lagrange equation final destination2

70
9-1 Koordinat Umum. Penerapan langsung hukum Newton untuk sistem mekanis akan menghasilkan set persamaan dalam suku koordinat Cartesian dari masing-masing partikel dalam sistem tersebut. Dalam banyak kasus, ini bukan koordinat yang paling mudah dalam hal untuk memecahkan masalah atau untuk menggambarkan gerakan sistem. Misalnya, dalam masalah gerak dari partikel tunggal bertindak yang dipengaruhi oleh gaya sentral, yang telah dikaji di Bagian 3-13, kita menemukan bahwa lebih mudah jika diperkenalkan koordinat polar pada bidang gerak partikel. Alasannya adalah bahwa gaya dalam suku ini dapat dinyatakan lebih sederhana dalam suku koordinat polar. Sekali lagi dalam masalah-dua benda, dikaji di Bagian 4-7, kita merasa mudah untuk menggantikan koordinat r 1 , r 2 dari dua partikel dengan koordinat vektor R dari pusat massa, dan vektor koordinat relatif r yang menempatkan partikel 1 sehubungan dengan partikel 2. Kita punya dua alasan untuk pilihan koordinat ini. Pertama, gaya mutual di mana partikel-partikel saling mempengaruhi satu sama lain biasanya tergantung pada koordinat relatif. Kedua, dalam banyak kasus kita tertarik pada deskripsi dari gerak satu partikel relatif terhadap yang lain, seperti dalam kasus gerak planet. Dalam masalah yang melibatkan banyak partikel, biasanya mudah untuk memilih set koordinat yang meliputi koordinat pusat massa, karena gerak pusat massa ditentukan oleh persamaan yang relatif sederhana (4- Persamaan Lagrange Halaman 1

Upload: adhitya-kaka

Post on 14-Dec-2015

65 views

Category:

Documents


13 download

TRANSCRIPT

Page 1: Lagrange Equation Final Destination2

9-1 Koordinat Umum. 

Penerapan langsung hukum Newton untuk sistem mekanis akan menghasilkan set

persamaan dalam suku koordinat Cartesian dari masing-masing partikel dalam sistem

tersebut. Dalam banyak kasus, ini bukan koordinat yang paling mudah dalam hal untuk

memecahkan masalah atau untuk menggambarkan gerakan sistem. Misalnya, dalam

masalah gerak dari partikel tunggal bertindak yang dipengaruhi oleh gaya sentral, yang

telah dikaji di Bagian 3-13, kita menemukan bahwa lebih mudah jika diperkenalkan

koordinat polar pada bidang gerak partikel. Alasannya adalah bahwa gaya dalam suku ini

dapat dinyatakan lebih sederhana dalam suku koordinat polar. Sekali lagi dalam masalah-

dua benda, dikaji di Bagian 4-7, kita merasa mudah untuk menggantikan koordinat r1, r2

dari dua partikel dengan koordinat vektor R dari pusat massa, dan vektor koordinat relatif

r yang menempatkan partikel 1 sehubungan dengan partikel 2. Kita punya dua alasan

untuk pilihan koordinat ini. Pertama, gaya mutual di mana partikel-partikel saling

mempengaruhi satu sama lain biasanya tergantung pada koordinat relatif. Kedua, dalam

banyak kasus kita tertarik pada deskripsi dari gerak satu partikel relatif terhadap yang

lain, seperti dalam kasus gerak planet. Dalam masalah yang melibatkan banyak partikel,

biasanya mudah untuk memilih set koordinat yang meliputi koordinat pusat massa,

karena gerak pusat massa ditentukan oleh persamaan yang relatif sederhana (4-

18). Dalam Bab 7, Kita menemukan persamaan gerakan partikel dalam sistem koordinat

bergerak, yang kadang-kadang lebih mudah untuk digunakan dari sistem koordinat tetap

yang dimaksud dalam persamaan asli Newton tentang gerak. 

Kita harus menyertakan sistem koordinat seperti yang dijelaskan di atas, bersama

dengan sistem koordinat Kartesius, dengan nama  koordinat umum. Set koordinat umum

adalah setiap himpunan koordinat yang berarti di mana posisi partikel dalam sebuah

sistem dapat ditentukan. Dalam masalah yang membutuhkan koordinat umum, kita dapat

mengatur persamaan gerak Newton dalam koordinat Cartesian, dan kemudian

mengubahnya ke koordinat umum, seperti dalam masalah-masalah yang dipelajari dalam

bab-bab sebelumnya. Alangkah baiknya jika terdapat metode umum untuk menyusun

persamaan gerak secara langsung dalam setiap set yang tepat dari koordinat

umum. Selain itu dibutuhkan untuk memiliki metode yang seragam dalam menulis, dan

Persamaan Lagrange Halaman 1

Page 2: Lagrange Equation Final Destination2

mungkin untuk memecahkan, persamaan gerak dalam sistem koordinat apapun. Metode

seperti ini ditemukan oleh Lagrange dan merupakan pokok bab ini. 

Dalam setiap kasus yang disebutkan di paragraf pertama, jumlah koordinat dalam

sistem koordinat baru diperkenalkan untuk menyederhanakan masalah sama dengan

jumlah koordinat Cartesian di mana semua partikel terlibat. Kita mungkin, misalnya,

mengganti dua Cartesian koordinat x, y dari partikel yang bergerak dalam bidang dengan

dua koordinat polar r, θ, atau ruang tiga koordinat x, y, z dengan tiga koordinat bola atau

koordinat silinder. Atau kita dapat mengganti enam koordinat x1 , y1 , z1 , x2 , y2, z2 dari

sepasang partikel oleh tiga koordinat X, Y, Z dari pusat massa ditambah dengan tiga

koordinat x, y, z dari satu partikel relatif yang lain. Atau kita dapat mengganti tiga

koordinat partikel relatif terhadap sumbu sistem tetap oleh tiga koordinat relatif terhadap

sumbu bergerak. (Vektor dianggap sebagai tiga koordinat.)

Pada rotasi benda tegar terhadap suatu sumbu (Bagian 5-2), kita menggambarkan

posisi benda dalam sudut koordinat angular tunggal θ. Di sini kita memiliki kasus di

mana kita dapat mengganti banyak koordinat Cartesian, tiga untuk setiap partikel di

dalam benda, dengan koordinat tunggal θ. Hal ini dimungkinkan karena benda yang tegar

dan hanya berputar pada sumbu tetap. Sebagai hasil dari kedua fakta ini, posisi benda

sudah benar-benar ditentukan pada saat kita menentukan posisi sudut dari beberapa garis

acuan di dalam benda. Posisi benda tegar bebas dapat ditentukan oleh enam koordinat,

tiga untuk mencari pusat massa, dan tiga untuk menentukan orientasi dalam ruang. Ini

adalah penyederhanaan besar dibandingkan dengan koordinat Cartesian 3N yang

dibutuhkan untuk menemukan N partikel. Benda tegar adalah contoh dari sistem

partikel constraints (terpaksa), yaitu kondisi yang membatasi kemungkinan nilai-nilai

koordinat. Dalam kasus sebuah benda tegar, batasannya adalah bahwa jarak antara dua

partikel harus tetap. Jika benda hanya dapat berputar pada sumbu tetap, maka jarak setiap

partikel dari sumbu juga tetap. Ini adalah alasan mengapa menentukan nilai koordinat

tunggal θ sudah cukup untuk menentukan posisi dari setiap partikel dalam benda. Kita

akan menunda pembahasan sistem seperti ini yang melibatkan paksaan sampai Bagian 9-

4. Pada bagian ini, dan berikutnya, kita harus membangun sebuah teori koordinat umum,

dengan asumsi bahwa ada banyak koordinat umum seperti halnya koordinat

Persamaan Lagrange Halaman 2

Page 3: Lagrange Equation Final Destination2

Cartesian. Kita kemudian akan menemukan, dalam Bagian 9-4, bahwa teori ini berlaku

juga untuk gerakan sistem terpaksa.

Ketika kita ingin berbicara tentang sistem fisis yang dijelaskan oleh serangkaian

koordinat umum, tanpa menetapkan apa koordinatnya untuk saat ini, biasanya untuk

masing-masing koordinat ditulis dengan huruf q. Suatu kumpulan n koordinat umum

akan ditulis sebagai q1 , q2 ,…,qn. Demikian partikel bergerak dalam bidang dapat

digambarkan oleh dua koordinat q1 , q2, yang mungkin dalam kasus-kasus khusus menjadi

koordinat Cartesian x, y, atau koordinat polar r, θ, atau pasangan lain koordinat yang

cocok. Sebuah partikel bergerak dalam ruang yang lokasi dinyatakan oleh tiga koordinat,

yang mungkin dalam koordinat Cartesian x, y, z, atau koordinat bola r, θ, φ, atau

koordinat silinder ρ , z , φatau, secara umum,q1 , q2 , q3.

Konfigurasi sistem dari N partikel dapat ditentukan oleh koordinat Cartesian 3N

x1 , y1 , z1 , x2 , y2, z2, …, xN , y N , z N dari partikel, atau oleh kumpulan dari  3N  buah

koordinat umum yaitu q1 , q2 ,…,q3 N. Karena untuk setiap konfigurasi sistem, koordinat

umum harus memiliki seperangkat nilai-nilai tertentu, koordinat q1 , …, q3 N akan menjadi

fungsi koordinat Cartesian, dan mungkin juga fungsi waktu dalam kasus sistem koordinat

bergerak: 

q1=q 1 ( x1 , y1 , z1 , x2 , y2 ,. .. . ., y N , z N ; t ),

q2=q 2 ( x1 , y1 ,. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . . z N ; t ),

⋮ (9-1)

q3 N=q 3 N ( x1 , y1 , . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. zN ; t ) ,

Karena koordinat q1 , …, q3 N menentukan konfigurasi sistem, itu juga dapat

menggambarkan koordinat Cartesian dalam koordinat umum: 

x1=x 1 (q1 , q2 , .. . .. , q3 N ; t ) ,

y1= y 1 ( q1 , .. . .. .. . ., q3 N ; t ) ,

⋮(9-2)

zN=z N (q1 ,. .. . .. . ,q3 N ; t ) ,

Persamaan Lagrange Halaman 3

Page 4: Lagrange Equation Final Destination2

Jika Persamaan. (9-1) diberikan, maka akan dapat diselesaikan untuk x1 , y1 , …, z N untuk

mendapatkan Persamaan (9-2), dan sebaliknya.

Kondisi matematika bahwa solusi ini (secara teoritis) yang mungkin adalah bahwa

determinan Jacobian dari Persamaan (9-1) tidak sama dengan nol pada semua titik, atau

hampir seluruh poin:

∂(q1 ,. . .. . , q3 N )∂ (x1 , y1 , .. . .. . z N )

=¿|∂ q1

∂ x1

∂ q2

∂ x1

⋯∂ q3 N

∂ x1

¿||∂q1

∂ y1

∂ q2

∂ y1

⋯∂q3 N

∂ y1

¿||⋮¿|¿

¿

¿¿

(9-3)

Jika persamaan ini tidak terpenuhi, maka Persamaan (9-1) tidak mendefinisikan satu set

koordinat umum yang sah. Dalam hampir semua kasus fisis, itu akan terbukti dari definisi

geometris dari koordinat umum apakah mereka adalah seperangkat koordinat yang

sah. Jadi kita tidak akan memiliki kesempatan untuk menerapkan uji di atas untuk kita

sistem koordinat.

Sebagai contoh, kita

memiliki persamaan (3-72) dan (3-

73) yang menghubungkan

koordinat polar r, θ dari partikel

tunggal dalam bidang dengan

koordinat Cartesiannya x, y. 

Sebagai contoh dari sistem

koordinat bergerak, kita anggap

koordinat polar di mana sumbu acuan dari mana θ diukur berputar searah jarum jam

dengan kecepatan sudut konstan ω (Gambar 9-1): 

r=( x2+ y2 )1/2,

Persamaan Lagrange Halaman 4

Page 5: Lagrange Equation Final Destination2

θ=tan−1 yx−ωt ,

(9-4)

dan sebaliknya,

x=r cos (θ+ωt )

y=rsin (θ+ωt ) (9-5)

Sebagai contoh koordinat umum untuk sistem partikel, kita memiliki pusat massa

koordinat X, Y, Z dan koordinat relatif x, y, z dari dua partikel dengan massa m1, dan m2,

seperti yang didefinisikan oleh Persamaan. (4-90) dan (4-9 1), di mana X, Y, Z adalah

komponen R, dan x, y, z adalah komponen dari r. Karena transformasi persamaan (4-90)

dan (4-91) tidak mengandung waktu secara eksplisit, kita menganggap ini sebagai sistem

koordinat tetap, meskipun x, y, z adalah koordinat m1 relatif terhadap m2. Aturan yang

digunakan untuk mendefinisikan koordinat X, Y, Z, x, y, z adalah sama sepanjang waktu.

Gambar. 9-1. Rotasi sistem koordinat polar. 

