Rantai Linear/Mode Normal

Overview and Motivation:Kita perluas diskusi kita tentang osilator kopel untuk sebuah N rantai osilator, dimana N adalah beberapa bilangan arbitrary. Ketika N besar maka akan menjadi jelas bahwa mode normal untuk system ini adalah gelombang berdiri essensially.

Key Mathematics:Kita memperoleh pengalaman lebih dengan matriks dan masalah nilai eigen.

I. Rantai Linear Osilator KopelKarena dua osilator tidak pernah cukup, kita sekarang memperluas system bahwa kita mempunyai diskusi dalam dua lecture terakhir untuk N osilator kopel, seperti diilustrasikan di bawah. Untuk masalah ini kita asumsikan bahwa semua benda mempunyai massa m dan semua pegas memiliki konstanta pegas ks yang sama.

Tujuan pertama kita adalah untuk menemukan mode normal dari system ini. Di awal kita mendekati masalah ini di manner yang sama untuk dua osilator kopel: kita menemukan gaya total pada masing-masing osilator, menemukan masing-masing persamaan gerak, dan kemudian mengasumsikan sebuah type penyelesaian mode normal untuk system. Mari sadari beberapa benda arbitrary dalam rantai ini, katakana j benda. Gaya pada benda ini akan bergantung pada peregangan dari dua pegas pada salah satu sisinya. Dengan sedikit pemikiran, kamu sebaiknya dapat menurunkan gaya total pada benda ini sebagai

Kamu mungkin khawatir bahwa persamaan ini tidak valid untuk benda yang pertama (j=1) dan terakhir (j=N), tetapi jika kita asumsikan bahwa benda j=0 dan j=N+1 (dinding) memiliki massa yang tak terhingga oleh karena itu q0 dan qN+1=0, seperti kondisi boundary (bc’s) pada rantai osilator.

Dengan expression untuk gaya total pada masing-masing benda kita dapat menurunkan persamaan gerak (hukum kedua Newton) untuk msaing-masing benda sebagai

Dimana 1 ≤ j ≤ N dan, seperti sebelumnya ~ω2=ks /m. Catat bahwa masing-masing persamaan gerak adalah kopel: persamaan gerak untuk benda ke-j bergantung pada perpindahan kedua benda (j -1) dan (j + 1).

II. Penyelesaian Mode NormalSekarang kita melihat penyelesaian mode normal (dimana semua massa berosilasi pada frekuensi yang sama) dengan mengasumsikannya seperti itu

Jika kita subtitusikan Pers(4) kedalam Pers(3), setelah sedikit aljabar persamaan gerak menjadi

Sekarang pikirkan bahwa apa yang kita memiliki adalah N persamaan gerak, satu untuk masing-masing nilai j dari 1 hingga N. Seerti dalam masalah dua osilator, aturan persamaan dapat diekspresikan dalam notasi matriks

Jadi, seperti sebelumnya, menemukan mode normal reduksi untuk menemukan

nilai eigen Ω2 dan vector eigen . Panggil kembali bahwa eigenvalues ditemukan dengan menyelesaikan (karakteristik) persamaan yang arises ketika kita mengatur determinan dari matriks N × N dalam Pers(7) menjadi nol.

A. EigenvectorsSekarang untuk N lebih besar dari 3 selesaikan persamaan karakteristik untuk eigenvalues dan eigenvector dengan tangan tidak advisable. Jadi mari kembali ke program matematika computer, seperti Mathcad, dan lihat apa insight kita dapat dalam permasalahan ini. Dibberikan matriks dala pers(6) (dengan nilai spesifik untuk ~ω2), Mathcad dapat menghitung eigenvalue dan eigenvector matriks tersebut. Dalam grafik kita plot eigenvectors berkorespondensi terhadap tiga eigenvalues untuk masalah N = 50.

