BAB 2

BILANGAN CACAH

1) Jasa Diofantus dan Fibonacci (Leonardo da Pisa) dalam pengembangan teori bilanganJawab :a. Diofantus

Pada akhir zaman Yunani, Diofantus (Bapak Aljabar) karena beliau adalah orang pertama merumuskan pemikirannya secara singkat dan sistematis dengan menggunakan lambang hasil rancangannya sendiri dan jugakrena ia memecahkan apa yang sekarang disebut pers. Tidak tentu (pers Diofantus) Pers. Tidak tentu tidak mengandung keterangan yang cukup untuk mnjawabnya dengan bilangan tertentu tetapi tidak cukup untuk mengelompokkan jawabannya dalam jenis tertentu. Dengan menggunakan bilangan tidak terhingga yang dihubungakan dengan persamaan Diofantus, maka ahli matematika modern dapat menelaah sifat berbagai bilangan bulat dan dapat memahami beberapa kaidah dasar yang diikuti bilangan dalam liku-likunya.

Analisis bilangan yang tumbuh dari persamaan Diofantus dinamakan teori bilangan. Pengembangan persamaan itu oleh Diofantus telah membantu ahli aljabar untuk memandang dari pada sehingga hubungan antar bilangan dalam satu soal khusus saja.

b. Fibonacci (Leonardo da Pisa)Pada kesempatan, Fibonacci sedang menggarap soal keuangan dan

melihat bahwa soal itu tidak mungkin dipecahkan kecuali jika menggunakan bilangan negatif. Bilangan negative dapat ditafsirkan dengan berbagai cara lain. Bilangan itu menunjukkan jarak pada penglihatan ke belakang, suhu di bawah nol waktu sebelum sekarang, menit sebelum jam tertentu, tingi suatu tempat yang berada 1 meter di bawah permukaan laut, dan sebagainya.

2) Bukti bahwa jika a, b, dan c bilangan cacah dan a¿b dan b¿c maka a¿cJawab :Ambil a,b,c ∈C a ¿ b [diberikan] a+¿k ¿ b [∃k∈C∋] b¿ c [diberikan] b+¿k ¿ c [∃k∈C∋]

a+¿k ¿ c [karena “b+¿k¿c” atau “ b¿c”] a ¿ c [Definisi kurang dari]

3) Alasan mengapa pengurangan dan pembagian bilangan cacah tidak bersifat tertutupJawab :Karena jika pengurangan dan pembagian bilangan cacah dan apabila dioperasikan maka hasilnya bukan bilangan cacah. Pada pengurangan akan menghasilkan bilangan bulat negatif dan pada pembagian menghasilkan bilangan pecahanContoh :Pengurangan : 2 dan 3 adalah bilangan cacah, tetapi 2 – 3 = -4Pembagian : 4 dan 5 adalah bilangan cacah, tetapi 4 : 5 = 0,8

4) Alasan mengapa pengurangan dan pembagian bilangan cacah tidak bersifat komutatifJawab :Karena jika pengurangan dan pembagian bilangan cacah bersifat komutatif dan apabila posisi dipertukarkan pada operasi hitung maka hasilnya berbeda.Contoh :Pengurangan : 5 – 4 ≠ 4 – 5Pembagian : 2 : 1 ≠ 1 : 2

5) Alasan mengapa pengurangan dan pembagian bilangan cacah tidak bersifat asosiatifJawab :Karena jika pengurangan dan pembagian bersifat asosiatif dan apabila posisi penggabungan dipertukarkan maka hasilnya berbeda.Contoh :Pengurangan : (5 – 3) – 2 ≠ 5 – 3(3 – 2)Pembagian : (5 : 3) : 2 ≠ 5 : (3 : 2)

6) Apakah unsur identitas dari operasi bilangan asli?Jawab :Unsur identitas pada bilangan asli adalah unsur identitas perkalian yaitu suatu bilangan asli apabila dikalikan dengan 1, hasilnya adalah bilangan asli itu sendiri. Secara matematis, pernyataan tersebut ditulis sebagai berikut :Untuk setiap bilangan asli α selalu berlaku α x 1 = 1 x α = α

7) Bukti bahwa jika a, b, dan c bilangan cacah dan a=b maka axc=bxcJawab :Ambil a,b, dan c ∈C sehinggaa×c ∈ C [sifat tertutup pada perkalian bilangan cacah]a×c = a×c [sifat refleksif]a×c = b×c [karena a=b]

