repository.ump.ac.idrepository.ump.ac.id/6193/3/bab ii_nurwiyati_mtk'13.pdf · 5 bab ii kajian...

5

BAB II

KAJIAN TEORI

A. Sistem Bilangan Real

Sistem bilangan real R adalah himpunan bilangan real yang disertai

dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma

tertentu (Martono, 1999). Sistem bilangan real dinotasikan dengan R . Untuk

lebih lanjut akan dimulai dengan mengangkat sifat dasar dari bilangan real.

Definisi II.A.1

Sistem bilangan real R adalah suatu sistem aljabar yang terhadap operasi

jumlahan (+) dan operasi perkalian ( . ) mempunyai sifat – sifat sebagai

berikut

1. R merupakan grup komutatif terhadap operasi jumlahan (+)

2. 0R merupakan grup komutatif terhadap operasi perkalian ( . )

3. Untuk setiap Rzyx ,, berlaku zxyxzyx ..).(

(Darmawijaya, 2006)

Definisi II.A.2

Harga mutlak Rx ditulis x dan didefinisikan sebagai berikut:

𝑥 = 𝑥, 𝑥 ≥ 0−𝑥, 𝑥 < 0

1. Untuk setiap bilangan real x berlaku

a. 0x

b. xx

5

Penyelesaian Integral Dimensi…, Nurwiyati, FKIP UMP, 2013

6

c. xxx

d. 222xxx

2. Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku

a. 22 yxyxyx

b. xyyx

3. Jika 0a , maka

a. 22 axaxaax

b. axax atau 22 axax

4. Ketaksamaan segitiga. Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku

a. yxyx

b. yxyx

c. yxyx

d. yxyx

5. Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku

a. yxxy

b. 0, yy

x

y

x

(Martono, 1999)

Contoh:

Jika 2x , buktikan 3

5

42

322

2

xx

xx


7

Penyelesaian:

Karena penyebut bentuk pecahannya definit positif dengan

3314222 xxx , maka

3

1

42

12

xx

.

Ini mengakibatkan

323

132

42

1

42

32 22

22

2

xxxx

xxxx

xx

Untuk 2x , ditentukan batas dari 322 xx .

413222 xxx

Dengan menggunakan sifat nilai mutlak dan pertaksamaan, diperoleh

2x

22 x

113 x

9102 x

54142

x

53245 2 xx

5322 xx

Dengan menggunakan hasil di atas,

3

55.

3

132

3

1

42

32 2

2

2

xx

xx

xx.█


8

B. Himpunan

Himpunan merupakan konsep dasar dari semua cabang matematika.

Setiap cabang matematika berkaitan erat dan termasuk di dalam (menjadi

bagian) teori himpunan. Pada bagian ini akan dibahas mengenai himpunan

terbatas, himpunan bilangan real, serta himpunan terbuka dan tertutup.

Himpunan adalah kumpulan obyek yang mempunyai syarat tertentu

dan jelas. Obyek – obyek dalam kumpulan itu dapat berupa benda konkrit

atau benda abstrak, seperti: bilangan, abjad, orang, sungai, negara. Obyek –

obyek ini disebut anggota atau elemen dari himpunan itu.

(Theresia, 1989)

Contoh:

a. Kumpulan orang kaya

Kumpulan ini bukan suatu himpunan. Tetapi kumpulan orang yang

kekayaannya melebihi satu trilyun rupiah adalah suatu himpunan.

b. Kumpulan negara – negara Asia Tenggara

Kumpulan ini merupakan suatu himpunan.

1. Himpunan Terbatas

Di bawah ini akan dibahas lebih lanjut mengenai definisi urutan,

himpunan terurut dan himpunan terbatas.

Definisi II.B.1.1

Diberikan himpunan S. Suatu urutan pada himpunan S adalah suatu

relasi, yang dinyatakan dengan <, dengan dua sifat berikut:


9

i. Jika Sx dan Sy maka satu dan hanya satu diantara tiga

pernyataan berikut yang benar

yx atau yx atau xy

ii. Jika yx, , Sz , dan jika yx dan zy , maka zx

(Soemantri, 2000)

Definisi II.B.1.2

Jika pada suatu himpunan S telah didefinisikan suatu urutan, maka S

dinamakan himpunan terurut.

(Soemantri, 2000)

Definisi II.B.1.3

a. Himpunan RA dan A dikatakan terbatas ke atas (upper

bound) jika ada bilangan nyata k sehingga berlaku ka , untuk

setiap Aa ; k disebut batas atas (upper bound) himpunan A.

b. Himpunan RA dan A dikatakan terbatas ke bawah (lower

bound) jika ada bilangan nyata l sehingga berlaku al , untuk

setiap Aa ; l disebut batas bawah (lower bound) himpunan A.

c. Himpunan RA dan A dikatakan terbatas (bounded) jika A

terbatas ke atas dan terbatas ke bawah.

(Darmawijaya, 2006)

Contoh:

RA dengan 8,7,5,4,3A

Apakah A terbatas?


10

Penyelesaian:

AxAxp 8,8 terbatas ke atas. 8 merupakan batas atas A.

AxAxq 3,3 terbatas ke bawah. 3 merupakan batas

bawah A.

A terbatas.

Definisi II.B.1.4

Jika S suatu himpunan terurut, dan SA . Himpunan A terbatas ke

atas dan terdapat suatu elemen Sp yang memenuhi sifat – sifat

berikut

a. p adalah suatu batas atas A

b. jika u < p maka u bukan batas atas A

maka elemen p ini disebut batas atas terkecil atau supremum

himpunan A dan diberikan notasi SupAp

(Soemantri, 2000)

Definisi II.B.1.5

Jika S suatu himpunan terurut, dan SA . Himpunan A terbatas ke

bawah dan terdapat suatu elemen Sq yang memenuhi sifat – sifat

berikut:

Gambar II.1 Anggota Himpunan A

3 4 5 7 8


11

a. q adalah suatu bawah atas A

b. jika v > q maka v bukan bawah atas A

maka elemen q ini disebut batas atas terkecil atau infimum himpunan

A dan diberikan notasi q = inf A.

Contoh:

9,8,5,2,1F

F terbatas ke atas, karena R9 sehingga 9, xFx . Batas atas F

tidak tunggal. 9, pRp merupakan batas atas F. Karena 9

merupakan batas atas paling kecil, maka 9 = Sup𝐹.

F juga terbatas ke bawah, karena R1 sehingga 1, xFx .

