Oleh : Marvel Grace Maukar12/337225/PPA/03857 PASCASARJANA MATEMATIKA PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA YOGYAKARTA 2013 1.Diketahui model pertumbuhan populasi satu spesies2( )( ) ( )dNtaNt bN tdt= + Dengan( ) Ntcacah populasi pada saat t, a,dan b konstanta-konstanta positif. a.Jelaskan ketergantungan angka pertumbuhan ( ) dNtdtterhadap( ) Ntb.Harapan apa yang akan terjadi terhadap( ) Ntjika t menuju tak berhingga c.Dengan bidang fase, tunjukkan bahwa( ) Ntmenuju tak berhingga d.Tunjukkandengansolusipersamaandiferensialdiatasbahwa( ) Nt menujutak berhingga Jawaban: a.Ketergantungan angka pertumbuhan( ) dNtdtterhadap( ) Nt dapat dilihat dari kurva yang terbentukdari persamaan 2( )( ) ( )dNtaNt bN tdt= + Dengan a,b > 0 Diambil ( )0dNtdt= untuk melihat perpotongan dengan sumbu( ) NtDiperoleh ( )2( ) ( ) 0( ) ( ) 0aNt bN tNt a bNt+ =+ = Sehingga didapat ( ) 0 Nt =atau( )aNtb= Selanjutnyadicari titik baliknya, dan diperoleh 22( )( )2 4a dNt a bNtb dt b= = Sehingga diperoleh grafik Darigrafikterlihatbahwapertumbuhanpopulasinya ( ) dNtdtakanturunpadasaat ( )aNtb= hinggamencapai( )2aNtb= selanjutnyaangkapertumbuhanpopulasi ( ) dNtdt akan naik. b.Pertumbuhan populasi akan bergerak kearah kenaikkan yangsignifikan bahkan mencapai takhinggamengingatjikadilakukanperhitungankaitanantara( ) Nt dantakan mengikuti sebaran eksponensial. c.Bidang

0 N(t) d.Misalkan( ) ( ) f N Na bN = + Dengan bNa= Dengan deret Taylor: 21( ) ' ''2!a a a a af N f f N f Nb b b b b| | | || | | || |= + + + + + || || |\ . \ .\ . \ .\ . Dengan afb| | |\ .=0 Suku nonlinear diabaikan maka diperoleh( ) 0 'a a af N f N Nb b bo| || | | |~ + + = + | ||\ .\ . \ . ( )( )dNtf Ndt= maka ( ) dNt aNdt bo | |= + |\ . Dengan'afbo| |= |\ .

( ) ( ) f N Na bN = +'( ) 2 f N a bN = +' 2 2 0a af a b a a ab b| | | | = + = = < ||\ . \ . ( )( )( )lnt Ct CdNt aNdt bdNtdtaNbdNtdtaNbaN t CbaN ebaN eboooooo++| |= + |\ . =| |+ |\ . =| |+ |\ . + = + + = = } } Diperoleh ( )t CaNt ebo += lim ( )xNt= 2.Diketahuimodelpertumbuhanduaspesiesyangdiberikandengansystempersamaan diferensial non-linear ( )( )( ) ( )xtdy ty t y t edt= Dengan( ) x t cacahpopulasispesiespertamapadasaatt,dan( ) y t cacahpopulasispesies kedua pada saat t. a.Buktikan bahwa (0,0) merupakan titik kesetimbangan b.Linearkah pada titik kesetimbangan c.Bicarakan stabilitasnya d.Bicarakan bidang fasenya Jawaban: a.Pertumbuhan dua spesies mencapai kesetimbangan bila( )0dNtdt= Sehingga diperoleh( )( ) ( ) 0xty t y t e = Berdasarkan yang diketahui( ) 0 x t =dan( ) 0 y t =Dengan mensubstitusi ke dalam persamaandiperoleh 00 0 0 e =Jadi (0,0) merupakan titik kesetimbangan model pertumbuhan dua spesies tersebut b.Berdasarkan yang diketahui diperoleh ( , )xf xy y ye = Sehinggaxfyexc= c

