teori mekanika batuan

[Type the document title]

MEKANIKA BATUAN

Pada mekanika batuan, gaya yang berlaku pada setiap titik di batuan tersebut berbeda-beda. Oleh

karena itu, perlu sekali mendefinisikan adanya perbedaan gaya di setiap titik pada area tersebut,

yang dinyatakan dalam gaya per unit area, yang dinyatakan sebagai traction. Secara umum,

traction berubah-ubah sesuai orientasi permukaan dimana dia bekerja, dan ini dinyatakan sebagai

stress tensor.

Stress merupakan besaran tensor. Besaran tensor adalah besaran yang memperhatikan besar,

arah, dan orientasi plane/permukaan tempat besaran tersebut bekerja. Hal ini berbeda dengan

besaran skalar yang memerhatikan nilai saja (contohnya pressure) dan besaran vektor yang hanya

memerhatikan nilai dan arah (contohnya gaya). Lihat gambar di bawah ini.

a) b)

Fnormal=F cos θ Presultan=

F cosθA

cosθ

=P cos2θ

Gambar 1.Menyatakan bagaimana a).besaran vektor dan b). besaran skalar bekerja.

Inti dari perbedaan antara besaran vektor dan tensor adalah jika vektor menganggap bahwa setiap

benda yang dikenai besaran adalah seragam, sedangkan besaran tensor tidak menganggap sebuah

rigid body seragam sehingga pada penguraiannya, arah plane juga diperhitungkan.

Secara umum stress dibagi menjadi dua, yaitu compressive stress dan shear stress. Compressive

stress (dinyatakan dalam σ) adalah stress yang berarah tegak lurus terhadap plane, sedangkan

shear stress (dinyatakan dalam τ) adalah stress yang berarah sejajar dengan plane.

F cosθ

θ

F

θA

A/cosθ

F

θ

F cos θ


Misalkan terdapat sebuah batuan dengan stress yang bekerja di setiap sisinya seperti yang

ditunjukkan gambar 2a. Perlu diingat bahwa dalam mekanika batuan, kondisi batuan yang

ditinjau adalah equilibrium, yang berarti tidak ada perubahan posisi yang terjadi akibat stress

yang bekerja pada batuan, baik berupa rotasi maupun translasi. Agar kondisi equilibrium

terpenuhi, maka τ xy=τ yx dan compressive stress yang bekerja pada sisi yang sejajar memiliki

besar yang sama (σ y dan σ x ¿.

a) b)

Gambar 2a memperlihatkan batuan dengan beserta arah strss yang bekerja pada setiap sisinya.

Gambar 2b memperlihatkan batuan yang dirotasi dengan dengan sudut sembarang.

Stress tensor yang bekerja pada batuan dinyatakan dalam bentuk matriks seperti berikut :

P=[ σ x τ xy

τ yx σ y]

Dalam kondisi nyata, posisi batuan sangat menentukan besarnya stress yang bekerja pada batuan.

Seperti yang telah disinggung sebelumnya, besarnya stress dipengaruh oleh faktor arah stress itu

sendiri dan orientasi permukaan batuan yang dikenai stress terhadap x-y plane, yang dalam hal

ini dinyatakan dalam bentuk sudut (lihat gambar 2b). Karena orientasi permukaan berubah, maka

σ y

σ y

σ xσ x

τ yx

τ yx

τ xy

τ xy

σ y '

σ x '

σ x '

τ y' x'

τ y' x'

τ x ' y'

τ x ' y'

σ y 'y

x


besarnya compressive dan shear stress pada permukaan juga akan berubah menjadi σ x 'dan τ x ' y'.

Nilai compressive dan shear stress yang baru ini dapat dinyatakan dalam bentuk σ x, σ y, dan τ xy.

Tinjau salah satu sisi batuan terhadap arah x-y plane. Resultan dari σ x ' dan τ x ' y' adalah P,

sedangkan P dapat diuraikan menjadi P y dan P x. Diasumsikan batuan memiliki tebal seragam h

(berada pada sumbu z yang tidak diperlihatkan pada gambar) dan panjang sisi batuan adalah u.