Jika suatu sistem partikel dijelaskan oleh satu set koordinat umum q1 , q2 ,…,q3 N,

akan kita sebut turunan waktu dari setiap koordinat qk adalah qk, yaitu kecepatan

umum yang menyertai koordinat. Kecepatan umum yang bersesuaian dengan sebuah

koordinat Cartesian x i hanyalah merupakan komponen bersesuaian x i dari kecepatan

partikel pada koordinat. Kecepatan umum dikaitkan dengan koordinat sudut θ merupakan

kecepatan sudut yang bersesuaian dengan θ. Kecepatan yang berhubungan dengan

koordinat X dalam contoh sebelumnya adalah X yaitu komponen x dari kecepatan pusat

massa. Kecepatan umum dapat dihitung dalam suku koordinat Cartesian dan suku

kecepatan, dan sebaliknya, yaitu dengan mendeferensialkan Persamaan (9-1) atau (9-2)

terhadap waktu t sesuai dengan aturan untuk mendeferensialkan fungsi-fungsi

implisit. Misalnya, komponen kecepatan Cartesius dapat dinyatakan dalam suku

koordinat umum dan kecepatan dengan mendeferensialkan Persamaan (9-2):

x 1 =∑k=1

3 N ∂ x1

∂qk

q+∂ x1

∂ t,

Persamaan Lagrange Halaman 5

Page 6: Lagrange Equation Final Destination2

zN=∑k=1

3 Nn ∂ z N

∂ qk

qk+∂ z N

∂ t,

(9-6)

Sebagai contoh, kita miliki dari Persamaan (9-5):

x=r cos (θ+ωt )−r θ sin (θ+ωt )−rωsin (θ+ωt ) ,

y= rsin (θ+ωt )−r θ cos (θ+ωt )−rω cos (θ+ωt ) , (9-7)

Energi kinetik N sistem partikel , dalam suku koordinat Cartesian adalah,

T=∑i=1

N12

mi ( x i2+ yi

2+zi2) .

(9-8)

Dengan mensubstitusikan dari Persamaan (9-6), kita memperoleh energi kinetik dalam

suku koordinat umum. Jika kita mengatur ulang susunan penjumlahan, hasilnya adalah

T=∑k=1

3 N

∑l=1

3 N12

Akl qk ql+∑k=1

3 N

Bk qk +T 0 ,(9-9)

dimana

Akl=∑i=1

N

mi( ∂ xi

∂ qk

∂ x i

∂q l

+∂ y i

∂ qk

∂ yi

∂q l

+∂ zi

∂ qk

∂ zi

∂q l) ,

(9-10)

Bk=∑i=1

N

mi( ∂ xi

∂ qk

∂ x i

∂t+

∂ y i

∂ qk

∂ y i

∂t+

∂ zi

∂ qk

∂ zi

∂t ) ,(9-11)

T 0=∑i=1

N12

mi[(∂ x i

∂t)

2

+(∂ y i

∂t)2

+(∂ zi

∂t)2 ] ,

(9-12)

Koefisien Akl, Bk, dan T 0 adalah fungsi dari koordinat q1 , …, q3 N dan juga t untuk suatu

sistem koordinat bergerak. Jika Akl adalah nol kecuali k=l, maka koordinat dikatakan

ortogonal. Koefisien Bk dan T0 bernilai nol pada saat t tidak terjadi secara eksplisit di

dalam Persamaan (9-1), sebagai contoh, ketika sistem koordinat umum tidak berubah

Persamaan Lagrange Halaman 6

Page 7: Lagrange Equation Final Destination2

terhadap waktu. Kita melihat bahwa energi kinetik, pada umumnya, mengandung tiga

suku:

T=T 1+T 2+T 0 (9-13)

Di mana T2 berisi suku kuadrat dalam kecepatan umum, T1 mengandung suku linear,

dan T0  adalah tidak tergantung dari kecepatan. Suku T1 dan T0 muncul hanya dalam

sistem koordinat bergerak; untuk sistem koordinat tetap, energi kinetik adalah kuadrat

dari kecepatan umum.

Sebagai contoh, dalam koordinat polar bidang [Persamaan. (3-72)], energi kinetik

adalah

T=12

m ( x2+ y2)

=

12

(m x2+mr2 θ2)(9-14)

yang dapat diperoleh dengan mensubstitusi langsung dari Persamaan (3-72), atau kasus

khusus pada Persamaan (9-9), di mana

∂ x∂ r

=cosθ ,∂ x∂θ

=−r sin θ

(9-15)

∂ y∂ r

=sin θ,

∂ y∂θ

=r cosθ

Jika kita mengambil sistem koordinat bergerak yang didefinisikan oleh Persamaan (9-5),

kita menemukan, dengan mensubstitusi dari Persamaan (9-7), atau dengan menggunakan

Persamaan (9-9),

T=12

m ( x2+ y2)

=12

(m r2+mr2 θ2 )+mr2 ωθ+ 12

mr 2 ω2

(9-16)

Persamaan Lagrange Halaman 7

Page 8: Lagrange Equation Final Destination2

Dalam kasus ini, suku linier dalam θ dan suku independen r dan θ muncul. Energi kinetik

untuk sistem dua-partikel juga dapat dengan mudah dituliskan dalam bentuk X,Y,Z ,x, y,

z, ditunjukkan oleh Persamaan (4-90) dan (4-91) 

Daripada mencari energi kinetik terlebih dahulu pada koordinat Cartesian dan

kemudian mengubahnya ke dalam koordinat umum, seperti pada contoh

di atas, seringkali lebih mudah untuk mengerjakan energi kinetik secara langsung dalam

suku koordinat umum dari pemaknaannya secara geometris. Ini akan mungkin untuk

memulai masalah dari awal dengan satu set koordinat umum yang sesuai tanpa menulis

secara eksplisit persamaan transformasi (9-1) dan (9-2) pada semuanya. Sebagai contoh,

kita dapat memperoleh Persamaan (9-14) langsung dari pemaknaan geometri

koordinat r , θ (lihat Gambar 3-20) dengan memperhatikan bahwa kecepatan linear yang

terkait dengan perubahan dalam r adalah rdan terkait dengan perubahan dalam θ

sebesar r θ. Saat arah kecepatan yang terkait dengan r dan θ tegak lurus, kuadrat total dari

kecepatan menjadi

v2=r 2+r2 θ2(9-17)

sehingga Persamaan (9-14) akan segera menyesuaikan. Dalam menerapkan metode ini

harus teliti jika kecepatan yang terkait

dengan perubahan dari berbagai koordinat

tidak tegak lurus. Sebagai contoh, mari

perhatikan sepasang sumbu koordinat u,v

yang membentuk sudut α kurang daripada

90° terhadap satu sama lain, seperti pada

Gambar 9-2. u dan v menjadi sisi dari

pararellogram yang dibentuk oleh sumbu

dan garis-garis sejajar dengan sumbu

melalui massa m  seperti pada gambar 9-

2. Kemudian a dan b sebagai unit vektor

dalam arah peningkatan dari u dan v. Dengan menggunakan u dan v sebagai koordinat,

kecepatan dari massa m adalah

v = u2 a+ωb (9-18)

Persamaan Lagrange Halaman 8

Page 9: Lagrange Equation Final Destination2

Energi kinetiknya

T=12

mv . v=12

mu2+ 12

mω2+m u ωcosα(9-19)

Ini adalah contoh dari serangkaian koordinat nonorthogonal di mana suku cross product

dalam kecepatan muncul dalam energi kinetik. Alasan untuk menggunakan

suku orthogonal,  yang berarti tegak lurus, jelas dari contoh ini. Ketika sistem lebih dari

satu partikel dijelaskan dalam suku koordinat umum, biasanya paling aman untuk

menulis energi kinetik pertama di koordinat Cartesian dan mengubah untuk koordinat

umum. Namun, dalam beberapa kasus, adalah mungkin untuk menulis energi kinetik

langsung pada koordinat umumnya. Sebagai contoh, jika sebuah benda tegar berputar

pada sumbunya, kita tahu bahwa energi kinetiknya adalah 12

I ω2, dimana ω adalah

kecepatan sudut dan I adalah momen inersia. Juga, kita dapat menggunakan teorema

yang telah dibuktikan dalam Bagian 4-9 bahwa energi kinetik total sistem partikel adalah

energi kinetik terhadap pusat massa ditambah dengan koordinat internal yang

bersesuaian. [Lihat Persamaan (4-127).] Sebagai contoh, energi kinetik dari sistem dua-

partikel pada koordinat X, Y, Z, x, y, z, didefinisikan oleh Persamaan (4-90) dan (4-91)

adalah 

T=12

M ( X2+Y 2+Z2 )+12

μ ( x2+ y2+ z2 )(9-20)

di mana M dan μ diberikan oleh Persamaan (4-97) dan (4-98). Hasilnya menunjukkan

bahwa ini adalah sistem koordinat ortogonal. Jika kecepatan linier dari setiap partikel

dalam sistem dapat ditulis langsung dalam koordinat umum dan kecepatan, maka energi

kinetik dapat segera ditulis.

Sekarang kita perhatikan bahwa komponen momentum linear partikel i, menurut

Persamaan (9-8), adalah

pix=m x i=∂T∂ xi ,

piy=m y i=∂T∂ y i ,

piz=m zi=∂T∂ zi (9-21)

Dalam kasus partikel yang bergerak dalam bidang, turunan dari T terhadap r dan θ,

seperti yang diberikan oleh Persamaan (9-14), adalah

Persamaan Lagrange Halaman 9

Page 10: Lagrange Equation Final Destination2

pr=mr=∂T∂ r

, pθ=mr2 θ=∂T∂ θ

,(9-22)

di mana pr adalah komponen momentum linier dalam arah  peningkatan r, dan pθ adalah

momentum sudut asalnya. Hasil serupa juga akan ditemukan untuk koordinat bola dan

silinder dalam tiga dimensi. Pada kenyataannya, tidaklah sulit untuk menunjukkan bahwa

untuk setiap koordinat qk yang mengukur perpindahan linier dari setiap partikel atau

kelompok partikel dalam arah tertentu, momentum linear dari partikel atau kelompok

partikel pada arah yang diberikan adalah ∂ T /∂ qk ; dan bahwa untuk setiap koordinat qk

yang mengukur perpindahan sudut dari partikel atau kelompok partikel terhadap sebuah

sumbu, momentum sudut mereka pada sumbu adalah ∂ T /∂ qk. Hal ini menunjukkan

bahwa kita menunjukkan bahwa momentum umum pk, yang bersesuaian dengan

koordinat qk adalah

pk=∂T∂ qk

,(9-23)

Energi kinetik didefinisikan oleh Persamaan (9-9) sebagai fungsi dari

q1 , …, q3 N ;q1 , …, q3 N dan mungkin dari t. Turunan fungsi T ini berkaitan dengan

variabel-variabel akan ditandai dengan simbol untuk diferensiasi parsial. Ketika

q1 , …, q3 N ; q1 , …, q3 N adalah semua fungsi dari waktu t untuk setiap gerakan yang

diberikan dari sistem, T juga merupakan fungsi t saja untuk setiap gerakan yang

diberikan. Turunan dari T terhadap waktu dalam pengertian ini akan dilambangkan

dengan d/dt. Pernyataan yang sama berlaku untuk kuantitas lain yang dapat ditulis

sebagai fungsi dari koordinat dan kecepatan dan mungkin t, dan yang juga merupakan

fungsi t saja untuk setiap gerakan yang diberikan.

Jika qk adalah jarak, maka pk adalah momentum linier yang sesuai. Jika qk adalah sudut,

pk adalah momentum sudut yang sesuai. Dalam kasus lain, pk akan memiliki arti fisis

yang sesuai lainnya. Menurut Persamaan. (9-9), momentum umum pk adalah 

pk=∑i=1

3 N

Akl ql+Bk ,(9-24)

Dalam kasus koordinat X, Y, Z, x, y, z untuk sistem dua-partikel, definisi ini memberikan

Persamaan Lagrange Halaman 10

Page 11: Lagrange Equation Final Destination2

px=M X , py=M Y , pz=M Z

(9-25)

px=μ x , p y=μ y , pz=μ z

di mana pX , pY , pZ adalah komponen dari momentum linier total kedua partikel,

dan px , py , pz adalah komponen momentum linier dalam masalah satu-dimensi yang

setara dalam x, y, z di mana masalah dua benda yang direduksi dalam Bagian 4-7. Kita

akan lihat dalam bagian berikutnya bahwa analog antara momentum umum pk  dan

komponen Cartesian momentum linier dapat diperpanjang dengan persamaan gerak

dalam koordinat umum.

