teori bilangan keterbagian

KETERBAGIAN

Departemen Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Medan

2015

(Teori Bilangan) Keterbagian March 20, 2016 1 / 28

Kelompok 3

Suindriani(130803034)

Defen Putra Sianipar(130803038)

Fitri Widiyawati(130803040)

Ferninda (130803042)

Puspita Ningsih Harahap (130803044)

Helmy Chairani Siregar (1308003046)

Agelh Naomi Clarissa (130803048)

Aris Handiyoko Sibuea (130803050)


Outline I

1 3.1 Keterbagian Dalam Bilangan BulatDefinisi 3.1Dalil 3.1 dan Dalil 3.2Dalil 3.3 dan Definisi 3.2Dalil 3.4

2 3.2 Cara Lain Menentukan FPB dan Kombinasi LinearDefinisi 3.3 dan Dalil 3.5

3 3.3 Persamaan Diophantine LinearTeorema Dan Bukti

4 3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi3.4.1 Ciri Habis Dibagi 2 Dan Contoh3.4.2 Ciri Habis Dibagi 3 Dan Contoh3.4.3 Ciri Habis Dibagi 4 Dan Contoh3.4.4 Ciri Habis Dibagi 5 Dan Contoh3.4.5 Ciri Habis Dibagi 6 Dan Contoh(Teori Bilangan) Keterbagian March 20, 2016 3 / 28

Outline II

3.4.6 Ciri Habis Dibagi 7 Dan Contoh3.4.7 Ciri Habis Dibagi 8 Dan Contoh3.4.8 Ciri Habis Dibagi 9 Dan Contoh3.4.9 Ciri Habis Dibagi 103.4.10 Ciri Habis Dibagi 113.4.11 Ciri Habis Dibagi 16 Dan Contoh3.4.12 Ciri-Ciri Habis Dibagi Bilangan Prima Dan Contoh


3.1 Keterbagian Dalam Bilangan Bulat Definisi 3.1

Definisi 3.1

Definisi 3.1Suatu bilangan bulat x dikatakan habis dibagi oleh suatu bilangan bulat a 6= 0, jikaterdapat satu bilangan bulat q sedemikian sehingga b = qa. Jika hal ini dipenuhi maka adikatakan membagi b dan dinotasikan dengan a|b, dapat dibaca :

1 a membagi b

2 a adalah pembagi b

3 a adalah faktor (pembagi) b

4 b adalah kelipatan a

Jika a tidak membagi b dinotasikan dengan a+ b. Berarti mempunyai sisa selain 0 yangmerupakan residu dari pembagian tersebut, dapat dirumuskan seperti berikut. Jikab = qa+ r dengan 0 < r < a, maka

b disebut bilangan yang dibagi (devidend)

a disebut bilangan pembagi (devisor/faktor)

q disebut bilangan hasil bagi (quotient)

r disebut bilangan sisa (reminder/residu)


3.1 Keterbagian Dalam Bilangan Bulat Dalil 3.1 dan Dalil 3.2

Dalil 3.1 dan Dalil 3.2

Dalil 3.1Jika a, b, c ∈ Z maka berlaku:

1 a|b → a|bc, untuk setiap c ∈ Z.2 (a|b, b|c) → a|c3 (a|b, b|a) → a = ± b

4 (a|b, a|c) → a|(b) ± c)

5 (a|b, a|c) → a|(ax+ by) untuk setiap x,y ∈ Z6 (a > 0, b > 0 dan a|b) → a ≤ b

7 (a|b ↔ ma|mb untuk setiap m ∈ Z dan m 6= 0

8 (a|b dan a|b+ c) → a|c

Dalil 3.2 (Dalil Algoritma Pembagian)

Jika a > 0, dan a,b ∈ Z, maka ada bilangan-bilangan q,r ∈ Z yang masing-masing tunggal(unique) sehingga b = qa+ r dengan 0 ≤ r < a. Jika a+ b maka r memenuhiketidaksamaan 0 < r < a.


