APLIKASI TEORI BILANGAN

Disusun untuk memenuhi salah satu tugas Mata Kuliah Teori Bilangan

Oleh,

Dini Nur Hanifah 142151233

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SILIWANGI

TASIKMALAYA

2015

2

Bagi mahasiswa Pendidikan Matematika maupun non-pendidikan mungkin sudah

tidak asing dengan salah satu mata kuliah Teori Bilangan. Teori bilangan (number

theory) adalah bagian dari matematika murni yang khusus mempelajari bilangan

bulat. Pernahkan kita bertanya untuk apa sebenarnya kita mempelajari teori

bilangan? Apa kegunaan atau aplikasi teori bilangan? Atau ada yang bertanya

apakah ilmu yang mereka pelajari ini akan berguna pada kehidupan sehari-hari

atau hanya menjadi pengetahuan semata. Kebanyakan orang dari kita mempelajari

sebuah disiplin ilmu tetapi tidak tau apa kegunaan atau aplikasi dari ilmu tersebut.

Oleh sebab itu, disini saya akan memaparkan berbagai aplikasi teori bilangan.

A. Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Teknologi

1. Penerapan Teori Bilangan dalam Sistem Bilangan

Sistem bilangan atau number sistem adalah suatu cara untuk

mewakili besaran suatu item fisik. Sistem bilangan menggunakan

bilangan dasar atau basis (base/radix) tertentu.

Dalam hubungannya dengan komputer, ada 4 jenis Sistem

Bilangan yang dikenal yaitu: Desimal (Basis 10), Biner (Basis 2), Oktal

(Basis 8) dan Hexadesimal (Basis 16). Berikut penjelasan mengenai 4

sistem bilangan ini:

a. Desimal (Basis 10)

Desimal (Basis 10) adalah sistem bilangan yang paling umum

digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Sistem bilangan desimal

menggunakan basis 10 dan menggunakan 10 macam simbol bilangan

yaitu:{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }. Sistem bilangan desimal dapat berupa

integer desimal (decimal integer) dan dapat juga berupa pecahan

desimal (decimal fraction).

Manfaat utama dari sistem bilangan desimal adalah bahwa

mereka lebih mudah digunakan dobandingkan sistem penomoran lain

dan memiliki lebih banyak jumlah untuk menyajikan situasi yang

berbeda meskipun sistem bilangan Hexadesimal memiliki lebih

representasi tetapi representasi yang dapat mencakup karakter

3

didalamnya juga yang membuat mereka sulit untuk memahami dan

digunakan dengan sistem desimal. Sistem bilangan desimal yang begitu

sering digunakan bahwa seseorang bahkan tidak perlu memiliki

pendidikan formal untuk mengetahui atau menggunakannya.

b. Biner (Basis 2)

Biner (Basis 2) adalah sistem bilangan dasar dua adalah

pengelompokkan unsur dalam suatu himpunan dua-dua. Sistem bilangan

basis dua disebut juga sebagai sistem biner. Lambang bilangan dalam

sistem bilangan dasar dengan basis dua terdapat dua buah yaitu : { 0, 1 }.

Bilangan biner ini dipopulerkan oleh John Von Neumann.

Gambar 1 John Von Neumann

John Von Neumann (Neumann János) (lahir di Budapest,

Hungaria, 28 Desember 1903 – meninggal di Washington DC, Amerika

Serikat, 8 Februari 1957 pada umur 53 tahun) adalah seorang

matematikawan dari Hungaria-Jerman yang memberikan kontribusi

penting di bidang fisika kuantum, analisis fungsional, teori himpunan,

ilmu komputer, ekonomi dan bidang lainnya yang berkaitan dengan

matematika.

4

John Von Neumann diabadikan namanya sebagai arsitektur Von

Neumann, yaitu arsitektur komputer yang banyak digunakan di sebagian

besar sistem komputer non-paralel, karena dialah yang pertama kali

mempublikasikan konsep tersebut.

