the graphical display of information metode grafik …...membangkitkan bilangan acak •sas telah...
TRANSCRIPT
Pendahuluan• Pembangkitan bil. acak merupakan alat yang
diperlukan dalam komputasi statistikumumnya untuk simulasi
• Bilangan acak yang dibangkitkan merupakanpseudorandom (acak yang semu)
• Bilangan acak yg dibangkitkan diharapkanmemenuhi sebaran statistik tertentu (pdf/pmf, cdf)
• Semua metode pembangkitkan bil. acaktergantung dari pembangkitan bil. acak uniform
Pembangkitan Bil. Acak Uniform
• Metode sederhana untuk bangkitkan bil. acakUniform (0,1)– Misal m bil. bulat yg besar dan b bil. bulat
– b<m
– Nilai b dipilih biasanya dekat akar dari m
– Langkah awal memilih seed: x0 antara 1 dan m
– Generator bil. acak :• x1 = b x0 (mod m)
• u1 = x1/m
– u1 adalah bil. acak semu pertama Uniform(0,1)
Pembangkitan Bil. Acak Uniform
• Bil. acak berikutnya diulang
– x2 = b x1 (mod m)
– u2 = x2/m
• Secara umum:
– xn = b xn-1 (mod m)
– un = xn/m
Membangkitkan Bilangan Acak
• SAS telah menyiapkan banyak fungsi untukmembangkitkan data berdasarkan sebaran
• Fungsi RAND diikuti dengan nama sebaranatau nama sebarannya– Contoh:
• Pembangkit bilangan menggunakan seed yang umumnya mengambil waktu di komputer, selainnya call streaminit(seed)
Peluang Sebaran
• Fungsi density/mass (pdf/pmf) :
– PDF (‘sebaran’)
• Fungsi kumulatif (cdf)
– CDF(‘sebaran’)
• Fungsi quantile/invers
– QUANTILE(‘sebaran’)
Teknik Pembangkitan Bil. Acak
• Teknik umum dalam pembangkitan bil. acak
– Inverse-transform method
– Acceptance-rejection method
– Other Special techniques
Direct Transformation, Convolution
Inverse Transform Method
• Berdasarkan teori Probability Integral Transformation: Jika X adalah peubah acakkontinu dengan cdf F(x), maka U = F(X) ~ Uniform(0,1).
• Menerapkan transformasi integral peluang. Didefiniskan transformasi invers:– F-1 (u) = inf{x : F(x) = u}, 0 < u <1– Jika U ~ uniform(0,1), maka untuk semua x anggota R
• P(F-1 X(u) ≤x) = P(inf{t : FX(t)= U} ≤ x) = P(U ≤ FX(x)) = FU(FX(x)) =
FX(x)• Akhirnya F-1
X(u) memiliki sebaran yang sama dengan X
14
Inverse Transform Method
• Konsep:
– Untuk fungsi cdf : r = F(x)
– Bangkitkan data dari uniform (0,1)
– Maka x: x = F-1(r) r
1
x1
r = F(x)
Inverse Transform Method
• Ilustrasi:– Diketahui pdf : f(x) = 3x2, 0 < x < 1– FX(x) = x3 , 0 < x < 1– F-1
X(u) = u1/3,
– Dalam SAS (misal membangkitkan 1000):
Inverse Transform Method
• Latihan:
– X dari sebaran eksponensial dengan mean 1/λ
– Jika X ~ Exp(λ), maka untuk x > 0 cdf dari X adalah
FX(x) = 1-e-λx
– Bangkitkan X ~ Exp (λ) sebanyak 1000
ITM: Sebaran Diskret
• Jika X ~ p.a. diskret dan … < xi-1 < xi < xi+1 < … adalah titik tidak kontinu dari FX(x), makatransformasi inversnya adalah F-1
X(u)=xi
dimana FX(xi-1) < u < FX(xi).
• Langkah:
– Bangkitkan uniform (0,1)
– Tentukan xi dimana FX(xi-1) < u < FX(xi)
ITM: Sebaran Diskret
• Ilustrasi:– Membangkitkan bil. acak ~ Bernoulli (0.4)– FX(0) = fx(0) = 1-p dan FX(1) = 1. – F-1
X(u) = 1 jika u > 0.6 – F-1
X(u) = 0 jika u <= 0.6
– Dalam SAS
0 1
X
0
100
200
300
400
500
600
Frequency
19
ITM: Kasus Sebaran Diskret• Ilustrasi: Misal banyaknya pengiriman, x, dari suatu perusahaan adalah
0, 1, atau 2 kali
– Data – Sebaran Peluang:
– Metode– Diberikan U,
Skema pembangkit:
0.18.0
8.05.0
5.0
,2
,1
,0
U
U
U
x
Perhatikan U1 = 0.73:F(xi-1) < U <= F(xi)F(x0) < 0.73 <= F(x1)
Maka, x1 = 1
x p(x) F(x)
0 0.50 0.50
1 0.30 0.80
2 0.20 1.00
Acceptance-Rejection method• Misalkan X dan Y adalah peubah acak dengan
pdf/pmf f dan g dan terdapat konstanta csehingga
f(t) / g(t) ≤ c. Untuk semua t: f(t) > 0• Teknik:
1. Tetapkan peubah acak Y dengan density g yg memehunif(t)/g(t) ≤ c. Untuk semua t: f(t) > 0.
2. Untuk setiap satu bil. acak:a. Bangkitkan y acak dari sebaran dengan density gb. Bangkitkan u acak dari sebaran Uniform(0,1).c. Jika u < f(y)/(c g(y)) terima y dan x=y; selainnya tolak y dan
ulangi langkah 2(a)
Acceptance-Rejection method• Ilustrasi:
– Membangkitkan bil. acak sebaran beta (shape1=2, shape2=2)
– Pdf dari beta(2,2) : f(x) = 6x(1-x), 0 < x < 1.
– Tahap:
1. Ambil g(x) dari sebaran Uniform(0,1)
2. Maka f(x)/g(x) ≤ 6 untuk 0 < x < 1.
3. Sebuah x acak dari g(x) diterima jika
f(x)/ [c g(x)] = 6x(1-x) / [6(1)] = x(1-x) > u
Acceptance-Rejection method
• Dalam SAS:
0.03 0.09 0.15 0.21 0.27 0.33 0.39 0.45 0.51 0.57 0.63 0.69 0.75 0.81 0.87 0.93 0.99
x
0
2
4
6
8
10
Percent
Distribution of x
Metode Lain: Direct Transformation
• Beberapa transformasi dari tranformasi inverssebaran dapat digunakan untukmembangkitkan bil. acak:– Jika Z ~ N(0,1), maka V = Z2 ~ χ2(1)
– Jika U ~ χ2(m), V ~ χ2(n), U dan V bebas, maka
F = (U/m ) / ( V/n) ~ F (m,n)
– Jika Z ~ N(0,1) V ~ χ2(n) dan U dan V bebas, maka
T = Z / sqrt(V/n) ~ t-student (n)
– dst