8) Bukti bahwa jika a, b, dan c bilangan cacah dan a=b dan c=d, maka a+c = b+dJawab :Ambil a, b, dan c ∈C sehinggaa+c ∈ C [sifat tertutup pada perkalian bilangan cacah]a+c = a+c [sifat refleksi]a+c = b+c [karena a=b]a+c = b+d [karena c=d]

9) Bukti bahwa jika a, b, dan c bilangan cacah dan a+c=b+c maka a=bJawab :Ambil a,b,c ∈ C sehinggaa+c ∈ C [sifat tertutup pada penjumlahan bilangan cacah] a+c = b+c [diberikan](a+c)−¿c = (b+c)−¿c [masing-masing ruas dikurangi c / definisi pengurangan]a+(c−¿c) = b+(c−¿c) [sifat asosiatif] a+0= b+0 [karena “c−¿c=0”] a = b [sifat identitas penjumlahan bil. Cacah]

10) Bukti bahwa jika a, b, dan c bilangan cacah dengan c≠0 dan ax×c=b×c maka a=bJawab :Ambil a,b,c ∈ C, sehinggaaxc ∈ C [sifat tertutup pada perkalian bilangan cacah]a×c = b×c [diberikan](a×c):c = (b×c):c [masing-masing ruas dibagi c / definisi pembagian]a×(c:c) = b×(c:c) [sifat asosiatif] a×1 = b×1 [karena “c:c=1”]

a = b [sifat identitas perkalian bil. Cacah]11) Bukti bahwa jika a, b, dan c bilangan cacah, dan a<b maka a+c<b+c

Jawab :Ambil a,b,c ∈C, sehingga a < b [diberikan] a+k= b [∃ k ∈C ∋](a+k)+c = b+c [Teorema 2.1/sifat penjumlahan pada kesamaan]a+(k+c) = b+c [sifat asosiatif pada penjumlahan]a+(c+k) = b+c [sifat komutatif pada penjumlahan](a+c)+k = b+c [sifat asosiatif pada penjumlahan] a+c < b+c [definisi “kurang dari”/ definisi 2.5]

12) Bukti bahwa jika a, b, dan c bilangan cacah, dan a+c<b+c maka a<bJawab :Ambil a,b,c €C, sehingga a+c < b+c [diberikan] (a+c)+k= b+c [∃ k∈C∋] a+(c+k) = b+c [sifat asosiaif] a+(k+c) = b+c [sifat komutatif] (a+k)+c = b+c [sifat asosiatif] [(a+k)+c]-c = (b+c)-c [masing-masing dikurang c/definisi pengurangan] (a+k)+[c-c] = b+(c-c) [sifat asosiatif] (a+k)+0 = b+0 [karena c-c=0] (a+k) = b [invers penjumlahan] a < b [definisi “kurang dari”]

13) Bukti bahwa jika a, b, dan c bilangan cacah dengan c≠0, dan a<b maka a×c<b×cJawab :Ambil a,b,c €C, sehingga a < b [diberikan] a+k = b [∃ k∈C∋] (a+k)×c = b×c [sifat perkalian pada kesamaan] a+(k×c) = b×c [sifat asosiatif] a×(c+k) = b×c [sifat komutatif] (a×c)+k = b×c [sifat asosiatif] a×c < b×c [definisi kurang dari]

14) Bukti bahwa jika a, b, dan c bilangan cacah dengan c≠0, dan a×c<b×c maka a<bJawab :Ambil a,b,c ∈C, sehingga a×c < b×c [diberikan] (a×c)+k = b×c [∃ k∈C∋] a×(c+k) = b×c [sifat asosiatif] a+¿(k×c) = b×c [sifat komutatif] (a+k)×c = b×c [sifat asosiatif][(a+k)×c]:c = (bxc):c [definisi pembagian](a+k)×[c:c] = b×(c:c) [sifat asosiatif] (a+k)×1 = b×1 [karena “c:c=1] a+k = b [invers perkalian] a < b [definisi “kurang dari”]

15) Jika a, b dan c bilangan cacah dengan (a+b)(a-b)=c(a-b), syarat yang harus dipenuhi agar diperoleh hasil (a+b)=c Jawab :Ambil a,b,c ∈C(a+b)(a−¿b) ¿c(a−¿b) [diberikan]{(a+b)(a−¿b)}+¿b¿{c(a−¿b)}+¿b [penjumlahan pada kesamaan](a+b)×{(a−¿b)+¿b}¿{c(a−¿b)}+¿b [sifat asosiatif](a+b)×{(a−¿b)+¿b}¿c×{(a−¿b)+¿b} [sifat asosiatif](a+b)×{b+¿(a−¿b)}¿c×{(a−¿b)+¿b} [sifat komutatif](a+b)×{b+¿(a−¿b)}¿c×{b+¿(a−¿b)} [sifat komutatif](a+b)×a¿c×a [definisi pengurangan]{(a+b)×a}:a¿{c×a}:a [definisi pembagian](a+b)×{a:a}¿{c×a}:a [sifat asosiatif](a+b)×{a:a}¿c×{a:a} [sifat asosiatif](a+b)×1¿c×1 [karena”a:a¿1](a+b)¿c [identitas perkalian bil. Cacah]