Contoh sistem biner dapat penggunaannya untuk mewakili bit

dalam komputer yang hanya dapat memiliki 0 atau 1 nilai switch di

sirkuit listrik yang dapat berupa pada (1) atau off (0). Sistem bilangan

biner juga digunakan dalam tabel ASCII untuk mewakili kode yang

berbeda untuk karakter yang berbeda yang kemudian dapat digunakan

dalam komputasi juga. Nomor ASCII lebih seperti kombinasi angka

biner. Bilangan biner juga digunakan dalam alamat IP sistem lagi yang

merupakan kombinasi dari nomor biner dan digunakan dalam bidang

komputasi. Alamat IP ini dari dua versi yang berbeda sekarang salah satu

yang dikenal sebagai IP 4 dan satu lainnya yang dikenal sebagai IP 6.

c. Oktal (Basis 8)

Oktal (Basis 8)  adalah sistem bilangan yang terdiri dari 8 simbol

yaitu: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }. Nomor oktal yang tidak umum digunakan

dibandingkan dengan nomor lain dan sebagian besar digunakan dalam

grafis komputer, teks dan sistem operasi terkenal seperti UNIX juga

menggunakan nomor oktal untuk sistem proteksi file mereka. Nomor

oktal memiliki total 8 representasi yang unik yang dapat

dikombinasikan bersama untuk membuat lebih banyak jumlah oktal

representasi. Nomor oktal yang sulit dipahami bagi orang normal yang

memiliki keterbatasan jumlah memahami tentang sistem

bilangan. Sebagai setelah 7 nomor yang berbeda digunakan untuk

mewakili angka 7 dan seterusnya dan karenanya mereka tampak secara

fisik agak sulit untuk dipahami. Sistem bilangan perlu menggunakan

subscript 8 dengan nomor untuk mewakili mereka tidak decimal tapi

oktal jumlah dinyatakan kebingungan dapat dengan mudah terjadi.

5

d. Hexadesimal (Basis 16)

Hexadesimal (Basis 16), Hexa berarti 6 dan desimal berarti 10

adalah sistem bilangan yang terdiri dari 16 simbol yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15). Pada sistem

bilangan hexsadesimal memadukan 2 unsur yaitu angka dan huruf.

Huruf A mewakili angka 10, B mewakili angka 11 dan seterusnya

sampai huruf F mewakili angka 15. Hexadesimal angka yang banyak

digunakan oleh komputer sitem desainer dan programmer. Hexadesimal

juga isa digunakan untuk mewakili alamat memori komputer. Sistem

hexadesimal biasa digunakan oleh programmer untuk menggambarkan

lokasi di memori. Penggunaan umum dari hexadesimal nomor adalah

untuk menggambarkan warna pada halaman web. Masing-masing dari

tiga warna primer (yaitu, merah, hijau dan biru) diwakili oleh dua digit

hexadesimal untuk membuat 255 nilai yang mungkin, sehingga

mengakibatkan lebih dari 16 juta mungkin warna.

2. Penerapan Teori Bilangan Bulat dalam Bidang Teknologi.

Seiring dengan perkembangan zaman, maka munculah cabang

matematika baru yang disebut dengan matematika diskrit. Perkembangan

yang pesat dari ilmu matematika diskrit ini berkaitan erat dengan

perkembangan pesat dari dunia komputer digital, karena komputer digital

bekerja secara diskrit. Perkembangan matematika diskrit ini juga diikuti

dengan perkembangan ilmu lainnya yang memakai matematika sebagai

landasan ilmunya. Salah satunya adalah ilmu kriptrografi yang memakai

teori bilangan bulat sebagai landasan ilmunya. Dalam matematika diskrit

khusunya teori bilangan bulat memiliki hubungan yang sangat erat

dengan ilmu kriptografi. Selain itu akan dijelaskan pula mengenai

aplikasi dari ilmu keriptografi ini dalam kehidupan sehari-hari.

Kriptografi ini adalah suatu cabang ilmu yang digunakan untuk menjaga

kerahasiaan pesan dengan cara menyamarkannya dan menjadikan bentuk

sandi yang tidak mempunyai makna. Penerapan teori bilangan bulat

dalam kriptografi dan aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari yang

6

berupa deretan karakter atau deretan bilangan bulat, dijaga

kerahasiaannya. Hanya orang yang mengetahui kunci yang dapat

melakukan enkripsi dan deskripsi. Kunci ini analog fungsinya dengan

password pada sistem komputer, PIN pada ATM atau kartu kredit.

Bedanya jika password bertujuan untuk otorisasi akses, maka kunci pada

kriptografi ini digunakan oleh Julius Caesar, kaisar Romawi, untuk

menyandikan pesan uang ia kirim kepada gubernurnya. Pada Caesar

chiper, tiap huruf disubtitusi dengan huruf ketiga berikutnya dari susunan

alfabet. Dalamhal ini kuncinya adalah jumlah pergeseran huruf (yaitu 3).