Kunci untuk mengingatnya adalah eigenvector seperti gelombang berdiri (pada sebuah string, sebagaicontoh). Hal ini berarti, sebagai sebuah fungsi

posisi (i,e., indeks massa) j, komponen q0,j eigenvector muncul menjadi fingsi sinus [yang harus sama dengan nol pada akhir rantai (j = 0 dan j = N + 1) karena bc’s]

Insirasi observasi ini mengikuti ansatz untuk eigenvector

Dimana A adalah beberapa arbitrary amplitude untuk fungsi sinus ini (dapat menjadi kompleks karena kita setuju dengan bentuk kompleks penyelesaian), dan ϕ adalah bebrapa bilanga real yang akan berbeda untuk masing-masing mode normal. Sekarang Pers(8) obviously memenuhi q0 = 0 bc pada lhs rantai, tapi tidak mendekati rhs bc qN+1 = 0. Untuk memenuhi bc ini kita harus

Dimana integer n label penyelesaian (mode normal). Sekarang karena beberapa integer n dalam Pers(10) menghasilkan sebuah nilai untuk ϕ yang memenuhi Pers(9), terlihat seperti ϕn dapat mengambil nilai bilangan tak hingga; kedengaran untuk menyatakan bilangan tak hingga mode normal. Hal ini tidak dapat menjadi benar karena kita tahu bahwa hanya ada dua mode normal untuk masalah dua osilator. Faktanya, karena masalah osilator N melibatkan masalah eigenvalue dimensional N, ada yang persis mode normal N. Penyelesaian untuk teka-teki besar ini berada dalam faktanya bahwa fungsi sinus (dalam Pers(9)) adalah periodik. Hal itu dapat ditunjukkan bahwa ada penyelesaian unik N+1, tapi karea penyelesaian n=0 adalah trivial, yang ada hanya N, solusi nontrivial. Faktanya, kita dapat menentukan penyelesaian N ini dengan memilih n seperti

B. EigenvalueJadi kita sekarang dapat menetapkan eigenvector. Bagaimana dengan eigenvalue? Kita dapat memperoleh ini dengan memasukkan Pers(8) ke dalam Pers(5), yang menghasilkan

Sekarang terlihat seperti persamaan ini bergantung pada j, tetapi sebenarnya tidak. Menggunakan beberapa identitas trigonometri hal itu tidak sulit

menunjukkan bahwa Pers(13) simplifies dan dapat di selesaikan untuk Ω2

sebagai

Dan ingat bahwa ϕ hanya mengambil nilai diskritdiberikan oleh Pers(10), kita memiliki eigenvalues N

Dimana n=1,2,3,...,N. Frekuensi mode normal diberikan oleh

Hal ini menarik untuk plot frekuensi (positif) sebagai sebuah fungsi angka mode n. Sseperti grafik yang ditunjukkan berikut untuk beberapa nilai N. Sama seperti grafik sebelumnya kita mengatur m=1 dan ks= 1.

Seperti yang akan kita diskuskan dalam lecture selanjutnya, grafik ini adalah grafik frekuensi vs invers panjang gelombang, dan seperti yang kita kenal sebagai hubungan disperse atau kurva disperse kerjakan selama kelas, hubungan disperse sangat berguna dalam memahami propagation gelombang berhubungan dengan hubungan disperse itu. Juga, seperti yang akan kita diskusikan dalam lecture selanjutnya, hubungan relasi juga mengandung informasi pada interaksi (hubungan pegas) antara benda-benda yang berosilasi. Catat bahwa frekuensi plotted untuk dua osilator (N=2) sama dengan hasil kita sebelumnya Ω1=1 dan Ω2=√3untuk kasus special dari m=1 dan ks = 1.

III. Masalah Nilai AwalTerakhir kali, kita mendiskusikan bagaimana maslah nilai awal dapat diselesaikan menggunakan mode normal. Sedikit umum, menggunakan hasil diatas dan memasukkan kedua frekuensi Ωn+ dan Ωn-, kita dapat menulis mode normal –n sebagai

Dimana Ωn = Ωn+, dan konstanta An dan Bn (dimana telat diganti A diatas) adalah arbitrary bilangan kompleks3. Solusi umum dapat dituliskan sebagai sebuah kombinasi linear dari mode normal sebagai

