A. BILANGAN ASLI

A.1 HIMPUNAN BILANGAN ASLI DAN SIFAT DASAR BILANGAN ASLI

Nama lain untuk bilangan bulat positif adalah bilangan asli (natural number). Apabila N adalah himpunan bilangan asli maka N = {1,2,3,4,...} sifat dasar bilangan asli terhadap operasi penjumlahan dan penggandaan adalah:

1. Sifat tertutup (closure)

(

Counter example (contoh penyangga/penyangkal). Bilangan asli terhadap operasi pembagian tidak berlaku sifat tertutup. Bilangan asli terhadap operasi pengurangan tidak berlaku sifat tertutup.Contoh:

Ambil

Ambil

2. Sifat Komutatif

Bilangan asli terhadap operasi pembagian dan penguranagn tidak berlaku sifat komutatif.

3. Sifat Assosiatif

Bilangan asli terhadap operasi pembagian dan pengurangan tidak berlak sifat assosiatif.

4. Sifat Distributif

Distributif kiri

Distributif kanan

5. Sifat Identitas

Identitas terhadap penggandaan

Bilangan asli tidak mempunyai identitas terhadap penjumlahan.6. Sifat Subtitusi

1

Apabila a = b maka c + a = c + bDefinisi: Kesamaan (identity): Suatu pernyataan persamaan yang berlaku untuk

semua nilai variabel yang ada didalam pernyataan tersebut. Pernyataan bersyarat/persamaan (conditional equation): Suatu

pernyataan persamaan yang berlaku untuk satu atau beberapa harga variabel yang ada didalam pernyataan tersebut.

Contoh:

Kesamaan →

Jawab: untuk x =

Untuk x =

Sama untuk semua nilai x.

Persamaan →

Jawab: (x + 2)(x +3) = 0 maka nilai x = -2 atau x = -3

Sifat Persamaan dan Kesamaan

1.

2.

3.

Suatu hubungan atau relasi yang memenuhi ke tiga sifat diatas dinamakan hubungan/relasi ekuivalensi. Contoh : a = 2 b = 3 c = 4

Hubungan “ ≤ ” → Refleksi 2 ≤ 2Simetris 3 ≤ 2 = 2 ≤ 3 tidak dipenuhi

Jadi, a = 2, b = 3, c = 4 dengan hubungan “ ≤ “ BUKAN merupakan relasi ekuivalensi.

2

4.

5.

6.

7.

Jadi, apabila a = b, b = c, c = d, d = e, e = f maka a = f jadi a = b = c = d = e = fContoh : 4 + 2 x 3 = 4 +6 = 10

A.2 SIFAT DASAR URUTAN1. Sifat Trikhotomi

( maka berlaku salah satu dari x > y , x = y , x < y

2. Sifat Transisi

3.

4.

5.

6.

7.

A.3 KETAKSAMAAN DAN PERTAKSAMAANDefinisi:a. Ketaksamaan absolut (ketaksamaan) jika ketaksamaan itu berlaku untuk

semua nilai variabelnyab. Ketaksamaan bersyarat (pertaksamaan) jika ketaksamaan itu tidak berlaku

untuk semua nilai variabelnya (tidak semua nilai variabel memnuhi ketaksamaan).

Contoh:a. Ketaksamaan:

1.

2.

3

b. Pertaksamaan:1. 2x > 10 Himpunan Penyelesaian = {6,7 ,8,...}2. 5x < 10 Himpunan Penyelesaian = {1,2,3}

B. BILANGAN BULAT

B.1 SIFAT – SIFAT OPEARSI BILANGAN BULAT

1. Sifat Komutatif:

a + b = b + a → ∀ 𝑥,𝑦 ∈𝐵, 𝑥+𝑦=𝑦+𝑥

a.b = b.a → ∀ 𝑥, 𝑦 ∈𝐵, 𝑥.𝑦=𝑦.𝑥Contoh:1. 5 + 6 = 6 + 5 = 11

2. 9 . 3 = 3 . 9 = 27

3.Jika B = {. . . ,-3,-2,-1,0,1,2,3,. . .} maka -2 ∈ 𝐵 𝑑𝑎𝑛 1∈𝐵 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎−2+1= −1∈𝐵 𝑑𝑎𝑛−2. 1. = −2∈𝐵.

2. Sifat Assosiatif:(a + b) + c = a + (b + c) → ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧, ∈𝐵,,𝑥+𝑦.+ 𝑧=𝑥+(𝑦+𝑧)(a . b).c = a.(b . c) → (xy) z = x (yz)Contoh:1. (5 + 2) + 3 = 5 + (2 + 3) = 10

2. (5 x 2) x 3 = 5 x (2 x 3) = 303. -7∈𝐵, 5∈𝐵, 𝑑𝑎𝑛 9∈𝐵;𝑚𝑎𝑘𝑎 ,−7+5.+9=−7+,5+9., 𝑑𝑎𝑛 ,−7.5..9= −7.,5.9.

3. Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan

a x (b + c) = ab + ac → ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐵, 𝑥𝑦+𝑧 .= 𝑥𝑦+𝑥𝑧 distributif kiri

(y +z)x = yx + zx distributif kananContoh: 5, 3, 6 𝜖 𝐵5 x (3 + 6) = 5 . 3 + 5 . 6= 15 + 30= 45

4. Terdapat Dua Elemen IdentitasSetiap bilangan a mempunyai dua elemen identitas, yaitu 1 dan 0, sehingga memenuhi:a + 0 = a → .∀ 𝑥 ∈𝐵, 𝑥+0=𝑥;

4

x.0 = 0;

a . 1 = a → ∀ 𝑥 ∈𝐵, 𝑥.1= 𝑥, x : 1 = x

5. Terdapat Elemen InversSetiap bilangan a mempunyai balikan atau invers penjumlahan, yaitu –a yang memenuhi:a + (-a) = 0 → ∀𝑥 ∈𝐵, ∃ 𝑦 ∈𝐵, 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑥+𝑦=0, tanda ∃ 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑟𝑡𝑖 𝑎𝑑𝑎etiap a ≠ 0 mempunyai balikan perkalian yaitu ,1-Setiap a ≠ 0

mempunyai balikan perkalian yaitu , yang memenuhi:

B.2 OPERASI PADA BILANGAN BULAT1. Operasi Penjumlahan

a + b = c a, b dan c bilangan bulatContoh: 14 + 10 = 24

2. Operasi Pengurangana – b = c , a + (-b) = c ; a, b dan c bilangan bulatContoh: 10 – (-2) = 10 + 2 = 12

3. Operasi Perkaliana . b = c a, b dan c bilangan bulatContoh: 5 . 4 = 20(-9) . (-4) = 36

4. Operasi Pembagian

a, b bilangan bulat dan b ≠ 0, c bilangan real

Contoh:

B.3 FAKTOR, BILANGAN KOMPOSIT, DAN BILANGAN PRIMDefinisi: Jika a, b, dan c bilangan bulat dan a.b = c , maka a dan b disebut faktor

c, atau pembagi c, sedangkan c disebut kelipatan a atau b

Definisi: Suatu bilangan bulat dinamai genap, jika, dan hanya jika, bilangan itu dapat dinyatakan sebagai 2x, dimana x bilangan bulat.