Jika gaya F1x , F1 y , F1 z , …, FNz bekerja pada partikel, kerja yang dilakukan oleh

gaya jika partikel bergerak dari posisi x1 , y1 , z1 ,…, z N ke titik terdekat

x1+δ x1 , y1+δ y1 , z1+δ z1 ,…, zN+δ zN adalah

δW=∑i=1

N

( F ix δ xi+Fiy δ yi+F iz δ zi )(9-26)

Perpindahan kecil δ x i , δ y i , δ zi dapat dinyatakan dalam koordinat umum:

δ xi=∑k=1

3 N ∂xi

∂qkδqk

,

δ yi=∑k=1

3 N ∂ yi

∂qkδqk

(9-27)

δ zi=∑k=1

3 N ∂ zi

∂qkδ qk

di mana δ qi , …, δ q3 N adalah perbedaan dalam koordinat umum terkait dengan dua set

posisi dari partikel. Kita menyebutnya virtual displacement (perpindahan semu) sebuah

sistem karena tidak perlu untuk mewakili setiap gerakan yang sebenarnya dari sistem. Ini

mungkin adalah gerakan yang mungkin dari sistem. Dalam kasus sistem koordinat

bergerak, kita menganggap waktu adalah tetap, kita menentukan perubahan posisi dalam

Persamaan Lagrange Halaman 11

Page 12: Lagrange Equation Final Destination2

sistem koordinat pada waktu tertentu t.  Jika kita substitusikan Persamaan (9-27) ke

Persamaan (9-26, setelah menata ulang suku-suku:

δW=∑k=1

3 N

Qk δqk(9-28)

di mana

Qk=∑i=1

N

(F ix

∂xi

∂qk+F iy

∂ yi

∂qk+F iz

∂ zi

∂qk)

(9-29)

Koefisien Qk tergantung pada gaya yang bekerja pada partikel, pada koordinatq1 , …, q3 N,

dan mungkin juga pada waktu t. Mengingat kesamaan dalam bentuk antara Persamaan (9-

26) dan (9-28), maka besaran Qkdapat disebut sebagai gaya umum yang terkait dengan

koordinat qk. Kita dapat menentukan gaya umum Qk secara langsung, tanpa mengacu

pada sistem koordinat Kartesius, sebagai koefisien yang menentukan usaha yang

dilakukan dalam perpindahan semu di mana qk mengubah:

δW=Q k δqk (9-30)

di mana δW  adalah usaha yang dilakukan ketika sistem bergerak sedemikian rupa di

mana qk meningkat oleh δqk , semua koordinat yang lain tetap konstan. Perhatikan bahwa

usaha di Persamaan (9-26), dan karena itu juga di Persamaan (9-30), yang akan dihitung

dari nilai dari gaya untuk posisi x1 , …, zN atau q1 , …, q3 N ; kita tidak memperhitungkan

perubahan gaya selama perpindahan semu.

Jika gaya F1x , …, FNz yang didapati dari energi potensial V ( x1 , …, zN )

[Persamaan (4-32)], kemudian

δW=−δV

=−∑

i=1

N

(∂V∂ xi

δxi+∂V∂ y i

δy i+∂V∂ zi

δzi)(9-31)

Jika V dinyatakan dalam koordinat umum, maka

δW=−δV

=∑k=1

3 N ∂V∂qk

δqk(9-32)

Persamaan Lagrange Halaman 12

Page 13: Lagrange Equation Final Destination2

Dengan membandingkan ini dengan Persamaan (9-28), kita melihat bahwa

Qk=− ∂V∂ qk (9-33)

yang menunjukkan bahwa dalam pengertian itu definisi Qksebagai gaya umum adalah

satu yang lazim. Persamaan (9-33) mungkin juga akan dibuktikan langsung

oleh perhitungan:

∂V∂qk

=∑i=1

N

(∂V∂ x i

∂ x i

∂ qk

+ ∂V∂ y i

∂ y i

∂qk

+ ∂V∂ zi

∂ zi

∂ qk)

= −∑

i=1

N

(F ix

∂xi

∂qk+Fiy

∂ yi

∂qk+F iz

∂ zi

∂qk)

= −Qk

Sebagai contoh, mari kita menghitung gaya umum yang terkait dengan koordinat

polar r, θ, untuk partikel yang dikerjakan oleh gaya

F=iFx+ jFy=nFr+ IFθ (9-34)

Jika kita menggunakan definisi (9-29), akan diperoleh dengan menggunakan persamaan

(9-15):

Qr=F x∂ x∂r

+Fy∂ y∂ r

= Fx cosθ+F y sin θ

=F r

(9-35)

Qθ=Fx∂ x∂θ

+Fy∂ y∂ θ

= - rFx sin θ+rF y cosθ

= r Fθ

Dapat dilihat bahwa Qr adalah komponen gaya dalam arah r, dan Qθ adalah torsi yang

bertindak untuk meningkatkan θ. Hal ini biasanya lebih cepat untuk menggunakan

definisi (9-30), yang memungkinkan kita tidak menggunakan koordinat Cartesian sama

Persamaan Lagrange Halaman 13

Page 14: Lagrange Equation Final Destination2

sekali. Jika kita mempertimbangkan perpindahan kecil di mana r menjadi  r +δr , dengan

θ tetap konstan, usaha adalah

δW=F τ δ τ (9-36)

dari Persamaan (9-35) yang pertama. Jika kita mempertimbangkan perpindahan di

mana r adalah tetap dan θ meningkat sebesar δθ, usaha menjadi

δW=Fθ r δθ (9-37)

dari Persamaan (9-35) yang kedua. Secara umum, jika qk adalah koordinat yang

mengukur jarak perpindahan oleh beberapa bagian dari sistem mekanik dalam arah

tertentu, dan jika F k merupakan komponen dalam arah dari gaya total yang bekerja pada

bagian dari sistem, kemudian usaha yang dilakukan ketika qk, yang meningkat

sebesar δqk, semua koordinat lainnya yang tersisa konstan, maka

δW=Fk δqk (9-38)

Bandingkan ini dengan Persamaan. (9-30), kita memiliki

Qk = Fk (9-39)

Dalam suku ini, gaya umum Qk hanya merupakan gaya biasa . Jika qk mengukur rotasi

sudut bagian tertentu dari sistem sumbu tertentu, dan jika Nk adalah torsi total tentang

sumbu yang diberikan pada bagian sistem, maka usaha yang dilakukan ketika qk

meningkat sebesar δqkadalah

δW=N k δqk (9-40)

Bandingkan ini dengan Persamaan (9-30), kita memiliki

Qk = Nk (9-41)

Gaya umum Qkdikaitkan dengan koordinat sudut qk, adalah torsi yang sesuai.

9-2 Persamaan Lagrange.

Analogi yang mengarahkan menuju definisi momentum umum dan gaya umum

mendorong kita untuk menduga bahwa persamaan umum gerak akan menyamakan laju

perubahan waktu dari setiap momentum pk  yang bersesuaian dengan gaya Qk. Untuk

memeriksa dugaan ini, mari kita menghitung laju perubahan terhadap waktu dari pk:

Persamaan Lagrange Halaman 14

Page 15: Lagrange Equation Final Destination2

dpk

dt= d

dt ( ∂T∂ qk

)(9-42)

Kita akan perlu untuk memulai dari persamaan gerak Newton dalam bentuk Cartesian:

mi x i=F ix

mi y i=F iy [ i=1 ,. . .. , N ] (9-43)

mi zi=F iz

Oleh karena itu kita menyatakan T di koordinat Cartesian [Persamaan. (9-8)]. Kita

kemudian memiliki

∂T∂ qk

=∑i=1

N

mi ( x i

∂ x i

∂ qk

+ y i

∂ y i

∂ qk

+ zi

∂ zi

∂ qk), (9-44)

Di mana x1 , y1 , …, z Ndiberikan sebagai fungsi dari q1 , …, q3 N ; q1 , …, q3 N ; dan t oleh

Persamaan (9-6). Karena ∂ x i /∂ qk dan ∂ x i /∂ t adalah fungsi hanya jika q1 , …, q3 N dan t

akan didapatkan, dengan mendeferensialkan Persamaan (9-6): 

∂ x i

∂ qk

=∂ xi

∂ qk

,

∂ y i

∂ qk

=∂ yi

∂ qk

,[ i=1 ,. . .. , N ; k=1 , .. .. , 3 N ] (9-45)

∂ zi

∂ qk

=∂ zi

∂ qk

,

Dengan mensubstitusikan dari Persamaan (9-45) pada Persamaan (9-44), dan

mendeferensialkan lagi terhadap waktu t, akan diperoleh :

dpk

dt=∑

i=1

N

mi( x i

∂ x i

∂qk

+ y i

∂ yi

∂qk

+ zi

∂ zi

∂ qk)+∑i=1

N

mi( xiddt

∂ x i

∂qk

+ y iddt

∂ y i

∂ qk

+ ziddt

∂ zi

∂ qk) (9-46)

Menurut persamaan gerak Newton (9-43), dan definisi (9-29), suku pertama di

Persamaan (9-46) adalah

∑i=1

N

mi ( x i

∂ xi

∂ qk

+ yi

∂ y i

∂ qk

+ zi

∂ zi

∂qk)=∑

i=1

N

(Fix

∂ x i

∂qk

+F iy

∂ y i

∂ qk

+F iz

∂ zi

∂ qk)= Qk (9-47)

Persamaan Lagrange Halaman 15

Page 16: Lagrange Equation Final Destination2

Turunan yang muncul dalam suku terakhir pada Persamaan (9-46) dihitung sebagai

berikut:

ddt

∂ x i

∂ qk

=∑l=1

3 N ∂2 x i

∂ qk ∂ ql

q l+∂2 x i

∂qk ∂ t= ∂

∂ qk(∑

l=1

3 N ∂ xi

∂ ql

q l+∂ x i

' t )= ∂ x i

∂ qk (9-48)

dimana kita telah menggunakan Persamaan (9-6). Ekspresi serupa berlaku untuk y

dan z. Jadi jumlah terakhir pada Persamaan (9-46) adalah

∑i=1

N

mi ( x iddt

∂ x i

∂qk

+ y iddt

∂ y i

∂ qk

+ ziddt

∂ zi

∂qk)

= ∑i=1

N

mi ( x i

∂ xi

∂ qk

+ yi

∂ y i

∂ qk

+ zi

∂ zi

∂qk)= ∂

∂qk∑i=1

N12

mi ( x i2+ y

i2+ z

i2)

=

∂T∂qk (9-49)

Kita akhirnya mendapatkan:

dpk

dt=Qk+

∂T∂ qk

,k = 1, …., 3N (9-50)

Dugaan semula kita tidak sepenuhnya benar, untuk itu kita harus menambahi gaya umum

Qk dengan suku lain ∂ T /∂ qk dalam upaya untuk mendapatkan laju perubahan momentum

pk. Untuk melihat artinya, tinjau energi kinetik partikel dalam koordinat bidang polar,

seperti yang diberikan oleh Persamaan (9-14). Dalam hal ini, 

∂T∂ r

=mr { θ2

,¿(9-51)

dan jika kita menggunakan Persamaan (9-22) dan (9-35), persamaan gerak (9-50) untuk

qk=r adalah

m r=F r+mr { θ2¿ (9-52)

Jika kita bandingkan dengan Persamaan (3-207), yang merupakan hasil dari aplikasi

langsung Hukum Newton tentang gerak, kita melihat bahwa suku ∂ T /∂ r adalah bagian

dari massa kali percepatan yang muncul di sini ditransposisikan ke sisi kanan dari

persamaan. Kenyataannya, ∂ T /∂ r adalah “gaya sentrifugal” yang harus ditambahkan

untuk menulis persamaan gerak untuk r dalam bentuk persamaan Newton untuk gerak

Persamaan Lagrange Halaman 16

Page 17: Lagrange Equation Final Destination2

dalam garis lurus. Apabila kita sedikit lebih pintar, kita harus mengharapkan bahwa

beberapa suku tersebut mungkin harus dimasukkan. Kita dapat menyebut ∂ T /∂ qk 

sebagai sebuah “gaya fiktif” yang muncul jika energi kinetik tergantung pada koordinat

qk. Ini akan menjadi kasus ketika sistem koordinat melibatkan koordinat "melengkung",

yaitu, jika kecepatan umum konstan q1 , …, q3 N mengakibatkan gerakan melengkung dari

beberapa bagian dari sistem mekanis (Persamaan 9-50) yang biasanya ditulis dalam

bentuk

ddt ( ∂T

∂ qk)− ∂T

∂ qk

=Qk ,k = 1,….., 3N (9-53)

Jika ada energi potensial, maka gaya qk dapat diturunkan dari fungsi energi potensial

[Persamaan (9-33)], kita dapat memperkenalkan fungsi Lagrangian

L (q1 ,. . .. . ,q3 N ; q1 , . .. . q3 N ; t )=T−V ,(9-54)

di mana T bergantung pada q1 , …, q3 N dan q1 , …, q3 N tapi V hanya bergantung pada

q1 , …, q3 N (dan mungkin t), sehingga

ddt

∂ L∂ qk

= ddt

∂ T∂ qk

,(9-55)

∂ L∂qk

= ∂T∂ qk

− ∂V∂qk

= ∂T∂qk

+Qk(9-56)

Oleh karena itu Persamaan (9-53) dapat ditulis dalam bentuk 

ddt ( ∂T

∂ qk)− ∂ L

∂ qk

=0 ,k = 1, …., 3N (9-57)

Dalam hampir semua kasus yang menarik dalam fisika (walaupun tidak dalam teknik),

persamaan gerak dapat ditulis dalam bentuk (9-57). Pengecualian yang paling penting

adalah kasus di mana gaya gesek yang terlibat, tetapi kekuatan-kekuatan itu tidak

biasanya muncul di masalah atomic atau astronomi.