Batas batas F juga tidak tunggal. 1, qRq merupakan batas bawah

F. Karena –1 merupakan batas bawah paling besar, maka −1 = Inf𝐹.

2. Himpunan Bilangan Real

Himpunan bilangan real yang memenuhi suatu pertaksamaan tertentu

dikenal sebagai selang (interval) hingga dan selang tak hingga. Selang

hingga adalah himpunan bagian dari R yang terbatas di atas dan di

bawah, sedangkan selang tak hingga tidak terbatas di atas atau tidak

terbatas di bawah. Di bawah ini diberikan definisi selang sebagai

himpunan titik dan gambarnya pada garis bilangan.

a. bxaRxba :),( disebut selang terbuka

b. bxaRxba :],[ disebut selang tertutup


12

c. bxaRxba :],( disebut selang tertutup di kanan atau

selang terbuka di kiri.

d. bxaRxba :),[ disebut selang tertutup di kiri atau selang

terbuka di kanan.

Untuk selang tak hingga diperlukan lambang dan , yang memenuhi

relasi urutan x untuk setiap bilangan real x. Berdasarkan ini

lambang digunakan untuk sesuatu yang lebih kecil dari setiap bilangan

real (membesar tanpa batas) dan lambang digunakan untuk sesuatu

yang lebih kecil dari setiap bilangan real (mengecil tanpa batas).

a. }:{),( axRxa disebut selang terbuka

b. }:{),[ axRxa disebut selang tertutup di kiri atau terbuka di

kanan

c. }:{),( bxRxb disebut selang terbuka

d. }:{],( bxRxb disebut selang tertutup di kanan atau di

terbuka di kiri

e. R ),(

(Martono, 1999)

3. Himpunan Terbuka dan Tertutup

Di bawah ini akan diberikan definisi ruang metrik, persekitaran, titik

limit, titik interior, himpunan terbuka dan himpunan tertutup.


13

Definisi II.B.3.1

Ruang metrik dX , adalah himpunan tak kosong X yang elemen –

elemennya disebut titik yang diperlengkapi dengan fungsi bernilai

real d yang didefinisikan pada XX sedemikian sehingga untuk

setiap x, y dan z di dalam X, dipenuhi:

a. 0, yxd ;

b. 0, yxd , jika dan hanya jika yx ;

c. xydyxd ,, ;

d. yzdzxdyxd ,,, .

Fungsi d yang memenuhi keempat sifat di atas dinamakan jarak atau

metrik pada X.

Definisi II.B.3.2

Diberikan dX , ruang metrik. Jika Xp dan 0r , maka

himpunan rpxdXxpNr ,: disebut persekitaran

(neighborhood) titik p dengan jari – jari r.

Definisi II.B.3.3

Diberikan dX , ruang metrik, himpunan XA dan titik Xp .

a. p disebut titik limit (limit point, cluster point) himpunan A jika

untuk setiap bilangan 0r berlaku pApNr .


14

b. p disebut titik dalam (interior point) himpunan A jika ada

bilangan 0r sehingga ApN r .

(Soemantri, 2000)

Definisi II.B.3.4

Diberikan ruang metrik dX , .

a. Himpunan XA merupakan himpunan terbuka jika setiap

anggota A merupakan titik dalam A.

b. Himpunan XA merupakan himpunan tertutup jika A memuat

semua titik limitnya.

(Soemantri, 2000)

C. Fungsi

Sebuah fungsi f adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan

tiap obyek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah

nilai f (x) dari himpunan kedua. Pada bagian ini dibicarakan mengenai fungsi

komposisi, fungsi aljabar, fungsi transenden dan fungsi terbatas.

(Varberg, dkk, 1993)

Definisi II.C

Diberikan RBA , fungsi BAf : adalah suatu aturan yang

mengaitkan setiap unsur Ax dengan tepat satu unsur By . Unsur y

yang berkaitan dengan unsur x ini diberi lambang )(xfy yang

terdefinisi pada himpunan A. Dalam hal ini x dinamakan peubah bebas,

dan y yang nilainya bergantung dari x dinamakan peubah tak bebas.


15

Terdapat suatu fungsi Axxfy ),( , maka daerah asal fungsi f adalah

himpunan A, ditulis fDA , dan daerah nilai fungsi f adalah himpunan

}:)({ ff DAxxfR . Unsur Bxf )( dinamakan nilai fungsi f di x.

Jika diketahui hanya )(xfy , maka daerah asal dan daerah nilai fungsi

f adalah })(:{ RxfRxD f dan }:)({ ff DAxxfR

1. Fungsi Komposisi

Definisi II.C.1.1

Fungsi komposisi dari g dan f (f dilanjutkan g), ditulis fg adalah

suatu fungsi yang daerah asalnya himpunan bagian dari fD dan

aturannya ditentukan oleh ))(())(( xfgxfg . Daerah asal dan

daerah nilai fungsi fg adalah })(:{ gffg DxfDxD dan

}),(:{ fgfg RttgyRyR

R R

fD

fR

x )(xf

Gambar II.2 Diagram Panah Fungsi

xfy

R R

fR fD

)(xf

x


16

(Martono,1999)

2. Fungsi Aljabar

Fungsi aljabar merupakan fungsi yang diperoleh dari berhingga operasi

aljabar atas fungsi konstan ky dan fungsi kesatuan xy . Operasi

aljabar yang dilakukan terhadap kedua fungsi tersebut adalah

penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, pemangkatan dan

penarikan akar ke-n, n = 2,3,....

(Martono, 1999)

Fungsi linear, fungsi kuadrat, fungsi pecahan linear atau kuadrat, dan

fungsi trigonometri semuanya merupakan fungsi aljabar.

3. Fungsi Transenden

Fungsi transenden merupakan fungsi yang tidak dapat dinyatakan sebagai

sejumlah berhingga operasi aljabar atas fungsi konstan y = k dan fungsi

kesatuan y = x.

(Martono,1999)

R R

fD

x

)(xf

R

f g

f g fR gD

gR

))(( xfg

fg fgD

fgR

gf DR

Gambar II.3 Diagram Panah fungsi

fg


17

Fungsi transenden terdiri dari fungsi – fungsi berikut:

a. Fungsi eksponensial, didefinisikan oleh xay , untuk 0a dan

1a , Rx .

Jika a = e, maka xey fungsi tersebut yang disebut sebagai fungsi

eksponen natural.

b. Fungsi logaritma, dinyatakan oleh 1,log aaxxy ya & x > 0.

Jika a = e, maka xyxy e lnlog fungsi tersebut yang disebut

sebagai fungsi logaritma natural.

c. Fungsi trigonometri

1) xxfy sin)(

2) xxfy cos)(

3) xxfy tan)(

4) xxfy cot)(

5) xxfy csc)(

6) xxfy sec)(

d. Fungsi invers trigonometri

1) 22

,sinsin 1 xxyyx

2) 2

0,coscos 1 xxyyx

3) 22

,tantan 1 xxyyx

4) 2

&0,secsec 1 xxxyyx


18

e. Fungsi Hiperbolik

1) 2

sinhxx ee

x

2) 2

coshxx ee

x

3) x

xx

cosh

sinhtanh

4) x

xx

sinh

coshcoth

5) 𝑠𝑒𝑐ℎxcosh

1

6) csch 𝑥xsinh

1


4. Fungsi Terbatas

Definisi II.C.4.1

Fungsi f dikatakan terbatas jika terdapat M > 0 sehingga Mxf )(

untuk setiap fDx

(Martono, 1999)

Definisi II.C.4.2

Fungsi f dikatakan tidak terbatas jika untuk sebarang M > 0 terdapat

fDx sehingga Mxf )( .