5

Sifat: Jika a genap, maka a2 genap.

Bukti: a genap dapat tulis a = 2x, dimana x suatu bilangan bulat. Jadi a2 = (2x)2 =

4x2 = 2∙2x2

Buktikan dengan cara langsung:Jika p genap maka p2 genapBukti: p genap artinya p = 2k; k 𝜖 𝐵

p2 = (2k)2 = 4k 2 = 2(2k)2 ; 2k 𝜖 𝐵 Jadi p2 genap

Sifat 2: Jika a ganjil, maka a2 ganjil.

Sifat 3: Jika n suatu bilangan bulat; dan n2 genap, maka n genap.

Buktikan secara langsung: Jika m faktor dari n dan n faktor dari k , maka m faktor dari kBukti : m faktor dari n artinya n = m . x ; x 𝜖 𝐵

n faktor dari k artinya k = n . y ; y 𝜖 𝐵k = m . x . yk = m . z ; z 𝜖 𝐵 → z = x . y

m faktor dari k artinya k = m .z Bilangan genap (m) Bilangan Ganjil (n)

m = 2k ;k 𝜖 𝐵 n = 2k +1 ; k 𝜖 𝐵Bilangan komposit adalah bilangan positif yang dapat dinyatakan sebagai produk

dua bilangan atau lebih yang masing – masing merupakan bilangan bulat positif yang bukan 1.

Bilangan prim adalah bilangan bulat positif yang lain, kecuali bilangan 1.Contoh:8 komposit 8 = 2 ∙ 49 komposit 9 = 3 ∙ 37 prim 7 = 1 ∙ 7

B.4 BILANGAN DASARB.4.1 NILAI TEMPAT DALAM BILANGAN DASAR SEPULUH

Sistem blangan dengan bilangan dasar sepuluh maksudnya adalah pengelompokan unsur yang terdapat dalam suatu himpunan, sepuluh–sepuluh.Contoh:37 = 3. 10 + 8257 = 2.102 + 5. 10 + 7123 = 1. 102 + 2.10 + 3

6

B.4.2 BILANGAN DASAR BUKAN SEPULUHContoh :32 → a) 3.101 + 2. 100 (tiga puluhan dan dua)

b) 3.41 + 2. 40 (tiga empatan dan dua)c) 3.71 + 2. 70 (tiga juhan dan dua)

untuk membedakan bilangan yang satu dengan yang lain, mengingat adanya perbedaan bilangan dasar terebut bilangan itu dibubuhi subindeks. Misalnya:a) 3210 berarti tiga puluhan dan duab) 325 berarti tiga limaan dan duac) 328 berarti tiga delapanan dan duaAtau cara menyebutkannya dapat pula sebagai berikut :a) 3210 dibaca tiga puluh duab) 324 dibaca tiga dua, bilangan dasar empatContoh:8910 = 11214 → 1.43 + 1.42 +2.4 + 1.40

1.64 + 16 + 8 + 1 = 8912310 = 13234 → 1.43 + 3.42 + 2.4 + 3.40

64 + 48 + 8 + 3 = 123 Menjumlahkan, mengurangi dan membagi dengan bilangan dasar 4 (bilangan dasr 4 hanya memerlukan 4 lambang saja yaitu 0, 1, 2, 3).Contoh :123 + 301 = ... 12130 – 213 = ...123 12130301 + 21 - 1030 1131121(203) = ... 3120 : 102 = ...? 203 21 x 2031002 +10223

B.4.3 BILANGAN DASAR DUAPada sistem bilangan dengan bilangan dasar dua hanya dua lambang saja yang digunakan, yaitu 0 dan 1.Contoh :1010112 = (1.25) + (0.24) + (1.23) + (0.22) + (1.21) + (1.20)

= 4310

Contoh:

7

a). 101 + 11 = 1000b). 10000 – 11 = 1101c). 11(101) = 1111d). 1111 : 11 = ..... ?

B.4.4 BILANGAN DASAR DUA BELASDalam bilangan dasar dua belas ini maka kita harus menambahakan dua lambang bilangan lagi, yaitu t untuk 10 dan e untuk 11. Maka bilangan dasar dua belas itu jika ditulis antara lain : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, t, e.Oleh karena itu 1012 = 1210, t12 = 1010, e 12 = 1110.Contoh :a). t3 + e9 = b). 100 – 4t =

t3 100e9 + 4t -ee2 52

c). 100(3t) = ....? d). 7e : 5 = ... ?B.5 KETAKSAMAAN, PERTAKSAMAAN DAN GARIS BILANGAN

Sifat dasar urutan yang terdapat dalam himpunan bilangan asli berlaku pula untuk himpunan bilangan bulat dengan beberapa tambahan. sifat dasar urutan untuk himpunan bilangan bulat itu keseluruhannya adalahsebagai berikut:

Jika B adalah himpunan bilangan bulat maka,

1.∀𝑥 , 𝑦∈𝐵 ℎ𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑏𝑒𝑟𝑙𝑎𝑘𝑢 𝑠𝑎𝑡𝑢 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑔𝑎 ℎ𝑢𝑏𝑢𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑢 ;𝑎.𝑥 >𝑦 , 𝑏 .𝑥 𝑦 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑐 .𝑥<𝑦2.∀𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ∈𝐵 ,𝑥<𝑦∧𝑦 <𝑧.→+( 𝑥<𝑧) (x>𝑦∧𝑦>𝑧) →+(𝑥>𝑧)3.∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈𝐵, ,𝑥<𝑦.→(𝑥+𝑧<𝑦+𝑧) (𝑥>𝑦) →(𝑥+𝑧>y +z)

4.∀𝑥 , 𝑦 𝑧 ∈𝐵, ,𝑥<𝑦.→(𝑥−𝑧<𝑦−𝑧 (x >𝑦)→(𝑥−𝑧>𝑦−𝑧)5.∀.𝑥, 𝑦,𝑧 ∈𝐵, ,𝑥<𝑦.→,𝑥 .𝑧 <𝑦 .𝑧. (z>0) ,𝑥>𝑦.→(𝑥 .𝑧>𝑥 .𝑧)6.∀𝑥, 𝑦,𝑧∈𝐵, ,𝑥<𝑦.→,𝑥 .𝑧>𝑦 .𝑧.

8

(𝑧<0) ,𝑥>𝑦.→(𝑥 .𝑧>𝑦 .𝑧)7.∀𝑥 ,𝑦 , 𝑧 ∈𝐵, ,𝑥<𝑦.→( x +z <𝑦 :𝑧) (z<0) , 𝑥>𝑦.→( 𝑥 :𝑧 >𝑦:𝑧)8.∀𝑥 , 𝑦, 𝑧 ∈𝐵, ,𝑥<𝑦.→,𝑥 :𝑧 >𝑦 :𝑧. (𝑧<0) (𝑥>𝑦)→,𝑥 :𝑧 <𝑦:𝑧.9.∀𝑥, 𝑦∈𝐵 ,𝑥<0∧𝑦<0.→,𝑥+𝑦<0. ,𝑥>0∧𝑦>0.→,𝑥+𝑦>0.10.∀𝑥, 𝑦 ∈𝐵, ,𝑥<0∧𝑦<0.→,𝑥 .𝑦<0. (x>𝑜∧𝑦>0)→,𝑥 .𝑦<𝑜.