16) Gunakan symbol N={bilangan asli}, C={bilangan cacah}, Z={bilangan bulat}, Q={bilangan rasional}, R={bilangan riil}, dan K={bilangan kompleks} untuk menyelesaikan soal berikut.a. Satu himpunan adalah himpunan bagian sejati dari himpunan lain. Nyatakan

relasi ini dalam notasi himpunan!b. Berikan contoh anggota satu himpunan, namun bukan anggota himpunan lain!c. Berikan contobh operasi hitung yang berlaku pada satu himpunan, tetapi tidak

berlaku pada himpunan lainJawab :a. N = {bilangan asli}

C = {bilangan cacah}Z = {bilangan bulat}Q = {bilangan rasional}R = {bilanga riil}K = {bilangan kompleks}K = {N,C,Z,Q,R €K}

b. Contoh anggota suatu himpunan, namun bukan anggota lain, yaitu : N = {1,2,3,4,5,6,…} Z = {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}Bilangan negatif adalah anggota himpunan bilangan bulat tetapi bukan anggota himpunan bilangan asli karena himpunan bilangan asli dimulai dari {1,2,3,4,…} dan bilangan bulat merupakan gabungan anggota bilangan cacah dan invers bilangan asli.

c. Contoh operasi hitung yang berlaku pada suatu himpunan tetapi tidak berlaku pada himpunan lain, yaitu :Operasi pada bilangan bulat

-4+0=4-6+0=-6

Identitas penjumlahan pada bilangan bulat namun tidak berlaku pada himpunan bilangan asli karena anggota bilangan asli dimulai dari 1

BAB III

BILANGAN BULAT

1. Buktikan bahwa :a. \{[(-a):b]:(-c)\}×(b×c)=a

Jawab :Ambil a,b,dan c sehingga memenuhi syarat pembagian \{[(-a):b]:(-c)\}×(b×c) [diberikan] \{[(-a):b]:(-c)\}×(c×b) [sifat komutatif perkalian] \{[(-a):b]:(-c)×c\}×b [sifat asosiatif] \{-[(-a):b]\}×b [sifat pembagian] -{[(-a):b]×b} [teorema 3.11] -(-a) [sifat pembagian] a [teorema 3.3]

b. [(-c)×\{a:(-b)\}]×(b:c)=aJawab :

Ambil a,b,dan c sehingga memenuhi syarat pembagian [(-c)×\{a:(-b)\}]×(b:c) [diberikan] [(-c)×\{a:(-b)\}×b]:c [sifat asosiatif] [(-c)×(-a)]:c [sifat pembagian] ¿ [sifat komutatif] -(-a) [sifat pembagian] a [teorema 3.3]

2. Bukti bahwa jika a dan b bilangan bulat, c bilangan bulat negative dan a>b maka (a×c ) - (b×c)<0 Jawab :

3. Bukti pernyataan berikut untuk x, y dan z bilangan bulat :a. x(y-z)=xy-xz;

b. (-x ) y=x (-y )=- (xy ) ;c. – (x-y ) = (-x )+y;

d. ( x-y )+ ( y-z )=x-z

Jawab :a. x(y-z)=xy-xz;

Ambil x , y , z∈Z xy-xz=xy+ (-xz ) [diberikan] =xy+x (-z ) [Teorema 3.11] =x(y+(-z) [sifat distributif] =x ( y-z ) [Definisi pengurangan]x (y-z ) =xy-xz [sifat simetris]

b. (-x ) y=x (-y )=- (xy )Bukti:

(-x ) y=x(-y)

Ambil x , y∈Z 0 = 0 [sifat refleksif] x+(-x)=0 [sifat invers penjumlahan] (-x)+x=0 [sifat komutatif] [(-x)+x]+(-x) =0+(-x) [penjumlahan pada kesamaan] (-x)+[x+(-x) ] =0+(-x) [sifat asosiatif] (- x)+0=0+(-x) [sifat invers penjumlahan] (-x)=(-x) [identitas penjumlahan] (-x)y=(-x)y [perkalian pada kesamaan] (-x)y=-(xy) [Teorema 3.11] (-x)y=-(yx) [sifat komutatif perkalian] (-x)y=(-y)x [Teorema 3.11] (-x)y=x(-y) [sifat komutatif]

x (-y ) =-(xy)Ambil x , y∈Z 0=0 [sifat refleksif]