[Persamaan (18) adalah eksistensi dari pers(3) dari catatan lecture 4]. Seperti sebelumnya, arbitrary amplitude An dan Bn tergantung pada kondisi awal semua benda yang berosilasi.. Untuk melihat secara nyata bagaimana An dan Bn diturunkan, mari sadari, mari sadari N=3 kasus. Seperti dalam kasus bagaimana. Seperti kasus dua osilator, mari membuat mode normal sedikit nyata dengan mengatur Bn = A*

n. Untuk tiga osilator Pers(18) kemudian menjadi

Seperti dalam catatan lecure 4 untuk masalah dua osilator, kita dapat menuliskan AneiΩnt + A*

ne-iΩnt sebagai 2[Re(An)cos(Ωnt)-Im(An)sin(Ωnt)] dan menggunakan kondisi awal, yang memberikan kita

Jadi kita lihat bahwa bagian real dari amplitude An bergantung pada kondisi awal dari tiga benda, sementara bagian imaginer dari amplitude bergantung pada kecepatann awal mereka. Jadi dimana yang kita lakukan untuk pergi dari sini? Kamu mungkin ingat bahwa untuk masalah dua osilator kita gunakan transformasi mode normal menuju kesetimbangan Pers(20) dan (21), yang mengijinkan kita untuk menemukan amplitudonya (lihat hal. 5-6 dari catatan Lecture 4). Ada sebuah transformasi setimbang disini yang akan mengijinkan kita menemukan An’s. Untuk membuat kita sangat mudah melihatnya, mari secara eksplisit menuliskan Pers(20) sebagai

Sekarang catat apa yang sekarang terjadi jika kita mengalikan persamaan ini

dengan eigenvector pertama ketika dituliskan sebagai vector baris

(sin ( x4 ) sin( x

2 ) sin( 3x4 )=1

2(√2 2 √2 )). Kita mendapatkan

Catathasil yang sangat baik bahwa suku-suku mengandung amplitude A2 dan A3

menghasilkan nol ketka dikalikan dengan eigenvector pertama (dalam bentuk baris). Kita sekarang dapat menyelesaikan untuk bagian real dari A1 dalam suku-suku posisi awal sebagai

Persamaan ini setimbang dengan baris pertama Pers(18) [atau Pers(20a)] dalam catatan Lecture 4 untuk masalah dua osilator. Untuk mendapatkan Re(A2) dan Re(A3) sebaiknya dapat dengan jelas bahwa satu butuh untuk mengalikan Pers(23) dengan masing-masing (baris) eigenvector. Lebih jauh lagi, untuk menemukan bagian imaginer dari amplitude, satu perngali yang mirip Pers(21) dengan baris eigenvector.

Ini “trik” mengalikan dengan baris eigenvector untuk mendapatkan hubungan amplitude adalah kemungkinan bagian paling penting dari lecture ini. Kita akan mengulangnya sering kali mengingat pelajaran: ketika kita mendiskusikan deret Fourier kita akan menggunakan trik ini untuk menemukan koefisien Fourier dari sebuah fungsi; ketika kita membicarakan tentang ruang vector trik ini akan disadari sebagai “inner product”, dan ketika kita membicarakan tentang transformasi Fourier trik ini akan dikenal sebagai “inversi”. Seperti mendiskusikan topic ini, kamu sebaiknya memikirkan trik kecil ini dapat mengijinkan kita menuemukan amplitude An.

Jadi sekarang kita tahu bagaimana menemukan An’s, tetapi bagaimana mode normal yang telah disebutka diatas? Baiklah, hal itu tersembunyi disini. Jika kitamembuat aebuah matriks N × N dengan menumpukkan baris eigenvector, kemudian kita sungguh-sungguh memiliki transformasi. Jadi untuk masalah tiga osilator, transformasi matriks akan menjadi

Jika satu mengalikan Pers(20) dan (21) dengan Pers(26) kemudian satu yang didapatkan dua persamaan bahwa setimbang terhadap Pers(18) dan (19) dali catatan Lecture 4 untuk kasus dua osilator. Juga, jika satu mengalikan vector

kolom dengan Pers(26) kemudian satu yang didapatkan koordinat mode

normal untuk kasus tiga osilator.