Karena persamaan Lagrange diturunkan dari persamaan gerak Newton, mereka

tidak mewakili teori fisika baru, tetapi hanya sebuah cara yang berbeda tetapi setara

untuk mengungkapkan hukum gerak yang sama. Sebagai contoh Persamaan (9-52) dan

(3-207) mengilustrasikan, persamaan dengan metode Lagrange itu juga dapat diperoleh

Persamaan Lagrange Halaman 17

Page 18: Lagrange Equation Final Destination2

dengan penerapan langsung Hukum gerak Newton. Namun, dalam kasus-kasus yang

rumit biasanya lebih mudah untuk bekerja di luar energi kinetik dan gaya atau energi

potensial dalam koordinat umum, dan menulis dalam bentuk persamaan

Lagrangian. Khususnya dalam masalah yang melibatkan paksaan, seperti yang akan kita

lihat dalam Bagian 9-4, metode Lagrangian jauh lebih mudah untuk diterapkan. Nilai

kepala persamaan Lagrange,bagaimanapun, mungkin merupakan hal yang teoretis. Dari

cara di mana mereka berasal, jelas persamaan Lagrange (9-57) atau (9-53) terus dalam

bentuk yang sama dalam sistem koordinat umum. Fungsi Lagrangian L=T-V memiliki

nilai yang sama, untuk setiap himpunan posisi dan kecepatan partikel, tidak peduli pada

apa itu sistem koordinat dapat dinyatakan, tetapi bentuk fungsi L mungkin berbeda dalam

sistem koordinat yang berbeda. Kenyataan itu persamaan Lagrange memiliki bentuk yang

sama dalam semua sistem koordinat sebagai tanggungjawab untuk kepentingan teoretis

mereka. Persamaan Lagrange merupakan cara seragam penulisan persamaan gerak dari

suatu sistem, yang tidak tergantung dari jenis sistem koordinat yang digunakan. Mereka

membentuk sebuah titik awal untuk formulasi yang lebih maju dari mekanika. Dalam

mengembangkan teori relativitas umum, di mana koordinat Cartesian bahkan mungkin

tidak ada,persamaan Lagrange sangatlah penting.

9-3 Contoh-Contoh. 

Pertama-tama ditinjau sebuah sistem partikel m1 ,… ,mN, yang lokasinya

ditentukan oleh koordinat Cartesian, dan dapat ditunjukkan bahwa dalam kasus ini

persamaan Lagrange menjadi persamaan gerak Newton. Energi kinetik adalah

T=∑i=1

N12

mi ( x i2+ yi

2+ zi2)

(9-58)

dan 

∂ T∂ x i

= ∂T∂ y i

=∂ T∂ zi

=0, (9-59)

∂ T∂ x i

=mi x i,

∂T∂ y i

=mi y i,

∂T∂ zi

=mi zi(9-60)

Persamaan Lagrange Halaman 18

Page 19: Lagrange Equation Final Destination2

Gaya umum yang terkait dengan setiap koordinat Kartesius hanya gaya biasa, seperti

yang kita lihat baik dari Persamaan (9-29), atau dengan membandingkan Persamaan (9-

28) dengan Persamaan (9-26). Oleh karena itu persamaan gerak (9-53) adalah

ddt ( ∂T

∂ x i)−∂ T

∂ x i

=mi xi=F ix ,

ddt ( ∂ T

∂ yi)− ∂ T

∂ y i

=mi y i=F iy ,[ i = 1, …., N ] (9-61)

ddt (∂ T

∂ zi)−∂T

∂ zi

=mi zi=F iz ,

Untuk partikel yang bergerak pada bidang, energi kinetik dalam koordinat polar

diberikan oleh Persamaan (9-14), dan gaya Qr dan Qθ oleh Persamaan (9-35). Persamaan

Lagrange menjadi

m r−mr { θ2=F r ,¿ (9-62)

ddt

(mr2 θ)=rFθ ,(9-63)

Persamaan ini diperoleh dalam Bagian 3-13 dengan metode dasar.

Kita sekarang meninjau sistem koordinat berputar yang didefinisikan oleh

Persamaan (9-4) atau (9-5). Energi kinetik yang diberikan oleh Persamaan (9-16), dan

gaya umum Qr dan Qθ akan sama seperti pada contoh sebelumnya. Persamaan Lagrange

dalam kasus ini adalah 

m r−mr { θ2−2 mωr θ−mω2r=Fr ,¿ (9-64)

ddt

(mr2 θ)+2 mωr r=rFθ .(9-65)

Pembaca harus memastikan bahwa suku ketiga di sebelah kiri pada Persamaan (9-64)

adalah negatif dari gaya Coriolis dalam arah r karena rotasi sistem koordinat, dan bahwa

suku keempat adalah negatif dari gaya sentrifugal. Suku kedua di Persamaan (9-65)

adalah negatif dari torsi Coriolis dalam arah θ. Jadi gaya fiktif yang diperlukan secara

otomatis dimasukkan ketika kita menulis persamaan Lagrange dalam sistem koordinat

bergerak. Ini harus diperhatikan, bahwa kita menggunakan energi kinetik yang

sebenarnya [Persamaan (9-16)] yang berhubungan dengan sistem koordinat dalam

Persamaan Lagrange Halaman 19

Page 20: Lagrange Equation Final Destination2

keadaan diam, yang dinyatakan dalam koordinat berputar, dan bukan energi kinetik

karena akan muncul dalam sistem berputar jika kita mengabaikan gerakan sistem

koordinat.

9-4 Systems subject to constraints (Sistem-sistem dengan gerakan terpaksa).

Sebuah permasalahan mekanik yang penting di mana persamaan Lagrange

berguna untuk sistem-sistem yang subyeknya mengalami paksaan. 

Sebuah benda tegar adalah contoh yang baik dari sistem partikel paksaan. Paksaan

adalah pembatasan kebebasan gerak sistem partikel dalam bentuk kondisi yang harus

dipenuhi oleh koordinat mereka, atau oleh perubahan mereka yang diperbolehkan dalam

koordinat. Misalnya, hipotesis sederhana benda tegar akan menjadi sepasang partikel

yang terhubung oleh tongkat ringan yang kaku dengan panjang l. Partikel-partikel ini

tunduk pada paksaan yang mengharuskan mereka terpisah pada jarak l. Dalam suku

koordinat Cartesian, paksaan adalah 

[( x2−x1)2+( y2− y1 )2+( z2−z1)2]1

2=l (9-66)

Jika kita menggunakan koordinat X, Y, Z dari pusat massa dan koordinat bola r , θ , φ 

untuk menempatkan partikel 2 terhadap partikel 1 sebagai asal, paksaan berbentuk

sederhana: 

r = l (9-67)

sehingga dengan demikian hanya ditentukan oleh lima koordinat X, Y, Z,θ ,φ  . Setiap

paksaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan seperti (9-66) memungkinkan

kita untuk menghilangkan salah satu koordinat dengan memilih koordinat tertentu dengan

cara menjadikan salah satunya adalah tetap konstan oleh paksaan. Untuk benda tegar,

paksaan mengharuskan jarak awal semua pasangan partikel tetap konstan. Untuk benda

yang mengandung N partikel , ada ½N (N - 1) pasang partikel. Namun, tidak sulit untuk

menunjukkan bahwa cukup menentukan jarak awal dari 3N-6 pasang, jika N ≥ 3. Oleh

karena itu kita dapat mengganti koordinat Cartesian 3N partikel N dengan jarak awal3N-

6, 3 koordinat pusat massa, dan 3 koordinat yang menggambarkan orientasi

benda. Karena jarak awal 3N-6 semuanya konstan, masalahnya berkurang menjadi satu

yaitu menemukan gerak dalam enam suku koordinat. Contoh lain dari sistem subjek

Persamaan Lagrange Halaman 20

Page 21: Lagrange Equation Final Destination2

paksaan adalah bahwa dari manik-manik yang meluncur pada sebuah kawat. Kawat ini

terletak di sepanjang kurva dalam ruang tertentu, dan paksaan yang mengharuskan

menempatkan posisi dari manik-manik terletak pada kurva ini. Karena koordinat dari

titik-titik sepanjang kurva ruang memenuhi dua persamaan (misalnya, persamaan dari

dua permukaan yang berpotongan sepanjang kurva), ada dua paksaan dan kita dapat

menemukan posisi manik-manik oleh koordinat tunggal. Jika kawat bergerak, kita

memiliki paksaan yang bergerak, dan koordinat tunggal kita adalah relatif terhadap suatu

referensi sistem yang bergerak. Paksaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan

yang berkaitan koordinat disebut holonomic. Semua contoh di atas melibatkan paksaan

holonomic.

Paksaan juga dapat ditentukan oleh pembatasan dari kecepatan, bukan pada

koordinat. Sebagai contoh, sebuah silinder dengan jari-jari a, menggelinding dan

meluncur menuruni suatu bidang miring, dengan sumbu yang selalu horisontal, dapat

ditentukan oleh dua koordinat s dan θ, seperti pada Gambar 9-3. Koordinat s mengukur

jarak silinder yang telah dipindahkan ke bidang, dan koordinat θ adalah sudut di mana

jari-jari pada silinder telah berubah dari jari-jari ke titik kontak dengan bidang.Sekarang

anggaplah bahwa silinder menggelinding tanpa slip. Kemudian kecepatan s dan θ harus

dikaitkan dengan persamaan

s=a θ , (9-68)

yang juga dapat ditulis

ds = a dθ. (9-69)

Persamaan ini dapat diintegrasikan:

s – aθ = C (9-70)

Persamaan Lagrange Halaman 21

Page 22: Lagrange Equation Final Destination2

di mana C adalah konstanta. Persamaan ini adalah dari jenis yang sama dengan

Persamaan (9-66), dan menunjukkan bahwa paksaan adalah holonomic, meskipun

awalnya dinyatakan dalam suku kecepatan. Jika paksaan pada kecepatan, seperti

Persamaan (9-68), dapat diintegrasikan untuk memberikan hubungan antara koordinat,

seperti Persamaan (9-70) maka paksaan adalah holonomic.  Terdapat suatu sistem, di

mana persamaan paksaan tersebut tidak dapat diintegrasikan. Contohnya adalah piringan

dengan jari-jari a bergulir di meja horizontal, seperti pada Gambar 9-4. Untuk

kemudahan, kita mengasumsikan bahwa piringan tidak dapat jatuh telungkup, dan

diameter meja yang tersentuh selalu vertikal. Empat koordinat diperlukan untuk

menentukan posisi piringan. Koordinat x dan y menentukan titik kontak pada bidang;

sudut φ yang menentukan orientasi bidang piringan relatif terhadap sumbu-x, dan

sudut θ adalah sudut antara jari-jari tetap pada piringan dan sumbu vertikal. Jika kita

sekarang memperhatikan gelindingan piringan tanpa slip (dapat juga dengan memutar

pada sumbu vertikal), ini berarti terdapat dua persamaan paksaan. Kecepatan titik kontak

tegak lurus terhadap bidang piringan harus nol: 

x sin ϕ+ ycos ϕ=0 (9-71)

dan kecepatan sejajar terhadap bidang piringan harus

x sin ϕ+ ycos ϕ=a θ (9-72)

Tidaklah mungkin untuk mengintegrasikan persamaan ini untuk mendapatkan dua

hubungan antara koordinat x, y, θ ,φ. Untuk melihat ini, kita mencatat bahwa dengan

piringan yang menggelinding tanpa slip, dan dengan memutarnya pada sumbu vertikal,

kita dapat membawa piringan untuk setiap titik x, y, dengan sudut φ antara bidang

piringan dan sumbu-x, dan dengan titik pada keliling piringan yang kontak dengan meja,

yaitu, setiap sudut θ. Karena jika piringan dalam setiap titik x, y dan titik yang

dikehendaki pada keliling tidak kontak dengan meja, kita mungkin memutar piringan

sepanjang lingkaran dengan keliling adalah panjang sebenarnya, sehingga ketika kembali

ke x, y, titik yang diinginkan akan berhubungan dengan meja. Ini mungkin akan

digulirkan ke sudut yang dikehendaki. Hal ini menunjukkan bahwa keempat koordinat x,

y, θ ,φ tidak bergantung satu sama lain, dan tidak mungkin ada hubungan apapun antara

mereka. Oleh karena itu harus mungkin untuk mengintegrasikan Persamaan (9-71) dan

(9-72), dan akibatnya ini adalah contoh dari paksaan nonholonomic.