[ y+ (-y ) ]=0 [invers penjumlahan]

[ (-y ) +y ]=0 [sifat komutatif]

[ (-y ) +y ]+ (-y ) =0+(-y) [penjumlahan pada kesamaan]

[ (-y ) +y ]+ (-y ) =(-y) [sifat identitas penjumlahan]

(-y ) +[y+ (-y ) ]=(-y) [sifat asosiatif](-y ) +0=(-y) [invers penjumlahan](-y ) =(-y) [identitas penjumlahan](-y ) x= (-y ) x [perkalian pada kesamaan]x (-y ) = (-y ) x [sifat komutatif perkalian]x (-y ) =x (-y ) [sifat komutatif perkalian]x (-y ) =-(xy) [Teorema 3.11]

c. – (x-y ) = (-x )+yAmbil x , y∈Z 0=0 [sifat refleksif][- (x-y ) + (x-y ) ]=0 [sifat invers penjumlahan]

- (x-y ) + [ x+ (-y ) ]=0 [definisi pengurangan]

{- (x-y )+ [x+ (-y ) ]}+y=0+y [penjumlahan pada kesamaan]

{- (x-y )+ [x+ (-y ) ]}+y=y [sifat identitas penjumlahan]

-(x-y)+\{[x+(-y)]+y\}=y [sifat asosiatif]-(x-y)+\{x+[(-y)+y]\}=y [sifat asosiatif]-(x-y)+(x+0)=y [sifat invers penjumlahan]-(x-y)+x=y [identitas penjumlahan]

{- (x-y ) +x }+(-x)=y+(-x) [penjumlahan pada kesamaan]

-(x-y)+\{x+(-x)\}=y+(-x) [sifat asosiatif]-(x-y)+0=y+(-x) [sifat invers penjumlahan]-(x-y)=y+(-x) [sifat identitas penjumlahan]-(x-y)=(-x)+y [sifat asosiatif]

d. ( x-y )+ ( y-z )=x-zAmbil x , y , z∈Z 0=0 [sifat refleksif]

{( x-y ) + [- (x-y ) ] }=0 [sifat invers penjumlahan]

{( x-y ) + [- (x+(-y) ) ] }=0 [definisi pengurangan]

{( x-y ) +[(-x)+y]}=0 [teorema 3.11]

{( x-y ) +[(-x)+y]}+x=0+x [penjumlahan pada kesamaan]

{( x-y ) +[(-x)+y]}+x=x [sifat identitas penjumlahan]

{( x-y ) +[y+(-x)]}+x=x [sifat komutatif]

( x-y )+\{[y+(-x)]+x\}=x [sifat asosiatif]( x-y )+\{y+[(-x)+x]\}=x [sifat asosiatif]( x-y )+(y+0)=x [sifat invers penjumlahan]( x-y )+y=x [sifat identitas penjumlahan][ ( x-y )+y]+(-z)=x+(-z) [penjumlahan pada kesamaan]( x-y )+[y+(-z)]=x+(-z) [sifat asosiatif]( x-y )+(y-z)=x-z [definisi pengurangan]

4. Bukti bahwa jika a dan b bilangan bulat dan c bilangan bulat positif serta a<b maka a×c<b×cJawab :

Ambil a,b Z, c∈ ∈Z+ , sehingga : a<b [diberikan]a+k=b [∃ k∈C∋](a+k ) ×c=b×c [perkalian pada kesamaan]a+ (k×c ) =b×c [sifat asosiatif]a×(c+k)=b×c [sifat komutatif](a×c )+k=b×c [sifat asosiatif]a×c<b×c [definisi kurang dari]

5. Bukti bahwa jika a,b,c dan d bilangan bulat a<b dan c<d maka a+c<b+dJawab :Ambil a,b,c,d Z, sehingga :∈

1) a<b [diberikan]2) a+k=b [∃ k∈C∋]3) c<d [diberikan]4) c+l=d [∃ l∈C∋]5) (a+k ) + (c+l )=b+d [jumlahkan 2 dan 4]6) a+k+c+l=b+d [sifat asosiatif]7) a+c+k+l=b+d [sifat komutatif]8) (a+c )+ ( k+l )=b+d [sifat asosiatif]9) a+c<b+d [definisi kurang dari]

