di π , maka πΏ (π) β€ πΏ (ππ)
ii. Untuk setiap pasangan elemen π, π π π dengan π β 0, ada elemen π, π π π sehingga π =
ππ + π dimana π β 0 atau πΏ (π) < πΏ (π) .
4.8 Algoritma Pembagian untuk Polinomial
Misal π(π₯), π(π₯) β πΉ(π₯) dengan πΉ(π₯) suatu lapangan. Jika π(π₯) tak nol, maka secara
tunggal terdapat π(π₯), π(π₯) β πΉ(π₯) sehingga π(π₯) = π(π₯)π(π₯) + π(π₯), dengan π(π₯) = 0
atau deg (π(π₯)) < deg (π(π₯)).
Contoh:
π(π₯) = (π₯3 + 2π₯2 + π₯ + 2) dibagi oleh π(π₯) = π₯2 + 2 di β€3[π₯]. Berdasarkan algoritma
untuk pembagian, maka:
π₯3 + 2π₯2 + π₯ + 2 = [(π₯ + 2)( π₯2 + 2)] + (2π₯ + 1)
Tampak bahwa π(π₯) = π₯ + 2 (tunggal), π(π₯) = 2π₯ + 1 (tunggal) dan juga
deg(π(π₯)) = 1 dan deg(π(π₯)) = 2, sehingga deg (π(π₯)) < deg (π(π₯)).
4.9 Teorema Sisa
Polinomial π(π₯) bila dibagi oleh (π₯ β π) di πΉ(π₯) sisanya adalah π(π).
Bukti:
Dengan menggunakan algoritma pembagian didapat: ada hasil bagi yaitu π(π₯) dalam πΉ(π₯)
dan sisa pembagian π(π₯) dalam πΉ(π₯).
Dapat ditulis bahwa π(π₯) = π(π₯) . (π₯ β π) + π(π₯)
Berdasarka algoritma pembagian bahwa 0 β€ π(π₯) < (π₯ β π), hal ini menunjukka bahwa
(π₯ β π) berderajad satu dan karena π(π₯) kurang dari (π₯ β π) maka haruslah π(π₯)
berderajad 0. π(π₯) berderajad nol artinya π(π₯) adalah suatu konstanta (r0) dalam πΉ(π₯).
Sehingga π(π₯) = π(π₯) . (π₯ β π) + π0. Dengan mensubstitusikan π kedalam π₯, maka: f(a) =
q(a) . (a β a) + π0
= π(π) . 0 + π0
= 0 + π0
= π0
Sisa pembagian (π0) = π(π).
Contoh:
Dalam β€7[π₯] berlaku bahwa jika π(π₯) = 2π₯3 + 3π₯2 + 20 , π(π₯) = π₯ + 3 dalam β€7[π₯] maka
terdapatlah π(π₯) = 2π₯2 + 4π₯ + 2 dan π(π₯) = 3 dalam β€7[π₯] sehingga 2π₯3 + 3π₯2 + 20 =
[(2π₯2 + 4π₯ + 2)(π₯ + 3)] + 3.
4.10 Teorema Faktor
Polonomial (π₯ β π) adalah faktor π(π₯) di πΉ(π₯) bila dan hanya bila π(π) = 0
Bukti:
Berdasarkan hasil sebelumnya,diperoleh π(π₯) = π(π₯)(π₯ β π) untuk beberapa π(π₯) β πΉ(π₯)
jika dan hanya jika π(π₯) mempunyai sisa 0 bila dibagi oleh (π₯ β π). Hal ini menunjukkan
bahwa jika dan hanya jika π(π) = 0.
Contoh:
Polinomial (π₯3 + π₯2 + 2π₯ + 2) dibagi oleh (π₯ β 2) dalam β€3[π₯]. Berdasarkan algoritma
pembagian untuk polinomial diperoleh bahwa:
(π₯3 + π₯2 + 2π₯ + 2) = (π₯2 + 2). (π₯ β 2) + 0, sehingga di peroleh hasil baginya (π(π₯)) =
(π₯2 + 2) dan sisa pembagiannya (π(π₯)) = 0.
4.11 Teorema Polinomial
Jika π(π₯) polinomial berderajat π β₯ 0 dengan koefisien dalam suatu daerah integral π·
maka π(π₯) paling banyak mempunyai π akar dalam π·.