19

Contoh:

a. Fungsi xxf sin)( terbatas karena 1sin)( xxf untuk setiap

fDx .

b. Fungsi x

xf1

)( tidak terbatas pada selang ),0( karena untuk

sebarang 0M , terdapat 02

10

Mx

sehingga

MMM

fxf

2

2

1)( 0 .

D. Limit

Di bawah ini akan dijelaskan lebih lanjut mengenai limit fungsi di R,

2R dan nR .

1. Limit Fungsi di R

Definisi II.D.1.1

Diberikan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c,

kecuali mungkin di c sendiri. Limit fungsi f di c adalah L (ditulis

Lxfcx

)(lim atau Lxf )( bila cx ) jika 0

Lxfcx )(00 .

(Martono, 1999)


20

Definisi II.D.1.2

Diberikan fungsi f terdefinisi pada selang (c,b), limit kanan fungsi f

di c adalah L ( Lxfcx

)(lim atau Lxf )( bila cx ) jika

0 Lxfcx )(00 .

Jika fungsi f terdefinisi pada selang (a,c), limit kanan fungsi f di c

adalah L ( Lxfcx

)(lim atau Lxf )( bila cx ) jika 0

Lxfxc )(00 .

(Martono, 1999)

Contoh:

Diberikan fungsi 𝑓 𝑥 =

1,

2

12

2

x

xx

x

1,52

31

x

x

x

Tentukan jika ada

a. )(lim1

xfx

b. )(lim1

xfx

c. )(lim1

xfx

Penyelesaian

a. )(lim1

xfx

=3

2

52

31lim

1

x

x

x

b. )(lim1

xfx

=3

2

2

1lim

2

2

1

xx

x

x

c. )(lim1

xfx

= )(lim1

xfx

, maka )(lim1

xfx

ada


21

Sifat – sifat Limit Fungsi

a. Ketunggalan limit

Jika Lxfcx

)(lim dan Mxfcx

)(lim , maka L = M

b. Operasi aljabar pada limit

Jika Lxfcx

)(lim dan Mxgcx

)(lim , maka

a) MLxgxfcx

))()((lim = )(lim xfcx

+ )(lim xgcx

b) MLxgxfcx

))()((lim = )(lim xfcx

- )(lim xgcx

c) LMxgxfcx

))()((lim = ))(lim( xfcx

))(lim( xgcx

d) 0)(lim,)(lim

)(lim

)(

)(lim

xgM

xg

xf

M

L

xg

xf

cx

cx

cx

cx

c. Limit fungsi sederhana

a) kkkcx

,lim

konstanta,

b) cxcx

lim ,

c) qpqpcqpxcx

,:)(lim

konstanta,

d) ,lim 22 cxcx

e) cxcx

11lim

f) cxcx

lim

(Martono, 1999)


22

2. Limit Fungsi di 2R

Fungsi f adalah fungsi dua variabel dengan domain D maka dapat

dikatakan bahwa limit dari Lyxf ),( dan ditulis

Lyxfbayx

,lim,,

jika untuk setiap 0 terdapat 0 sedemikian sehingga

Lyxf , bilamana Dyx , dan bayx ,,0 dengan

22,, byaxbayx


3. Limit Fungsi di nR

Definisi yang diungkapkan untuk limit fungsi di R dan di 2R tersebut

sedemikian sehingga dapat diperluas untuk fungsi tiga peubah atau lebih.

Secara umum, jika nxxxxfz ,...,,, 321 adalah fungsi n-variabel

dengan domain D maka dapat dikatakan bahwa limit dari

Lxxxxf n ,...,,, 321 dan ditulis

Lxxxf nxxxxxx nn

),...,,(lim 21,...,,,...,, ''

2'121

,

jika untuk 0,0 sedemikian sehingga

Lxxxxf n,...,,, 321 bilamana Dxxxx n ,...,,, 321 dan

''

3

'

2

'

121 ,..,,,,...,,0 nn xxxxxxx



23

E. Kekontinuan

Bila suatu fungsi terdefinisi pada selang terbuka yang memuat suatu

titik, kekontinuan fungsinya di titik itu dapat didefinisikan dengan limit

fungsi. Di bawah ini akan dipaparkan kekontinuan di R, 2R dan nR .

1. Kekontinuan di R

Definisi II.E.1.1

Fungsi f terdefinisi pada satu interval terbuka yang memuat c.

Dikatakan bahwa f kontinu di c jika )()(lim cfxfcx

. Jadi fungsi f

dikatakan kontinu disuatu titik c jika dan hanya jika:

a. )(lim xfcx

ada

b. )(cf ada (yakni, c berada dalam daerah asal f ), dan

c. )()(lim cfxfcx


Definisi II.E.1.2

Fungsi f adalah kontinu kanan pada a jika )()(lim afxfax

dan

kontinu kiri pada b jika )()(lim bfxfax

. Fungsi f kontinu pada

sebuah interval terbuka jika f kontinu pada setiap titik pada interval

tersebut. Serta kontinu pada sebuah interval tertutup [a,b] jika

kontinu pada (a,b), kontinu kanan pada a, dan kontinu kiri pada b.



24

2. Kekontinuan di 2R

Definisi II.E.2.1

Fungsi ),( yxf dikatakan kontinu dititik 2,),( RDDba jika

),(),(lim

,,bafyxf

bayx

. Fungsi f dikatakan kontinu pada domain

D jika f kontinu di setiap titik (a,b) dalam D.


Definisi II.E.2.2

Fungsi ),( yxf dikatakan kontinu pada suatu himpunan S, jika

),( yxf kontinu di setiap titik pada himpunan S.


3. Kekontinuan di nR

Fungsi nxxxxfz ,...,,, 321 , kontinu di titik ,,...,, ''

2

'

1 Dxxx n

nRD

jika

''

2

'

121,...,,,...,,

,...,,),...,,(lim''

2'121

nnxxxxxx

xxxfxxxfnn

. Fungsi f dikatakan

kontinu pada domain D jika f kontinu di setiap titik ''

2

'

1 ,...,, nxxx dalam

D.


B

A

S

Gambar II.4 Himpunan S


25

F. Turunan

Pada bagian kali ini akan dibahas lebih lanjut mengenai turunan di R,

turunan di nR .

1. Turunan di R

Definisi II.F.1.1

Jika fungsi f terdefinisi pada suatu selang terbuka I yang memuat

titik c, maka f dikatakan mempunyai turunan dititik c apabila limit

cx

cfxf

cx

)()(lim ada, dan dalam hal ini nilai limit tersebut disebut

turunan dari f di titik c. Jadi, untuk fungsi f yang mempunyai

turunan di c dituliskan cx

cfxfcf

cx

)()(lim)(' . Dengan mengganti

x dengan c + h, di peroleh h

cfhcfcf

h

)()(lim)('

0

.