6. Bukti jika a,b,c dan d bilangan bulat, 0≤a<b dan 0≤c<d maka a×c<b×dJawab :Ambila , b , c , d∈Z , sehingga

1) a<b [diberikan]2) a+k=b [∃ k∈C∋]3) c<d [diberikan]4) c+l=d [∃ l∈C∋]5) (a+k ) × (c+l )=b×d [kalikan 2 dan 4]6) a+k×c+l=b×d [sifat asosiatif]7) a×c+k+l=b×d [sifat komutatif]8) (a×c )+ ( k+l )=b×d [sifat asosiatif]9) a×c<b×d [definisi kurang dari]

7. Bukti bahwa jika a,b, dan c anggota himpunan bilangan bulat Z maka (a+b )×c= (a×c )+(b×c)

Jawab :Ambila , b , c∈Z , sehingga: a=a [sifat refleksif karena a=a]a+b=a+b [penjumlahan pada kesamaan karena ruas kanan

dan ruas kiri masing-masing ditambah bilangan bulat b positif]

(a+b )×c= (a+b )×c [perkalian pada kesamaan karena ruas kanan dan ruas kiri masing-masing dikali bilangan bulat c positif]

(a+b )×c= (a×c )+(b×c) [sifat distributif kanan]

8. Bukti bahwa jika a anggota himpunan bilangan bulat Z maka a×0=0 dan 0×a=0Jawab :

Ambil a ∈Z+ 0=0 [sifat refleksif](0+0 )=0 [invers penjumlahan](0+0 )×a=0×a [perkalian pada kesamaan](0×a ) + (0×a ) =0×a [sifat distributif kanan]

[ (0×a ) + (0×a ) ] +0= (0×a ) +0 [sifat penjumlahan pada kesamaan]

(0×a ) + [ (0×a ) +0 ] = (0×a ) +0 [sifat asosiatif]

(0×a ) +0=0 [sifat penghapusan]

0×a=0 [sifat identitas penjumlahan] a×0=0 [sifat komutatif]

9. Bukti bahwa jika a anggota dari himpunan bilangan bulat Z maka a× (-1 )=-a

Jawab:Ambila∈Z , sehingga : 0=0 [sifat refleksif]1+ (-1) =0 [invers penjumlahan]

[1+ (-1) ] ×a=0×a [perkalian pada kesamaan]

(a×1 ) +[a× (-1 )]=0×a [sifat distributif kiri](a×1 ) +[a× (-1 )]=0 [sifat identitas perkalian]a+[a× (-1) ]=0 [sifat identitas perkalian]

[a× (-1 ) ]+a=0 [sifat komutatif]

{[ a× (-1 ) ]+a }+ (-a )=0+ (-a ) [penjumlahan pada kesamaan]

[a× (-1 ) ]+ [a+ (-a ) ]=0+ (-a ) [sifat asosiatif]

[a× (-1 ) ]+0=0+ (-a ) [invers penjumlahan]

[a× (-1 ) ]= (-a ) [sifat identitas penjumlahan]

10. Jika a dan b anggota himpunan bilangan bulat Z dan a+b=0 maka a=-bJawab :Ambil a ,b Z, sehingga :∈a+b=0 [diberikan](a+b )+ (-b )=0+ (-b ) [penjumlahan pada kesamaan](a+b )+ (-b )= (-b ) [sifat identitas penjumlahan]

a+ [ b+ (-b) ] = (-b) [sifat asosiatif]

a+0= (-b ) [invers penjumlahan]a= (-b ) [sifat identitas penjumlahan]

11. Bukti bahwa jika c=d maka b+c=b+dJawab :

Ambilb , c , d∈Z , sehingga :c=d [diberikan]c+b=d+b [penjumlahan pada kesamaan]b+c=d+b [sifat komutatif]b+c=b+d [sifat komutatif]

12. Bukti bahwa jika a, b, dan c Z∈ maka a+(b+c)=a+(c+b)Jawab :Ambil a ,b,c Z, sehingga :∈a=a [sifat refleksif]a+b=a+b [penjumlahan pada kesamaan](a+b )+c= (a+b )+c [penjumlahan pada kesamaan]a+ ( b+c ) =a+ (b+c ) [sifat asosiatif]a+ ( b+c ) =a+ (c+b ) [sifat komutatif]

13. Bukti bahwa jika a,b, dan c Z∈ , a=b dan c=d maka ac=bdJawab :Ambil a ,b,c Z, sehingga :∈a=a [sifat refleksif]a×c=a×c [perkalian pada kesamaan]a×c=b×c [karena a=b]a×c=b×d [karena c=d]