,𝑥<𝑜∧𝑦>0.→,𝑥 .𝑦 <0. ,𝑥>0∧𝑦<0.→(𝑥 .𝑦 <0)

Definisi :

1.∀𝑥 , 𝑦∈𝐵, ,𝑥<𝑦.↔,𝑦>𝑥. 𝑑𝑎𝑛 , 𝑥>𝑦.↔,𝑦 >𝑥.2. ∀𝑥, 𝑦∈𝐵, ,𝑥<𝑦.↔,𝑥<𝑦∨𝑥=𝑦. 𝑑𝑎𝑛 , 𝑥>𝑦.↔, 𝑥 >𝑦 ∨𝑥=𝑦.3. ∀𝑥 , 𝑦 ∈𝐵, ,𝑥 <𝑦.↔, 𝑦 >𝑥. 𝑑𝑎𝑛 , 𝑥 >𝑦.↔,𝑦<𝑥.4.∀𝑥 , 𝑦∈𝐵, , 𝑥 >𝑦.↔,𝑥−𝑦 >0. 𝑑𝑎𝑛 , 𝑥<𝑦.↔( 𝑥−𝑦 <0)Contoh :

a. Buktikan: 𝑥 <𝑧−𝑦Bukti: 𝑥+𝑦 <𝑧

𝑥+𝑦−𝑦<𝑧−𝑦 𝑥<𝑧−𝑦 (terbukti)

b. Hitunglah semua nilai x dalam ,,3 ,𝑥−2.>2 (𝑥+7)-5 ,1−𝑥.<2,3𝑥−8.−1..9

Penyelesaian: 3𝑥−2>2 (𝑥+7) 3𝑥−6 >2𝑥+14 𝑥>20 5, 1−𝑥.<2 , 3𝑥−8.−1 5 – 5𝑥 <6𝑥−16−1 −11𝑥<−22 𝑥 >2

𝑥>20 20

x>22

Jadi, 𝑥>2.𝑎𝑡𝑎𝑢 HJ ={ x│x }C. BILANGAN RASIONAL

C.1 BILANGAN PECAHAN

Bilangan pecahan adalah bilangan yang dibutuhkan untuk mengukur ukuran yang lebih kecil dari satu.

Pecahan ialah hasil bagi sebuah pembagian; bilangan yang dibagi kita sebut pembilang (numerator) dan pembaginya kita sedut penyebut (denominator);

misalnya, dalam , bilangan 7 disebut pembilang dan bilangan 8 disebut penyebut.

Ada dua macam pecahan:

1. Pecahan murni yaitu pecahan p dengan 0 < p < 1;

Misalnya, , ,

10

2. Pecahan tak murni yaitu pecahan q dengan q > 1;

Misalnya, , ,

Dua pecahan atau lebih disebut senama, jika memiliki penyebut yang sama,

misalnya , , .

Dua pecahan atau lebih disebut tak senama, jika tidak memiliki penyebut yang

sama, misalnya , , .

Semua contoh di atas disebut pecahan positif. Pada mulanya pecahan positiflah yang dikenal orang, kemudian menyusul pecahan negatif.

Suatu pecahan disebut pecahan persepuluhan, jika penyebutnya suatu pangkat

bilangan sepuluh, misalnya, , , . pecahan persepuluhan ini dapat pula

ditulis sebagai berikut: 0,7; 0,24; dan 0,368, yang disebut juga pecahan decimal.

Suatu pecahan biasa, misalnya , dapat diubah menjadi pecahan desimal dengan

jalan membagi pembilang dengan penyebutnya. Jadi, 3 kita bagi dengan 4 dan

diperoleh 0,75. Untuk mengubah menjadi pecahan decimal, kita bagi 3 dengan 8

dan didapat 0,375. Adakalanya pembagian yang kita lakukan itu menghasilkan angka (digits) yang terbatas banyaknya, tetapi ada pula yang tanpa akhir; misalnya,

= 0,5 = 0,25 = 0,4545454545….

= 0,03125 = 0,015625 = 0,33333333……

= 0,048 = 0,0032

Pecahan decimal seperti o,333333333……, 0,454545454545…… disebut decimal berulang.

11

Contoh :

1. Apakah bilangan merupakan bilangan rasional ?

Jawab :

Bilangan adalah bilangan imajiner bilangan yang tidak real

( bilangan yang sesungguhnya tidak ada, karena bilangan negatif tidak bisa di akar 2). Jadi jelas kalau bilangan itu tidak termasuk bilangan rasional maupun bilangan irasional.

2. Apakah bilangan 0,98787768638 merupakan bilangan rasional ?Jawab :Tentu saja merupakan bilangan rasional, karena dapat di ubah menjadi

3. Bagaimana dengan bilangan desimal tak hingga banyaknya dan memiliki pola desimal yang berulang – ulang seperti bilangan 0,2525252525...., apakah merupakah bilangan rasional ?Jawab :a = 0,252525225... (persamaan pertama)kalikan a dengan 100 maka100 a = 25,25252525... (persamaan kedua)Kurangi persamaan kedua dengan persamaan kesatu100 a – a = 25,25252525.....-0,2525252525.....

99 a = 25 → a =

Karena 0,25252525......dapat di ubah ke bentuk dimana a = 25, b = 99

jadi 0.25252525....merupakan bilangan rasional.4. Apakah semua bilangan bulat, bilangan pecahan, dan bilangan desimal,

bilangan desimal tak hingga berpola merupakan bilangan rasional?Jawab:Ya. Secara keseluruhan itu benar. Akan tetapi, pecahan yang pembilang atau penyebutnya bukan bilangan rasional belum tentu rasional.

5. Bagaimana menentukan suatu pecahan dari bilangan desimal berpola dengan cepat?Jawab:

12

Pertama tentukan dulu berapa banyak bilangan yang berulang. Lalu, bilangan yang berulang itu tinggal dibagi 9 atau 99 atau 999 dan seterusnya (tergantung dari banyak bilangan yang berulang tadi).

Misal bilangan terxebut adalah 0,123123123...

Terdapat 3 bilangan tang terrulang maka

6. Misalkan adalah suatu pecahan dari bilangan

0,0142857142851714285171428517.... Tentukan a+b positif terkecil!Jawab:Terlihat bahwa ada 6 bilangan yang berulang, yaitu 142857. Jadi, supaya semua desimal bergeser ke kiri, kalikan saja dengan 10, sehingga menjadi 0,142857142851714285171428517....Dengan cara yang sama maka

pecahan tersebut adalah . Dengan demikian, a+b

positif terkecil yang diminta adalah 70+1 = 71.

C.2 HIMPUNAN BILANGAN RASIONAL

Apabila himpunan bilangan bulat kita gabungkan dengan himpuan bilangan pecahan, terbentuklah suatu himpunan baru, yang kita namai himpunan bilangan rasional.