Tiap huruf alfabet digeser 3 huruf ke kanan

pi : A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

ci : D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C

Contoh :

Plainteks : AWASI ASTERIX DAN TEMANNYA OBELIX

Cipherteks : DZDVL DVWHULA GDQ WHPDQQBA REHOLA

Permulaan tahun 400 SM, tentara Sparta di Yunani menggunakan Scytale yang terdiri dari kertas panjang dari daun papyrus yang dililitkan pada sebuah silinder berdiameter tertentu (diameter silinder menentukan hasil penyandian). Pesan ditulis secara horinzontal, baris perbaris. Bila kertas dilepas maka huruf akan terlihat acak.

Gambar 2 Scytale

Untuk membaca pesan, penerima harus melilitkan kertas ke silinder yang diameternya sama persis dengan milik pengirimnya.

7

3. Aplikasi Teori Bilangan Bulat pada Metode Barcode (Kode Baris)

Pada awal perkembangannya, penggunaan kode baris dilakukan

untuk membantu proses pemeriksaan barang-barang secara otomatis pada

pasar-pasar swalayan. Namun, pada saat ini kode baris sudah banyak

digunakan pada kartu identitas, kartu kredit, maupun untuk pemeriksaan

secara otomatis pada perpustakaan.

Gambar 3 Barcode

Pada dasarnya kode baris terdiri atas susunan garis-garis vertikal

hitam (bar) dan putih (spasi) dengan ketebalan yang berbeda-beda. Selain

itu, kode baris juga dapat digambarkan dengan angka 1 untuk

melambangkan garis hitam dan 0 untuk garis putih. Misalnya 0011001

merepresentasikan spasi-spasi-garisgaris-spasi-spasi-garis. Garis-garis ini

digambarkan berderet secara horisontal dan merupakan representasi

karakter-karakter alpha-numerik (alphabet dan numerik). Untuk

membantu pembacaan kode baris secara manual, biasanya dicantumkan

juga angka-angka atau huruf-huruf di bawah kode baris tersebut. Fungsi

dari kode baris ini adalah menyimpan data-data spesifik seperti: kode

produksi, tanggal kadaluwarsa, maupun nomor identitas. Tujuan pokok

dari kode baris adalah mengidentifikasi sesuatu dengan memberi label

yang berisi kode baris.

B. Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Sains

1. Bilangan imajiner dan atau bilangan kompleks ini sering dipakai di

bidang teknik elektro dan elektronika untuk menggambarkan sifat arus

AC (listrik arus bolak-balik) atau untuk menganalisa gelombang fisika.

8

2. Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk

mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya,

konsentrasi ion hidronium pada air adalah pada suhu , sehingga pH-nya

7.

3. Satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan

(rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan

digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah

satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telingan manusia

mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel

dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang

penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama

dengan 0,1 bel, lebih sering digunakan.

4. Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan

skala logaritma berbasis 10.

5. Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang

menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan

terang secara logaritmik.

C. Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Musik

Teori bilangan dalam bidang musik dapat digunakan sebagai simbol not

pada nada. Yaitu bilangan asli yang dimulai dari 1 (satu) sampai 7 (tujuh).

Contohnya, 1= do, 2= re, 3=mi, 4= fa, 5=sol, 6=la, 7=si

D. Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Filsafat

Filsafat membahas bilangan sebagai objek studi material artinya

filsafat menjadikan bilangan sebagai objek sasaran untuk menyelidiki ilmu

tentang bilangan itu sendiri. Objek material filsafat ilmu bilangan adalah

bilangan itu sendiri. Bilangan itu sendiri dimulai dari yang paling sederhana,

yakni bilangan asli, bilangan cacah, kemudian bilangan bulat, dan

seterusnya hingga bilangan kompleks. Sebagai objek formal filsafat,

bilangan dikaji hakikat. Pengkajian filosofi tentang bilangan misalnya

9

mengenai apa hakikat dari bilangan itu, bagaimana merealisasikan konsep

bilangan yang abstrak menjadi riil atau nyata, bagaimana penggunaan

bilangan untuk penghitungan dan atau pengukuran.

Seperti halnya filosofi pada angka 0. Angka 0 memilki arti dalam diri

dan kehidupan kita. Dengan adanya angka 0, kita dapat mengenal nilai

angka-angka lainnya. Angka 1 akan bernilai lebih besar jika diikuti angka 0

menjadi angka 10. Dalam skala 1-10, angka 10 merupakan nilai yang

sempurna. Angka 0 membuat angka 1 lebih bernilai, dan angka 1 bisa

membuat angka 0 ada nilainya, yaitu 0 satuan. Hal ini menunjukkan arti

bahwa sesuatu memiliki manfaat, dan kebermanfaatan itu bisa dinilai ketika

sesuatu tersebut mampu mengisi kekosongan dan menutupi kekurangan.