Pada sumbu x dan sumbu y bekerja stress σ x, σ y, dan τ xy. Sudut θ adalah sudut antara σ x ' dengan

sumbu x. Ilustrasi diperlihatkan pada gambar 3 di bawah ini.

Gambar 3 menyatakan semua stress yang bekerja pada batuan, beserta penguraiannya.

Dari penguraian stress yang bekerja pada sumbu x dan sumbu y, maka dapat dijabarkan

persamaan sebagai berikut :

∑ F x=0 ;Pxuh=σ xuhcos θ+τ xyuh sin θ

∑ F y=0; P yuh=σ y uh sinθ+τ yx uhcosθ

Compressive strength dapat dinyatakan dalam penjumlahan dari komponen P x dan P y

berdasarkan orientasi plane u.

σ x '=Px cosθ+P ysin θ

P

σ x 'τ x ' y'

y

x

σ y

σ x

τ xy

τ xy

θu

u sinθ

ucosθ

PP y

P x

P y

P y cosθP y sinθP x

P xcosθ

P xsin θ

θ


¿ (σ x cosθ+τ xy sinθ ) cosθ+ (σ y sin θ+τ yxcos θ ) sinθ

¿σ x cos2θ+τ xy sinθ cosθ+σ ysin2θ+ τ yx cosθ sin θ

Batuan berada pada kondisi equilibrium, sehingga dapat dikatakan bahwa τ xy=τ yx.

σ x '=σ xcos2θ+2 τ xy sin θ cosθ+σ y sin2θ

Penguraian shear stress menjadi :

τ x ' y'=−P xsin θ+P ycosθ

¿−(σ xcos θ+τ xy sin θ ) sin θ+(σ ysin θ+τ yx cosθ ) cosθ

¿−σ xcosθ sinθ−τ xy sin2θ+σ ysin θ cosθ+τ yx cos2θ

¿ (σ y−σ x ) cosθ sinθ+(cos2θ−sin2θ ) τxy

Persamaan untuk σ x ' dan τ x ' y' juga dapat dinyatakan dalam sudut 2θ menjadi :

σ x '=σx+σ y

2+( σ x−σ y

2 )cos2θ+τxy sin 2θ

τ x ' y'=σ y−σ x

2sin 2θ+τ xycos 2θ

Untuk mempermudah perhitungan, parameter τ x ' y' dibuat nol dengan cara mengubah arah plane

yang bekerja pada batuan. Seperti yang terlihat pada gambar 4, dengan berubahnya permukaan

batuan maka compressive strength juga akan berubah menjadi

σ y}¿ ¿

σ x}¿ ¿

σ x}¿ ¿

τ y' x'

σ y}¿ ¿

y

x


Gambar 4 menyatakan batuan yang dirotasi sehingga tidak ada shear stress yang bekerja pada permukaannya.

Persamaan τ x ' y' menjadi :

τ x ' y'=σ y−σ x

2sin 2θ+τ xycos 2θ→0=

σ y−σ x

2sin 2θ+τ xy cos2θ

tan2θ=2 τ xy

σx−σ y

Denganan persamaan terakhir, dapat dibentuk hubungan trigonometri sebagai berikut :

Tanda positif berlaku saat 0<θ<π , sedangkan tanda negatif berlaku saat π<θ<2 π. Persamaan

untuk σ x}¿ ¿ dapat diubah sebagai berikut ;

σ x}} = {{σ} rsub {x} + {σ} rsub {y}} over {2} + left ({{σ} rsub {x} - {σ} rsub {y}} over {2} right ) cos {2θ} + {τ} rsub {xy} sin {2θ¿¿