Dan1xfeyc = c Pandang deret Taylor fungsi f disekitar titik kesetimbangan (0,0) Sehingga diperoleh ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )2 2 22 22 22, 0, 0 0, 0 0 0, 0 010, 0 0 0, 0 0 0 0, 0 02!10 0 2 0 ( 1) 02122f ff xy f x yx yf f fx x y yx xy yx y x xyy xyc c= + + +c c ( c c c + + + (c c c c = + + + + + +=

Dengan mengabaikan suku nonlinear diperoleh ( ) , 2 f xy y = c.Berdasarkan soal sebelumnya diperoleh( ) , 2 f xy y = Sehingga2dyydt = 2dydty =

Kedua ruas diintegralkan sehingga 22121ln2ln 2t cdydtydydtyy t cy t cy e += = = + = + =} }} } d.Bidang fase Berbentuk kurva eksponensial. 3.Diketahui model pertumbuhan satu spesies: ( )1 ( )( )a cdNtf fNt dto = , t Dengan( ) Nt= cacah populasi pada saat t, konstanta positif,af= makanan yang tersedia, dan cf =tingkatkonsumsimakanan,yangdalamhalinidianggapberbentuk ( )( )cdNtf Ntdt| = + ,|dankonstanta-konstanta positif. a.Tentukan persamaan diferensial model tersebut b.Tentukan populasi-populasi kesetimbangannya c.Bicarakan kestabilannya di sekitar populasi kesetimbangan Jawabana.Persamaan Diferensial Model Diketahui model pertumbuhan satu spesies ( )1 ( )( )a cdNtf fNt dto = Dengan mensubstitusi nilai cfmaka| || | | |221 ( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 ( ) ( ) ( )( )1 ( ) ( ) ( )( )( )aaaaaadNt dNtf NtNt dt dtdNt dNtNt f Ntdt dtdNt dNtf Nt Nt Ntdt dtdNtNt f Nt NtdtdNtNt Nt f NtdtNt fdNtdto | o | o o| oo o o|o o o|o o|| | | |= + ||\ . \ .| | = |\ . = + = + = =| || |( )1 ( )NtNt o + Sehingga persamaan diferensial model logistic Smith adalah| || |( ) ( )( )1 ( )aNt f NtdNtdt Nto o|o=+ b.Populasi-populasi Kesetimbangan Populasi-populasi kesetimbangan terjadi bila( )0dNtdt=Sehingga| || |( ) ( )01 ( )( ) ( ) 0( ) 0 atau ( )aaaNt f NtNtNt f NtfNt Nto |oo ||=+ = = = Berdasarkan hal tersebut diperoleh populasi-populasi itu setimbang jika ( ) 0 atau ( )afNt Nt|= = c.Untuk membahas stabilitasnya disekitar populasi setimbang( )afNt|= , misalkan| |( )1aN f NHNNo |o=+ Diperoleh | || | | || |222 1'( )1a af N N N f NH NNo o| o o |o + =+ Sehingga | | | |22222 1'( )12 111a a a aa aaaa aa a a aaaaf f f ff ffHff ff f f ffffo o| o o || | | ||o|o o o o | |o|oo| ((( + ((( = (+ ( ( + ( = (+ ( =+ Dengan af,o ,| ,semua konstanta positif Karena itu linearisasi model disekitar populasi setimbang( )afNt|=adalah ( ) ' 01 1a a a a a a aa af f f f f f fHN H N H N Nf fo o| | | | |o o| || | || | | | | | | | | | | ~ + = + = ||||| | \ . \ . \ . \ . \ .+ + |\ . Jadi hasil linearisasinya adalah ( )( )af dNtk Ntdt || |= |\ . dengan 1aafkfoo|=+ konstanta positif sehingga didapat ( )( )adNtkdtfNt|= Yang penyelesaiannya adalah: ( )( )ln ( )( )aakt c c kt adNtk dtfNtfNt kt cfNt e e e||| + = = + = =} } Dengan syarat 0(0) N N =diperoleh 0c afN e| =Dan 0( )kt a af fNt N e| | = Persamaanterakhirberakibatlim ( )axfNt|= yaitupopulasisetimbang afN|= adalah stabil.