3.1 Keterbagian Dalam Bilangan Bulat Dalil 3.3 dan Definisi 3.2

Dalil 3.3 dan Definisi 3.2

Dalil 3.3

Jika b = qa + r dengan 0 = r < a, maka

b disebut bilangan yang dibagi (devidend)

a disebut bilangan pembagi (devisor/faktor)

q disebut bilangan hasil bagi (quotient)

r disebut bilangan sisa (reminder/residu)

Definisi 3.2

Ditentukan x,y ∈ Z yang keduanya tidak bersama-sama bernilai0, a ∈ Z disebut pembagi persekutuan dari x dan y jika ax dan ay.a ∈ Z disebut pembagi persekutuan terbesar (FPB) dari x dan y jika aadalah bilangan bulat positip terbesar sehingga ax dan ay.


3.1 Keterbagian Dalam Bilangan Bulat Dalil 3.4

Dalil 3.4

Dalil 3.4

1 Jika d = (x, y) maka d adalah bilangan bulat positip terkecil yangmempunyai bentuk umum a0x + b0y dengan a0, b0 ∈ Z .

2 Jika t ∈ Z dan t > 0 , maka (tx, ty) = t(x, y).

3 Jika x, y ∈ Z dan d = (x, y) maka (xd ), (yd) = 1 .

4 Jika x, y, w ∈ Z, w|xy , dan (y, w) = 1 maka w|x.5 Jika (x, t) = 1 dan (y, t) = 1 , maka (xy, t) = 1.

6 Ditentukan x, y ∈ Z, (x, y) = d . Ekuivalen dengan d > 0, d|x, d|ydan f |d untuk setiap f pembagi persekutuan x dan y .

7 Untuk setiap a, x, y ∈ Z , berlaku:(x, y) = (y, x) = (x,−y) = (x, y + ax).


3.2 Cara Lain Menentukan FPB dan Kombinasi Linear Definisi 3.3 dan Dalil 3.5

Definisi 3.3 dan Dalil 3.5

Definisi 3.3Jika x, y ∈ Z, x 6= 0, dan y 6= 0, maka:

M disebut kelipatan persekutuan dari x dan y jika y|m dan x|m.

M disebut kelipatan persekutuan terkecil dari x dan y jika m adalah bilangan bulatpositip terkecil sehingga x|m dan y|m. Jika m kelipatan pesekutuan terkecil x dan ydinotasikan dengan [x, y] = m.

Dalil 3.51 Jika x, y ∈ Z, x 6= 0 , dan y 6= 0 , maka [x, y] = m↔ x|m, y|m,m > 0 dan sebarang

kelipatan persekutuan n dari x dan y berlaku m|n.2 Untuk m > 0 berlaku [mx,my] = m[x, y]

3 Jika a dan b adalah sebarang dua bilangan bulat positip dan (a, b) = 1 maka(a, b)[a, b] = a.b

4 Jika a, b sebarang dua bilangan bulat positip, maka (a, b)[a, b] = ab.


3.3 Persamaan Diophantine Linear Teorema Dan Bukti

Teorema Dan Bukti

TeoremaPersamaan Diophantine Linear ax+ by = c dikatakan mempunyai penyelesaian jika dan

hanya jika dc dimana d = (a,b), Jika x0 dan y0 adalah sebarang penyelesaian khusus dari

ax+ by = c Maka seluruh penyelesaian yang lain diberikan oleh x = x0+ (b/d)t dan

y = y0(a/d)t, untuk sebarang bilangan bulat t.

Bukti :Misal x0 dan y0 adalah penyelesaian persamaan yang diketahui, jika x dan y penyelesaianyang lain maka ax0 + b0 = c = ax+ by

↔ a(xx0) = b(y0y) Dengan menggunakan teorema sebelumnya pada Algoritma Pembagian,

dimana ada bilangan bulat relatif prima r dan s sehingga a = dr dan b = ds. Sehingga

diperoleh r(x− x0) = s(y0 − y). Bentuk ini memberikan fakta bahwa rs(y0 − y). Dengan

(r,s) = 1. Dengan menggunakan Lemma Euclid diperoleh r (y0 − y) atau dengan kata lain


3.3 Persamaan Diophantine Linear Teorema Dan Bukti

(y0 − y) = rt, untuk suatu bilangan bulat t.

x′ − x0 = st

x = x0 + st

x = x0 + (b/d)t...........(1)

Dengan cara yang sama diperoleh

y0y = rt

y = y0 − rt

y = y0 − (a/d)t.............(2)

Dari(1) dan (2) dapat dilihat bahwa:

ax+ by = a[x0 + (b/d)t] + b[y0 − (a/d)t]

= (ax0 + by0) + (ab/dab/d)t

= c+ 0

= c

Dengan demikian terdapat tak hingga penyelesaian dari persamaan Diophantine yang

diberikan, sebut saja penyelesaian tersebut adalah t.