σ x}} = {{σ} rsub {x} + {σ} rsub {y}} over {2} ± left ({{σ} rsub {x} - {σ} rsub {y}} over {2} right ) {{σ} rsub {x} - {σ} rsub {y}} over {sqrt {4 {τ} rsub {xy} rsup {2} + {left ({σ} rsub {x} - {σ} rsub {y} right )} ^ {2}}} ± {τ} rsub {xy} {2 {τ} rsub {xy}} over {sqrt {4 {τ} rsub {xy} rsup {2} + {left ({σ} rsub {x} - {σ} rsub {y} right )} ^ {2}}¿ ¿

σ x}} = {{σ} rsub {x} + {σ} rsub {y}} over {2} ± {{left ({σ} rsub {x} - {σ} rsub {y} right )} ^ {2} +4 {τ} rsub {xy} rsup {2}} over {2 sqrt {4 {τ} rsub {xy} rsup {2} + {left ({σ} rsub {x} - {σ} rsub {y} right )} ^ {2}}¿¿

σ x}} = {{σ} rsub {x} + {σ} rsub {y}} over {2} ± {1} over {2} sqrt {4 {τ} rsub {xy} rsup {2} + {left ({σ} rsub {x} - {σ} rsub {y} right )} ^ {2}¿ ¿

σ x}} = {{σ} rsub {x} + {σ} rsub {y}} over {2} ± sqrt {{τ} rsub {xy} rsup {2} + {1} over {4} {left ({σ} rsub {x} - {σ} rsub {y} right )} ^ {2}¿¿

Persamaan terakhir disebut dengan principal stress. Ada dua nilai principal stress, dimana nilai

dengan tanda positif disebut maximum principal stress, sedangkan untuk nilai negatif disebut

minimum principal stress. Hal yang perlu diperhatikan adalah perbedaan maximum dan

minimum principal stress adalah 1800 dalam ukuran 2θ, atau θ=900. Dengan demikian dapat

θ

√4 τ xy2 +(σ x−σ y)

2

2 τ xy

σ x−σ y

sin 2θ=±2 τ xy

√4 τ xy2 +(σx−σ y )2

cos2θ=±σ x−σ y

√4 τ xy2 +(σ x−σ y)

2


disimpulkan bahwa maximum dan minimum principal stress saling tegak lurus. Seperti yang

ditunjukkan oleh pada gambar 4, nilai maximum dan minimum principal stress adalah σ x¿dan σ y

¿.

Koordinat x-y dapat diubah menjadi tegak lurus terhadap maximum dan minimum principal

stress (lihat gambar 5a). Dengan mengubah koordinat x-y, maka ada parameter yang harus

disesuaikan, yaitu σ x} = {σ} rsub {x ¿, σ y

} = {σ} rsub {y ¿, dan τ xy=τ xy} =¿. Salah satu dari σ y atau σ x merupakan

maximum principal stress, sedangkan yang lainnya merupakan minimum principal stress. Hal ini

belum dapat ditentukan sampai nilai setiap stress diketahui. Oleh karena itu bisa diasumsikan σ x

adalah maximum principal stress (dinyatakan dalam σ 1) dan σ y adalah minimum pricncipal stress

(dinyatakan dalam σ 2).

Gambar 5a memperlihatkan x-y plane yang sejajar dengan principal stress. Gambar 5b memperlihatkan orientasi permukaan batuan yang berubah

dan memebentuk sudut terhadap koordinat principal stress

Saat orientasi permukaan berubah terhadap sumbu x (ditunjukkan oleh gambar 5b), persamaan

menjadi :

σ=σ1+σ2

2+( σ 1−σ2

2 )cos2θ

τ=−( σ 1−σ2

2 )sin 2θ

Kedua persamaan ini dapat digabungkan menjadi persamaan lingkaran.