(Martono, 1999)

Definisi II.F.1.2

Jika fungsi f terdefinisi pada selang (a,c]. Turunan kiri dari fungsi f

di titik c, ditulis f’(c) didefinisikan sebagai cx

cfxfcf

cx

)()(lim)('

atau h

cfhcfcf

h

)()(lim)(

0

'

(Martono, 1999)


26

Definisi II.F.1.3

Jika fungsi f terdefinisi pada selang [c,b). Turunan kanan dari fungsi

f di titik c, ditulis )(' cf dan didefinisikan sebagai

cx

cfxfcf

cx

)()(lim)(' atau

h

cfhcfcf

h

)()(lim)(

0

'

(Martono, 1999)

Definisi II.F.1.4

Jika fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c, maka

fungsi f terdiferensialkan di )()( '' cfcfc

(Martono, 1999)

Contoh:

Jika 𝑓 𝑥 = 2,

2

42

x

x

x

2,23 xx

, tentukan nilai 2'f (jika ada)!

Penyelesaian:

)2(

)2(

)2(44

lim2

)22.3(2

4

lim2

)2()(lim

2

2

2

22

x

x

xx

x

x

x

x

fxf

xxx

1)2(

)2(lim

)2(

844lim

2

2

22

2

2

x

x

x

xx

xx

3)2(

63lim

2

)22.3()23(lim

2

)2()(lim

222

x

x

x

x

x

fxf

xxx

Karena 2

)2()(lim

2

)2()(lim

22

x

fxf

x

fxf

xx maka

2

)2()(lim

2

x

fxf

x

dengan kata lain 2'f tidak ada.


27

Teorema II.F.1.5

Jika xf ' ada maka f kontinu di c.

Bukti:

Jika cf ' ada berarti cx

cfxfcf

cx

)()(lim)('

ada, maka

cxcfcfxfcxcx

lim).(')()(lim

)()(lim cfxfcx

Karena fcfxfcx

)()(lim kontinu di c.█

a. Aturan pencarian turunan

Jika )(xfy , turunan f dapat dinyatakan dengan tiga notasi (notasi

Leibniz) yaitu )(' xf atau )(xfDx atau dx

dy.

1) kxf )( , dengan k konstanta 0)(' xf

2) 1)(')( xfxxf

3) 1)(')( nn nxxfxxf

4) k suatu konstanta dan f fungsi yang terdeferensialkan, maka

xfkxkf '.'

f dan g adalah fungsi yang terdiferensialkan

5) xgxfxgf '''

6) xgxfxgf '''


28

7) xfxgxgxfxgf '''.

8) )(

)(')()()(')('

2 xg

xgxfxgxfx

g

f


b. Turunan fungsi trigonometri

Di bawah ini diberikan turunan pertama untuk fungsi trigonometri.

1) xxfxxf cos)('sin)(

2) xxfxxf sin)('cos)(

3) xxfxxf 2sec)('tan)(

4) xxfxxf 2csc)('cot)(

5) xxxfxxf tansec)('sec)(

6) xxxfxxf cotcsc)('csc)(

(Martono,1999)

c. Turunan fungsi invers

Definisi II.F.1.c

Jika fungsi f kontinu dan satu – satu pada selang fDI dengan

aturan Ixxfy ),( dan inversnya adalah fRyyfx ),(1.

Jika fungsi f terdiferensialkan pada I dengan 0)(' xf pada I,

maka fungsi 1f juga terdiferensialkan pada fR dan aturan

turunannya ditentukan oleh )('

1))'(( 1

xfyf atau

dy

dxdx

dy 1

(Martono, 1999)


29

d. Turunan fungsi komposisi

Definisi II.F.1.d

Jika ufy dan xgu . Jika g terdiferensiasikan di x dan f

terdiferensiasikan di xgu , maka fungsi komposisi gf

yang didefinisikan oleh ))(())(( xgfxgf , adalah

terdiferensiasikan di x dan )('))((')()'( xgxgfxgf atau

dx

du

du

dy

dx

dy .


e. Turunan fungsi logaritma

1) Turunan fungsi logaritma alami dapat dituliskan sebagai berikut:

xxfxxf

1)('ln)(

2) Turunan fungsi logaritma dapat dituliskan sebagai berikut:

axxfxxf a

ln

1.

1)('log)(

f. Turunan fungsi eksponensial

1) Turunan fungsi eksponen alami dapat dituliskan sebagai berikut:

xx exfexf )(')(

2) Turunan fungsi eksponen dapat dituliskan sebagai berikut:

1,ln)(')( aaaxfaxf xx



30

g. Turunan tingkat tinggi

Operasi diferensiasi mengambil sebuah fungsi f dan menghasilkan

sebuah fungsi baru 'f . Jika 'f didiferensiasi menghasilkan fungsi

''f (f dua aksen) dan disebut turunan kedua dari f. Dan boleh

didiferensiasi yang menghasilkan '''f yang disebut turunan ketiga

dari f. Turunan keempat dinyatakan dengan )4(f , turunan kelima

dinyatakan )5(f dan seterusnya.


Contoh:

8742)( 23 xxxxf , maka

786)(' 2 xxxf

812)('' xxf

12)(''' xf

0)4( f

Karena turunan fungsi nol adalah nol, maka turunan keempat dan

semua turunan tingkat yang lebih tinggi (higher-order derivative)

dari f akan nol.

2. Turunan di nR

Sebuah fungsi bernilai real dengan dua peubah real (real valued function

of two variables) yaitu fungsi f (Gambar II.5) yang menghubungkan

setiap pasangan berurut yx, pada suatu himpunan D dalam suatu


31

bidang dengan sebuah bilangan real (unik) dari yxf , . Himpunan D

disebut daerah asal (domain) suatu fungsi. Jika tidak dinyatakan secara

spesifik, D dapat dinyatakan sebagai daerah asal alami (natural domain),

yaitu himpunan seluruh titik yx, pada suatu bidang dimana fungsi

tersebut masuk akal dan menghasilkan nilai bilangan real. Daerah hasil

(range) dari sebuah fungsi adalah himpunan dari nilai – nilainya. Jika

yxfz , , maka x dan y disebut sebagai peubah bebas (independent

variable) dan z sebagai peubah tak bebas (dependent variable). Seluruh

hal diatas berlaku untuk fungsi – fungsi bernilai real dengan tiga peubah

real (atau bahkan n peubah real).


