SUB BAB 4

FUNGSI BILANGAN BULAT TERBESAR

• Bilangan bulat x terbesar, dilambangkan dengan [x].

• Bilangan terbesar dari bilangan real x dinyatakan dengan [x], yang memenuhi x – 1 < [x] ≤ x

• Dengan menggunakan sifat bilangan bulat terbesar ini kita dapat memeriksa berapa kali suatu bilangan khusus p muncul dalam n!, n bilangan positif .

• Contoh : p = 3 dan n = 9, maka :9! = 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9

= 28. 34. 52. 7

Yang ini belom selese na, yg lambang sigma itu lohh...hal.119

• Apabila n bilangan bulat positif dan p bilangan prima, maka pangkat tertinggi dari p yang menjadi pembagi dari n! adalah :

Menentukan banyak bilangan nol pada suatu bilangan

Banyak nol pada suatu bilangan misalnya 50! ditentukan dengan mencari pangkat dari 2 dan 5 dalam faktorisasi 50!, kemudian dipilih bentuk yang lebih kecil.

• [50/2] + [50/22] + [50/23] + [50/24] + [50/25] = 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 47Jadi, pangkat tertinggi dari 2 yang membagi 50! adalah 247

• [50/5] + [50/52] = 10 + 2 = 12. jadi, pangkat tertinggi dari 5 ynag membagi 50! adalah 12. ini berarti bahwa 50! berakhir pada 12 nol.

SOAL

Soal1. Diketahui bilangan bulat a dan b, b > 0

Buktikanlah bahwa terdapat bilangan bulat r tunggal dengan 0 ≤ r < b yang memenuhi a = [a/b] b + r.

Jawab :1. a = [a/b] b + r, 0 r < b, b > 0Pembuktian:Misal, a = 81, b = 3Maka,81 = [81/3] 3 + r81 = [27] 3 + r r = 81 – 81 r = 0 bilangan bulat tunggal.Jadi, terbukti terdapat bilangan bulat tunggal r yang memenuhi

persamaan a = [a/b] b + r

2. Misalkan x dan y bilangan-bilangan riel. Buktikanlah bahwa fungsi bilangan terbesar memenuhi sifat berikut :

a) [x+n] = [x] + n untuk setiap bilangan bulat n. [x+n] = [x] + n

Diketahui : [x] ≤ xmisal : x = 7,5

n = 5maka : [x] ≤ x

[7,5] = 7 [x+n] = [x] + n

[7,5 + 5] = [7,5] + 5 [12,5] = 7 + 5

12 = 12 (Terbukti)

b. [x] + [-x] = 0 atau -1Misal, x = 8• [x] + [-x] = 0[8] + [-8] = 08 – 8 = 0 terbukti• [x] + [-x] = -1[8] + [-8] = -18 – 9 = -1 terbukti

c. [x] + [y] [y] [x +y], maka [x] [y] [xy]

Pembuktian:Misal, x = 12,5 y = 4[x] [y] [xy][12,5] [4] [12,5 . 4]12 . 4 [50]48 < 50Terbukti

d. [x / n] = [x] / nPembuktian:Misal, x = 7,5 n = 5[x / n] = [x] / n[7,5 / 5] = [7,5] / 5[1,5] = 7 / 51 = 1Terbukti

e. [nm / k] n [m / k]Pembuktian:Misal, n = 7 m = 8 k = 2[nm / k] n [m / k][7.8 / 2] 7 [8 / 2][56 / 2] 7 [4]28 = 28Terbukti

f. [x] + [y] + [x + y] [2x] + [2y]Pembuktian:misal, x = 7,5 y = 8,5[x] + [y] + [x + y] [2x] + [2y][7,5] + [8,5] + [16] [15] + [17]7 + 8 + 16 15 + 17 31 < 32Terbukti

5. Buktikanlah bahwa 1000! berhenti pada 249 nol.

Jawab:• [1000/5] + [1000/52] + [1000/53] + [1000/54] =

200 + 40 + 8 + 1 = 249Jadi, terbukti bahwa 1000! berhenti pada 249

nol.