Definisi:

Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai (a, b

anggota dari himpunan bilangan bulat dan b 0).

Dapat dibuktikan, bahwa tiap pecahan decimal berulang merupakan bilangan

rasional. Jika a, b B B (B = himpunan bilangan bulat), berarti a habis

dibagi dengan b. Jika B, maka ada dua kemungkinan: > 1, atau < 1.

Jika, jika a B, maka a adalah bilangan rasional, tetapi jika b Ra (Ra =

himpunan bilangan rasionl), maka b belum tentu bilangan bulat, sifat dasar yang

13

terdapat pada himpunan bilangan bulat, semuanya berlaku untuk himpunan bilangan rasional dengan beberapa tambahan.

Untuk semua bilangan x, y dalam himpunan bilangan rasional, maka x + y, x – y,

x y, dan …(y ≠ 0) adalah dalam himpunan bilangan rasional.

Apa sebabnya kita mengadakan pengecualian, dapat kita pahami segera dari definisi pembagian berikut ini.

DEFINISI

x,y maka dengan x:y dimaksud bilangan rasional z tunggal, yang bersifat y z=

x.

Misalnya, y = 0 dan x ≠ 0, maka x : 0 berarti bilangan z, sehingga 0 z = x. Tetapi

0 z = 0, untuk setiap z, sedangkan x ≠ 0, jadi, tidak memenuhi 0 z = x.

misalnya, 5 : 0 berarti bilangan z, sehingga 0 z = 5. Jelaslah bahwa 0 z =0, dan

bukan 5. Jadi, tidak ada harga z, sehingga 0 z = 5 misalnya, y = 0, dan x = 0,

maka 0 : 0 berarti bilangan z, sehingga 0.z=0. Ini memeng benar, karena 0 . z = 0 untuk setiap harga z, atau dengan perkataan lain, 0 : 0 berarti sebarang bilangan (tidak tunggal) ; jadi, tidak tentu.

Ada satu sifat dasar lagi, yaitu x Ra , y Ra, sedangkan x y = 1 (y disebut

invers kali dari x) (x 0).

C. 3 SIFAT DASAR URUTAN DAN DEFINISI

Sifat dasar urutan yang berlaku untuk bilangan bulat, berlaku pula untuk bilangan rasional. Dengan mengganti himpunan bilangan bulat (B) dengan himpunan bilangan rasional (Rn), dan melenyapkan dua perkataan kalau ada, maka sifat dasar urutan bilangan bulat menjadi sifat dasar urutan untuk bilangan rasional. Demikian pula definisi untuk bilangan bulat berlaku pula untuk bilangan rasional dengan beberapa tambahan:

a. Jika dan pecahan, hasil perkalian adalah pecahan .

b. Hasilbagi : adalah pecahan lain yaitu , sehingga = .

Contoh:

14

a. Hasilbagi dua pecahan : selalu ada.

Buktikan : = .

Bukti : akan kita buktikan, bahwa memenuhi definisi hasilbagi.

Harus dibuktikan = .

= = = (terbukti)

b. Jika = , maka ad = bc.

Bukti: = ; kedua ruas dikalikan dengan bd, maka kita peroleh

bd = bd

=

ad = bc ( terbukti)

D. BILANGAN IRASIONAL

D.1 HIMPUNAN BILANGAN IRASIONAL

Telah kita ketahui, bahwa himpunan bilangan irasional, ialah himpinan bilangan yang dapat dinyatakan oleh desiml berulang*. Jadi, tiap bilangan rasional dapat dinyatakan oleh sebuah decimal berulang, dan tiap decimal berulang menyatakan sebuah bilangan rasional. Tetapi ada pula decimal yang tak berulang, mialnya, 0,01001000100001, dimana terdapat satu 0 lebih banyak dibelakang dari pada di

depan 1. Contoh lain, e = 2,71828…..(e bilangan pokok logaritma asli); =

3,141592653589….; (lambang disebut akar). Demikian

15

pula bilangan seperti 1 + dapat diubah

menjadi decimal yang tak berulang. Himpunan bilangan seperti ini disebut himpunan irasional.

Definisi:

Himpunan bilangan yang tak dapat ditulis sebagai (a, b anggota dari himpunan

bilangan bulat dan b 0) disebut himpunan bilangan irrasional. Himpunan

bilangan yang terdiri atas desimal tak berulang disebut himpunan bilangan irrasional.

Dalam pasal ini menghadapi lambang baru, seperti dan dapat

diubah menjadi decimal yang tak berulang. Selanjutnya himpunan seperti ini disebut himpunan bilangan irasional. Salah satu lambangnya telah diganti dengan

lambang lain, yaitu 1,414213…. Lambang jelas berbeda dari lambang

1,414213….. tetapi, jika dan 1,414213…… dihubungkan dengan tanda =,

tentulah yang dimaksud ialah itu senilai dengan 1,414213….. Lambang lain itu

yaitu an.

DEFINISI Jika a dan n bilangan asli maka an berarti a a dengan n faktor

jadi an = a (n faktor a).

Dalam lambang an (dibaca, a pangkat n), a disebut bilangan pokok dan n disebut eksponen.

Contoh

a2 = 2 dibaca 2 pangkat 2 sama dengan 4.

23 = 2

24 =

16

32 =

33 =

b = ba, jika, dan hanya jika, a = b, pada umumnya ab ba.

SIFAT

Jika a, m, dan n bilangan asli, maka (am)n = amn

Contoh

(23)2 = 26 = 64

(22)3 = 26 = 64

SIFAT

Jika a, b dan n bilangan asli, maka n = .

Contoh

2 = = 3 = =

= 3, dibaca akar pangkat dua daripada Sembilan sama dengan tiga. Tidaklah

bia dituliskan , tetapi .

DEFINISI AKAR

akar n daripada a, ialah bilangan yang menghasilkan kembali a, apabila bilangan

itu dipangkati eksponen n, ditulis .

n disebut eksponen aka atau indeks akar. Menurut definisi, ( )n = a (a dan n

bilangan asli).

17

Jadi, ialah bilangan yang menghasilkan 2, apabila dipangkati eksponen 2.

= 3, sebab 32 = 9

= 5, sebab 52 = 25

E. BILANGAN REAL

E.1 HIMPUNAN BILANGAN REAL

a. Himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional membentuk himpunan baru.

b. Himpunan bilangan yang dapat dinyatakan oleh desimal.

Himpunan bilanga real dapat ditulis sebagai R =

Macam – macam bilangan real :

1. Bilangan Asli Bilangan asli adalah suatu bilangan yang mulau – mula dipakai untuk membilang. Bilangan aslidimulai dari 1,2,3,4,.... atau A = {1,2,3,4,....}

2. Bilangan Genap

Bilangan genap dirumuskan dengan 2n,

G = {2,4,6,8,...}3. Bilangan Ganjil

Bilangan ganjil dirumuskan dengan 2n – 1,

4. Bilangan PrimaBilangan prima adalah suatu bilangan yang dimulai dari 2 dan hanya dapat di bagi oleh bilangan itu sendiri dan ± 1P = {2,3,5,7,...}

5. Bilangan KompositBilangan Komposit adalah suatu bilangan yang dapat dibagi oleh bilangan yang lainKm = {4,6,8,9,....}

6. Bilangan CacahBilangan cacah adalh suatu bilangan yang dimulai dari nol

18

C = {0,1,2,3,...}7. Bilangan bulat

Bilangan yang terdari bilangan bulat negtif, bilangan nol dan bilangan bulat positif.B = {...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

8. Bilangan Pecahan

Suatu bilangan yang dapat di nyatakan dalam , dimana a sebagai

pembilang dan b sebagai penyebut, dengan a ,b dimana b ≠ 0.