Persamaan Lagrange Halaman 22

Page 23: Lagrange Equation Final Destination2

Jumlah cara independen di mana sistem mekanik dapat bergerak tanpa melanggar

paksaan apapun yang dapat dikenakan disebut jumlah dari derajat kebebasan sistem.

Agar lebih tepat, jumlah derajat kebebasan adalah jumlah-jumlah yang harus ditetapkan

untuk menentukan kecepatan semua partikel dalam sistem untuk setiap gerakan yang

tidak melanggar paksaan. Sebagai contoh, sebuah partikel tunggal bergerak dalam ruang

memiliki tiga derajat kebebasan, tetapi jika dibatasi untuk bergerak sepanjang kurva

tertentu, hanya ada satu. Sebuah sistem N partikel bebas memiliki 3N derajat kebebasan,

sebuah benda tegar memiliki 6 derajat kebebasan (tiga translasi dan tiga rotasi), sebuah

benda tegar dan dibatasi untuk berputar di sekitar sumbu yang memiliki satu derajat

kebebasan. Piringan yang ditunjukkan pada Gambar 9-4 memiliki empat derajat

kebebasan jika diperbolehkan mengelincir di atas meja, karena kita harus kemudian

menentukan x , y , θ , φ. Tetapi jika piringan diperlukan untuk menggelinding tanpa

tergelincir, hanya ada dua derajat kebebasan, karena jikaφ dan salah satu dari kecepatan

x , y , θ diberikan, dua yang tersisa dapat ditemukan dari Persamaan (9-71) dan (9 -

72). Piringan ini hanya bebas untuk berguling, dan berputar pada sumbu vertikal. Untuk

sistem holonomic, jumlah derajat kebebasan sama dengan jumlah minimum yang

diperlukan koordinat untuk menentukan konfigurasi sistem ketika koordinat tetap konstan

oleh paksaan yang dieliminasi. Paksaan nonholonomic terjadi pada beberapa masalah di

mana benda berguling tanpa tergelincir, tapi mereka bukan hal yang sangat penting dalam

fisika. Oleh karena itu kita akan membatasi perhatian kita pada sistem holonomic.

Untuk sistem holonomic N partikel dikenakan paksaan independen c , kita dapat

mengekspresikan kendala-kendala sebagai hubungan c yang harus terus antara koordinat

Cartesian 3N (termasuk mungkin waktu jika paksaan berubah dengan waktu):

h1 ( x1 , y1 , . .. .. , zN ; t )=a1 ,

h2 (x1 , y1 , .. . .. , zN ; t )=a2 ,

⋮hc (x1 , y1 , .. . .. , zN ; t )=ac (9-73)

di mana h1, ..., hc adalah fungsi tertentu dari c. Jumlah derajat kebebasan akan menjadi

f = 3N – c. (9-74)

Sebagai Persamaan (9-73) yang independen, kita dapat pecahkan karena c dari koordinat

Kartesius 3N dalam suku koordinat 3N-c yang lain dan konstanta a1 , …, ac. Jadi hanya

Persamaan Lagrange Halaman 23

Page 24: Lagrange Equation Final Destination2

koordinat  3N-c yang perlu ditetapkan, dan sisanya dapat ditemukan dari Persamaan (9-

73) jika konstanta a1 , …, ac diketahui. Kita dapat mengambil koordinat Cartesian 3N

- c sebagai koordinat umum dan kuantitas c a1 , …, ac yang ditetapkan oleh Persamaan (9-

73), dan tetap konstan oleh kendala. Atau kita dapat mendefinisikan koordinat umum 3N

– c q1 , …, q f  dalam cara yang tepat: 

q1=q1 (x1 , y1 , .. . .. , zN ; t ) ,

q2=q2 (x1 , y1 , .. .. . , zN ; t ) ,

⋮q f=q f (x1 , y1 ,. .. . ., z N ; t ) , (9-75)

Persamaan (9-73) dan (9-75) mendefinisikan satu set koordinat 3N q1 , …, q f ;a1 , …, ac,

dan analog dengan Persamaan (9-1) yang dapat dipecahkan untuk koordinat Cartesian: 

x1=x1 (q1 , . .. . q f ;a1 ,. .. . ., ac ; t ) ,

y1= y1 (q1 ,. . ..q f ; a1 , .. .. . , ac ; t ) ,⋮zN=zN (q1 , .. ..q f ;a1 , .. . .. , ac ; t ) . (9-76)

Sekarang Q1 ,…Q f , Qf +1 , …, Qf +c dijadikan gaya umum yang sesuai dengan

koordinat q1 , …, q f ;a1 , …, ac. Kita kemudian memiliki satu set persamaan Lagrange untuk

membatasi koordinat dan yang lainnya untuk koordinat unconstrained:

ddt

∂ T∂ qk

− ∂T∂qk

=Q k , k = 1, …., f, (9-77)

ddt

∂T∂ a j

− ∂ T∂ a j

=Qf + j , j = 1, …., c; c + f = 3N. (9-78)

Pentingnya pemisahan masalah ini menjadi dua kelompok persamaan adalah bahwa gaya

paksaan dapat dipilih ketika tidak ada usaha kecuali paksaan dilanggar, seperti yang akan

kita tunjukkan dalam paragraf berikutnya.

Jika hal ini benar maka menurut definisi (9-30) dari gaya umum, gaya paksaan tidak

memberikan kontribusi terhadap gaya umum Qk dikaitkan dengan koordinat q k. Karena

nilai-nilai koordinat terbatas yang tetap konstan, kita dapat menyelesaikan

Persamaan (9-77) untuk gerakan sistem dalam suku koordinat q1 , …, q f , dengan

memperlakukan a1 , …, ac sebagai sebuah konstanta, tanpa mengetahui gaya paksaan. Ini

Persamaan Lagrange Halaman 24

Page 25: Lagrange Equation Final Destination2

adalah keuntungan besar, karena gaya paksaan tergantung pada bagaimana sistem

bergerak, dan umumnya tidak dapat ditentukan sampai setelah gerak diketahui. Yang

biasanya kita tahu tentang gaya paksaan adalah bahwa mereka memiliki nilai apa pun

yang diperlukan untuk mempertahankan paksaan. Dengan menyelesaikan Persamaan

Persamaan (9-77) untukq1(t) ,…,qf (t), kita kemudian dapat, jika kita ingin, mengganti

fungsi-fungsi pada Persamaan (9-78) dan menghitung gaya dari paksaan. Hal ini mungkin

merupakan masalah menarik untuk dikaji insinyur yang perlu untuk memverifikasi bahwa

komponen paksaan cukup kuat untuk menahan gaya tepaksa. Persamaan Lagrange

mengurangi masalah dalam menemukan gerak dari sistem holonomic dengan derajat

kebebasan f  untuk pemecahan masalah persamaan diferensial orde dua f  (9-77). Ketika

kita berbicara tentang koordinat umum, yang dibatasi koordinat a1 , …, ac mungkin atau

mungkin tidak dimasukkan, sangat tepat. 

Jika manik-manik meluncur pada kawat tanpa gesekan, kawat hanya bisa

memberikan gaya paksaan tegak lurus itu sendiri, sehingga tidak ada usaha yang

dilakukan pada manik-manik selama tetap pada kabel. Jika ada gesekan, kita bisa

memisahkan gaya pada manik-manik menjadi komponen tegak lurus terhadap kawat

yang memegang manik-manik pada kawat tanpa melakukan usaha apapun, dan

komponen gesekan sepanjang kawat yang tidak melakukan usaha dan karena itu harus

dimasukkan dalam gaya umum yang terkait dengan gerakan sepanjang kawat. Jika

komponen gesekan bergantung pada komponen tegak lurus, seperti halnya bagi gesekan

kering, maka kita tidak bisa memecahkan Persamaan (9-77), terlepas dari Persamaan (9-

78), dan satu keuntungan besar dari metode Lagrange hilang. Jika dua partikel berada

pada jarak tetap terpisah oleh batang tegar, maka dengan hukum ketiga Newton, gaya

yang diberikan oleh batang pada satu partikel adalah sama dan berlawanan dengan yang

di sisi lain. Hal ini ditunjukkan dalam Bagian 5-1 di mana tidak dilakukan usaha pada

sistem oleh batang selama paksaan tersebut tidak dilanggar ketika batang tidak meregang

atau dikompresi. Situasi yang sama akan ditemukan dalam semua hal lainnya; paksaan

selalu dapat dipertahankan oleh gaya yang tidak bekerja. 

Jika gaya Q1 ,…,Q f yang diturunkan dari fungsi energi potensial, maka kita dapat

mendefinisikan sebuah fungsi Lagrangian L (q1 , …, q f ; q1 , …, qf ) yang mungkin dalam

Persamaan Lagrange Halaman 25

Page 26: Lagrange Equation Final Destination2

beberapa kasus tergantung pada t dan yang juga tergantung pada konstanta a1 , …, ac

. Persamaan Lagrange pertama f  (9-77) kemudian dapat ditulis dalam bentuk 

ddt

∂ L∂qk

− ∂ L∂ qk

=0 , k=1 , …, f (9-79)

9-5 Contoh dari subjek sistem yang dipaksa. 

Suatu sistem mekanik sederhana yang melibatkan paksaan adalah mesin Atwood

yang ditunjukkan pada Gambar 9-5. m1 ,m2 terhubung dengan tali sepanjang l pada katrol

tetap. Kita mengasumsikan massa hanya bergerak secara vertikal, sehingga kita

hanya memiliki satu derajat kebebasan. Kita mengambil jarak koordinat x dari m1 hingga

poros bawah katrol, dan l adalah panjang tali. Koordinat l adalah paksaan untuk memiliki

nilai konstan, dan bisa di luar pertimbangan awal jika kita hanya ingin menemukan

gerak. Jika kita juga ingin mencari tegangan dalam tali, kita harus menyertakan l sebagai

koordinat. Energi kinetiknya 

T=12

m1 x2+12

m2 ( l− x )2 (9-80)

Satu-satunya gaya yang bekerja pada m1 dan m2 adalah tegangan τ  pada tali dan gaya

gravitasi. Usaha yang dilakukan ketika x meningkat sebesar δx , l tetap konstan, adalah 

δW= (m1 g−τ ) δx−(m2 g−τ ) δx

Persamaan Lagrange Halaman 26

Page 27: Lagrange Equation Final Destination2

¿ (m1−m2 ) gδx=Q x δx , (9-81)

sehingga

Q x=(m1−m2 ) g (9-82)

Perhatikan bahwa Qx tidak tergantung dari τ . Usaha yang dilakukan ketika l meningkat

sebesar δl, x tetap konstan, adalah 

δW= (m2 g−τ ) δl=Ql δl (9-83)

Sehingga

Ql=m2 g−τ (9-84)

Perhatikan bahwa untuk mendapatkan sebuah persamaan yang melibatkan gaya paksaan

τ , kita harus mempertimbangkan gerakan yang melanggar paksaan. Hal ini juga berlaku

jika kita ingin mengukur gaya fisis; kita harus membiarkan setidaknya gerakan kecil di

dalam arah gaya. Persamaan gerak Lagrange (karena l= l=0) 

ddt ( ∂ T

∂ x )−∂ T∂ x

=( m1−m2 ) x=( m1−m2 ) g (9-85)

ddt ( ∂ T

∂ l )−∂ T∂l

=−m2 x=m2 g−τ (9-86)

Persamaan pertama diselesaikan untuk menemukan gerak:

x=x0+vot +12

m1−m2

m1+m2

g t 2 (9-87)

Persamaan kedua kemudian dapat digunakan untuk mencari tegangan r  yang diperlukan

untuk mempertahankan paksaan:

τ=m2 ( g+ x )=2m1m2

m1+m2

g (9-88)

Dalam hal ini tegangan tidak bergantung waktu dan dapat ditemukan dari Persamaan (9-

85) dan (9-86), walaupun dalam kebanyakan kasus gaya paksaan tergantung pada

gerakan dan dapat ditentukan hanya setelah gerakan itu ditemukan. Persamaan (9-85) dan

(9-86) memiliki interpretasi fisis jelas dan dapat ditulis langsung dari dasar pertimbangan,

seperti yang dilakukan di Bagian 1-7.

Persamaan Lagrange Halaman 27

Page 28: Lagrange Equation Final Destination2

Masalah praktek kecil yang penting, tapi yang cukup instruktif, adalah bahwa di mana

satu silinder menggelinding di yang atas lain, seperti ditunjukkan pada Gambar 9-6.