14. Bukti bahwa jika a,b dan c Z, a<b maka c+a<b+c∈Jawab :Ambil a ,b,c Z,sehingga∈ :a<b [diberikan]a+k=b [∃ k∈C∋](a+k ) +c=b+c [penjumlahan pada kesamaan]a+ (k+c ) =b+c [sifat asosiatif]a+ (c+k ) =b+c [sifat komutatif](a+c )+k=b+c [sifat asosiatif](c+a ) +k=b+c [sifat komutatif]c+a<b+c [definisi kurang dari]

15. Bukti bahwa jika a,b dan c ∈Z, a>b maka a+c>b+cJawab :

Ambil a,b,c Z, sehingga :∈a>b [diberikan]a=b+k [∃ k∈C∋]a+c= ( b+k )+c [penjumlahan pada kesamaan]

a+c=b+ ( k+c ) [sifat asosiatif]a+c=b+ (c+k ) [sifat komutatif]a+c= ( b+c )+k [sifat asosiatif]a+c>b+c [definisi lebih dari]

16. Bukti bahwa jika a dan b Z∈ , -(a+b)=(-a)+(-b)Jawab :

ambil a , b , c∈Z , sehingga0 =0 [sifat refleksif]

[- ( a+b ) ]+ (a+b )=0 [invers penjumlahan]

{[ - (a+b ) ]+ (a+b ) }+ (-a )=0+(-a) [penjumlahan pada kesamaan]

{[ - (a+b ) ]+ (a+b ) }+ (-a )=(-a) [identitas penjumlahan]

[- ( a+b ) ]+ {( a+b )+ (-a ) }= (-a ) [sifat asosiatif]

[- ( a+b ) ]+ {(b+a)+ (-a ) }= (-a ) [sifat komutatif]

[- ( a+b ) ]+ {b+ [a+ (-a ) ] }= (-a ) [sifat asosiatif]

[- ( a+b ) ]+ [ b+0 ] = (-a ) [invers penjumlahan]

[- ( a+b ) ]+b= (-a ) [sifat identitas penjumlahan]

{[ - (a+b ) ]+b}+ (-b )= (-a )+(-b) [penjumlahan pada kesamaan]

[- ( a+b ) ]+\{b+ (-b ) \}= (-a )+(-b) [sifat asosiatif]

[- ( a+b ) ]+0= (-a )+ (-b ) [invers penjumlahan]

-(a+b)=(-a)+(-b) [sifat identitas penjumlahan]

17. Bukti bahwa jika a∈Z, maka a × (−1 )=−a

Jawab :Ambil a Z∈ , sehingga :0=0 [sifat refleksif][ (-1)+1 ] =0 [invers penjumlahan]

[ (-1 )+1 ] ×a=0×a [perkalian pada kesamaan]

[a× (-1 ) ]+ (a×1 ) =0×a [sifat distributif kanan]

[a× (-1 ) ]+ (a×1 ) =0 [teorema]

[a× (-1 ) ]+a=0 [teorema 3.8]

{[ a× (-1 ) ]+a }+ (-a )=0+ (-a ) [penjumlahan pada kesamaan]

{[ a× (-1 ) ]+a }+ (-a )= (-a ) [identitas penjumlahan]

[a× (-1 ) ]+ {a+ (-a ) }=-a [sifat asosiatif]

[a× (-1 ) ]+0=-a [invers penjumlahan]

[a× (-1 )=-a [identitas penjumlahan]

18. Bukti bahwa (-1)×(-1)=1Jawab :0=0 [sifat refleksif][(-1)+1]=0 [invers penjumlahan]

[ (-1 )+1 ] × (-1 )=0×(-1) [perkalian pada kesamaan]

[ (-1 )+1 ] ×(-1)=0 [teorema 3.8]

[ (-1 )×(-1) ] +[1× (-1) ]=0 [sifat distributif kanan]

[ (-1 )× (-1) ] + (-1)=0 [teorema 3.9]

{[ (-1)× (-1) ]+ (-1) }+1=0+1 [penjumlahan pada kesamaan]

[ (-1 )× (-1) ] + {(-1) +1}=0+1 [sifat asosiatif]

[ (-1 )× (-1) ] +0=0+1 [invers penjumlahan]

[ (-1 )× (-1) ] =1 [sifat identitas penjumlahan]