9. Bilangan Rasional

Suatu bilangan yang dapat di nyatakan dalam , dimana a sebagai

pembilang dan b sebagai penyebut, dengan a ,b dimana b ≠ 0.

( Gabungan bilangan bulat dengan himpunan bilangan pecahan)

Contoh :

10. Bilangan Irasional

Suatu bilangan yang tidak dapat di nyatakan dalam , dimana a sebagai

pembilang dan b sebagai penyebut, dengan a ,b dimana b ≠ 0.

Contoh : , ᴨ = 3,14159..., e = 2,71828....

11. Bilangan RealSuatu ilangan yang terdiri dari blangan rasioanl dan bilangan irasional. Bilangan real biasanya disajikan dengan sebuah garis bilangan.Contoh :

-2 -1 0 1 2 3∙12. Bilangan Khayal

Suatu bilangan yang hanya bisa dikhayalkan dalam pikiran, tetapi kenyataannya tidak ada.

Contoh :

13. Bilangan KompleksSuatu bilangan yang terdiri dari bilangan 1 dan khayal

E.2 GARIS BILANGAN REAL

19

Semua bilangan rasional dan irrasional membentuk himpunan bilagan baru yang disebut dengan himpunan bilangan real . Ciri penting dari bilangan real adalah setiap bilangan real mempunyai korespondensi satu – satu dengan suatu titik pada suatu gari lurus.

2

1

-2 -1 1 2

F. AKAR BILANGAN

Setiap bilangan real x yang berpangkat n (n N dan n ) senilai dengan y, dan

ditulis xn = y, disebut akar pangkat n daripada y dengan notasi x = atau x = y .

Catatan: perlu diperhatikan, bahwa jika n genap atau ganjil, dan x 0, maka y

; jika n ganjil dan x maka y .

Contoh.

a. = 3, tetapi jika x2 = 9, maka x =

F.1 MENGUBAH BENTUK AKAR KE BENTUK PANGKAT DAN SEBALIKNYA

Pada bagian ini akan dibahas bagaimana cara mengubah bentuk akar ke dalam bentuk pangkat dan sebaliknya.

Sifat : = , aR dan n, m bilangan bulat positif

Contoh :

20

1. Nyatakan bilangan berpangkat di bawah ini dalam bentuk akar

a. b. c.

Jawab :

a. = = c. = x2 x =

b. = =

2. Nyatakan dalam pangkat rasional pecahan positif

a. b. c. d.

Jawab :

a. =

b. = a3 x =

c. = b–1 x =

d. = 3– 2 x = 3– 2 x = =

F.2 MENYEDERHANAKAN BENTUK AKARDalam perhitungan sering menemukan bentuk akar bilangan besar yang bukan merupakan bilangan prima, pada bagian ini akan dibahas bagaimana cara menyederhanakan bentuk akar yang dimaksud tadi. Contoh :Sederhanakan bentuk akar di bawah ini

a. b. c.

Jawab :

a. = c. =

= =

= =

b. =

=

=

21

F.3 OPERASI ALJABAR PADA BENTUK AKARF.3.1. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar hanya dapat dilakukan, jika bentuk akar-akarnya sejenis.

Contoh : Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk akar berikut ini 3

+ 4 - 2 Jawab :

Bentuk akar soal di atas sejenis ( memenuhi syarat ) berarti dapat dijumlahkan atau dikurangkan

3 + 4 - 2 = ( 3 + 4 - 2 ) = 5

Untuk di ingat : + dan –

F.3.2. Operasi Perkalian Bentuk Akar Seperti telah di sebutkan sebelumnya bahwa

x = = = a , untuk aR dan a > 0

maka x = = , untuk a,bR dan a,b > 0 Hasil perkalian bentuk akar diartikan sebagai perkalian bilangan-bilangan di bawah tanda akar. Perkalian bentuk akar :

p x q

1. p x q = pq

a x b

2. p ( q r ) = pq pr

3. ( + )( + ) = + + +

4. ( + )2 = (a + b) + 2

( + ) =

5. ( – )2 = (a + b ) – 2

( – ) = , dengan a > b

22

Contoh :Tentukan hasil perkalian bentuk akar di bawah ini

a. x e. 2 x 5 x 4

b. 2 x 3 f. ( + )( + )

c. 5 ( + ) g. ( + )2

d. 3 (4 – 2 ) h. ( – )2 Jawab :

a. x = = b. 2 x 3 = (2 x 3) = 6c. 5 ( + ) = 10 + 5d. 3 (4 – 2 ) = 12 – 6 e. 2 x 5 x 4 = ( 2 x 5 x 4 x 3 ) = 120f. ( + )( + ) = + + +

g. ( + )2 = ( 5 + 2 ) + 2 = 7 + 2

h. ( – )2 = ( 3 + 2 ) – 2 = 5 – 2Contoh :

Nyatakan dalam bentuk operasi jumlah untuk bentuk akar

Jawab : 13

a. 26

syarat 2 +

Jumlah hasil kali 15

= ( + )

F.4 HUBUNGAN AKAR BILANGAN DAN NILAI MUTLAK

x, jika x

DEFINISI 2 =

x, jika x .

x, jika x 0;

x R, maka| x | =

x, jika x 0.

Jadi, 2 = | x |

Contoh

23

a). 2 = 6

Jawab: 2 = x 1, jika x – 1 0

x – 1 = 6 x = 7

2 = ( x 1), jika x 1

(x = 6

x x =

H.J. = (-5, 7 ) terbukti

b). jika | x = 7

jawab:| x x jika x

x x = 10

| x = x jika x 3

x = 7

x x =

H.J. = (-4, 10) terbukti

G. BILANGAN KOMPLEKSG.1 BILANGAN IMAJINAR

Telah kita ketahui akar pangkat 3 dari pada -8, atau , adalah -2. Tetapi

bagaimana dengan ? Adakah suatu bilangan yang jika dikalikan dengan

bilangan itu sendiri, menghasilkan -4? Dalam sistem bilangan real tidak ada, bukan +2, bukan pula -2 hasilnya. Operasi untuk menarik akar pangkat genap dari pada bilangan negatif mangharuskan kita menentukan himpunan bilangan yang baru, yang kita sebut bilangan imajinar. Itu adalah suatu bilangan, yang jika dikalikan dengan bilangan itu sendiri menghasilkan bilangan negatif. Satuan

bilangan imajinar itu dinyatakan dengan huruf i = ; jadi, i2 = -1

Contoh :

24

a i =

i2 = -1i3 = i2 . i = -i . i = -ii4 = (i2)2 = (-i)2 = ii5 = i4 . i = i . i = i

b = = = i

= = = i = i (4) = 4i

c , = i . i = i2 = -

Tidak boleh . = = . mengapa tidak boleh?