Silinder dengan jari-jari a adalah tetap dan silinder dengan radius αa menggelinding

sebagai aksi gaya gravitasi. Misalkan koefisien gesekan statik antara silinder adalah μ

,koefisien gesekan kinetik adalah nol, dan bahwa silinder mulai bergerak dari keadaan

diam dengan pusat secara vertikal di atas pusat silinder tetap. Kita akan

mengasumsikan bahwa sumbu dari silinder tetap bergerak horizontal selama

gerakan. Disarankan dalam semua masalah, dan penting di sini adalah berpikir dengan

cermat tentang gerak sebelum mencoba menemukan solusi matematika. Sudah jelas

bahwa silinder bergerak tidak dapat menggulung sepanjang jalan di sekitar silinder tetap,

gaya normal F yang diberikan oleh silinder tetap pada saat yang satu bergerak hanya

dapat diarahkan ke luar, tidak pernah masuk. Oleh karena itu di beberapa titik, silinder

bergerak lepas dari silinder lain yang diam. Titik di mana ia lepas adalah titik di mana

F=0 (9-89)

Selanjutnya, silinder tidak dapat terus bergulir tanpa slip sampai ke titik lepas, untuk gaya

gesek f yang mencegah slip yang dibatasi oleh kondisi

f ≤ μF (9-90)

Persamaan Lagrange Halaman 28

Page 29: Lagrange Equation Final Destination2

dan tentu akan menjadi terlalu kecil untuk mencegah slip sebelum titik di mana

Persamaan (9-89) berlaku. Oleh karena itu gerak dibagi menjadi tiga bagian. Pada

awalnya silinder bergulir tanpa tergelincir melalui sudut θ1ditentukan oleh kondisi

f =μF (9-91)

Di luar sudut θ1, silinder bergelinding tanpa gesekan sampai mencapai sudut θ2

ditentukan oleh Persamaan (9-89), setelah itu meninggalkan silinder tetap dan jatuh

bebas. Kita mungkin mengantisipasi beberapa kesulitan matematika pada bagian awal

gerakan karena kenyataan posisi awal dari silinder yang bergerak merupakan salah satu

kesetimbangan yang tidak stabil. Secara fisis tidak ada kesulitan, saat gangguan kecil

akan menyebabkan silinder bergulir ke bawah, tapi secara matematis mungkin ada

kesulitan di mana kita harus cermat, karena gangguan kecil yang dibutuhkan tidak akan

muncul dalam persamaan.

Jika dicari bagian dari gerakan ketika silinder bergerak bergulir tanpa tergelincir,

maka hanya ada satu derajat kebebasan, dan kita akan menentukan posisi silinder dengan

sudut θ antara sumbu vertikal dan garis yang menghubungkan pusat-pusat dari dua

silinder. Untuk menghitung energi kinetik, kita memperkenalkan sudut bantu φ melalui

silinder bergerak yang telah berputar pada porosnya. Kondisi di mana silinder bergulir

tanpa slip mengarah pada persamaan paksaan: 

a θ=αa φ (9-92)

yang dapat diintegrasikan dalam bentuk

θ=α φ (9-93)

Jika kita hanya peduli dengan gerakan bergulir, sekarang kita bisa melanjutkan untuk

membuat persamaan Lagrange untuk θ, tapi karena kita perlu mengetahui gaya dari

paksaan F dan f, untuk itu diperkenalkan koordinat tambahan yang dipertahankan

konstan oleh gaya paksaan ini. Gaya gesekan f mempertahankan paksaan (9-93), dan

koordinat yang tepat adalah

γ=θ−αφ (9-94)

Selama silinder bergulir tanpa slip, γ=0; γ  mengukur sudut slip sekitar silinder

tetap. gaya normal  F mempertahankan jarak r  antara pusat silinder:

r=a+αa= (1+α ) a (9-95)

Persamaan Lagrange Halaman 29

Page 30: Lagrange Equation Final Destination2

Energi kinetik silinder bergulir adalah energi terkait dengan gerak pusat massa ditambah

energi rotasi tentang pusat massa:

T=12

m ( r2+r2 θ2)+ 12

I φ2 (9-96)

setelah mengganti φ dari Persamaan (9-94) dan karena I=12

m α2 a2, untuk silinder padat

dengan jari-jari αa, kita memiliki 

T=12

m r2+ 12 (r2+ 1

2a

2)θ2−12

m a2 θ γ+ 14

m a2 γ 2 (9-97)

Persamaan paksaan [Persamaan (9-95) dan γ=0] tidak harus digunakan sampai setelah

persamaan gerak dituliskan. Gaya umum paling mudah ditentukan dengan bantuan dari

Persamaan (90-30); yaitu

Qθ=mgr sin θ , (9-98)

Qγ=−fa , (9-99)

Qr=F−mg sinθ (9-100)

Persamaan Lagrange untuk θ , γ dan r sekarang menjadi

m(r2+ 12

a2) θ−12

m a2 γ=mgr sinθ , (9-101)

−12

m a2θ+12

ma2 γ=−fa , (9-102)

m r−mr θ2=F−mg cosθ (9-103)

Kita sekarang dapat menyisipkan paksaanγ=0 dan r = (1 + α)a, sehingga persamaan ini

menjadi

[ (1+α )2+ 12 ]ma2 θ= (1+α ) mga sinθ , (9-104)

f =12

maθ , (9-105)

F=mg cosθ−(1+α )ma θ2 (9-106)

Apakah kita mengabaikan suku yang terlibat γ dalam energi kinetik, persamaan θ, yang

menentukan gerakan tersebut, akan muncul dengan tepat, tetapi persamaan untuk gaya

paksaan f akan hilang sukunya. Hal ini terjadi ketika koordinat paksaan tidak ortogonal

Persamaan Lagrange Halaman 30

Page 31: Lagrange Equation Final Destination2

dibanding koordinat tak paksaan, karena suku cross ( γ θ ) kemudian muncul dalam energi

kinetik.

Persamaan gerak (9-104) dapat diselesaikan dengan metode energi. Energi total, asalkan

silinder bergulir tanpa slip, adalah

(α+1 )2+ 12

2m a2θ2+(1+α ) mg cosθ=E

(9-107)

dan adalah konstan, karena dengan mudah dapat ditampilkan dari Persamaan (9-104), dan

seperti yang kita juga tahu karena gaya gravitasi adalah konservatif dan gaya paksaan

tidak melakukan usaha. Karena silinder mulai bergerak dari keadaan diam di θ = 0 yaitu, 

E=(1+α )mga (9-108)

disubstitusikan pada Persamaan (9-107) dan memecahkan untuk θ:

θ=2( βga )

1 /2

sinθ2

(9-109)

di mana

β= α+1

(α+1 )2+ 12

(9-110)

sekarang dapat diintegrasikan untuk menemukan θ(t):

∫0

θ12

sin θ/2=¿ ( βg

a )1/2

∫0

t

dt ¿ (9-111)

[ ln tanθ4 ]

0

θ

=( βga )

1/2

t (9-112)

Ketika kita mengganti batas bawah θ = 0, kita menemui kesulitan, karena dalam

ln 0=−∞! Ini adalah kesulitan yang terjadi karena fakta bahwa θ = 0 adalah titik

keseimbangan, meskipun tidak stabil. Jika tidak ada gangguan apapun, maka silinder

bergulir dari titik ekuilibrium dalam waktu yang tak terbatas. Mari kita bayangkan,

bagaimanapun, tidak mungkin bergulir karena beberapa gangguan kecil, dan mari kita

mengambil waktu t = 0 sebagai waktu ketika sudut θ memiliki nilai yang kecil θ0. Saat ini

sudah tidak ada kesulitan, dan kita mempunyai

tanθ4=( tan

θ0

4 )exp[( βga )

1/2

t ] (9-113)

Persamaan Lagrange Halaman 31

Page 32: Lagrange Equation Final Destination2

Seperti t → ∞ ,θ → 2 π ,dan silinder bergerak bergulir sepanjang jalan di sekitar silinder

yang satu tetap, jika paksaan terus dilakukan. Paksaan bergulir terjadi, namun, hanya

selama Persamaan (90-90) terjadi. Ketika kita mengganti dari Persamaan (9-105), (9-

106), dan (9-109), Persamaan. (9-90) menjadi

β2

mgsin θ ≤ μmg [cos θ−2 β (1+α ) (1−cosθ ) ] (9-114)

θ = 0, ini pasti terjadi, sehingga pada awalnya silinder tidak bergulir. Pada θ=π /2,

namun, tentu saja tidak berlaku, karena anggota kiri menjadi positif dan kanan, negatif.

Sudut θ1 pada yang tergelincir dimulai ditentukan oleh persamaan

β2 μ

sin θ1=cosθ1−2 β (1+α ) (1−cosθ1) (9-115)

yang solusinya

tanθ1

2=

[ β2

4 μ2 +1+4 β (1+α )]12−

β2 μ

1+4 β (1+α ) (9-116)

Bagian kedua dari gerakan, selama silinder bergerak tergelincir tanpa gesekan di sekitar

silinder tetap, dapat ditemukan dengan menyelesaikan Persamaan (9-101) dan (9-102)

untuk θ(t), γ (t), dengan f = 0 dan dengan hanya satu paksaan r = (1 + α)a, dan dengan

nilai awal θ=θ1, θ=θ1, ditentukan dari Persamaan (9-116) dan (9-109). Solusinya dapat

ditemukan tanpa kesulitan yang berarti, dan sudut θ2 di mana silinder bergerak

meninggalkan silinder tetap yang dapat ditentukan dari Persamaan (9-106) dan (9-89).

9-6 Konstanta gerak dan koordinat yang diabaikan. 

Dalam Bab 3 dijelaskan bahwa salah satu metode umum untuk memecahkan

masalah dinamik adalah mencari konstanta gerak, yaitu, fungsi koordinat dan kecepatan

yang konstan dalam waktu. Satu kasus umum di mana konstanta tersebut dapat

ditemukan muncul ketika sistem dinamik dicirikan oleh fungsi Lagrangian di mana

beberapa koordinat qk tidak terjadi secara eksplisit. Persamaan Lagrange yang sesuai (9-

57) kemudian direduksi menjadi

ddt ( ∂ L

∂ qk)=0 (9-117)

Persamaan ini dapat diintegrasikan menjadi:

Persamaan Lagrange Halaman 32

Page 33: Lagrange Equation Final Destination2

∂ L∂ qk

=pk=a konstan (9-118)

Jadi, setiap kali koordinatqk tidak muncul secara eksplisit dalam fungsi Lagrangian,

momentum pkyang sesuai adalah konstan dalam gerak. Seperti koordinat qk dikatakan

diabaikan. Jika qk diabaikan, kita bisa memecahkan Persamaan (9-118) untuk qk dalam

suku koordinat yang lain dan kecepatan, dan momentum konstan pk, dan substitusikan

dalam persamaan Lagrange yang tersisa untuk mengeliminasiqk dan mengurangi salah

satu variabel dalam masalah, (qk sudah hilang dari persamaan, karena kita asumsikan

diabaikan). Ketika sisa variabel telah didapatkan, mereka bisa disubstitusikan pada

Persamaan (9-118), untuk memberikanqk sebagai fungsi dari t, qk kemdian diperoleh

dengan pengintegrasian. Jika semua kecuali satu dari koordinat yang diabaikan, masalah

dapat berkurang menjadi masalah satu dimensi dan diselesaikan dengan metode integral

energi, jika L tidak tergantung pada waktu t secara eksplisit.

Misalnya, dalam kasus gaya sentral, energi potensial hanya bergantung pada jarak r dari

titik asal, sehingga jika kita menggunakan koordinat polar r,θ dalam bidang, V adalah

tidak tergantung dari θ. Karena T juga tidak tergantung dari θ menurut Persamaan (9-14)

(T tentu saja tergantung pada θ), kita akan memiliki

∂ L∂θ

= ∂∂ θ

(T−V )=0 (9-119)

dan karenanya

∂ L∂θ

=mr2 θ=pθ=a konstan (9-120)

hasil yang kita diperoleh dalam Bagian 3-13 dengan argumen yang berbeda. Kita melihat

bahwa munculnya pθ adalah hasil dari fakta di mana sistem simetris terhadap asal,

sehingga L tidak dapat bergantung pada θ. Jika suatu sistem partikel yang bertindak oleh

gaya-gaya eksternal, maka jika kita menggantikan seluruh sistem di arah mana saja, tanpa

mengubah kecepatan dan posisi relatif partikel, tidak akan ada perubahan pada T atau V,

atau dalam L. Jika X, Y, dan Z adalah koordinat empat persegi panjang dari pusat massa,

dan jika koordinat yang tersisa adalah relatif terhadap pusat massa, sehingga perubahan X

berdampak pada seluruh sistem, kemudian 

∂ L∂ X

=0 (9-121)

Persamaan Lagrange Halaman 33

Page 34: Lagrange Equation Final Destination2

dan karena px, momentum linier total dalam arah-x, akan konstan.