3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.1 Ciri Habis Dibagi 2 Dan Contoh

3.4.1 Ciri Habis Dibagi 2 Dan Contoh

Ciri Habis Dibagi 2

PerhatikanN = ak.10

k + ak−1.10k−1 + ak−2.10

k−2 + ak−3.10k−3 + ak−4.10

k−4 + ....+ a1.10 + a0.Dimana2|10→ 2|a1.102|10→ 2|10.10 → 2|102 → 2|a2.102

2|10→ 2|100.10→ 2|103 → 2|a3.103

...................................................................................2|10→ ..................................................2|ak.10k.Kesimpulan : suatu bilangan asli N habis dibagi 2 jika angka terakhir lambang bilangan N

(yaitu a0) habis dibagi 2. Jadi haruslah a0 bilangan genap.

ContohSelidiki apakah 435655433216 habis dibagi 2 ?Jawab :

Karena angka terakhir dari N = 435655433216 adalah bilangan 6 (genap) dan 26, maka

2435655433216.




Ciri Habis Dibagi 3

PerhatikanN = ak.10

k + ak−1.10k−1 + ak−2.10

k−2 + ak−3.10k−3 + ak−4.10

k−4 + ....+ a1.10 + a0.Dimana3|9→ 3|a1.93|9→ 3|11.9 → 3|99 → 3|a2.993|9→ 3|111.9→ 3|999→ 3|a3.999............................................................................3|9→ .......................................3|ak.999...9sehingga3|ak.999...9, ..., 3a3.999, 3|a2.99, 3|a1.9

Kesimpulan : suatu bilangan bulat N habis dibagi 3 jika jumlah angka-angka dari lambang

bilangan N habis dibagi 3.


Misal N = 3462 = (a3a2a1a0). Dan a3 + a2 + a1 + a0 = 3 + 4 + 6 + 2 = 15. Karena 3|15maka 3|3462.




Ciri Habis Dibagi 4

PerhatikanN = ak.10

k + ak−1.10k−1 + ak−2.10k−2 + ak−3.10

k−3 + ak−4.10k−4 + ....+ a1.10 + a0.

Dimana4|100→ 4|102 → 4|a2.102

4|100→ 4|10.100 → 4|103 → 4|a3.103

4|100→ 4|100.100→ 4|104 → 4|a4.104

....................................................................................4|100→ ...............................................4|ak.10k

Kesimpulan : suatu bilangan asli N habis dibagi 4 jika bilangan yang dibentuk oleh dua

angka terakhir dari lambang bilangan N habis dibagi 4.


Misal N = 435655433216 = (a11a10a9a8a7a6a5a4a3a2a1a0) , dan dua angka terakhir dari

Na1 = 1 dan a0 = 6, sehingga diperoleh bilangan 16 dan 4|16 , maka 4435655433216.




Ciri Habis Dibagi 5

PerhatikanN = ak.10

k + ak−1.10k−1 + ak−2.10

k−2 + ak−3.10k−3 + ak−4.10

k−4 + ....+ a1.10 + a0.Dimana5|10→ 5|a1.105|10→ 5|10.10 → 5|102 → 5|a2.102

5|10→ 5|100.10 → 5|103 → 5|a3.103

5|10→ 5|1000.10→ 5|104 → 5|a4.104

....................................................................................5|10→ .................................................5|ak.10k

Kesimpulan : suatu bilangan asli N habis dibagi 5 jika angka terakhir lambang bilangan N

adalah 0 atau 5.

Contoh

Bilangan 450980 habis dibagi 5 karena angka terakhir dari 450980 adalah 0 dan 5|0,sehingga 5|450980.




Ciri Habis Dibagi 6

Jika diketahui 6|N , maka 6 merupakan pembagi (faktor) dari N , sehingga:N = 6k untuk k ∈ Z.N = 6k dan 6 = 2.3, maka N = (2.3)kN = 2(3.k)→ 2|NN = 3(2.k)→ 3|NJadi suatu bilangan bulat N habis dibagi 6 jika N habis dibagi oleh 2 dan 3. Dengan kata

lain suatu bilangan N habis dibagi 6 jika angka terakhir adalah genap dan jumlah

angka-angka dari lambang bilangan N habis dibagi 3.