G.2 BILANGAN KOMPLEKSKombinasi bilangan imajinar dan bilangan real disebut bilangan kompleks,

misalnya, 4 + 3i, -4 + 2i, 7 – 3i.

Bentuk umum bilangan kompleks

a + bi dan a – bi disebut bersekawan/konjugate; a dan b real. a + bi dan –a - bi disebut berlawanan. a disebut bagian real; b disebut bagian imajinar.Persamaan kuadrat yang diskriminannya negatif, kedua akarnya ialah bilangan kompleks bersekawan, misalnya,

x2 + x + 2 = 0 X1.2 =

X1.2 =

X1 = - + i ; X2 = - - i

Contoh :

25

a. Sederhanakan i5 + 3i4 – 5i3 + 6i2 – 3ijawab: i5 + 3i4 – 5i3 + 6i2 – 3i

=i + 3 + 5i – 6 – 3i = -3 + 3i

b. Sederhanakan

jawab: =

= =

= =

Dua bilangan kompleks dikatakan sama, jika, dan hanya jika, bagian realnya sama dan bagian imajinarnya sama.Jadi, a + bi = x + yi, jika, dan hanya jika, a = x dan b = y; a + bi = 0, jika dan hanya jika a = b = 0

G.3 OPERASIOperasi pada bilangan kompleks :

a. Penjumlahan: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) iContoh : (-2 + 3i) + (3 – 2i) = (-2 + 3) + (3 – 2)i = 1 + i

b. Pengurangan : (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d) iContoh : (-2 + 3i) - (3 – 2i) = (-2 - 3) + (3 + 2)i = - 5 + 5 i

Jadi, menambah atau mengurang dua bilangan kompleks dilakukan sebagai berikut: tambahkan atau kurangkan bagian real dan bagian imajinarnya secara terpisah.

c. Penggandaan : (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi2

=ac + (ad +bc)i – bd = (ac – bd) + (ad + bc) iContoh : (-2 + 3i) (3 – 2i) = (- 6 + 6) + (4 + 9)i = 13 iUntuk mendapatkan hasil perbanyakan dua bilangan kompleks, kalikanlah seperti dua buah suku dua, kemudian gantilah i2 dengan -1.

d. Pembagian :

Contoh :

26

Untuk mendapatkan hasil bagi dua bilangan kompleks (sebagai satu bilangan kompleks), kalikanlah pembilang dan penyebut dengan kawan penyebut.

G.4 BENTUK POLAR BILANGAN KOMPLEKSBilangan kompleks a + bi dapat dinyatakan dengan sebuah titik pada sebuah bidang, yang disebut bidang kompleks. Kita pilih sumbu X sebagai sumbu real dan sumbu Y sebagai sumbu imajinar .Representasi Geometris Y

P ( a + b i)r b

a

Jika titik P kita hubungkan dengan 0 dan OP kita nyatakan dengan r, sedangkan sudut antara garis ini dengan sumbu X+ adalah , maka kita dapatkan:

a = r cos , b = r sin ,

r = , tg =

Bentuk Trigonometris a + bi = r (cos + i sin ), yaitu bentuk polar bilangan

kompleks; r disebut modulus dan selalu positif atau nol, sudut disebut argumen.Contoh:Ubah – 3 + 3i menjadi bentuk polar?Jawab:

Sifat 1:

Bukti:

27

Sifat 2

Bukti:

Contoh:a. hitunglah 3(cos 380 + i sin 380) . 4 (cos 820 + i sin 820)

jawab 3 (cos 380 + i sin 380) . 4 (cos 820 + i sin 820)

12 +

12 (cos + i sin

12 (- cos 600 +i sin 600)

12 (- + i . ) = =6 + 6i

hitunglah:

= ...

jawab:

= cos (750 – 450) + i sin (750 – 450)

= cos 300 + i sin 300

= + i

G.5 DALIL DE MOIVRE(cos + i sin )n = cos n + i sin n , n bilangan asli.

28

Bukti

r1 (cos + i sin ) r2 (cos + i sin )

r1 r2 + ) + i sin ( . (SIFAT)

jadi,

r . r ... r (n faktor)

= rn atau n = rn

Jika r = 1 => 1n (cos n α + i sin n α)Jadi, (cos α + i sin α)n = cos n α + i sin αnCatatan Dapat dibuktikan bahwa dalil tersebut juga berlaku untuk n bulat

atau rasional.ContohHitunglah: (-3 + 3i)3

Jawab:

(-3 + 3i)3 =

=

= 54

= 54 + 54 i

Hitunglah: (-3 + 3i)4

Jawab:

29

(-3 + 3i)4 = 4

=

= 342 (-1 + i.0)= -324

Telah diketahui cos = cos ( k bulat.

Sin = sin ( , k bulat.

Jadi, r (cos + i Sin ) =

r (1)

Untuk mencari akar suatu bilangan kompleks dapat kita pergunakan (1) dan dalil moivre

Dengan k = 0, 1, 2, 3, ... , (n – 1)Contoh

1. Hitunglah ketiga akar

Jawab:

r = = = 6

tg =

jadi, 9 + 3i = 6 (cos 300 + i sin 300)

=

= 6 . 3

= (36 . 3)

=

Dengan k = 0, 1, 2

30

Ketiga akar itu adalah;

K = 0 =>

K = 1 =>

K = 2 =>

2. Hitunglah :

Jawab :

H. MERASIONALKAN PECAHAN DAN PENYEBUT PECAHAN

H.1 Merasionalkan penyebut bentuk akar

Salah satu cara untuk mempermudah perhitungan pada operasi pembagian apabila penyebutnya berbentuk akar yaitu dengan cara merasionalkan penyebut.

Sebagai ilustrasi :

31

Tanpa menggunakan kalkulator atau alat bantu hitung lainnya, tentukan hasil bagi

dari , jika = 1,4142

Untuk menjawab pertanyaan tersebut, lakukan pengerjaan sbb :

Cara 1 menggunakan operasi pembagian bilangan

= = ...

Cara 2 dengan merasionalkan penyebut

= x = ½ = ½ (1,4142) = ...

Cara manakah yang paling sederhana menurut anda ?

Merasionalkan Penyebut :

1. Bilangan Berbentuk atau (p bukan suatu kuadrat)

Untuk merasionalkan penyebut , kalikan dengan

Jika penyebut berbentuk , dimana p bukan suatu kwadrat, kalikanlah

pecahan itu dengan 1 dalam bentuk .

Contoh: Rasionalkan penyebut untuk setiap bilangan berikut ini :

a. b. c.

Jawab : a. = x = = 2

b. = x = =

c. = x =

2. Bilangan Berbentuk atau

Bentuk a + dan a – masing-masing penyebut dari bilangan tersebut dikatakan saling sekawan atau konjugat.

