FAKULTAS CIVIL ENGINEERINGUNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SURAKARTA

2012

JAWABAN UTS TUGAS MANAJEMEN KOSTRUKSI PROGRAM RSBI

OLEH ALFIA MAGFIRONA

DAFTAR SLIDE

A. SOAL

B. JAWABAN No. 1

C. JAWABAN No. 2

22

D. JAWABAN No. 3

A. DEFINISI

33

Apakah deivatif itu?

A. DEFINISI

44

Dalam kalkulus (cabang matematika) derivatif adalah ukuran bagaimana perubahan fungsi sebagai perubahan input. Longgar berbicara, derivatif bisa dianggap sebagai berapa banyak satu kuantitas yang berubah dalam menanggapi perubahan dalam kuantitas yang lain, misalnya, turunan dari posisi benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek

A. DEFINISI

55

Turunan dari suatu fungsi pada nilai input yang dipilih menggambarkan pendekatan linear terbaik fungsi mendekati nilai input. Untuk fungsi-nyata nilai dari variabel yang nyata tunggal, derivatif pada suatu titik sama dengan kemiringan garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Dalam dimensi yang lebih tinggi, turunan dari suatu fungsi pada suatu titik merupakan transformasi linear yang disebut Linearisasi. [1] Sebuah gagasan terkait erat adalah diferensial dari suatu fungsi. Proses pencarian derivatif adalah disebut diferensiasi.

A. DEFINISI

66

Itu dapat ditunjukkan oleh grafik fungsi dibawah ini :

Grafik fungsi, dibuat dalam warna hitam, dan garis singgung fungsi yang, dibuat dengan warna merah. Kemiringan garis singgung sama dengan turunan dari fungsi pada titik yang ditandai.

A. DEFINISI

77

Berbagai Macam Simbol-simbol Derivatif

( ) or '( ) or

dy df xf x

dx dx

0Definition: lim

x

dy y

dx x

A. DEFINISI

88

Derivatif orde lebih tinggi

Jika y’ = f’(x). Kita memiliki:

99

Beberapa Rumus Dasar Derivatif

A. DEFINISI

1010

A. DEFINISI

1111

A. DEFINISIChain Rule

Rumus Disebut sebagai Chain Rule formula. Itu dapat ditulis kembali dengan :

Atau rumus persamaan yang lain :

B. FUNGSI-FUNGSI DERIVATIF

1212

Derivatif fungsi Trigonometri

1313

contoh

B. FUNGSI-FUNGSI DERIVATIF

1.𝑦= 𝑠𝑖𝑛4𝑥+ 𝑐𝑜𝑠2𝑥,𝑡𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑦𝑑𝑥…

𝑑𝑦𝑑𝑥 = 4𝑐𝑜𝑠4𝑥− 2𝑠𝑖𝑛2𝑥

2. 𝑦= 2 𝑡𝑔𝑥ሺ𝑥3 + 4ሻ, 𝑡𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛𝑑𝑦𝑑𝑥 …

𝑑𝑦𝑑𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑐2ሺ𝑥3 + 4ሻ.3𝑥2

= 6𝑥2.𝑠𝑒𝑐2ሺ𝑥3 + 4ሻ

1414

B. FUNGSI-FUNGSI DERIVATIF

Derivatif Fungsi Hiperbolik dan Inversnya

1515

B. FUNGSI-FUNGSI DERIVATIF

1616

B. FUNGSI-FUNGSI DERIVATIF

Menyebutkan kembali definisi fungsi trigonometri

1717

Derivatif fungsi Eksponensial dan Logaritma

FUNGSI-FUNGSI DERIVATIF

1818

CONTOH

B. FUNGSI-FUNGSI DERIVATIF

𝑦 = 𝑙𝑛2ሺ4+ 3𝑥ሻ, 𝑑𝑦𝑑𝑥 ……?

Penyelesaian :

1) Ingat rumus turunan :

𝑑(𝑢)𝑛𝑑𝑥 = 𝑛 𝑢ሺ𝑛−1ሻ𝑑𝑢𝑑𝑥

𝑑(𝑙𝑛24+ 3𝑥)𝑑𝑥 = 2.lnሺ4𝑥+ 3ሻ.𝑑(𝑙𝑛ሺ4 + 3𝑥ሻ𝑑𝑥

2) Setelah itu, turunkan 𝑑(𝑙𝑛ሺ4+3𝑥ሻ𝑑𝑥 , dengan menggunakan rumus : 𝑑(lnሺ𝑢ሻ)𝑑𝑥 = 1𝑢𝑑𝑢𝑑𝑥

1919

B. FUNGSI-FUNGSI DERIVATIF 𝑑(ln(4+3𝑥))𝑑𝑥 = 1(4+3𝑥) .3 = 3(4+3𝑥)

Sehingga, dari penjabaran di atas dapat diselesaikan soal tersebut dengan :