σ 2

σ 1

σ 1

σ 2

yx

y x

σ

τθ


σ=σ1+σ2

2+( σ 1−σ2

2 )cos2θ→(σ−σ1+σ2

2 )2

=( σ1−σ2

2 )2

cos2 2θ

τ=−( σ 1−σ2

2 )sin 2θ→τ2=( σ 1−σ2

2 )2

sin2 2θ+¿

(σ−σ1+σ 2

2 )2

+τ2=( σ1−σ 2

2 )2

Persamaan lingkaran ini disebut lingkaran Mohr. Plot grafik lingkaran Mohr digunakan untuk

mengetahui berapa besar nilai σ dan τ yang bekerja pada suatu permukaan dengan sudut sebesar

θ dari sumbu x. Nilai θ berkisar antara 0−900 sehingga rentang sudut pada lingkaran Mohr

sebesar 0−1800. Lingkaran Mohr untuk gambar 5b diperlihatkan pada gambar 6.

Gambar 6 menunjukkan representasi gambar 5b yang diubah dalam bentuk diagram Mohr.

Dalam analisis kestabilan lubang bor (wellbore stability) pada proses pemboran, lingkaran Mohr

merupakan salah satu bagian penting dalam menentukan kondisi kehancuran batuan (rock

failure).

Misalkan sebuah benda yang terletak di sebuah permukaan kasar diberikan gaya sebesar F, maka

gaya minimal yang dibutuhkan untuk menggerakkan benda sebesar gaya friksinya (lihat gambar

7a). Jika dinyatakan dalam persamaan, maka :

F=μN

2θ

τ

σ

σ 1σ 2σ

τ


dimana μ adalah koefisien friksi dan N adalah gaya normal. Jika ditinjau pada permukaan

dimana gaya N bekerja, maka gaya F sama dengan gaya geser (shear force) pada permukaan

benda.

a) b)

Gambar 7a memperlihatkan sebuah benda yang memiliki gaya friksi sebagai hambatan, sedangkan gambar 7b merupakan kondisi failure batuan

yang mekanismenya serupa dengan gambar a.

Saat benda dibuat menjadi sekecil mungkin (yang berarti permukaan dimana gaya bekerja juga

sangat kecil), gaya akan sebanding dengan stress. Oleh karena itu, persamaan dapat diubah

menjadi :

τ=μσ

Hal yang serupa juga dapat terjadi pada batuan.Saat batuan mengalami rekahan, shear stress

maksimum agar batuan tidak bergerak, yang pada mekanika batuan disebut dengan shear failure,

sebesar compressive stress dikalikan koefisien friksi batuan. Pada batuan yang belum memiliki

rekahan, shear stress maksimum didefinisikan dalam :

τ=S0+μσ

dimana S0 disebut dengan cohesive stress, yaitu stress yang dibutuhkan agar batuan rekah.

Cohesive stress merupakan kekuatan ikatan semen dari batuan. Persamaan terakhir ini dapat

dibentuk dalam grafik compressive stress dan shear stress bersama dengan lingkaran Mohr

seperti gambar 8. Koefisien friksi μ merupakan gradient persamaan, yang dinyatakan dalam

bentuk sudut friksi β dimana μ=tan β.

N

F

σ

σ

τ

τf s


Daerah di bawah garis merupakan kondisi batuan tidak mengalami failure (τ<S0+μσ ) dan garis

lurus merupakan kondisi failure batuan (τ=S0+μσ ). Daerah di atas garis juga menggambarkan

kondisi hancurnya batuan, hanya saja sebagai hubungan kualitatif. Hal ini dikarenakan lingkaran

Mohr hanya menggambarkan kondisi intact rock saja.

Gambar 8 merupakan grafik Mohr circle dan kondisi failure batuan.

Saat batuan mengalami failure, terdapat hubungan antara β dan 2θ. Hubungan tersebut

dinyatakan dalam bentuk persamaan berikut :

β+90+(180−2θ )=180→θ= β2+450

Nilai β bisa didapat dari pengukuran lab UCS (Uniaxial Compressive Strength) atau TCS

(Triaxial Compressive Strength). Maka dapat diketahui orentasi permukaan dimana batuan

mengalami shear failure.Hubungan antara shear failure dengan σ 1 dan σ 2 diperlihatkan pada

gambar 9.