Definisi II.F.2.1

Jika f adalah fungsi dengan dua peubah x dan y. Jika y dijaga agar

tetap konstan, misal 0yy maka ),( 0yxf adalah fungsi dengan

(x,y) f (x,y) (x,y)

f

Daerah asal Daerah hasil

Gambar II.5 Fungsi f


32

peubah tunggal x. Turunannya di 0xx disebut turunan parsial f

terhadap x di ),( 00 yx dan dinyatakan sebagai ),( 00 yxf . Jadi,

x

yxfyxxfyxf

xx

),(),(lim),( 0000

000

Begitu juga turunan parsial f terhadap y di ),( 00 yx dinyatakan

dengan ),( 00 yxf y dan dirumuskan dengan:

y

yxfyxxfyxf

yx

),(),(lim),( 0000

000

Untuk menentukan ),( yxf x dan ),( yxf y dengan menggunakan

aturan – aturan standar turunan, dan mensubstitusikan 0xx dan

0yy .


Secara umum, jika f adalah suatu fungsi n peubah yaitu nxxx ,...,, 21 . Jika

nxx ,...,2 dibuat konstan, misalnya ''

22 ,...,,..., nn xxxx , maka

''

21 ,...,, nxxxf menjadi fungsi satu peubah 1x . Turunannya di '

11 xx

disebut turunan parsial f terhadap 1x di ''

2

'

1 ,...,, nxxx dan dinyatakan

sebagai ''

2

'

1 ,...,,1 nx xxxf atau

1

21 ,...,,

x

xxxf n

. Jadi,

1

''

2

'

1

''

21

'

1

0

''

2

'

1

,...,,,...,,lim,...,,

11 x

xxxfxxxxfxxxf nn

xnx


33

Demikian pula, turunan parsial f terhadap 2x di ''

2

'

1 ,...,, nxxx dan

dinyatakan sebagai ''

2

'

1 ,...,,2 nx xxxf atau

2

21 ,...,,

x

xxxf n

dan dituliskan

sebagai

2

''

2

'

1

'

2

'

2

'

1

0

''

2

'

1

,...,,,...,,lim,...,,

22 x

xxxfxxxxfxxxf nn

xnx

Turunan parsial terhadap nxxx ,...,, 43 didefinisikan dengan cara yang

sama. Jadi, untuk turunan parsial f terhadap nx di ''

2

'

1 ,...,, nxxx dan

dinyatakan sebagai ''

2

'

1 ,...,, nx xxxfn

atau

n

n

x

xxxf

,...,, 21 . Dan

dituliskan sebagai

n

nnn

xnx

x

xxxfxxxxfxxxf

nn

''

2

'

1

''

2

'

1

0

''

2

'

1

,...,,,...,,lim,...,,

Contoh:

Jika )sin( 22 xyxz tentukan x

z

dan

y

z

Penyelesaian:

2222 sinsin xx

xyxyx

xx

z

xxyxy

xxyx 2.sincos 2222

2222 sin.2.cos xyxyxyx

2222 sin.2cos xyxxyyx


34

2322 cos22.cos xyyxxyxyxy

z

Turunan parsial dari suatu fungsi x dan y, secara umum adalah

sebuah fungsi lain dari dua peubah yang sama tersebut, maka turunan

tersebut dapat didiferensialkan secara parsial terhadap x atau y,

menghasilkan empat buah turunan parsial kedua (second partial

derivative) dari f.

2

2

x

f

x

f

xf xx

xy

f

x

f

yff yxxy

2

)(

2

2

y

f

y

f

yf yy

yx

f

y

f

xff xyyx

2

)(


Contoh:

Tentukan empat turunan parsial kedua dari

23sin),( yxy

xxeyxf y

Penyelesaian:

223cos1

),( yxy

x

yeyxf y

x


35

23

22cos),( yx

y

x

y

xxeyxf y

y

2

26sin

1),( xy

y

x

yyxf xx

3

34

2

2cos2

sin),( xy

x

y

x

y

x

y

xxeyxf y

yy

yxy

x

yy

x

y

xeyxf y

xy

2

236cos

1sin),(

yxy

x

yy

x

y

xeyxf y

yx

2

236cos

1sin),(

Turunan – turunan parsial ketiga atau lebih dapat didefinisikan

secara analogis, dan notasi penulisannya juga serupa. Jika f adalah fungsi

dengan dua peubah x dan y, maka turunan parsial ketiga f diperoleh

dengan mendiferensiasikan f secara parsial, pertama terhadap x dan

kemudian dua kali terhadap y, yang dapat dinyatakan dengan

xyyfxy

f

xy

f

yx

f

yy

2

32


G. Integral

Konsep integral tak tentu diperkenalkan sebagai kebalikan operasi

pendiferensialan, yaitu sebagai bentuk yang paling umum dari anti – turunan.

Integral tentu diperkenalkan sebagai limit jumlah Riemann sebagai

generalisasi dari proses perhitungan luas daerah tertutup pada bidang datar.


36

Keterkaitan antara dua integral ini dikenal sebagai Teorema Dasar Kalkulus

yang salah satunya adalah turunan dari bentuk integral tertentu dengan

peubah di limit atasnya. Di bawah ini akan dijelaskan lebih lanjut mengenai

integral tak tentu dan integral tentu.

1. Integral Tak Tentu

Definisi II.G.1.1

F suatu anti turunan dari f pada selang I jika xfxF '' untuk

semua x dalam I.


Teorema II.G.1.2

Jika f dan g dua fungsi sedemikian sehingga xgxf '' untuk

Ix ( I selang ), maka suatu konstanta c sehingga

cxgxf , untuk Ix .

Bukti:

Ambil fungsi h yang didefinisikan pada selang I dengan definisi

Ixxgxfxh ),()()(

maka Ixxgxfxh ),(')(')('

karena )(')(' xgxf untuk Ix berakibat

0)(')(')(')(')(' xgxgxgxfxh

Jadi, Ixxh ,0)('

Karena 0)(' xh maka konstanta c sehingga Ixcxh ,)('


37

cxgxf )()(

Ixcxgxf ,)()( .█

Teorema II.G.1.3

Jika f merupakan anti turunan khusus dari f pada selang I maka

setiap anti turunan dari f pada I diberikan oleh cxF dengan c

sembarang konstanta.