SUB BAB 5

BILANGAN SEMPURNA

Bilangan-bilangan yang jumlah faktor murninya dengan sama dengan bilangan itu sendiri dinamakan bilangan sempurna (perfect number).

• Definisi 3.7 Apabila n bilangan bulat positif dan (n) = 2n,

maka n disebut bilangan sempurna.Apabila (n) < 2n, n disebut defisient dan apabila

(n) > n, n disebut abundant.

• Teorema 3.18Suatu bilangan bulat positif n adalah bilangan

sempurna jika dan hanya jika n = 2m - 1 (2m– 1), dimana m bilangan bulat positif sedemikian sehingga m 2 dan 2m – 1 bilangan prima.

• Teorema 3. 19Suatu bilangan sempurna genap n angka

terakhirnya 6 atau 8, yaitu n = 6(mod 10) atau n = 8(mod 10).

BILANGAN MARSENNE

• Definisi 3. 8Apabila m bilangan-bilangan bulat positif, maka

Mm = 2m – 1 dinamakan bilangan Marsenne ke n, dan apabila m bilangan prima, maka dinamakan bilangan prima Marsenne

• Teorema 3.20Apabila p adalah bilangan prima ganjil, maka

sembarang pembagi dari bilangan Marsenne Mp = 2p – 1 adalah bentuk 2kp + 1, dimana k bilangan bulat positif.

BILANGAN BERSAHABAT (AMICABLE NUMBERS)

• Definisi 3. 9Pasangan bilangan bulat m dan n dinamankan

bilangan sekawan (amicable), apabila jumlah pembagi murni dari m sama dengan n dan jumlah pembagi murni dari n sama dengan m.

Dengan demikian, m dan n adalah bilangan sekawan apabila (m) = m + n = (n).

Contoh:Bilangan 220 dan 284 adalah bilangan sekawan,

karena,(220) = 284(284) = 220Sehingga, (m) = (n) = 504 = 220 + 284

SOAL

1. Carilah 6 bilangan sempurna genap.Jawab:Diantaranya 6, Dengan langkah-langkah sebagai berikut:

Dengan menggunakan n = 2m - 1 (2m– 1), dapaat kita temukan bilangan-bilangan yang termasuk bilangan sempurna genap.

• m = 2n = 22 - 1 (22– 1)n = 2 (3)n = 6

• m = 3n = 23 - 1 (23– 1)n = 4 (7)n = 28

• m = 5n = 25 - 1 (25– 1)n = 16 (31)n = 496

• M = 6n = 26 - 1 (26– 1)n = 32 (63)n = 2.016

• m = 7n = 27 - 1 (27– 1)n = 64 (127)n = 8.128

• m = 11n = 211 - 1 (211– 1)n = 1.024 (2.047)n = 2.096.128

2. Buktikanlah bahwa masing-masing bilangan bulat berikut adalah sekawan (amicable).

(a) 220, 284(b) 1184, 1210(c) 79750, 88730

Jawab:(a) 220, 284(220) = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 =

284(284) = 1+2+4+71+142 = 220Karena, (220) = (284) = 220 + 284 = 504Maka, 220 dan 284 merupakan bilangan

sekawan (amicable).

(b) 1184, 1210(1184) =

1+2+4+8+16+19+32+37+74+148+296+592 = 1210

(1210) = 1+2+5+10+11+22+55+110+121+242+605 = 1184

Karena, (1184) = (1210) = 1210+1184=2394Maka, 1184 dan 1210 adalah bilangan sekawan.

(c) 79.750, 88.730(79.750) =

1+2+5+10+25+50+125+250+319+638+1.595+ 3.190+7.975+15.950+39.875 = 70.010

(88.730) = 1+2+5+10+19+38+95+190+467+934+2.335+ 4.670+8.873+17.746+44.365 = 79.750

Karena, (79.750) (88.730) Maka, 79.750 dan 88.730 bukan bilangan sekawan.