ContohSelidiki apakah 4356 habis dibagi 6 ?

4356 habis dibagi 2 , karena angka terakhir dari bilangan 4356 yaitu 6 habis dibagi 2 ,

sehingga 2|4356, 4 + 3 + 5 + 6 = 18 , dan 3|18 , maka 3|4356. Karena 2|4356 dan 3|4356maka 6|4356.




Cara PertamaBilangan yang habis dibagi oleh 7, bila bagian satuan dari bilangan tersebut dikalikan 2,dan menjadi pengurang dari bilangan tersisa, demikian seterusnya, bila bilangan habisdibagi 7, berarti bilangan tersebut habis dibagi 7. Apakah bilangan sisa tersebut tidakmerupakan kelipatan tujuh, tidak berati angka tersebut merupakan sisa.Contoh :Apakah 7161 habis dibagi 7 ?Dipisahkan 1 (satuan dari bilangan)716− 2x(1) = 714

71− 2x(4) = 63 habis dibagi 7.

Cara KeduaPerhatikanN = ak.10

k + ak−1.10k−1 + ak−2.10

k−2 + ak−3.10k−3 + ak−4.10

k−4 + ....+ a1.10 + a0.Contoh :Selidiki apakah 1234 habis dibagi 7 ?

Misal 1234 = (a3a2a1a0), maka diperoleh

a3 = 1, a2 = 2, a1 = 3, a0 = 4.a0 + 3a1 + 2a2 = 4 + 3(3) + 2(2) = 17 dan a3 = 1. Sehingga

(a0 + 3a1 + 2a2)− a3 = 171 = 6. Karena 7 + 2, maka 7 + 1234.



Cara Ketiga

PerhatikanN = ak.10k + ak−1.10k−1 + ak−2.10k−2 + ak−3.10k−3 + ak−4.10k−4 +.... + a1.10 + a0. Atau dapat ditulis bilanganN = (akak−1ak−2ak−3ak−4....a1a0).




Ciri Habis Dibagi 8

PerhatikanN = ak.10

k + ak−1.10k−1 + ak−2.10

k−2 + ak−3.10k−3 + ak−4.10

k−4 + ....+ a1.10 + a0.Dimana8|1000→ 8|103 → 8|a3.103

8|1000→ 8|10.1000 → 8|104 → 8|a4.104

8|1000→ 8|100.1000→ 8|105 → 8|a5.105

.......................................................................................8|1000→ .................................................8|ak.10k.Kesimpulan : suatu bilangan asli N habis dibagi 8 jika bilangan yang dibentuk oleh tiga

angka terakhir dari lambang bilangan N habis dibagi 8.


Misal N = 435655433242 = (a11a10a9a8a7a6a5a4a3a2a1a0) , dan tiga angka terakhir dari

N adalah a2 = 2, a1 = 4 dan a0 = 2, sehingga diperoleh bilangan 242 dan dan 8|242. Jadi

8|435655433242.



3.4.8 Ciri Habis Dibagi 9

Ciri Habis Dibagi 9

Dari uraian pembagian dengan bilangan 3 diketahui bahwa:

N = ak.10k + ak−1.10k−1 + ak−2.10

k−2 + ak−3.10k−3 + ak−4.10

k−4 + ....+ a1.10 + a0.

= (a3.999...9 + ...+ a3.999 + a2.99 + a1.9) + (ak + ...+ a3 + a2 + a1 + a0)

Dimana9|9→ 9|a1.99|9→ 9|11.9 → 9|99 → 9|a2.999|9→ 9|111.9→ 9|999→ 9|a3.999...........................................................................9|9→ ......................................, , 9ak.999...9.

Kesimpulan : suatu bilangan bulat N habis dibagi 9 jika jumlah angka-angka dari lambang

bilangan N habis dibagi 9.



Contoh

Contoh

Selidiki apakah 142323331011 habis dibagi 3 dan 9 ?N = 142323331011→ (a11a10a9a8a7a6a5a4a3a2a1a0)a11 + a10 + a9 + a8 + a7 + a6 + a5 + a4 + a3 + a2 + a1 + a0 =1 + 4 + 2 + 3 + 2 + 3 + 3 + 3 + 1 + 0 + 1 + 1 = 24.Karena 3|24 maka 3|142323331011. Karena 9 + 24 maka3 + 142323331011.