Bukti:

Ambil G sembarang anti turunan dari f pada I maka

IxxfxG ),(' ......... (1)

Karena F merupakan anti turunan khusus dari f pada I maka

IxxfxF ),(' ......... (2)

dari (1) dan (2) diperoleh:

IxxFxG ),(''

Menurut teorema 7.a.2 terdapat konstanta c sedemikian sehingga

.cxFxG

Karena G sembarang, berarti setiap anti turunan f diberikan oleh

.cxF

Jadi, cxFdxxf dengan xfxF ' atau

dxxfxFd .█


38

Teorema II.G.1.4

Jika n adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka

cr

xdxx

nn

1

1

Bukti:

Misal: nxxf dan 1

1

n

xxF

n

diperoleh cxFdxxf

dibuktikan cxFdxxf

maka akan ditunjukkan

)()1(

1

11))((

)())((

1

xfnxn

xn

dx

cn

xd

dx

cxFd

xfdx

cxFd

nn

n

berarti cxFdxxf )()( atau cn

xdxx

nn

1

1

untuk n = 0 diperoleh cxcx

dxxdxxn

10

100

jadi, cxdx .█

Untuk integral pada fungsi trigonometri adalah sebagai berikut:

a. cxxdx cossin

b. cxxdx sincos

c. cxxdx tansec2


39

d. cxxdx cotcsc2

e. cxxdxx sectansec

f. cxxdxx csccotcsc

Teorema II.G.1.5

Jika fungsi f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan

misalkan k suatu konstanta, maka:

a. dxxfkdxxkf )()(

b. dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

Bukti:

f dan g mempunyai anti turunan.

cxF )( anti turunan dari f, jadi cxFdxxf )()( ,

)()( xfcxFd

cxG )( anti turunan dari g, jadi cxGdxxg )()( ,

)()( xgcxGd

a. dxxfkdxxkf )()(

dx

kcxkFd

dx

cxFkd

0)(' xkF

dxxfxFdxkf ),(

Dengan kata lain dxxfkcxFkdxxkf )()(


40

b. dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

dx

cxGxFd

dx

cxGdcxFd 2

xGxF ')('

xgxf )(

Dengan kata lain,

dxxgdxxfcxGcxFdxxgxf )()()( .█

Teorema II.G.1.6

Diberikan g fungsi yang dapat didiferensialkan dan daerah hasil

(nilai) dari g adalah selang I. Jika f fungsi yang didefinisikan pada I

dan F anti turunan dari f pada I, maka

cxgFdxxgxgf '

Bukti:

Karena F anti turunan dari f pada selang I maka xgfxgF '

dibuktikan xgxgfcxgFdx

d'.

xgxgFcxgFdx

d'.'

xgxgf '.

Dengan kata lain cxgFdxxgxgf ' .█


41

Teorema II.G.1.7

Jika g suatu fungsi yang dapat terdiferensiasi dan f suatu bilangan

rasional yang bukan -1, maka

cr

xgdxxgxg

rr

1

)('

1

.

Bukti:

Jika u = g (x) adalah fungsi yang dapat didiferensiasi dan r suatu

bilangan rasional 1r maka,

uDur

uD x

rr

x .1

1

atau

xgxgr

xgD

rr

x '.1

1

.█

2. Integral Tentu

Jika f didefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Fungsi ini bisa

bernilai positif atau negatif pada interval tersebut dan bahkan tidak perlu

kontinu. Misalkan suatu partisi P membagi interval [a,b] menjadi n

interval bagian (tidak perlu sama panjang) dengan menggunakan titik –

titik bxxxxxa nn 1210 ... dan misalkan 1 iii xxx .

Pada setiap bagian interval ii xx 1 , dengan mengambil sebuah titik

sebarang titik ix (mungkin saja titik ujung) yang disebut sebagai titik

sampel untuk interval bagian ke-i.


P disebut norma (norm) P, menyatakan panjang interval-bagian yang

terpanjang dari partisi P. Misal f suatu fungsi yang didefinisikan pada


42

interval tertutup [a,b]. Jika

n

i

iiP

xxf1

0lim ada, dikatakan f

terintegrasikan pada [a,b]. Suatu jumlah Riemann ditafsirkan sebagai

sebuah jumlah aljabar dari luas-luas.

Kemudian b

a

dxxf )( disebut integral tentu (atau integral Riemann) f dari

a ke b, kemudian diberikan oleh

n

i

iiP

b

a

xxfdxxf1

0lim)( .

Teorema II.G.2.1

Jika f kontinu (karenanya terintegrasikan) pada [a,b] dan diberikan

F adalah sebarang anti – turunan dari f pada [a,b], maka,

x

a

aFbFdxxf )()()(

654321

6

1

AAAAAAxxfi

ii

Gambar II.6 Jumlah Riemann

y = f(x)

x

y

1x

2x 4x

3x

5x

6x

0xa 5x 6xb

4x

3x 2x

1x


43

Bukti:

Karena fungsi F dan G kontinu pada interval tertutup [a,b],

didapatkan F(a) = G(a) + c dan F(b) = G(b) + c. Jadi F(x) = G(x) + c

pada interval tertutup [a,b].

Karena

b

a

dttfaG 0)()( , maka cccaGaF 0)()( .

Karena itu,

b

a

dttfbGccbGaFbF )()()()()( .█

a. Integral lipat dua atas persegi panjang

Jika R adalah sebuah persegi panjang dengan sisi – sisi sejajar

dengan sumbu koordinat },:),{( dycbxayxR . Bentuk

partisi P dari R dalam pengertian membentuk garis – garis sejajar

dengan sumbu x dan sumbu y (Gambar II.7).

Gambar II.7 Daerah dycbxayxR ,:,

kk yx ,

c d

a

b

x

y

z

kR

R


44

Pembuatan partisi ini membagi R menjadi persegi panjang yang

lebih kecil sebanyak n, kemudian menotasikannya dengan kR , k =

1,2,3,...,n. Misalkan kx dan ky adalah panjang sisi – sisi kR dan

misalkan kkk yxA adalah luasnya. Pada kR ambil sebuah titik

contoh kk yx , dan bentuk jumlah Riemann

n

k

kkk Ayxf1

),( yang

berhubungan (jika 0),( yxf ) dengan jumlah volume n kotak

(Gambar II.8).

Dengan membuat partisi tersebut semakin kecil sedemikian rupa

sehingga seluruh kR juga mengecil, akan menuntun ke konsep yang

dikehendaki. Dengan ketentuan tambahan bahwa aturan partisi P,

dilambangkan dengan P adalah diagonal terpanjang dari sub

persegi panjang dalam partisi tersebut.


Gambar II.8 Permukaan z = f (x,y)

),( yxfz

Volume =

kkk Ayxf ),(

c d

a

b

x

y

z

kR

R


45

Definisi II.G.2.a

Jika f adalah fungsi dengan dua peubah yang didefinisikan pada

sebuah persegi panjang tertutup R. Jika

n

k

kkkP

Ayxf1

0,lim

ada, maka dikatakan bahwa f dapat terintegralkan di R.

Disamping itu, R

dAyxf ),( disebut integral lipat-dua (double

integral) dari f atas R, yang dapat dinyatakan dengan

n

k

kkkP

R

AyxfdAyxf1

0,lim),(


Sifat – sifat integral lipat dua

Jika f (x,y) dan g (x,y) kontinu dan Rk maka

1) Integral lipat dua bersifat linear, yaitu

i. RR

dAyxfkdAyxkf ),(),(

ii. RRR

dAyxgdAyxfdAyxgyxf ),(),(),(),(

2) Integral lipat dua bersifat aditif (penjumlahan) pada persegi

panjang yang saling tumpang-tindih hanya pada sebuah ruas

garis.