Bukti :
Dalam pembuktian ini digunakan prinsip induksi pada derajat dari p(x).
Polinomial derajat 0 merupakan konstan tidak nol ππ₯0 = π dan jelas bahwa mempunyai 0
akar.
Misalkan π(π₯) mempunyai derajat π > 0.
Jika π· mengandung akar π‘1 dari π(π₯) mempunyai faktor π₯ β π‘1 dan
π(π₯) = (π₯ β π‘1 ) π(π₯) dengan π(π₯) mempunyai derajat π β 1.
Anggapan induksinya adalah bahwa π(π ) dan sebarang polinomial derajat π β 1 yang lain
mempunyai paling banyak π β 1 akar.
Misalkan π‘2 , π‘3 , β¦β¦ , π‘π dengan k β€ n (π‘1 mungkin termasuk dalam akar yang sama).
Berarti faktorisasi π(π₯): π(π₯) = (π₯ β π‘2 ) (π₯ β π‘3 ) β¦β¦ ( π₯ β π‘π ) π(π₯).
Dalam hal ini π(π₯) mempunyai derajat π β π yang tidak mempunyai akar dalam π·.
Akibatnya: π(π₯) = (π₯ β π‘1) π(π₯) = (π₯ β π‘1) (π₯ β π‘2) (π₯ β π‘3) β¦β¦ . (π₯ β π‘π ) π(π₯)
Misalkan s sebarang anggota dalam π· yang berbeda dari π‘1 , π‘2, β¦β¦ , π‘π . Dengan
mengingat bahwa: Jika π ring komutatif dan π(π₯) dalam π [π₯] mempunyai faktorisasi
π(π₯) π(π₯) maka untuk sebarang π dalam π berlaku
π(π ) = π(π ) π(π ),
Diperoleh:
π(π ) = (π β π‘1) (π β π‘2 ) (π β π‘3 ) β¦β¦ (π β π‘π ) π(π ).
Terlihat bahwa π(π ) merupakan pergandaan dari π + 1 angota tidak nol dalam suatu daerah
integral sehingga π(π ) tidak nol. Hal itu berarti π(π₯) paling banyak mempunyai π akar π‘1 ,
π‘2 , β¦β¦ , π‘π dengan π β€ π.
4.12 i. Pembagian Persekutuan Terbesar
Misal π, π β π , dengan π adalah suatu daerah integral,maka elemen π β π dikatakan
pembagi persekutuan terbesar dari π dan π yang ditulis dalam bentuk π = gcd (π, π) yang
memenuhi:
1. Jika π| π dan π| π.
2. Jika π | π dan π | π, maka π | π.
Contoh:
gcd(12,20) = 4 .
ii. Kelipatan Persekutuan Terkecil
Elemen π β π dikatakan persekutuan terkecil dari π, π β π ditulis π = πππ(π, π) jika
memenuhi:
1. Jika π | π dan π| π.
2. Jika π | π dan π | π, maka π | π.
Contoh:
πππ(12,20) = 60
4.13 Teorema Faktor Persekutuan Terrbesar
Jika diketahui π(π₯) dan π(π₯) dalam πΉ[π₯] maka π(π₯) dan π(π₯) mempunyai FPB (π(π₯))
dalam πΉ[π₯] dan terdapatlah polinomial π (π₯) dan π‘(π₯) dalam πΉ[π₯] sehingga π (π₯) π(π₯) +
π‘(π₯) π(π₯) = π(π₯).
Bukti:
Untuk mempermudah penulisan, dimisalkan π = π(π₯) dan π(π₯).
Dibentuk himpunan π½ = { π’ π + π£ π | π’, π£ dalam [π₯] }.
Mudah ditunjukkan bahwa π½ ideal dalam F[x].
Tetapi karena setiap ideal dalam berbentuk π½ = ( π(π₯) ) untuk suatu π(π₯) dalam πΉ[π₯]
maka π = π π + ππ‘ untuk suatu π dan π‘ dalam πΉ[π₯].
Akan dirunjukkan bahwa d sebenarnya merupakan FPB dari a dan b.