Gambar 9 menunjukkan hubungan antara Mohr circle dan shear failure dan besaran-besaran yang

diperlukan dalam perhitungan.

τ

σ

σ 1σ 2

S0

2θβ

τ

σ

σ 1σ 2

S0

2θβσ1+σ 2

2

σ1−σ2

2

So cot β


Sesuai dengan bentuk trigonometri, maka :

sin β=

σ1−σ2

2

So cot β+σ 1+σ2

2

→σ1−σ2

2=So cos β+

σ1+σ2

2sinβ→

σ 1 (1−sin β )=2Socos β+σ2 (1+sin β )→σ1=2Socos β

1−sinβ+σ2

1+sin β1−sin β

Persamaan dapat dinyatakan dalam bentuk θ menjadi :

cos β1−sin β

=cos (2θ−900 )

1−sin (2θ−900 )= sin 2θ

1+cos 2θ=2 sin θ cosθ

2 cos2θ=tan θ

1+sin β1−sin β

=1+sin ( 2θ−900)1−sin (2θ−900 )

=1−cos2θ1+cos2θ

= 2 sin2θ2cos2θ

=tan2θ

σ 1=2Socos β

1−sin β+σ2

1+sin β1−sin β

=2 So tanθ+σ2 tan2θ=Co+σ2 tan2θ

Co didefinisikan sebagai unconfined compressive strength. Persamaan juga dapat dinyatakan

dalam bentuk μ menjadi :

σ 1=2Socos β

1−sin β+σ2

1+sin β1−sin β

→σ 1=2So

1

√μ2+1

1− μ

√ μ2+1

+σ2

1+ μ

√ μ2+1

1− μ

√μ2+1

→

σ 1=2So1

√μ2+1−μ+σ2

√μ2+1+μ

√μ2+1−μ→σ1=2So (√μ2+1+μ )+σ 2 (√ μ2+1+μ )2

Nilai μmemiliki kisaran antara 0.6−1.

μ

β1

√ μ2+1 cos β= 1

√ μ2+1

sin β= μ

√μ2+1


Selain kondisi shear failure, batuan juga dapat mengalami kondisi tensile failure. Tensile failure

terjadi pada saat compressive stress bernilai negatif, dan terjadi saat batuan σ 2=−T o, dimana T o

adalah unconfined tensile strength (didapat dari Brazilian Test). Kebanyakan batuan memiliki

nilai T o yang jauh lebih kecil dibandingkan Co.

Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa kondisi batuan dimana tidak terjadi failure adalah :

σ 1<Co+σ2 tan2θ (shear failure)

σ 2←T o (tensile failure)

Dalam analisis wellbore stability, kondisi failure inilah yang harus dihindari dan dengan

demikian, harus dilakukan desain densitas mud dan trajektori yang tepat agar kedua kondisi di

atas tetap terjaga.

Batuan yang terdapat pada subsurface tidak hanya mendapat stress dari luar saja (seperti

overburden stress, stress akibat pergerakan lempeng, dll.), namun juga mendapat stress dari

dalam batuan itu sendiri, yaitu dari fluida di dalam batuan (disebut juga dengan pore pressure).

Pore pressure bernilai sama, memberikan normal stress ke segala arah. Oleh karena itu, dapat

dikatakan bahwa pore pressure adalah bentuk skalar dari stress.

Pore pressure memberikan “hambatan” terhadap stress dari luar batuan sehingga besarnya stress

efektif (effective stress) yang diterima batuan harus didefinisikan. Misalkan sebuah batuan

dengan ukuran grain beragam dan terdapat fluida di dalamnya diberikan stress dari luar batuan

tersebut (lihat gambar 10a).

a) b)

Gambar 10a memperlihatkan sebuah batuan yang diberikan compressive stress. Akibat adanya stress, maka akan ada

kontak antar butir. Gambar 10b menunjukkan diagram gaya yang terjadi pada buir batuan.