3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.9 Ciri Habis Dibagi 10


Ciri Habis Dibagi 10

PerhatikanN = ak.10

k + ak−1.10k−1 + ak−2.10

k−2 + ak−3.10k−3 + ak−4.10

k−4 + ....+ a1.10 + a0.Dimana10|10→ 10|a1.1010|10→ 10|10.10 → 10|102 → 10|a2.102

10|10→ 10|100.10 → 10|103 → 10|a3.103

10|10→ 10|1000.10→ 10|104 → 10|a4.104

......................................................................................10|10→ ...............................................10ak.10

k.

Kesimpulan : Suatu bilangan asli N habis dibagi 10 jika angka terakhir lambang bilangan

N (yaitu a0) adalah 0.


3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi 3.4.10 Ciri Habis Dibagi 11



PerhatikanN = ak.10

k + ak − 1.10k−1 + ak−2.10k−2 + ak−3.10

k−3 + ak−4.10k−4 + ....+ a1.10 + a0

Dimanaa1.10 = a1(111) = 11a1 − a1

a2.102 = a2.100 = a2(99 + 1) = 99a2 + a2

a3.103 = a3.1000 = a3(1001− 1) = 1001a3 − a3

a4.104 = a4.10000 = a4(9999 + 1) = 9999a4 + a4

a5.105 = a5.100000 = a5(100001− 1) = 100001a5 − a5

dan seterusnya.

Kesimpulan : Bilangan N = (akak−1ak−2ak−3ak−4....a1a0) habis dibagi 11 jika selisih

jumlah angka-angka pada urutan genap dengan jumlah angka pada urutan ganjil habis

dibagi 11.





PerhatikanN = ak.10k + ak−1.10k−1 + ak−2.10k−2 + ak−3.10k−3 + ak−4.10k−4 +.... + a1.10 + a0Dimana16|10000→ 16|104 → 16|a4.104

16|10000→ 16|10.10000 → 16|105 → 16|a5.105

16|10000→ 16|100.10000→ 16|106 → 16|a6.106

.............................................................................................16|10000→ .......................................................16ak.10k.Kesimpulan : Suatu bilangan asli N habis dibagi 16 jika bilangan yangdibentuk oleh empat angka terakhir dari lambang bilangan N habisdibagi 16.



Contoh

Contoh

Selidiki apakah bilangan 1212646 habis dibagi 2, 4, 8, dan 16 ?1212646 = (a4a3a2a1a0)Karena (a0) = 6 dan 26 maka 21212646Karena (a1a0) = 46 dan 4|46 maka 4 + 1212646Karena (a2a1a0) = 646 dan 8 + 646 maka 4 + 1212646Karena (a3a2a1a0) = 2646 dan 16 + 2646 maka 16 + 1212646.


3.4 Ciri-Ciri Habis Dibagi3.4.12 Ciri-Ciri Habis Dibagi Bilangan Prima Dan

Contoh

3.4.12 Ciri-Ciri Habis Dibagi Bilangan Prima

Ciri Habis Dibagi Bilangan Prima

Berdasarkan hasil pembagian dengan bilangan 7 dan 11 dapatdiketahui bahwa secara bertahap, bilangan yang diselidiki direduksimenjadi suatu bilangan yang dengan mudah dapat ditentukan habisdibagi 7 atau 11. Untuk proses reduksi, dalam penyelidikan setiapbilangan yang habis dibagi 7 maupun 11 digunakan suatu pengali(multiplier) yaitu 2 untuk pembagian 7 dan 1 untuk pembagian 11.Untuk bilangan prima yang lebih dari 11, dengan proses uraian sepertipembagian 7 dan 11 dapat dicari pengali-pengali yang sesuai.Sebagaicontoh pengali dari pembagian 13 adalah 9.



Contoh

Contoh

Contoh

Mencari Pengali dari pembagian 13.N = (akak−1ak−2ak−3ak−4...a1a0)13|91 maka 13|91a013|N dan 13|91a0.→ 13N − 91a0.↔ 13|(akak−1ak−2ak−3ak−4...a1a0)− 91a0.↔ 13|10(akak−1ak−2ak−3ak−4...a1 − 9a0)Karena (13, 10) = 1, maka 13|(akak−1ak−2ak−3ak−4...a1 − 9a0). Darihasil ini jelaslah bahwa pengali untuk pembagian oleh 13 adalah 9.



Contoh


teori bilangan keterbagian

Education