Karena a = 1 . a + 0. b dan b = 0 . a + 1 . b maka a dan b dalam J.
Karena π membangun π½ maka d merupakan faktor dari s dan juga faktor dari b. Misalkan
π sebarang faktor persekutuan dari a dan b.
Karena π = π π + π‘π dan π membagi kedua suku pada ruas kanan maka π membagi π.
Berarti π memenuhi syarat sebagai FPB dari π dan π.
4.14 Algoritma Pembagian Persekutuan Terbesar
Misalkan a,b Ο΅ R dengan R merupakan ring euclid dan b β 0 maka berdasarkan algoritma
pembagian diperoleh:
π = π1 π + π1 dengan πΏ(π1) < πΏ(π)
π = π1π2 + π2 dengan πΏ(π2) < πΏ(π1)
π1 = π2π3 + π3 dengan πΏ(π3) < πΏ(π2)
.
.
.
ππβ2 = ππβ1ππ + ππ dengan πΏ(ππ) < πΏ(ππβ1)
ππβ1 = ππππ+1 + 0
Jika π1 = 0, maka π = gcd(π, π) dan ππ = gcd (π, π) untuk yang lainnya.
Selanjutnya, elemen π , π‘ β π sedemikian hingga gcd(π, π) = π π + π‘π diperoleh dengan
memulai persamaan ππ = ππβ2 β ππβ1ππ secara berurutan.
Contoh:
1. Tentukan πππ(713,253) dalam β€ dan juga dua bilangan π dan π‘ yang memenuhi
π 713 + π‘253 = gcd (713,253)!
2. Tentukan πππ π(π₯) dari π(π₯) = 2π₯4 + 2 dan π(π₯) = π₯5 + 2 di β€3[π₯] kemudian
dapatkan π (π₯), π‘(π₯)π β€3[π₯] sehingga memenuhi
gcd(π₯) = π (π₯). (2π₯4 + 2) + π‘(π₯) . (π₯5 + 2)!
Penyelesaian:
1. Berdasarkan algoritma pembagian, diperoleh:
i. 713 = 2 . 253 + 207, (r1 = 207)
ii. 253 = 1 . 207 + 46, (r2 = 46)
iii. 207 = 4 . 46 + 23, (r3 = 23)
iv. 46 = 2 . 23 + 0, (r4 = 0)
Diperoleh gcd(713,256) = 23.
Selanjutnya akan dicari π dan π‘ dengan menggunakan persamaan i β iii, yaitu: 23 = 207
- 4 . 46 (dari iii)
= 207 - 4 . (253 -207) (dari ii)
= 207 + 4 . 207 + (-4) . 253
= (1 + 4) . 207 β 4 . 253
= 5 . 207 β 4 . 253
= 5 . (713 β 2 . 253) β 4 . 253 (dari i)
= 5 . 713 + (-10) . 253 β 4 .253
= (5) . 713 + (-10 + (-4)) . 253
= (5) . 713 + (-14) . 253
Didapat π = 5 dan π‘ = -14
2. Berdasarkan algoritma pembagian, diperoleh:
i. π₯5 + 2 = (2π₯) . (2π₯4 + 2) + (2π₯ + 2)
ii. 2π₯4 + 2 = (π₯3 + 2π₯2 + π₯ + 2) . (2π₯ + 2) + 1
iii. (2π₯ + 2) = (2π₯ + 2) . 1 + 0
Diperoleh gcd(π(π₯), π(π₯)) = 1.
Selanjutnya akan dicari π (π₯) dan π‘(π₯)dengan menggunakan persamaan i dan ii,
yaitu:
1= 2π₯4 + 2 β (π₯3 + 2π₯2 + π₯ + 2) . (2π₯ + 2) (dari ii)
= 2π₯4 + 2 β (π₯3 + 2π₯2 + π₯ + 2) . [(π₯5 + 2) β (2π₯) . (2π₯4 + 2)]
= (2π₯4 + π₯3 + 2π₯2 + 1) . 2π₯4 + 2 + (2π₯3 + π₯2 + 2π₯ + 1) . π₯5 + 2
Didapat π (π₯) = 2π₯4 + π₯3 + 2π₯2 + 1, π‘(π₯) = 2π₯3 + π₯2 + 2π₯ + 1.