19. Bukti bahwa:a. 5>3b. 17>2Jawab :a. 5>3 [diberikan]

5=3+k [∃ k∈C∋]Karena pada ruas kanan terdapat bilangan bulat k dan jika dijumlahkan dengan 3 maka akan menghasilkan 5 sehingga benar untuk 5>3

b. 17>2 [diberikan]17=2+k [∃ k∈C∋]Karena pada ruas kanan terdapat bilangan bulat k dan jika dijumlahkan dengan 2 maka akan menghasilkan 17 sehingga benar untuk 17>2

BAB IV

INDUKSI MATEMATIKA

1. Dengan menggunakan induksi matematika bahwa setiap persamaan berikut adalah benar untuk setiap bilangan asli n!

a. 1.2+2.3+3.4+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)3

Jawab :

i) Untuk n=1, diperoleh 1(1+1) =1(1+1)(1+2)3

2 = 2 (benar)ii) Andaikan untuk n=k yaitu :

1.2+2.3+3.4+…+k(k+1)=k(k+1))k+2)3

Akan ditunjukkan bahwa benar untuk n=k+1, yaitu

1.2+2.3+3.4+…+k(k+1)+(k+1)(k+2)=(k+1 ) (k+2 ) (k+3)3

Bukti :

1.2+2.3+3.4+…+ k(k+1)+(k+1)(k+2) =k (k+1 )(k+2)3

+(k+1)(k+2)

= k (k+1 )(k+2)+3(k+1)(k+2)3

= k( k2 +3k+2 ) +3(k2 +3k+2)

3

= k3 +3k2+2k+3 k2+9k+6

3

= k3 +6 k2 +11k+6

3

= (k+1 ) (k+2 ) (k+3)3

Karena (i) dan (ii) benar,maka berlaku 1.2+2.3+3.4+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)3

benar untuk setiap bilangan asli n

b. 11.3

+13.5

+15.7

+…+1(2n-1)(2n+1)

=n2n+1

Jawab :

i) Untuk n=1, diperoleh 1(2-1)(2+1)

=1

2+1

13

=13

(benar)

ii) Andaikan untuk n=k, yaitu : 11.3

+13.5

+15.7

+…+1(2k-1)(2k+1)

=k2k+1

Akan ditunjukkan bahwa benar untuk n=k+1, yaitu :11.3

+13.5

+15.7

+…+1(2k-1)(2k+1)

+1(2k+1)(2k+3)

=k+12k+3

Bukti :11.3

+13.5

+15.7

+…+1(2k-1)(2k+1)

+1(2k+1)(2k+3)

=¿

k2k+1

+1(2k+1)(2k+3)

¿ k(2k+3)+1(2k+1)(2k+3)

¿ k(2k+3)+1(2k+1)(2k+3)

¿ 2 k2 +3k+1(2k+1)(2k+3)

¿ (k+1 )(2k+1)(2k+1)(2k+3)

=k+12k+3

Karena (i) dan (ii) benar, maka berlaku 11.3

+13.5

+15.7

+…+1(2n-1)(2n+1)

=n2n+1

benar untuk setiap bilangan asli n

2. Dengan menggunakan induksi matematika, buktikan pernyataan berikut :a. 2n ≥ n2 , n=4,5,…

Jawab :i) Untuk n=1, diperoleh 24 ≥ 42

16≥16ii) Andaikan untuk n=k, yaitu :

2k ≥ k2

Akan ditunjukkan bahwa benar untuk n=k+1, yaitu :

2k+1 ≥ (k +1)2

Bukti :

2k +1=2k . 21=2.2k ≥ 2 k2≥ (k+1 )2 (terbukti)

Karena (i) dan (ii) benar sehingga berlaku 2n ≥ n2, n=4,5,…

b. 2n+1 ≤2n untuk setiap bilangan asli nJawab :

i) Untuk n=1, diperoleh (2 ×1)+1≤ 21

3 ≤ 2 (Tidak Benar)Karena (i) tidak benar maka 2n+1≤2n tidak berlaku untuk setiap bilangan asli n

3. Dengan menggunakan induksi matematika bukti dari pernyataan berikut :a. 5n -1 terbagi oleh 4 untuk n=1,2,…

Jawab :i) Untuk n=1, diperoleh :

5n -1=5-1=4 (terbagi oleh 4)ii) Andaikan untuk n=k, yaitu :

5k -1 (terbagi oleh 4)Akan ditunjukkan bahwa benar untuk n=k+1, yaitu 5k +1-1 (terbagi oleh 4)Bukti :