Menarik untuk diketahui bagaimana menunjukkan dari persamaan Lagrange bahwa

energi total adalah konstanta gerak. Dalam rangka untuk mencari energi yang tidak

terpisahkan dari persamaan gerak dalam bentuk Lagrangian, perlu diketahui bagaimana

mengungkapkan energi total dalam suku fungsi Lagrangian L. Untuk tujuan ini, marilah

kita mempertimbangkan sistem yang dijelaskan dalam kaitannya dengan sistem koordinat

tetap, sehingga energi kinetik T  merupakan fungsi kuadrat homogen dari koordinat

kecepatan q1 , …, q f [yaitu, T 1=T 0=0 pada Persamaan (9-13)]. Dengan Teorema Euler,

kita mendapatkan

∑k =1

f

qk∂ T∂ qk

=2 T (9-122)

Jadi jika

L=T 2−V (9-123)

dimana V adalah fungsi dari koordinat q1 , …, q f sendiri, kemudian, dengan Persamaan (9-

122),

∑k =1

f

qk∂ L∂ qk

−L=T +V=E (9-124)

Kita sekarang mempertimbangkan turunan waktu dari ruas kiri Persamaan (9-124). Untuk

keadaan umum yang lebih besar, kita pada awalnya akan memungkinkan L bergantung

secara eksplisit pada t. Dalam kasus yang telah kita pertimbangkan, L tidak tergantung

secara eksplisit pada t. Ada beberapa kasus, ketika sistem dikenakan gaya eksternal yang

berubah terhadap waktu dan yang dapat diperoleh dari potensial V  yang bervariasi

terhadap waktu. Sebuah contoh adalah subjek atom pada medan listrik eksternal yang

beragam. Dalam kasus tersebut, persamaan gerak dapat ditulis dalam bentuk Lagrangian

(9-57) dengan Lagrangian secara eksplisit tergantung pada waktu t. Dalam kasus sistem

koordinat bergerak juga, Lagrangian tergantung pada waktu meskipun gaya bersifat

konservatif. Turunan waktu dari ruas kiri Persamaan (9-124) adalah

ddt (∑k=1

f

qk∂ L∂ qk

−L)=∑k=1

f [ qk∂ L∂ qk

+ qkddt ( ∂ L

∂ qk)− ∂ L

∂ qk

qk−∂ L∂ qk

qk ]−∂ L∂t

¿∑k=1

f

qk [ ddt ( ∂ L

∂ qk )− ∂ L∂ qk ]−∂ L

∂ t

Persamaan Lagrange Halaman 34

Page 35: Lagrange Equation Final Destination2

¿−∂ L∂t

(9-125)

Jika L secara eksplisit tidak tergantung pada t, sisi kanan dari Persamaan (9-125) adalah

nol, dan

∑k =1

f

qk∂ L∂ qk

−L=a konstan (9-126)

Ketika L memiliki bentuk (T2 - V), seperti dalam sistem koordinat diam, ini adalah

teorema konservasi energi. Apapun bentuk L, Persamaan (9-126) merupakan integral dari

persamaan Lagrange (9-57), di mana L tidak mengandung t secara eksplisit, tetapi jumlah

konstan di sebelah kiri tidak selalu total energi. Perhatikan analogi antara konservasi

momentum umum pk saat L adalah tidak tergantung qk, dan konservasi energi

ketika L adalah tidak bergantung pada t. Ada banyak cara dimana hubungan antara waktu

dan energi beranalogi dengan hubungan antara koordinat dan momentum yang sesuai.

9-7 Contoh Lebih Lanjut. 

Bola pendulum merupakan pendulum sederhana yang bebas berayunan melalui

seluruh sudut pasti di sekitar titik. Pendulum dibatasi untuk bergerak pada permukaan

bola yang berjari-jari R. Kita menempatkan bulir bandul dengan koordinat bola

θ, (Gambar 9-7). Kita dapat memasukan  panjang pendulum R  sebagai koordinat jika kita

ingin menemukan tegangan tali, tetapi kita abaikan di sini, karena kita fokus dengan

mencari gerak. Jika bulir bandul berayunan di atas sumbu horizontal, kita akan

menganggap bahwa itu masih tetap pada bola, yang akan benar jika tali itu diganti

dengan batang yang kaku. Sebaliknya paksaan menghilang setiap kali tegangan tekan

diperlukan untuk mempertahankannya, karena tali hanya akan mendukung tegangan dan

tidak kompresi. Kecepatan bulir bandul adalah

v=R θ l+R sin θ φ m (9-127)

Persamaan Lagrange Halaman 35

Page 36: Lagrange Equation Final Destination2

Oleh karena itu energi kinetiknya

T=12

m v2=12

m R2θ2+ 12

mR sin2 θ φ2 (9-128)

Energi potensial gravitasi, relatif terhadap bidang horizontal, adalah

V=mgRcos θ (9-129)

Oleh karena itu fungsi Lagrangian adalah

L=T−V =12

m R2 θ2+ 12

mR sin2θ φ2−¿mgR cosθ ¿ (9-130)

Persamaan Lagrangenya

ddt

(m R2 θ2 )−m R2 φ2sin2 θ cosθ−mgRsin θ (9-131)

ddt

(m R2sin2 θ φ )=0 (9-132)

Koordinat φ adalah diabaikan, dan persamaan kedua dapat diintegrasikan:

m R2sin2θ φ=pφ=a konstan (9-133)

Juga, karena

∂ L∂ t

=0 (9-134)

Kuantitasnya

θ∂ L∂θ

+φ∂ L∂ φ

−L=12

m R2 θ2+ 12

mR sin2θ φ2−¿mgR cosθ ¿ (9-135)

Persamaan Lagrange Halaman 36

Page 37: Lagrange Equation Final Destination2

adalah konstan, oleh Persamaan (9-126). Kita menyadari kuantitas yang di sebelah kanan

sebagai energi total, sebagaimana mestinya, karena kita tetap menggunakan sistem

koordinat. Konstanta ini disebut dengan E, dan disubstitusikan untuk φ dari

Persamaan (9-133), kita mendapatkan

12

m R2 θ2+pφ

2

2 m R2 sin2θ+mgR cosθ=E (9-136)

Kita bisa memperkenalkan potensial efektif 'V' (θ) untuk gerak:

' V ' (θ )=mgR cosθ+pφ

2

2m R2sin2 θ ' (9-137)

sehingga 

12

m R2 θ2=E−' V ' (θ ) (9-138)

Karena ruas kiri tidak dapat negatif, gerak terbatas pada nilai-nilai dari θ untuk

yang ' V '(θ)≤ E. Potensial efektif 'V' (θ) digambarkan pada Gambar 9-8. Kita melihat

bahwa untuk pφ=0, 'V' (θ) adalah kurva potensial pendulum sederhana, dengan nilai

minimum pada θ=π dan maksimum di θ = 0. Untuk E=−mgR, pendulum diam

pada θ=π . Untuk mgR> E>-mgR, pendulum berosilasi sekitar θ=π . Untuk E>mgR,

pendulum berayunan dalam gerakan berputar melalui bagian atas dan bawah titik θ=0

dan π. Ketika pφ ≠ 0, gerak tidak lagi suatu pendulum sederhana, dan 'V' (θ) kini bernilai

minimal di sebuah titik θ0 di antara π2

dan π, dan meningkat hingga tak terbatas pada θ =

0 dan θ=¿. pφ yang besar, semakin besar nilai  minimum 'V' (θ), dan mendekati hingga

π/2. Jika E = 'V'(θ0), maka θ adalah konstan dan sama dengan θ0, dan pendulum

berayunan dalam lingkaran terhadap sumbu vertikal. Sebagai pφ → ∞, pendulum semakin

berayun dan makin mendekati bidang horizontal. Untuk E>'V'(θ0), θ berosilasi antara

nilai maksimum dan minimum sedangkan pendulum berayun terhadap sumbu

vertikal. Pembaca harus membandingkan hasil dengan intuisi mekaniknya atau

pengalamannya mengenai gerakan bola pendulum. Solusi dari Persamaan (9-138)

untuk θ(t) tidak dapat dilakukan dalam suku fungsi dasar, tapi kita bisa memperlakukan

melingkar dan hampir gerakan melingkar yang sangat mudah. Hubungan antara pφ dan θ0

untuk gerak melingkar yang seragam dari pendulum terhadap sumbu-z adalah

Persamaan Lagrange Halaman 37

Page 38: Lagrange Equation Final Destination2

[ d ' V 'dθ ]=−mgRsin θ0−

pφ2 cosθ0

m R2 sin2θ0

=0 (9-139)

Hal ini terbukti dari persamaan bahwa θ0>π /2, dan bahwa θ0 → π /2 sebagai pφ → ∞

. Dengan mensubstitusikan dari Persamaan (9-133), kita mendapatkan hubungan antara φ

dan θ0 untuk gerak melingkar yang seragam:

φ2= gR

1

(−cosθ0 ) (9-140)

Energi untuk gerak melingkar seragam pada sudut θ0, jika kita menggunakan

Persamaan (9-136) dan (9-139), dan fakta bahwa θ=0, adalah

E0=mgR

2 ( 2−3sin2 θ0

cosθ0) (9-141)

Untuk energi sedikit lebih besar dari E0, dan momentum sudut pφ diberikan oleh

Persamaan (9-139), sudut θ akan melakukan osilasi harmonik sederhana pada nilai θ0.

Karena jika kita mengatur 

k=[ d2 ' V 'd θ2 ]

θ0

= mgR−cos θ0

(1+3cos2 θ0 ) (9-142)

kemudian, untuk nilai-nilai kecil θ−θ0, kita dapat memperluas 'V'(θ) dalam deret Taylor:

' V ' (θ ) ¿ E0+12

k (θ−θ0 )2 (9-143)

Persamaan energi (9-138) sekarang menjadi

12

m R2 θ2+ 12

k (θ−θ0 )2=E−E0 (9-144)

Ini adalah energi untuk osilator harmonik dengan energi E - E0, koordinat θ−θ0, massa

mR2, konstanta pegas k. Frekuensi osilasi dalam θ karena itu diberikan oleh

ω2= km R2 =

gR

1+3cos2 θ0

−cosθ0

(9-145)

Osilasi di θ disuperposisikan pada gerakan melingkar di sekitar sumbu z dengan

kecepatan sudut diberikan oleh Persamaan (9-133); φ akan sedikit berbeda sebagai osilasi

θ, tapi akan tetap hampir sangat sama dengan nilai konstanta yang diberikan oleh

Persamaan (9-140). Menarik untuk membandingkan φ dan ω:

Persamaan Lagrange Halaman 38

Page 39: Lagrange Equation Final Destination2

φ2

ω2 =1

1+3 cos2 θ0

(9-146)

Jika θ0>π /2, rasio ini kurang dari 1, sehingga ω>φ, dan pendulum bergoyang ke atas dan

ke bawah saat melintas di sekitar lingkaran. Jika ω lebih kecil dari φ, pendulum akan

bergerak spiral ke atas dan ke bawah. Pada θ0=π /2,φ=ω, dan pendulum bergerak dalam

lingkaran di mana bidang dimiringkan sedikit dari horizontal; hal ini terjadi hanya dalam

batas nilai-nilai pφ yang sangat besar. Secara fisik bahwa ketika pφ begitu besar maka

gravitasi dapat diabaikan, gerakan dapat melingkar pada bidang apapun melalui titik

asal. 

Sebagai contoh terakhir, kita mempertimbangkan sistem di mana terdapat gerak paksaan.

Setitik massa m  meluncur tanpa gesekan pada lintasan melingkar dengan jari-jari a.

Lintasan terletak pada bidang vertikal yang terpaksa untuk berotasi pada diameter

vertikal dengan kecepatan sudut konstan ω. Hanya ada satu derajat kebebasan, dan

karena kita tidak memhitungkan pada gaya paksaan, kita memilih koordinat

tunggal θ yang mengukur sudut di sekitar lingkaran dari bagian bawah diameter vertikal

dengan titik (Gbr. 9-9 ). Energi kinetik ini kemudian

T=12

m a2 θ2+ 12

ma2 ω2sin2 θ (9-147)

dan energi potensial

V=−mgacos θ (9-148)

Fungsi Lagrangian adalah

Persamaan Lagrange Halaman 39

Page 40: Lagrange Equation Final Destination2

L=12

m a2 θ2+12

m a2ω2sin2θ+mgacosθ (9-149)

Persamaan gerak Lagrange dapat ditulis dengan mudah, tapi ini tidak perlu, karena kita

melihat bahwa

∂ L∂ t

=0

dan karena itu, dengan Persamaan (9-126), kuantitas

θ∂ L∂θ

−L=12

ma2 θ2−12

ma2 ω2sin2 θ−mgacosθ=' E ' (9-150)

adalah konstan. Konstanta 'E' bukanlah energi total T + V, untuk suku tengah yang

memiliki tanda yang salah. Energi total adalah jelas tidaklah konstan dalam kasus ini.