σ

σ

Ac

A

A−Acσ c

σ c

Pp


Kontak antar butir batuan diperjelas pada gambar 10b. Ada dua gaya yang bekerja pada butir,

yaitu gaya dari stress luar FT dan gaya yang diterim butir Fg. Resultan kedua gaya ini membuat

susunan butir batuan berada dalam kondisi equilibrium, sehingga dapat dinyatakan dalam

FT=Fg. Gaya Fg terbagi menjadi dua bagian, yaitu gaya yang bekerja pada butir batuan F c dan

gaya pada butir akibat fluida di dalamnya F p. Oleh karena itu, persamaan dapat dituliskan

menjadi FT=Fc+Fp. Persaman juga dapat diuraikan ke dalam bentuk stress menjadi :

σA=σc Ac+Pp ( A−Ac )→σ=σ c

Ac

A+Pp(1−

Ac

A )Perlu diingat bahwa Ac ≪ A sehingga

Ac

A→0. Persamaan σ c

Ac

A merupakan effective stress yang

diterima oleh butir batuan, dapat dinyatakan dalam σ g. Oleh karena itu, effective stress

dinyatakan dalam bentuk :

σ g=σ−Pp

Akan tetapi berdasarkan percobaan yang dilakukan, persamaan di atas perlu dimodifikasi,

mengingat besarnya pore pressure yang memengaruhi stress bergantung pada jenis batuannya.

Persamaan baru didefinisikan sebagai :

σ g=σ−α Pp; α=1−Kb

K g

dimanaα merupakan konstanta Biot. Parameter Kb adalah bulk modulus batuan, sedangkan K g

adalah bulk modulus butir batuan.

Batuan yang dikenai stress pasti akan mengalami perubahan bentuk, seberapapun kecilnya.

Perubahan bentuk ini dinyatakan dalam bentuk strain. Secara umum, ada dua jenis strain, yaitu

axial strain dan shear strain.

a) b)

Gambar 11 memperlihatkan a) axial strain dan b) shear strain.

l l¿→ → φ


Definisi dari axial strain dan shear strain dinyatakan sebagai berikut :

ε=l−l¿

l(axial strain ); γ=tanφ (shear strain)

Hubungan antara stress dan strain dinyatakan dalam beberapa bentuk, yaitu :

Shear Modulus dan Bulk Modulus dapat dinyatakan dalam Poisson Ratio dan Modulus Young

menjadi :

G= E2(1+v)

;K= E3(1−2v )

Pemboran membuat lubang pada batuan. Adanya lubang (cavities) pada batuan menyebabkan

stress yang bekerja di sekitar lubang berubah. Kirsch (1898) mengembangkan persamaan untuk

xy

y¿x¿

σ y

σ y

ModulusYoung (E )=σ y

ε y

PoissonRatio (v )=−εxε y

τ xy

τ xy

x¿

y ShearModulus (G )=τ xy

γ xy

x y

zx¿

y¿

z¿Bulk Modulus (K )=

σ x+σ y+σ z

ε x+ε y+ε z


mendefinisikan stress yang bekerja saat terdapat lubang pada batuan (penurunan rumus tidak

diberikan disini).

σ r=σ x+σ y

2 (1− rw2

r2 )+ σ x−σ y

2 (1+3rw

4

r4−4

rw2

r2 )cos2θ+τ xy(1+3rw

4

r 4−4

rw2

r2 )sin 2θ+Pw

rw2

r 2

σ θ=σ x+σ y

2 (1−rw

2

r2 )−σ x−σ y

2 (1+3rw

4

r4 )cos2θ−τ xy(1+3rw

4

r 4 )sin2θ−Pw

rw2

r2

σ a=σ z−v [2 (σ x−σ y )rw

2

r2cos 2θ+4 τ xy sin 2θ]

τ rθ=σx−σ y

2 (1−3rw

4

r 4+2

rw2

r2 )sin 2θ+ τ xy(1−3rw

4

r4+2

rw2

r2 )cos2θ

τθa= (τ yzcos θ−τ xz sin θ )(1+rw

2

r2 )τ ra=(τ yz sinθ−τ xzcosθ )(1− rw

2

r2 )Namun persamaan ini hanya berlaku pada kondisi vertical well, padahal saat ini sebagian besar

well yang dibor adalah directional dan horizontal. Misalkan terdapat wellbore dengan orientasi

seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah.