21

),(),(),(RRR

dAyxfdAyxfdAyxf

3) Sifat perbandingan berlaku. Jika ),(),( yxgyxf untuk seluruh

(x,y) di R, maka


46

RR

dAyxgdAyxf ),(),(

(Varberg,dkk, 2003)

b. Integral lipat dua atas daerah bukan persegi panjang

Definisi II.G.2.b

Suatu himpunan S yang tertutup dan terbatas pada bidang. S

dikelilingi dengan persegi panjang R dengan sisi – sisi sejajar

sumbu – sumbu koordinatnya (Gambar II.9 & Gambar II.10).

Andaikan yxf , didefinisikan (atau didefinisikan ulang)

0, yxf pada bagian R diluar S (Gambar II.11). f dapat

terintegralkan di S jika f dapat diintegralkan pada R dan

dituliskan dengan RS

dAyxfdAyxf ),(),( .


S

R

Gambar II.10

Kurva S Dikelilingi Persegi

Panjang R

S

Gambar II.9 Kurva S tertutup

S

z = f (x,y)

f (x,y) = 0

Gambar II.11 Kurva S : z = f (x,y)


47

c. Perhitungan Integral lipat dua atas persegi panjang

Himpunan dengan batas – batas melengkung bisa menjadi

sangat rumit. Untuk tujuan yang akan dicapai, akan cukup memadai

jika menggunakan himpunan sederhana-x dan himpunan sederhana-y

(dan gabungan terhingga dari himpunan – himpunan tersebut).

Sebuah himpunan S dikatakan sederhana y jika himpunan tersebut

sederhana pada arah y, artinya bahwa sebuah garis pada arah ini

memotong S dalam selang tunggal (atau titik atau tidak sama sekali).

Jadi, sebuah himpunan S disebut sederhana-y (y-simple) (Gambar

II.12) jika terdapat fungsi 1 dan fungsi 2 pada [a,b] sedemikian

rupa sehingga

bxaxyxyxS ,:, 21

Suatu himpunan S dikatakan sederhana-x (x-simple) (Gambar II.13)

jika terdapat fungsi 1 dan fungsi 2 pada [c,d] sedemikian rupa

sehingga

dycxxyyxS ,:, 21

y

0 x

Gambar II.13 Kurva Sederhana-x

yx 1

d

c

yx 2

S

S

y

0 x

Gambar II.12 Kurva Sederhana-y

xy 2

xy 1

a b


48

Jika akan menghitung integral lipat-dua dari fungsi f (x,y) atas

sebuah himpunan sederhana-y S. Lingkupi S di dalam sebuah persegi

panjang R (Gambar II.14) dan menbuat f (x,y) = 0 diluar S.

b

a

d

cRS

dxdyyxfdAyxfdAyxf ,),(),(

b

a

x

x

dxdyyxf2

1

,

Pada pengintegralan sebelah dalam, x dipertahankan tetap. Jadi

pengintegralan dilakukan disepanjang garis vertikal tebal pada

Gambar II.14 Pengintegralan ini menghasilkan luas A(x) dari suatu

penampang melintang (cross section). Akhirnya, A(x) diintegralkan

dari a ke b.

Jika himpunan S adalah sederhana-x (Gambar II.13), maka dengan

cara yang sama akan menghasilkan rumus

d

c

x

xS

dxdyyxfdAyxf2

1

,),(

S

y

0 x

Gambar II.14 Kurva S sebagai Persegi Panjang

xy 2

xy 1

a b

R

d

c

x


49

Jika himpunan S bukan sederhana-x maupun sederhana-y (Gambar

II.15), maka biasanya himpunan tersebut dapat dilihat sebagai

sebuah gabungan dari bagian – bagian yang mempunyai salah satu

dari sifat – sifat lainnya. Dicontohkan lingkaran pada Gambar II.16

tidak sederhana-y 1S dan 2S . Integral – integral dari bagian – bagian

lingkaran ini dapat ihitung dan kemudian dijumlahkan untuk

memperoleh integral atas S.


d. Integral lipat dua dalam koordinat kutub

Kurva – kurva tertentu pada suatu bidang, seperti lingkaran,

kardiodid, dan mawar lebih mudah dijelaskan dengan menggunakan

y

0 x

Gambar II.15 Kurva Bukan Sederhana-x atau Sederhana-y

S

1S

2S

Gambar II.16 Gabungan Dua

Himpunan Sederhana-y 1S dan 2S


50

koordinat Cartesius (koordinat siku – siku). Sehingga dapat

diharapkan bahwa integral lipat dua atas daerah yang tertutup oleh

kurva-kurva seperti itu akan mudah dihitung dengan menggunakan

koordinat kutub.

Misalkan R mempunyai bentuk seperti yang digambarkan pada

Gambar II.17, yang disebut dengan persegi panjang kutub (polar

rectangle). Misal yxfz , menentukan sebuah permukaan atas R

dan andaikan f kontinu dan tak negatif. Maka volume V benda

padat di bawah permukaan ini dan di atas R (Gambar II.18) dapat

dinyatakan dengan

R

dAyxfV ),( .......... (1)

Di dalam koordinat kutub, persegi panjang kutub R mempunyai

bentuk ,:, brarR . Untuk menghitung

volumenya yaitu menggunakan koordinat kutub.

R

br

ar

0 Sumbu Kutub

Gambar II.17 Persegi Panjang Kutub

R x

y

z

,),( rFyxfz

Gambar II.18 ,),( rFyxfz


51

R dibagi – bagi menjadi partisi – partisi yang lebih kecil

berbentuk persegi panjang kutub nRRR ,....,, 21 dengan menggunakan

kisi kutub (polar grid), dan misalkan kr dan k menyatakan

dimensi potongan kR

(Gambar II.19). Luas )( kRA dinyatakan

dengan kkkk rrRA )( dimana kr adalah jari –jari rata – rata kR .

Jadi kkkk

n

k

k rrrFV

),(1

.

Saat menggunakan limit sebagai aturan pembagian partisi yang

mendekati nol, maka akan memperoleh volume yang sebenarnya.

Limit ini adalah sebuah integral lipat dua.

rdrdrrfdrdrFVRR

)sin,cos(),( ......... (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh

rdrdrrfdAyxfRR

)sin,cos(),(

Persamaan diatas diturunkan dengan asumsi bahwa f tak negatif,

tetapi berlaku untuk fungsi – fungsi yang sangat umum, khususnya

fungsi – fungsi kontinu dengan tanda sebarang.


R

kr

kR

0

k

Gambar II.19 Partisi R dalam Persegi Panjang Kutub


52

H. Integral Kurzweil-Henstock

Pendefinisian integral Kurzweil – Henstock diawali dengan pendefinisian

partisi - fine.

Definisi II.H.1

Diberikan Rba,: . Sebuah partisi vu,, pada ba, disebut

fine jika

u

merupakan indikasi bahwa adalah partisi - fine.