Tanpa memahami kekurangan, kita tidak akan menggali dan mencari, serta

memanfaatkan kelebihan kita untuk menutupi kekurangan tersebut. Tidak

akan ada yang sempurna tanpa adanya yang tak sempurna. Nilai manfaat

inilah yang menjadikan sesuatu bermakna dan penting dalam hidup kita

hingga bisa menyirnakan kekosongan tersebut. Jika kita resapi dan kita

hayati, fungsi dan nilai kehidupan kita terletak pada memberi manfaat.

Kebermanfaatan atau kebergunaan kita dimulai untuk diri sendiri, keluarga,

saudara, sahabat, masyarakat, bangsa dan negara serta agama kita

E. Aplikasi Teori Bilangan dalam Bidang Hiburan (Permainan)

1. Ambil tanggal lahir kamu lalu kali 4, hasilnya tambah 13, hasilnya

kali 25 lalu kurangi dengan 200, hasilnya  tambah dengan bulan lahir

kamu lalu hasilnya kali 2 terus kurangi dengan 40, hasilnya kali dengan

50 hasilnya lagi tambah dengan 2 digit terakhir tahun lahir kamu lalu

hasilnya kurangi dengan 10500..berapa hasilnya?

2. Ambil dua digit terakhir tahun lahir kamu dan tambahkan dengan

umurmu di tahun 2011. Berapa hasilnya? Selalu 111 kan?

3. Coba pilih sesuka hati Anda sebuah bilangan asli (bilangan mulai dari

1 sampai tak hingga). Sebagai contoh, katakanlah 141.985. Kemudian

hitunglah jumlah digit genap, digit ganjil, dan total digit bilangan

10

tersebut. Dalam kasus ini, kita dapatkan 2 (dua buah digit genap), 4

(empat buah digit ganjil), dan 6 (enam adalah jumlah total digit). Lalu

gunakan digit-digit ini (2, 4, dan 6) untuk membentuk bilangan

berikutnya, yaitu 246.

Ulangi hitung jumlah digit genap, digit ganjil, dan total digit pada

bilangan 246 ini. Kita dapatkan 3 (digit genap), 0 (digit ganjil), dan 3

(jumlah total digit), sehingga kita peroleh 303. Ulangi lagi hitung

jumlah digit genap, ganjil, dan total digit pada bilangan 303. (Catatan: 0

adalah bilangan genap). Kita dapatkan 1, 2, 3 yang dapat dituliskan

123. Jika kita mengulangi langkah di atas terhadap bilangan 123, kita

akan dapatkan 123 lagi. Dengan demikian, bilangan 123 melalui proses

ini adalah lubang hitam bagi seluruh bilangan lainnya. Semua bilangan

di alam semesta akan ditarik menjadi bilangan 123 melalui proses ini,

tak satu pun yang akan lolos.

Kesimpulannya, banyak sekali orang yang belum mengetahui

pengaplikasian Teori Bilangan dalam kehidupan sehari-hari. Masih banyak

aplikasi-aplikasi Teori Bilangan yang belum kita ketahui, pemaran diatas hanya

sebagian kecil yang penulis temui. Suatu ilmu akan bermakna bilamana kita

mengetahui pengaplikasiannya atau manfaat penggunaannya.

Manfaat dari essay ini adalah sebagai sarana menambah pengetahuan bagi

pembaca. Dengan membaca essay ini bisa menginspirasi pembaca untuk

mencari tahu mengenai aplikasi-aplikasi lain dari Teori Bilangan.

11

DAFTAR PUSTAKA

Essays, UK. (2013) Number system is used in IT applications. [Online]. Tersedia : http://www.ukessays.com/essays/social-work/number-system-is-used-in-it-applications-social-work-essay.php. [15 juni 2015]

Qibthiah, M. (2012) Sejarah Teori Bilangan. [Online]. Tersedia : http://mariatul-qibthiah.blogspot.nl/p/sejarah-teori-bilangan.html. [1 Juni 2015]

Rangkuti, R.K. (2013) Sejarah Teori Bilangan. Makalah Program Pasca Sarjana Universitas Negeri Medan. Medan

Rinaldi, M. (2013) Teori Bilangan. PPT Teori Bilangan.

Suryanti, N. (2012) Sejarah Teori Bilangan. [ Online]. Tersedia : https://matematikaoye.wordpress.com/sejarah-teori-bilangan-3/. [1 Juni 2015]

Wikipedia. (2015) Hexadesimal. [Online]. Tersedia : https://en.m.wikipedia.org/wiki/Hexadecimal. [15 Juni 2015]