1

8. FUNGSI TRANSENDEN8. FUNGSI TRANSENDEN8. FUNGSI TRANSENDEN8. FUNGSI TRANSENDEN

2

8.1 Fungsi Invers• Teorema : Jika f fungsi satu-satu, maka f punya invers.

• Teorema : Jika f monoton murni pada daerah asalnya maka f mempunyai invers.

• Secara geometris, grafik fungsi f dan grafik simetri terhadap garis y = x

ff DRf :1

yfxy 1

1f

3

8.2 Fungsi Logaritma Asli• Fungsi Logaritma asli ( ln ) didefinisikan sebagai :

• Dengan Teorema Dasar Kalkulus II, diperoleh :

• Secara umum, jika u = u(x) maka

ln ,xtdt x

x

10

1

x

dtt

DxDx

xx

11ln

1

dx

du

udtt

DuDxu

xx

11ln

)(

1

.

4

Contoh : Diberikan

maka

Jika

Jadi,

Dari sini diperoleh :

• Sifat-sifat Ln : 1. ln 1 = 02. ln(ab) = ln a + ln b3. ln(a/b)=ln(a) – ln(b)

))24ln(sin()( xxf

))24(sin()24sin(

1)('

xD

xxf x

)24cot(4 x

0,||ln xxy

0,)ln(

0,ln

xx

xx

xyxy

1'ln

xxyxy

11')ln(

.0,1

|)|(ln xx

xdx

d

C|x|lndxx

1

ara r lnln.4

5

• Contoh : Hitung

• Jawab : Misal

sehingga,

Jadi

Grafik fungsi logaritma asli :

dxx

x

4

03

2

2

dxxduxu 23 32

cxcuu

dudx

x

x

|2|ln3

1||ln

3

1

3

1

23

3

2

.33ln3

1)2ln66(ln

3

1

0

4|2|ln

3

1

23

4

03

2

xdx

x

x

Y=ln x

1

6

8.3 Fungsi Eksponen Asli • Karena maka fungsi logaritma asli monoton murni, sehingga mempunyai invers. Invers dari fungsi

logaritma asli disebut fungsi eksponen asli, notasi exp. Jadi berlaku hubungan

• Dari sini didapat : y = exp(ln y) dan x =ln(exp(x)) • Definisi 8.2 Bilangan e adalah bilangan Real positif yang bersifat ln e = 1.

• • Dari diperoleh :

,0untuk01

ln xx

xDx

ylnx)xexp(y

berlakuRx

xex )(exp

ylnxey x

xeydydxdx

dy

ydy

dx

/

1maka

1

xxx eeD )(,Jadi

7

• Secara umum, jika u = u(x) maka

• Dan• Grafik Fungsi Eksponen Asli

• Contoh :

• Contoh :

'.)( )( ueeD uxux

Cedxe xx

1

y=ln x

y=exp (x)

).3ln3()ln3(.)( ln3ln3ln3 xexxDeeD xxx

xxxxx

.3

1

3

1

3

1 /32

/3

ceceduedxx

e xuux

8

8.4 Penggunaan Ln dan Ekp• 8.4.1 Menghitung turunan fungsi berpangkat fungsi • Misalkan , maka

• 8.4.2 Menghitung limit fungsi berpangkat fungsi

• Perhatikan bentuk :

untuk kasus :

)())(()( xhxgxf

)()(')(

)())(ln()(')('

)(')(

)())(ln()('

)(

)('

xfxgxg

xhxgxhxf

xgxg

xhxgxh

xf

xf

)()(lim xg

axxf

1dan,,0 00

9

• Contoh :

• Contoh : ; bentuk

yang terakhir berbentuk , maka dengan L’Hopital,

Jadi

xxxf 4)(sin)(

xxx

xxxf 4)(sin

sin

4sinln4)('

xx

x1

01lim

1

x

xx

xx

xx

x

x

)1(lnlimexp)1ln(.