Bentuk sekawan dari suatu bilangan :a. 5 + 4 adalah 5 – 4

32

b. 7 – 3 adalah 7 + 3c. + adalah – d. 5 – 4 adalah 5 + 4 dan seterusnya

Contoh :Rasionalkan penyebut bilangan pecahan berikut ini :

a. b. c.

Jawab :

a. = x

=

=

=

b. = x

=

=

=

= 6 + 3

c. = x

=

=

=

3. Bilangan Berbentuk atau untuk penyebut ,

Perhatikan kembali sifat perkalian :

33

atau .

disebut kawan (conjugate) dari .Sehingga untuk merasionalkan pecahan berbentuk dapat dilakukan dengan cara mengalikan faktor sekawan dari penyebutnya, yaitu :

Untuk penyebut berbentuk dimana p dan q bukan suatu kwadrat,

kalikan lah pembilang dan penyebut dengan a p b q, maka penyebut

menjadi

Contoh :1. Rasionalkan penyebut bilangan pecahan berikut ini :

a. b.

Jawab :

a. = x

=

=

=

b. = x

=

=

=

34

2.

=

=

4. PENYEBUT BERBENTUK

Jika penyebut berbentuk , kalikanlah pecahan itu degan 1 dalam

bentuk

Contoh

=

=

=

I. NOTASI SIGMA ( “∑”) DAN PHI ( “π”)I.1 NOTASI SIGMA (“ ∑ “) Untuk menyatakan jumlah suku banyak yang setangkup (simetris), di gunakan notasi singkatan, yaitu notasi sigma (“ ∑”).Misalnya, jika di ketahui tiga besaran a, b, dan c, maka

35

a. ∑ a = a + b + cb. ∑ a2 = a2 + b 2 + c2

c. ∑ ab = ab + bc + cad. 2 ∑ a2 = 2 (a2 + b2 + c2) = 2a2 + 2b2 + 2c2

Jika diketahui empat besaran a, b, c, dan d, makaa. ∑ a = a + b + c + db. ∑ a2 = a2 + b2 + c2 + d2

c. ∑ ab = ab + ac + ad + bc + bd + cdNotasi sigma dipakai pula untuk suku banyak yang tidak setangkup (asimetris) yang berbentuk secara teratur.Misalnya,

= 1,03 + 1,0609 + 1,092727= 3,183627

Contoh :

1. Nyatakan dalam bentuk penjumlahan

Jawab:

= 1(1 + 1) + 2(2 + 1) + 3(3 + 1) + 4(4 + 1) + 5(5 + 1)

= 1 2 + 2 3 + 3 4 + 4 5 + 5 6 = 2 + 6 + 12 + 20 + 30

Contoh :2. Tulislah bentuk penjumlahan berikut dalam notasi sigma.

a. 2 + 4 + 6 + 8 + 10

b.

c. ab + a b + a b + a bJawab:a. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 2 ×1 + 2 ×2 + 2 ×3 + 2 ×4 + 2 ×5

= 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5)

=

36

b. = (–1) + (–1) + (–1) + (–1)

=

c. ab + a b + a b + a b = a b + a b + a b + a b

=

Contoh : 3. Tentukan nilai-nilai notasi sigma berikut.

a. b.

Jawab:

a. = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 10

= 55

b. = 2(3 ) + 2(4 ) + 2(5 ) + 2(6 )

= 18 + 32 + 50 + 72 = 172

Contoh :

4. Hitunglah nilai dari

Jawab:Ada 2 cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal di atas.Cara 1:

= (1 – 4(1)) + (2 – 4(2)) + (3 – 4(3)) + (4 – 4(4))

= (1 – 4) + (4 – 8) + (9 – 12) + (16 – 16) = – 3 – 4 – 3 + 0

= –10Cara 2:

=

=

= (1 + 2 + 3 + 4 ) – 4( 1 + 2+ 3 + 4) = (1 + 4 + 9 + 16) – 4(10) = 30 – 40

37

= –10Contoh :5. Dengan menggunakan sifat notasi sigma, buktikan bahwa :

Jawab:

=

.............................................(terbukti)

Contoh :6. Ubahlah batas bawah sigma menjadi 1 dari notasi sigma berikut :

a.

b.

Jawab:

a. =

b. =

=

I.2 NOTASI πHasil perbanyakan (kali) dapat dinyatakan secara singkat dengan notasi phi (π).Misalnya, jika diketahui a, b, dan c, maka

Π ab = ab.ac.bc = a2.b2.c2 =

a. Π a = a.b.c

38

b. Π a3b2 = a3b2.a3c2.b3c2.c3a2.c3b2

= a10.b10.c10

c.

Contoh :

I.3 NOTASI FAKTORIAL ( “ ! “)Untuk menyatakan hasilkali bilangan asli dari 1 sampai dengan n, digunakan n! (n faktorial).Misalkan:0 ! = 11 ! = 12 ! = 2 .1 = 23 ! = 3 . 2 . 1 = 6:: 10 ! = 10 . 9 . 8. 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 1814400 dan seterusnya.

Sehingga secara umum: n! = n(n -1) (n -2) ... 3.2. 1 =

Contoh :

I.3.1 PRINSIP DASAR (ATURAN PERKALIAN)Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam n1 cara yang berlainan dan kejadian yang lain dapat terjadi dalam n2 cara yang berlainan maka kejadian-kejadian tersebut bersama-lama dapat terjadi n1.n2 cara yang berlainan.Contoh:Berapakah banyak bilangan-bilangan bulat positif yang ganjil terdiri atas 3 angka yang dapat disusun dari angka-angka 3, 4, 5, 6 dan 7.Jawab:Sediakan 3 kotak, masing-masing untuk ratusan, puluhan dan satuan.

5

ratusan

5

puluhan

3

satuan Tiap angka dapat diambil sebagai ratusan. Cara itu menghasilkan 5

kemungkinan.

39

Karena tidak diharuskan ketiga angka berlainan, maka tiap angka dapat diambil sebagai puluhan. Ada 5 kemungkinan lagi. Satuan hanya dapat dipilih dari 3, 5, 7 sebab harus bilangan ganjil . Ada 3 kemungkinan. 

Maka banyak bilangan ada 5 . 5 . 3 = 75 bilangan.

