METODE NUMERIK

Disusun Oleh :

Novianti Rizky Andiani (140310130001)

Sitti Hidayatul Hikma (140310130025)

Lisa Putri Kusuma (140310130039)

Dea Christ Wahyu M. (140310130001)

Fardhan Abdurrahman (140310090082)

TSUNAMI

Integrasi Numerik

Pengintregalan secara numerik merupakan alat atau cara yang digunakan ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintregalan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik.

Macam Macam Metode Integrasi Numerik diantaranya :1. Metode Trapesium2. Metode Simpson 1/33. Metode 3/8

𝐼=∫𝑎

𝑏

𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥

Integrasi Numerik

1. Metode Trapesium

Pada metode integral Reimann setiap daerah bagian dinyatakan sebagai empat persegi panjang dengan tinggi f(x) dan lebar Δx. Pada metode trapesium ini setiap bagian dinyatakan sebagai trapesium seperti gambar berikut :

Luas trapesium ke-i (L i) adalah :

Dan luas keseluruhan dihitung dengan menjumlahkan luas dari semua bagian trapesium.

sehingga diperoleh :

Integrasi Numerik

2. Metode Simpson 1/3

Hampiran nilai integrasi yang lebih baik dapat ditingkatkan dengan menggunakan polinom interpolasi berderajat yang lebih tinggi. Misalkan fungsi f(x) dihampiri dengan polinom interpolasi derajat 2 yang grafiknya seperti gambar diatas. Untuk itu, dibutuhkan 3 buah titik data, misalakan (0,f(0)), (h,f(h)), dan (2h,f(2h)). Metoda ini diturunkan melalui polinom Newton orde dua

𝐼=h3( 𝑓 0+4 𝑓 1+ 𝑓 2)

𝐼 𝑡𝑜𝑡≈h3

¿

Kekurangan dari metode simpson 1/3 adalah kaidah ini hanya berlaku untuk n genap.

Integrasi Numerik

3. Metode Simpson 3/8

Kaidah simpson 3/8 ditambah errornya :

Kaidah simpson gabungan :

Interpolasi

Interpolasi digunakan untuk menentukan titik – titik lain berdasarkan fungsi pendekatan yang ditentukan sebelumnya berdasarkan fungsi pendekatan yang digunakan sebelumnya. Berdasarkan fungsi pendekatan yang digunakan terdapat beberapa macam interpolasi diantaranya :

1. Interpolasi Linier

2. Interpolasi Polinom

3. Interpolasi Lagrange

Bila data diketahui mempunyai ketelitian yang sangat tinggi, maka kurva cocokannya dibuat melalui setiap titik. Persis sama kalau kurva fungsi yang sebenarnya dirajah melalui tiap titik itu. Kita katakan di sini bahwa kita menginterpolasi titik – titk data dengan sebuah fungsi.

Interpolasi

1. Interpolasi Linier

Interpolasi linier merupakan suatu bentuk interpolasi untuk menentukan titik – titik antara dari titik – titik yang diketahui dengan menggunakan fungsi pendekatan yang berupa fungsi linier yang berbentuk:

 Di dapatkan untuk persamaan interpolasi linier :

Interpolasi

2. Interpolasi Polinomial

Metode Interpolasi yg paling popular adalah interpolasi Polinom. Polinom berbentuk:

Dengan n merupakan bilangan integer non negatif dan merupakan konstanta riil.

Untuk setiap terdapat sejumlah antara dan dengan

dimana

Dan

Interpolasi

3. Interpolasi Newton Gregory Forward

Interpolasi ini merupakan suatu metode yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan interpolasi dengan menggunakan persamaan :

Dari persamaan di atas dapat diketahui nilai-nilai beda hingga yang digunakan pada metoda NGF. Beberapa keterbatasan dari NGF adalah :-Hanya dapat digunakan untuk yang h = konstan-Untuk menyelesaikan yang xs terletak dekat nilai awal xo atau

x1.-Errornya akan kecil jika digunakan untuk mencari nilai f(x) di

sekitar titik awal.

fon

nssssfo

sssfo

ssfosfoxP n

sn

!

)1)...(2)(1(...

!3

)2)(1(

!2

)1()( 32

Interpolasi

4. Interpolasi Lagrange

Apabila pengamatan data tidak berjarak sama atau interval antar variable bebas tidak seragam, perumusan interpolasi yang digunakan mengacu pada penurunan rumusan oleh lagrange. Polynomial lagrange dapat dinyatakan dalam bentuk :

Dengan