5k+1 -1=5.5k -1= (1+4 ) 5k -1=5k +4.5k -1=5k -1+4.5k

Karena 5k -1 terbagi oleh 4 dan 4.5k terbagi oleh 4 maka disimpulkan

bahwa 5k+1 -1=5k -1+4.5k juga terbagi oleh 4,

Karena (i) dan (ii), sehingga dapat juga disimpulkan bahwa 5n -1 dapat terbagi oleh 4 untuk n=1,2,…

b. 11n -1 terbagi oleh 5 untuk n=1,2,…;Jawab :i) Untuk n=1, diperoleh :

11n -1=11-1=10 (terbagi oleh 5)ii) Andaikan untuk n=k, yaitu :

11k -1 (terbagi oleh 5)Akan ditunjukkan bahwa benar untuk n=k+1, yaitu :

11k+1 -1 (terbagi oleh 5) Bukti : 11k+1 -1=11.11k -1=(1+10) 11k -1=11k+10.11k -1=11k -1+10.11k

Karena 11k -1 terbagi oleh 5 dan 10. 11k terbagi oleh 5 maka disimpulkan

bahwa 11k+1-1=11k -1+10.11k juga terbagi oleh 5.

Karena (i) dan (ii), Sehingga disimpulkan bahwa 11n -1 dapat terbagi oleh 5 untuk n=1,2,…

c. 3n +7n -2 terbagi oleh 8 untuk n=1,2,…;Jawab :i) Untuk n=1, diperoleh :

3n +7n -2=3+7-2 =8 (terbagi oleh 8)ii) Andaikan untuk n=k, yaitu :

3k+7k -2 (terbagi oleh 8) Akan ditunjukkan bahwa benar untuk n=k+1, yaitu :

3k +1+7k +1-2 (terbagi oleh 8)Bukti :

3k+1+ 7k+1 -2 =3k . 31 +7k .71-2

=3k .(2+1)+7k .(6+1)-2

=2.3k +3k +6 .7k +7k -2

= ( 3k +7k -2 )+(2.3k +6.7k )

Karena (3k +7k -2) terbagi oleh 5 dan (2.3k +6.7k ) terbagi oleh 5 maka

disimpulkan bahwa 3k+1+ 7k+1 -2 = (3k +7k -2) +(2.3k+6.7k ) juga terbagi

oleh 8.Karena (i) dan (ii), Sehingga disimpulkan bahwa 3n +7n -2 terbagi oleh 8 untuk n=1,2,…

d. 6.7n -2.3n terbagi oleh 4 untuk n=1,2,…Jawab :i) Untuk n=1, diperoleh :

6.7n -2.3n=6. 71−2.31

¿42−6¿36 (terbagi oleh 4)

ii) Andaikan untuk n=k, yaitu :

6.7k -2.3k (terbagi oleh 4)Akan ditunjukkan bahwa benar untuk n=k+1, yaitu :

6.7k +1-2.3k+1 (terbagi oleh 4)Bukti :

6.7k+1 -2.3k+1=6.7k . 71 -2.3k . 31

= 6.7k . (6+1 )-2.3k .(2+1)

=36 . 7k +6.7k -4 . 3k -2.3k

¿(6.7k−2. 3k )+(36. 7k−4. 3k )Karena (6.7k -2.3k ) terbagi oleh 4 dan ( 36.7k -4.3k ) terbagi oleh 4 maka

disimpulkan bahwa 6.7k+1 -2.3k+1=(6.7k -2.3k )+( 36. 7k -4.3k ) juga terbagi oleh 4.

Karena (i) dan (ii), Sehingga disimpulkan bahwa 6.7n -2.3n terbagi oleh 4 untuk n=1,2,…

4. Dengan menggunakan prinsip induksi matematikauntuk membuk membuktikan pernyataan berikut adalah benar untuk setiap bilangan asli n

a. 12+32 +52+…+ (2n-1)2=n (2n-1) (2n+1)3

Jawab :i) Untuk n=1, diperoleh

2.1-1=1 (2.1-1 )(2.1+1)3

1 =1 (benar)ii) Andaikan untuk n=k, yaitu :

12+32 +52+…+ (2k -1)2=k (2k -1 )(2k +1)3

Akan ditunjukkan bahwa benar untuk n=k+1, yaitu :

12+32 +52+…+ (2k -1)2+(2 k+1)2=(k+1) (2k+ 1 )(2 k +3)3

Bukti :

12+32 +52+…+ (2k -1)2+(2 k+1)2=k (2 k-1 )(2 k +1)3

+k+1

Karena (i) dan (ii) benar, maka berlaku 11.3

+13.5

+15.7

+…+1(2n-1)(2n+1)

=n2n+1

benar untuk setiap bilangan asli n