𝑑൫𝑙𝑛24+3𝑥൯𝑑𝑥 = 2.lnሺ4𝑥+ 3ሻ.𝑑(𝑙𝑛ሺ4+3𝑥ሻ𝑑𝑥

= 2.lnሺ4𝑥+ 3ሻ. 1(4+ 3𝑥)𝑑ሺ4+ 3𝑥ሻ𝑑𝑥

= 2.lnሺ4𝑥+ 3ሻ. 3(4+3𝑥) = 6ln(4+3𝑥)(4+3𝑥)

2020

Derivatif fungsi Siklometri

B. FUNGSI-FUNGSI DERIVATIF

Dalam matematika, fungsi siklometri adalah fungsi kebalikan dari fungsi trigonometri.Para invers utama rcantum dalam tabel berikut.

2121

B. FUNGSI-FUNGSI DERIVATIF

Name Usual notation Definition

Domain of x for real result

Range of usual principal value(radians)

Range of usual principal value(degrees)

arcsiney = arcsin x x = sin y −1 ≤ x ≤ 1 −π/2 ≤ y ≤

π/2−90° ≤ y ≤ 90°

arccosiney = arccos x x = cos y −1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ π 0° ≤ y ≤

180°

arctangent

y = arctan x x = tan y all real

numbers−π/2 < y < π/2

−90° < y < 90°

arccotangent

y = arccot x x = cot y all real

numbers 0 < y < π 0° < y < 180°

arcsecanty = arcsec x x = sec y x ≤ −1 or

1 ≤ x

0 ≤ y < π/2 or π/2 < y ≤ π

0° ≤ y < 90° or 90° < y ≤ 180°

arccosecant

y = arccsc x x = csc y x ≤ −1 or

1 ≤ x

−π/2 ≤ y < 0 or 0 < y ≤ π/2

-90° ≤ y < 0° or 0° < y ≤ 90°

2222

B. FUNGSI-FUNGSI DERIVATIF

Rumus invers fungsi trigonometri atau fungsi siklometri

2323

Contoh

B. FUNGSI-FUNGSI DERIVATIF

𝑦= 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 (𝑥2 − 5), 𝑑𝑦𝑑𝑥 ……?

Jawab : 𝑑𝑦𝑑𝑥 = −1ඥ1− (𝑥2 − 5)2 .𝑑(𝑥2 − 5)𝑑𝑥

= −1ඥ1−(𝑥2−10+25) .2𝑥

= −2𝑥ξ−𝑥2+10−24

2424

C. FUNGSI PARAMETERBentuk umum dari fungsi parameter adalah :

x = f(t)

y = g(t) (t sebagai parameter)

untuk mendifferensialkan fungsi tersebut ke dalam bentuk parameter, ambil :

x = f(t), maka 𝑑𝑥𝑑𝑡 = 𝑓′(𝑡)

y = g(t), maka 𝑑𝑦𝑑𝑡 = 𝑔′(𝑡)

Itu dapat dijelasakan : 𝑑𝑔(𝑡)𝑑𝑓(𝑡) = 𝑑𝑦 𝑑𝑡ൗ�𝑑𝑥 𝑑𝑡ൗ�= 𝑑𝑦𝑑𝑡 .𝑑𝑡𝑑𝑥

RUMUS x = f(t)

y = g(t)

2525

Jika :

contohx = 2t2 + t

y = t5 + 1

Tentukan : a). b).

C FUNGSI PARAMETER

2626

Penyelesaian:𝑎). 𝑥= 2𝑡2 + 𝑡,𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑑𝑥𝑑𝑡 = 4𝑡+ 1

𝑦= 𝑡5 + 1,𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑑𝑦𝑑𝑡 = 5𝑡4

𝑑𝑦𝑑𝑥= 𝑑𝑦 𝑑𝑡ൗ�𝑑𝑥 𝑑𝑡ൗ�= 5𝑡44𝑡+ 1

𝑏). 𝑑𝑦𝑑𝑡 = 5𝑡4,𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑑2𝑦𝑑𝑡2 = 20𝑡3

𝑑𝑥𝑑𝑡 = 4𝑡+ 1,𝑚𝑎𝑘𝑎𝑑2𝑥𝑑𝑡2 = 4

𝑑2𝑦𝑑𝑥2 = 𝑑𝑥𝑑𝑡𝑥𝑑2𝑦𝑑𝑡2𝑥𝑑𝑦𝑑𝑡 𝑥𝑑2𝑥𝑑𝑡2ቄ𝑑𝑥𝑑𝑡ቅ3 =

ሼሺ4𝑡+1ሻ20𝑡3.5𝑡4.4ሽሺ4𝑡+1ሻ3 =20𝑡3(3𝑡+1)