Kita dapat mencatat, bagaimanapun, bahwa kita dapat menafsirkan Persamaan (9-149)

sebagai fungsi Lagrangian dalam suku sistem koordinat tetap dengan suku tengah

dianggap sebagai bagian dari energi potensial yang efektif: 

' V ' (θ )=−12

ma2ω2sin2 θ−mgacosθ (9-151)

Energi sesuai dengan penafsiran ini adalah 'E'. Suku pertama dalam 'V'(θ) adalah energi

potensial yang berkaitan dengan gaya sentrifugal yang harus ditambahkan jika kita

menganggap sistem berotasi tetap. Potensial efektif diplot pada Gambar. 9-10. Bentuk

kurva potensial tergantung pada apakah ω lebih besar atau lebih kecil dari kecepatan

sudut kritis

ωc=( g/a )12 (9-152)

9-8 Gaya elektromagnetik dan kecepatan yang tergantung pada potensial. 

Jika gaya yang bekerja pada sistem dinamik tergantung pada kecepatan,

dimungkinkan untuk mencari fungsi U(q1 , …, q f ; q1 ,…, q f ; t) yaitu

Qk=ddt

∂ U∂ qk

− ∂U∂ qk

.[k=1 ,…, f ] (9-153)

Jika seperti fungsi U dapat ditemukan, maka kita dapat mendefinisikan fungsi Lagrangian

L=T−U , (9-154)

sehingga persamaan gerak (9-53) dapat ditulis dalam bentuk (9-57): 

Persamaan Lagrange Halaman 40

Page 41: Lagrange Equation Final Destination2

ddt

∂U∂qk

−∂ U∂ qk

=0. [k=1 , …, f ] (9-155)

Fungsi U dapat disebut sebagai kecepatan tergantung pada potensial. Jika ada juga gaya

diturunkan dari energi potensial biasa V(q1 , …, q f ), V mungkin termasuk dalam U karena

Persamaan (9-153) direduksi menjadi Persamaan (9-33) untuk suku-suku yang tidak

mengandung kecepatan. Fungsi U dapat tergantung secara eksplisit pada waktu t. Jika

tidak, dan jika sistem koordinat yang tetap, maka L akan tidak tergantung dari t, dan

kuantitas

E=∑k=1

f

qk∂ L∂ qk

−L , (9-156)

akan menjadi gerak konstan, menurut Persamaan (9-126). Dalam hal ini, kita dapat

mengatakan bahwa kekuatan yang konservatif meskipun mereka bergantung pada

kecepatan. Hal ini jelas dari hasil ini yang tidak dapat mungkin untuk mengekspresikan

gaya gesek dalam bentuk (9-153), untuk total energi yang tidak konstan ketika ada

gesekan kecuali kita masukkan energi panas, dan energi panas tidak dapat didefinisikan

dalam suku koordinat dan kecepatan q1 , …, q f ; q1 ,…, q f dan karenanya tidak dapat

dimasukkan dalam Persamaan (9-156). Tidak sulit untuk menunjukkan bahwa jika

kecepatan  bergantung pada bagian U yang linear pada kecepatan, di mana energi E 

didefinisikan oleh Persamaan (9-156) adalah T + V, dimana V adalah energi potensial

biasa dan berisi suku-suku dalam U yang tidak tergantung terhadap kecepatan. Sebagai

contoh, sebuah partikel yang bermuatan q dikenakan medan magnetik B bertindak pada

oleh gaya (unit Gaussian)

F=qc

v ×B, (9-157)

F x=qc

( y B z− z B y ) ,

F y=qc

( z Bx− x Bz ) , (9-158)

F z=qc

( x B y− y Bx ) .

Persamaan (9-158) mempunyai bentuk (9-153) jika 

Persamaan Lagrange Halaman 41

Page 42: Lagrange Equation Final Destination2

U =qc

( ˙zy Bx+x z By+LINK Word . Document .12 D:\\_sKuLL_\\Magister\\Mekanika\\lagrange equation Final Destination.docxOLE_LINK2¿¿ yx Bz )

(9-159)

Hal ini, pada kenyataannya, mungkin untuk mengekspresikan gaya

elektromagnetik dalam bentuk (9-153) untuk listrik dan medan magnetik. Gaya

elektromagnetik pada partikel yang muatan q diberikan oleh Persamaan (3-283):

F=qE+ qc

v×B (9-160)

Hal ini ditunjukkan dalam teori elektromagnetik bahwa untuk setiap medan

elektromagnetik, adalah mungkin untuk mendefinisikan sebuah fungsi scalar ϕ ( x , y , z , t )

dan fungsi vektor A(x,y,z,t) yaitu

E=−∇ ϕ−1c

∂ A∂t

, (9-161)

B=∇× A (9-162)

Fungsi ϕ disebut potensial skalar, dan A disebut potensial vektor. Jika ungkapan-

ungkapan ini disubstitusikan pada Persamaan (9-160), kita memperoleh

F=−q∇ϕ−qc

∂ A∂ t

+ qc

v × (∇× A ) (9-163)

Suku terakhir bisa ditulis dengan menggunakan rumus (3-35) untuk triple cross product:

F=−q∇ϕ−qc

∂ A∂ t

−qc

v ∙∇ A+ qc∇ ( v ∙ A ) (9-164)

[Komponen v adalah ( x y z ) dan tidak bergantung dari x,y,z, sehingga v tidak dibedakan

oleh operator∇.] Dua suku tengah dapat dikombinasikan sesuai dengan Persamaan (8-

113):

F=−q∇ϕ−qc

d Adt

+ qc∇ (v ∙ A ) (9-165)

dimana dA/dt adalah turunan waktu dari A dihitung pada posisi dari partikel

bergerak. Sekarang dapat diverifikasi dengan perhitungan langsung bahwa fungsi

potensial

U =qϕ−qc

v ∙ A (9-166)

ketika disubstitusi pada Persamaan (9-153), dengan q1 , q2 , q3=x , y , z, menghasilkan

komponen-komponen gaya F yang diberikan oleh Persamaan (9-165). Hal ini dengan

Persamaan Lagrange Halaman 42

Page 43: Lagrange Equation Final Destination2

mudah menunjukkan bahwa E didefinisikan oleh persamaan energi (9-156)

dengan L=T−U adalah

E=T+qϕ (9-167)

Jika A dan ϕ tidak tergantung t, maka L tidak tergantung t dalam sistem koordinat tetap

dan energi E adalah konstan.

Ketika kecepatan tergantung potensial, biasanya untuk menentukan momentum

dalam suku fungsi Lagrangian, bukan dari segi energi kinetik: 

pk=∂ L∂ qk

(9-168)

Jika potensi tidak tergantung kecepatan, maka definisi ini setara dengan Persamaan (9-

23). Dalam kasus apapun, ∂ L/ qk adalah turunan waktu yang muncul dalam persamaan

Lagrange untuk qk, dan konstan jika qk diabaikan. Dalam kasus subjek partikel yaitu gaya

elektromagnetik, komponen momentum px , py , pz akan terjadi, dengan Persamaan (9-

168) dan (9-166),

px=m x+ qc

Ax ,

py=m y+ qc

A y , (9-169)

pz=m z+ qc

A z ,

Suku kedua memainkan peran sebagai momentum potensial.

Tampaknya gaya gravitasi, gaya elektromagnetik, dan memang semua gaya

fundamental dalam fisika dapat dinyatakan dalam bentuk (9-13), untuk dipilih sesuai

fungsi potensial U. Persamaan gerak sistem partikel selalu dapat dinyatakan dalam

bentuk Lagrangian (9-155), bahkan ketika gaya tergantung kecepatan muncul.

Tampaknya ada sesuatu yang mendasar tentang bentuk Persamaan (9-155). Salah satu

sifat penting dari persamaan tersebut, seperti yang telah kita ketahui, adalah bahwa

mereka mempertahankan bentuk yang sama jika kita mensubstitusikan setiap himpunan

baru dari koordinat untuk q1 , …, q f . 

9-9. Persamaan Hamiltonian

Persamaan Lagrange Halaman 43

Page 44: Lagrange Equation Final Destination2

Persamaan gerak Hamilton, disebut juga persamaan gerak kanonik, akan dibahas

pada bagian ini. Lagrangan L merupakan fungsi dari koordinat umum dan kecepatan umu

dan secara eksplisit bisa merupakan fungsi dari waktu yaitu

L=L (q1 , q2, …, qn; q1 ,q2 ,…, qn; t ) (9-170)

Turunan dari L adalah

dL=∑i=1

N

( ∂ L∂ q i

d qi+∂ L∂ qi

d q i)+ ∂ L∂ t

dt (9-171)

Menggunakan hubungan di bawah, telah dibuktikan melalui definisi momentum umum

dan persamaan Lagrange,

pi=∂ L∂ q i

dan ∂ L∂ q i

=p i (9-172)

Kita dapatkan

dL=∑i=1

N

( pi dq i+ pi d q i )+∂ L∂ t

dt (9-173)

jumlahkan q id pi pada kedua ruas persamaan, dan setelah mengaturnya kita dapatkan

d (∑i=1

N

p i q i−L)=∑i=1

N

(q i d pi− p id q i)−∂ L∂ t

dt (9-174)

Seperti sebelumnya, fungsi Hamiltonan H didefinisikan sebagai

H=∑i=1

N

p i q i−L (q1 , q2 , …, qn; q1 , q2 ,…, qn; t ) (9-175)

Dan persamaan (9-174) akan berbentuk

dH =∑i=1

N

(q i d pi+ pi d q i )−∂ L∂ t

dt (9-176)

L merupakan fungsi eksplisit dari (q1 ,q2 ,…, qn; q1 , q2 , …, qn ; t ). Dalam banyak kasus

dapat dimungkinkan untuk menyatakan H sebagai fungsi eksplisit dari

(q1 ,q2 ,…, qn; q1 , q2 , …, qn ; t ). Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan hubungan

yang mendefinisikan momentum umum yaitu ∂ L∂ qi

=pi; sehingga q i dapat dinyatakan

dalam suku pi. Ketika hal ini mungkin, dapat dituliskan

dH =∑i=1

N

( ∂ H∂ qi

dq i+∂ H∂ p i

d pi)+ ∂ H∂ t

dt (9-177)

Persamaan Lagrange Halaman 44

Page 45: Lagrange Equation Final Destination2

Dengan membandingkan persamaan (9-177) dan (9-176) diperoleh

q i=∂ H∂ pi

(9-178)

−pi=∂ H∂ q i

(9-179)

dan

∂ H∂ t

=−∂ L∂t

(9-180)

Persamaan (9-178) dan (9-179) merupakan persamaan gerak Hamiltonan dank arena

memiliki sifat simetri, kedua persamaan juga disebut persamaan gerak katonik. Prosedur

menggambarkan gerak melalui kedua persamaan ini disebut dengan dinamika

Hamiltonan. Ke-2n persamaan diferensial orde pertama ini lebih mudah diselesaikan

dibanding dengan n persamaan diferensial orde kedua dalam rumusan Lagrange.

Ditinjau dari kasus di mana L, dan juga H tidak bergantung dengan waktu. Dalam

keadaan ini ∂ H∂ t

=0 dan persamaan (9-177) berkurang menjadi

dH =∑i=1

N

( ∂ H∂ qi

qi+∂ H∂ pi

p i) (9-181)

Menggunakan persamaan Hamiltonan (9-178) dan (9-179) diperoleh

dHdt

=∑i=1

N

( ∂ H∂ qi

∂ H∂ p i

−∂ H∂ pi

∂ H∂ qi

)=0 (9-182)

Sehingga H merupakan konstanta gerak jika tidak bergantung pada waktu merupakan

konstanta gerak jika tidak bergantung pada waktu t secara eksplisit. Selanjutnya, seperti

yang ditunjukkan sebelumnya, H adalah identik dengan E jika

1) Persamaan yang menggambarkan transformasi koordinat umum tidak memuat

waktu secara eksplisit (bukan merupakan fungsi waktu t).

2) Energi potensial bukan merupakan fungsi dari kecepatan umum.

Contoh

Dengan menggunakan metode Hamiltonan, tentukan pernyataan yang menggambarkan

gerak partiel yang mengalami gerak harmonic sederhana.

Jawab

Persamaan Lagrange Halaman 45

Page 46: Lagrange Equation Final Destination2

Dalam koordinat Kartesan, untuk gerak harmonic sederhana

T=12

m x2 ,V =12

k x2 (9-183)

dan L ( x , x )=T−V=12

m x2−12

k x2 (9-184)

untuk menuliskan Hamiltonan-nya, kita harus mengganti x dengan momentum umum px

px=dLd x

=m x atau x=px

m (9-185)

sehingga

T=12

m x2=px

2

m (9-186)

maka H=H ( x , px )=T +V=px

2

m+ 1

2k x2 (9-187)

Dari persamaan (9-178) dan (9-179) persamaan Hamiltonan atau kanoniknya adalah

x= ∂ H∂ px

=px

m atau px=m x (9-188)

− px=∂ H∂ x

=kx atau px=−kx (9-189)

substitusikan untuk px dari persamaan (9-188) ke persamaan (9-189)

ddt

m x=−kx atau m x+kx=0 (9-190)

yang merupakan persamaan osilator harmonic sederhana dengan frekuensi osilasi:

ω=√ km

atau f = 12 π √ k

m.

Persamaan Lagrange Halaman 46