Jika suatu sumber energi dari luar sistem diterapkan untuk menimbulkan getaran dan kemudian dihilangkan, maka,getaran yang dihasilkan adalah getaran bebas. Ketiadaan gaya-gaya konservatif menyebabkan getaran bebas bertahan sendiri dan berkala.

Getaran pada mesin perkakas yang mengalami pembangkitan pulsa (pulsating excitations) dapat digolongkan sebagai getaran bebas. Asal pulsa/denyutan pada mesin-mesin perkakas meliputi: Gaya-gaya kontak pada Cutter ketika proses milling Gaya-gaya inersia pada bagian yang bergerak bolak-balik Getaran yang diteruskan dari bagian pondasi mesin Material yang kurang bagus

Getaran Bebas Pada Sistem Mesin perkakas

Sebagai contoh adalah proses bubut benda kerja dengan pahat intan titik tunggal(Single Point Diamond).

material memiliki beberapa cacat seperti rongga(cavity), seperti ditunjukkan Gambar 1.(a).

Jika pahat potong merupakan obyek yang diteliti maka kondisi tersebut dapat disederhanakan sebagai getaran bebas dari sistem Massa-Pegas berderajad kebebasan Tunggal seperti gambar 1.(b). Hal ini adalah suatu model yang diidealkan sedangkan sistem yang riil adalah jauh lebih rumit.

Pertama-Tama, mempertimbangkan kasus dari suatu sistem getaran bebas tidak teredam. Bentuk umum persamaan diferensial untuk getaran bebas tidak teredam adalah:

0KxxM .............(1)

Gambar 1: (a) Proses bubut pada material yang cacat(defect) (b) Sistem getaran bebas derajad kebebasan tunggal(single DOF)

M dan K adalah Massa dan Kekakuan (stiffness) yang ditentukan dari turunan persamaan diferensial. Persamaan (1) menurut bentuk kondisi awal berikut:

0

0

)0(

)0(

xx

xx

Solusi analitik persamaan (1) adalah :

tx

txtx nn

n

sincos)( 00

x = perubahan jarak pada saat tx0 = posisi awal massa

M

Kn adalah frekuensi diri (natural frequency)

yang tidak teredam

Terdapat sedikit peningkatan dalam kompleksitas sistem yaitu suatu elemen peredam ditambahkan kepada sistem Massa-Pegas tersebut.

Dalam hal ini hanya viscous damping yang ditambahkan. Bentuk umum persamaan diferensial untuk perpindahan (displacement) pada sistem getaran bebas teredam menjadi;

0 KxxcxM c = peredaman (damping)Pembagian Persamaan (2) dengan M dihasilkan:

(2)

0 xM

Kx

M

cx (3)

Penyelesaian umum persamaan (3) diperoleh dengan asumsi:

tBetx )(

Substitusi persamaan (4) pada persamaan (3) didapatkan persamaan kuadratik untuk α

02 M

K

M

c

Formulasi kuadratik digunakan untuk mendapatkan akar-akar persamaan (5)

(4)

(5)

M

K

M

c

M

c

2

2,1 22

(6)

Bentuk Matematik solusi persamaan (3) dan perilaku fisik sistem tergantung tanda pada diskriminant Persamaan (6)

Jika diskriminant adalah nol maka kasus khusus dan hanya terjadi untuk suatu kombinasi parameter tertentu. Ketika ini terjadi sistem menjadi kritis teredam (criticaly damped).

Untuk harga K dan M yang konstan/tetap, maka harga c yang menyebabkan peredaman kritis (critical damping) disebut sebagai koefisien peredaman kritis (Cc)

KMCc 2

Rasio peredaman tak berdimensi , didefinisikan sebagai rasio harga aktual c terhadap koefisien peredaman kritis(critical damping ratio)

(7)

KM

c

c

c

c 2 (8)

Rasio peredaman ζadalah suatu yang tidak bisa dipisahkan dari parameter sistem. Penggunaan Persamaan (7) dan (8), Persamaan (6) ditulis ulang dalam bentuk ζ dan ωn:

(9)

M

K

M

c

M

c

2

2,1 22

122,1 nn

Sehingga solusi umum persamaan (2) menjadi :

C1 dan C2 adalah konstanta sembarang integrasi. Dari persamaan (10) adalah jelas bahwa sifat alami gerakan tergantung pada nilai ζ, kemudian Persamaan (2) menjadi:

(10)

Ini adalah bentuk yang baku persamaan diferensial yang mengatur getaran bebas dengan peredaman.

Terdapat kondisi-kondisi peredaman yang berbeda: kritis, overdamping, dan underdamping.

(11)

Gambar: Poorly machined surface resulted from chatter

Gambar: (a) Internal grinding process (b)Single DOF forced vibration system