1.explim))1((lim

00

/1

0

0

0

exx

xx

xx

x

x

1exp

1

1limexp

)1ln(limexp))1((lim

00

/1

0

ex xx

1

01lim

10

• Contoh : ; bentuk

• Contoh : ; bentuk

.

x

xx

ln/13 1lim

0

limx

xx 0

00

)1ln(ln

1limexp1lim 3ln/13

x

xx

x

x

x

.3limexp1

3limexp

/11

3

limexp 33

33

2

ex

x

xxx

xxx

1)0exp(/1

/1limexp

lnlimexplnlimexp)(lim

20

1000

x

xx

xxxx

x

xx

x

x

11

8.5 Fungsi Eksponen Umum• Fungsi , a > 0 disebut fungsi eksponen umum Untuk a > 0 dan x R, didefinisikan

•

• Jika u = u(x), maka

• Dari sini diperoleh :

• Contoh :

• Contoh :

xaxf )(

a ex x a ln

aaaeeDaD xaxaxx

xx lnln)()( lnln

auauaeeDaD uauaux

ux ln''.ln)()( lnln

Caa

dxa xx

ln

1

xxxf 2sin12 23)(

2ln2.23ln3.2)(' 2sin12 xxxf

xdxx .42

CCdu xu

u 4ln2

4

4ln

4

2

1

24

2

12

8.6 Fungsi Logaritma Umum• Invers dari fungsi eksponen umum disebut fungsi Logaritma

Umum ( logaritma dengan bilangan pokok a ), notasi , sehingga

berlaku :

• Dari hubungan ini, didapat

• Sehingga

• Jika u=u(x), maka

xa log

yax

xy a log

a

xx

a

xyayax ay

ln

lnlog

ln

lnlnlnln

axa

xDxD x

ax ln

1)

ln

ln()log(

au

u

a

uDuD x

ax ln

')

ln

ln()log(

13

8.7 Fungsi Invers Trigonometri• Misal f(x) = sin x , dengan

maka Dari sini, didapat , maka

Jadi,

Jika u=u(x), maka

Dari rumus turunan diperoleh :

1)(1;22

xfx

yxxy sinsin 1

ydx

dyy

dy

dx

cos

1cos

21

1

xdx

dy

2

1

1

1)(sin

xxDx

2

1

1

')(sin

u

uuDx

Cxx

dx 1

2sin

1

14

Dengan cara yang sama diperoleh :

Contoh :

Contoh :

2

1

1

1'cos

xyxy

21

1

1'tan

xyxy

1||

1'sec

2

1

xxyxy

Cxdxx

1

2cos

1

1

Cxx

dx 12

tan1

Cxdxxx

||sec1

1 1

2

Cx

dxx

dxx

dxx 2

tan2

1

)2

(1

1

4

1

)4

1(4

1

4

1 1

222

Cx

dxx

dxxx 2

1tan

2

1

4)1(

1

52

1 122

15

8.8 Fungsi Hiperbolik

Definisi :

Fungsi Hiperbolik yang lain dapat diturunkan dari sini. Beberapa identitas yang berlaku pada fungsi hiperbolik:

Turunan fungsi Hiperbolik :

2coshdan

2sinh

xxxx eex

eex

1sinhcosh.1 22 xxxhx 22 sectanh1.2 xhx 22 csc1coth.3

Cxdxxxyxy coshsinhsinh'cosh.2

Cxdxxxyxy sinhcoshcosh'sinh.1

Cxdxxhxhyxy tanhsecsec'tanh.3 22

16

• Contoh : Jika

• Contoh :

• Grafik fungsi hiperbolik

y

xxxxymakayxx

2

coshsinh2',8sinh

222

Cedxee xxx )cosh()sinh(

2cosh)(

xx eexxfy

naikmonoton0untuk,0)('

turunmonoton0untuk,0)('

2)('

fxxf

fxxfeexf

xx

ataskecekung02

)('' fDxee

xf f

xx

f(0)=1

17

• Grafik y= cosh x :

• Dengan cara yang sama, didapat grafik y= sinh x :

y=cosh x

y=sinh x