ሺ4𝑡+1ሻ3

C. FUNGSI PARAMETER

2727

Implicit DerivativeDalam banyak contoh, terutama yang diturunkan dari persamaan diferensial, variabel yang terlibat yang tidak terkait satu sama lain dengan cara yang eksplisit. Sebagian besar waktu, mereka berhubungan melalui formula implisit, seperti F (x, y) = 0. Setelah x adalah tetap, kita mungkin menemukan y melalui perhitungan numerik. (Dengan beberapa teorema mewah, kami secara formal mungkin menunjukkan bahwa memang y dapat dilihat sebagai fungsi dari x selama suatu interval tertentu). Pertanyaannya menjadi apa adalah derivatif , setidaknya pada sebuah tertentutitik? Metode diferensiasi implisit jawaban keprihatinan ini. Mari kita menggambarkan hal ini melalui contoh berikut.

D. FUNGSI IMPLISIT

2828

D. FUNGSI IMPLISIT

Jika diketahui fungsi implisit: 𝑥3 + 𝑥𝑦+ 𝑦3 = 0, 𝑑𝑦 𝑑𝑥 …?

penyelesaian : 𝑥3 + 𝑥𝑦+ 𝑦3 = 0

ሺ3𝑥2 + 𝑦ሻ+ (𝑥.𝑑𝑦𝑑𝑥+ 3𝑦2.𝑑𝑦𝑑𝑥) = 0

ሺ𝑥+ 3𝑦2ሻ.𝑑𝑦𝑑𝑥 = −(3𝑥2 + 𝑦)

= −3𝑥2 + 𝑦𝑥+ 3𝑦2

2929

E. APLIKASI DERVATIF

Sebuah keucut lingkaran tegak terbalik berjari-jari 4 inch dan tinggi 10 inch penuh berisi air. Jika air keluar dari puncak kerucut dengan laju 28 inch3/jam. Tentukan laju turunnya permukaan air di dalam kerucut pada saat ketinggian airnya 8 inch dan 2 inch.

PenyelesaianIkuti prosedur untuk menyelesaikan soal diatas.1. Satuan yang digunakan pada soal diatas adalah inch dan jam. Itu digambarkan pada gambar 1 dan gambar 2, kita menentukan variabel r=jari-jari dan h=tinggi permukaan air pada kerucut.

3030

E. APLIKASI DERVATIF

4

10 10

h

r

4

Gambar 1 Gambar 2

3131

E. APLIKASI DERVATIF2. Dari variable-variabel tersebut kita akan menentukan 𝑑ℎ𝑑𝑡 , pada

saat tinggi air mengalami perubahan. Jika laju turunnya air :

𝑑𝑉𝑑𝑡 = −28 inch3/jam

Dimana V adalah volume air dalam kerucut.

3. Volume air dalam kerucut diberikan rumus volume kerucut

𝑉= 𝜋𝑟2ℎ3

Salah satu variable-variabelnya dapat dieliminasi melalui rumus perbandingan segitiga pada gambar 2.

3232

E. APLIKASI DERVATIF

Yaitu, 𝑟4 = ℎ10

Subtitusi 𝑟 = 0,4ℎ, kita mempunyai :

𝑉= 𝜋(0,4ℎ)2ℎ3 = 0,16𝜋ℎ33

Sehingga, 𝑑𝑉𝑑ℎ = 0,16𝜋(3ℎ2)3 = 0,16𝜋ℎ2

4. Dari persamaan Chain Rule formula: 𝑑𝑉𝑑𝑡 = 𝑑𝑉𝑑ℎ𝑑ℎ𝑑𝑡

3333

E. APLIKASI DERVATIF

Jadi,

𝑑ℎ𝑑𝑡 = 𝑑𝑉𝑑𝑡ൗ�𝑑𝑉𝑑ℎൗ�= −280.16𝜋ℎ2

Untuk ℎ = 8, 𝑑ℎ𝑑𝑡 ℎ=8 = −280,16𝜋(8)2 = −0,87 inch3/jam

Untuk h = 2,

𝑑ℎ𝑑𝑡 ℎ=2 = −280,16𝜋(2)2 = −13,93 inch3/jam

Kesimpulan, Laju turunnya permukaan air dalam kerucut pada saat tinggi air 8 inch dan 2 inch dari bidang atasnya adalah -0,87 inch3/jam dan -13,93 inch3/jam, tanda negative menyatakan bahwa tunggi air dalam kerucut semakin lama semakin berkurang.

3434

DAFTAR PUSTAKAhttp://en.wikipedia.org/wiki/Derivativehttp://www.sosmath.com/.../derivative.htmlhttp://www.sosmath.com/.../der05.htmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometricL. Mett, Corren & C. Smith, James. 1991. Calculus With Aplication . York Graphich Services, Inc. USA.

3535