σ v

σ h

σ H

γ

φ

σ v

σ h

σ H


Saat pemboran directional well, x-y-z plane akan berubah orientasi sehingga stress σ x , σ y , dan

σ z yang bekerja juga akan berubah. Oleh karena itu, nilai stress tersebut harus ditransformasi ke

dalam x-y-z plane yang sesuai dengan orientasi well. Persamaannya adalah :

σ x=(σ H cos2φ+σ hsin2φ ) cos2 γ+σv sin2 γ

σ y=(σH sin2φ+σh cos2φ )

σ z=(σ H cos2φ+σh sin2φ )sin2 γ+σv cos2γ

τ yz=σ h−σ H

2sin 2φ sin γ

τ xz=σH cos2φ+σh sin2φ−σv

2sin2 γ

τ xy=σ h−σ H

2sin 2φ cos γ

Langkah-langkah analisis geomekanik pada batuan adalah sebagai berikut :

1. Diketahui parameter σ v ,σ H , σh ,dan So.

2. Ubahlah stress yang bekerja dalam bentuk σ z , σ x , dan σ y agar sesuai dengan orientiasi

wellbore dengan persamaan :

σ x=(σ H cos2φ+σ hsin2φ ) cos2 γ+σv sin2 γ

σ y=(σH sin2φ+σh cos2φ )

σ z=(σ H cos2φ+σh sin2φ )sin2 γ+σv cos2γ

τ yz=σ h−σ H

2sin 2φ sin γ

τ xz=σH cos2φ+σh sin2φ−σv

2sin2 γ

τ xy=σ h−σ H

2sin 2φ cos γ


3. Ubahlah parameter σ z , σ x , dan σ y ke dalam bentuk σ a ,σ θ , dan σ r dengan persamaan

Kirsch pada kondisi r=rw. Persamaannya dinyatakan di bawah ini :

σ r=Pw

σ θ=(σ x+σ y)−2(σ x−σ y )cos2θ−4 τ xy sin 2θ−Pw

σ a=σ z−v [2 (σ x−σ y) cos 2θ+4 τ xy sin 2θ ]τ rθ=τ ra=0

τθa=2 ( τ yzcosθ−τ xz sinθ )

4. Ubahlah σ a ,σ θ , dan σ r ke dalam bentuk principal stress dengan persamaan berikut :

σ principal=σθ+σa

2±√τθa2 + 1

4(σθ−σa )2∨σ principal=Pw

Dari ketiga nilai tersebut, tentukan nilai maximum dan minimum principal stress.

5. Tentukan kondisi failure yang terjadi pada batuan dari persamaan :

σ 1' <Co+σ3

' tan2θ (shear failure)

σ 3' ←T o (tensile failure)

dimana σ ' merupakan principal stress (σ '=σ−Pp ). Kondisi shear failure biasa disebut

dengan breakout, sedangkan kondisi tensile failure biasa disebut dengan drilling induced

fractures.

Beberapa kemungkinan kondisi failure yang bisa terjadi dijabarkan sebagai berikut :

σ 1=σθ+σ a

2+√τθa2 + 1

4(σθ−σa )2

dan σ 3=σθ+σ a

2−√τθa2 + 1

4(σθ−σ a )2

σ 1=σθ+σ a

2+√τθa2 + 1

4(σθ−σa )2

dan σ 3=Pw

σ 1=Pw dan σ 3=σθ+σ a

2+√τθa2 + 1

4(σθ−σ a)

2

σ 1=Pw dan σ 3=σθ+σ a

2−√τθa2 + 1

4(σθ−σ a )2

teori mekanika batuan

Documents