J. PERMUTASIJ. 1. PENDAHULUANMasalah penyusunan kepanitiaan yang terdiri dari ktua, sekretaris dan bendahara imana urutan diprtimbangkan merupakan salah satu contoh permutasi. Jika terdapat 3 orang ( masailnya Amir, Budi, dan Cindy) yang akan dipilah untuk menduduki posisitersebut, maka dengan menggunakan prinsip perkalian kita dapat menentukan banyaknya susunan panitia yang mungkin, yaitu :

- Pertama menentukan ketua, yang dapat dilakukan dalam 3 cara.- Begitu ketua ditentukan, sekretaris dapat ditentukan dalam 2 cara.- Setelah ketua dan sekretaris ditentukan, bendahara dapat ditentukan dalam

1 cara.- Sehingga banyaknya susunan painita yang mungkin adalah 3∙2∙1 = 6

J.2 PERMUTASISecara formal, permutasi dapat didefinisikan sebagai berikut :Definisi

Permutasi dari n unsur yang berbeda adalah pengurutan dari

n unsur tersebut.Contoh :Tentukan permutasi dari 3 huruf yang berbeda pada huruf A B C !Permutasi dari huruf ABC adalah ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Sehingga terdapat 6 permutasi dari huruf ABC.TeoremaTerdapat n ! permutasi daari unsur yang berbeda.Bukti :Asumsikan bahwa permutasi dari n unsur yang berbeda merupakan aktifitas yang terdiri dari n langkah yang berurutan. Langkah pertama adalah memilih unsur pertama yang bisa dilkukan dengan n cara. Langkah kedua adlah memilih unsur kedua yang bisa dilakukan dengan n – 1 cara kerena unsur pertama sudah terpilih. Lanjutkan langkah tersebut sampai pada langkah ke – n yang bisa dilakukan dengan 1 cara. Berdasarkan prinsip perkalian terdapat n (n – 1) (n – 2).....2∙1 = n ! permutasi dari n unsur yang berbeda.Contoh :

1. Berapa banyak permutasi dari huruf ABC ?

40

Jawab : Terdapat 3∙2∙1 = 6 permutasi dari huruf ABC.2. Berapa banyak permutasi dari huruf ABCDEF jika subuntai ABC harus

selalu muncul bersama ?Jawab : Karena subuntai ABC harus selalu muncul bersama, maka

subuntai ABC bisa dinyatakan sebagai satu unsur. Dengan demikian 4 unsur yang dipermutasikan, sehingga banyaknya permutasi adalah 4∙3∙2∙1 = 24.

Definisi

Permutasi-r dari n unsur yang berbeda adalah pengurutan

dari sub-himpunan dengan r anggota dari himpunan .

Banyaknya permutasi- r dari n unsur yang berbeda dinotasikan dengan P(n,r).Contoh :Tentukan permutasi-3 dari 5 huruf yang berbeda, misalnya ABCDE !Jawab : Permutasi dari huruf ABCDE adalah

ABC ABD ABE ACB ACD ACEADB ADC ADE AEB AEC AEDBAC BAD BAE BCA BCD BCEBDA BDC BDE BEA BEC BEDCAB CAD CAE CBA CBD CBECDA CDB CDE CEA CEB CEDDAB DAC DAE DBA DBC DBEDCA DCB DCE DEA DEB DECEAB EAC EAD EBA EBC EBDECA ECB ECD EDA EDB EDC Sehingga banyaknya permutasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah 60.

Teorema

Banyaknya permutasi-r dari n unsur yang berbeda adalah

atau nPr =

Bukti :Asumsikan bahwa permutasi-r dari n unsur yang berbeda merupakan aktifitas yang terdiri dari r langkah yang berurutan. Langkah pertama adalah memilih unsur pertama yang bisa dilakukan dengan n cara. Langkah kedua adalah memilih unsur kedua yang bisa dilakukan dengan n – 1 cara. Berdasarkan prinsip perkalian, diperoleh :

41

Jadi,

Contoh :1. Gunakan teorema diatas untuk menentukan permutasi-3 dari 5 huruf yang

berbeda, misalnya ABCDE !Jawab : Karena r = 3 dan n = 5 maka permutasi-3 dari 5 huruf ABCDE

adalah :

Jadi, banyaknya permutasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah 60.2. Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8

orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.Jawab: Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7

orang dengan 3 kursi kosong.Maka banyaknya cara duduk ada :

7P3 = 7!/(7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210 caraTeoremaBanyaknya permutasi yang berlainan dari n benda bila n1 di antaranya berjenis

pertama, n2 berjenis kedua,..., nk berjenis ke k adalah

dengan n1 + n2 + … + nk = nContoh:Suatu pohon Natal dihias dengan 9 bola lampu yang dirangkai seri. Ada berapa cara menyusun 9 bola lampu itu bila 3 diantaranya berwarna merah, 4 kuning, dan 2 biru?

Jawab: Banyaknya susunan yang berlainan ada

Permutasi Siklis (Melingkar)Dari n obyek dapat disusun melingkar dalam (n–1)! cara dengan urutan berlainan.Contoh:Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk dengan urutan yang berlainan?Jawab: Banyaknya cara duduk ada (7 - 1)! = 6! = 6.5.4.3.2.1= 720 cara.

K. KOMBINASI

42

Kombinasi k unsur dari n unsur adalah pemilihan k unsur dari n unsur yang ada itu tanpa memperhatikun urutannya (k ≤ n).Ciri kombinasi: pemilihan, urutan yang tidak diperhatikan.

nCk =

Ada 6 kombinasi 2 unsur dari 4 unsur a, b, c, d yaitu ab, ac, ad, bc, bd, cd.Contoh:Dalam sebuah kantong terdapat 6 bola merah dan 5 putih. Tentukan banyak cara untuk mengambil 4 bola dari kantong tersebut sehingga :a.Keempat bola tersebut terdiri dari 2 merah dan 2 putih.b. Keempat bola tersebut warnanya lama.Jawab:

a. Untuk mengambil 2 dari 6 bola merah ada 6C2 cara, untuk mengambil 2 dari 5 bola putih ada 5C2 cara. Banyak cara untuk mengambil 4 bola terdiri 2 merah 2 putih adalah: 6C2 . 5C2  = 150 cara.

b. 4 bola warna lama, jadi semua merah atau semua putih. Untuk mengambil 4 dari 6 bola merah ada 6C4 cara. Untuk mengambil 4 dari 5 bola putih ada 5C6 cara. Banyak cara mengambi 14 bola yang warnanya lama: 6C4 + 5C4 =15 + 5 = 20 cara.

L. TEOREMA BINOMIUM

1.

(a + b)0 = 1(a + b )2 = a2 + 2ab +b2

::(a + b)8 = ...

Contoh :Tentukan koefisien dari a8b2 pada (a + b)10

Jawab :

43

2.

(a + b )2 = a2 + 2ab +b2

M. PERLUASAN (1 + x)n

Terdapat sebanyak n + 1 suku dan berlaku untuk semua bilangan asli n. Jika n bilangan real yang lain (n ≠ 0), maka perluasan (1) tak terbatas.

Contoh :

Hitunglah sampai dengan empat desimal (1, 03)-5

Jawab :

44

N. INDUKSI MATEMATIKA (INDUKSI LENGKAP)

Jika S suatu himpunan bilangan asli dengan dua sifat berikut :

1. Bilangan asli 1 ada dalam himpunan S

2. Jika suatu bilangan asli k dalam S, maka k + 1 juga dalam S ;

Maka semua bilangan asli ada dalam S.

Contoh :

Jawab :

a). Untuk n = 1

5 = 5 Jadi, 1 ϵ S

b). Misalkan k ϵ S maka untuk n = k(1) menjadi

Harus dibuktikan, bahwa k + 1 ϵ S

45

(3) didapat dari (1) setelah n diganti dengan k + 1, jadi k + 1 ϵ S

DAFTAR PUSTAKA

Buku :

Rawuh, Koesmartono. 1983.Matematika Pendahuluan. Bandung : ITB

46