(Yee, 2000)

Teorema II.H.2 (Causin’s Lemma)

Jika Rba,: dan bdca maka terdapat partisi fine pada

dc,

Bukti:

Andaikan tidak ada partisi - fine pada dc, dengan badc ,, .

Diambil titik tengah dc, yaitu

2

,dc, maka

2,

dcc dan

d

dc,

2

juga tidak mempunyai partisi - fine.

Ambil setengah dari interval dc, yang tidak mempunyai partisi – partisi

- fine sebut 11,dc . Selanjutnya, ambil setengah dari interval 11,dc

u v


53

yang tidak mempunyai partisi - fine. Proses dilanjutkan sampai

diperoleh interval bersarang nn dc , dengan 02 n

nn cdcd .

Pastilah terdapat titik C yang berada pada interval nn dc , untuk setiap n.

Karena 0c , maka terdapat suatu bilangan N sedemikian hingga

untuk Nn berlaku ccd nn , Pertidaksamaan tersebut

menunjukkan bahwa nn dvCuC 11 maka

merupakan partisi - fine nn dc , . Padahal diketahui bahwa nn dc ,

tidak mempunyai partisi - fine sehingga kontradiksi.█

Teorema II.H.3

Jika Rba ,:1 dan Rba ,:2 merupakan 2 fungsi bernilai

positif, Rba ,: dengan 21 ,min untuk setiap

ba, , maka partisi - fine juga merupakan partisi - i fine dengan

i=1,2.

Bukti:

Ambil partisi - fine pada ba, , maka berlaku:

vu

Karena 21 ,min maka

i dan i

Sehingga berlaku

ii vu


54

Berakibat

ii vu

Sehingga merupakan partisi - i fine atau merupakan partisi - fine.█

Definisi II.H.4

Fungsi Rbaf ,: dikatakan terintegral Kurzweil – Henstock pada

ba, jika terdapat bilangan I sehingga untuk setiap bilangan 0

terdapat fungsi Rba ,: sehingga untuk setiap partisi - fine

vu,, pada ba, berlaku

If , dengan uvff

(Yee, 2000)

Teorema II.H.5 (Teorema Kekonvergenan Monoton)

Diberikan

i. Barisan xf k adalah monoton untuk hampir semua

nRJx .

ii. Fungsi kf adalah terintegral Kurzweil-Henstock dan barisan

J

kf adalah terbatas, dengan kata lain untuk beberapa K

semua Nk .

iii. ff kk

lim terbatas


55

Maka f terintegral Kurzweil-Henstock pada J dan

J

kk

J

ff lim ... (1)

Bukti:

Diasumsikan bahwa kf adalah barisan naik, 0kf dan f . Barisan

B

A

kf merupakan barisan monoton dan terbatas. Limit kanan dari (1) ada,

dan dinotasikan dengan L. Diberikan , dapat diperoleh N dimana

3

Lf

J

N

kemudian diperoleh Nxk untuk xkk ,

xfxfxxf k 3

1 (2)

dari Lemma Henstock ada ukuran n pada nR dimana

k

K

kiik

i

fKxf2.3

(3)

dimana partisi bagian riKx ii ,...,1;, merupakan -fine. Dan

didefinisikan

xxx exk untuk Jx

diberikan merupakan partisi dari J. Akan dibuktikan

.

LKxf ii (4)

jumlahan Riemann dari f ke L, selanjutnya


56

iixk Kxfi

(5)

i

i

K

xkf (6)

dari sebelumnya

3

iixkiiiixk KxfKxfKxfii

(7)

dan

J

N

K

N

K

xk Lfff

ii

i 3 (8)

oleh N , ixk terbesar diperoleh

J

N

K

N

K

xk Lfff

ii

i (9)

selanjutnya diestimasikan perbedaan diantara (5) dan (6), dengan kata lain

i

ii

K

xkiixk fKxf (10)

ixk tidak begitu berbeda, diberikan kiii ,...,, 21 merupakan beda i, dimana

kxk i . Dari (10) suku dengan kesamaan kxk i dari (3)

k

k

j K

xkijijk

ij

ifKxf

2.31

akibatnya

32.31

k

K

xkiixk

i

iifKxf (11)

dari (7), (8) dan (9)


57

3

2

3LfKxfKxf

i

ii

K

xkiixkii

Dengan kata lain

LfKxfKxf

i

ii

K

xkiixkii3

23

█

I. Himpunan Terukur

Terdapat dua ukuran di dalam suatu himpunan yaitu ukuran luar dan ukuran

dalam. Definisi dari kedua ukuran tersebut sebagai berikut.

1. Ukuran luar

Definisi II.I.1

Diberikan himpunan RE . Ukuran luar E diberi notasi E*

yang didefinisikan sebagai berikut: OEOE :inf{* dan O

himpunan terbuka}

2. Ukuran dalam

Definisi II.I.2

Diberikan himpunan RE . Ukuran dalam E diberi notasi E*

yang didefinisikan sebagai berikut: KEKE :sup{* dan K

himpunan tertutup}

Dari definisi di atas jelas bahwa EE *

* untuk himpunan E

dan jika BA maka EE *

* .


58

3. Himpunan Terukur

Di bawah ini akan diberikan definisi dari himpunan yang terukur.

Definisi II.I.3

Suatu himpunan RE dikatakan terukur jika ukuran luar sama

dengan ukuran dalam atau EE *

*

(Royden, 1968)

J. Fungsi Terukur

Sebelum dibahas lebih lanjut mengenai fungsi terukur, terlebih dahulu akan

dibahas mengenai definisi fungsi hampir dimana – mana.

Definisi II.J.1

Suatu fungsi dikatakan mempunyai sifat P pada E hampir dimana – mana

jika fungsi tersebut bersifat P hampir dimana – mana kecuali untuk

himpunan EA dan 0A .

Contoh:

Suatu fungsi REf : dan REg : adalah hampir dimana – mana

pada E jika dan hanya jika xgxf untuk AEx dengan

0A dan xgxf untuk EA dengan 0A .


59

Definisi II.J.2

Suatu fungsi REf : adalah terukur jika E adalah himpunan terukur

dan untuk setiap Rr , himpunan rxfEx | adalah terukur.

(Gordon, 1994)

Teorema II.J.3

Diberikan E himpunan terukur dan jika REf : kontinu hampir

dimana – mana pada E, maka f terukur.

Bukti:

Diberikan B himpunan diskontinu pada E. Jika 0B , semua subset B

adalah terukur. Misalkan Rr dan diperoleh

rxfBxrxfBExrxfEx ||| . Maka akan

dibuktikan bahwa himpunan rxfBBxC | adalah terukur.

Jika f kontinu pada setiap titik pada C, untuk Cx terdapat 0x

sedemikian sehingga rtf dimana zxzEzt : . Misalkan

Cx

xxzzU

: , maka U himpunan terukur dan berakibat

BEUC adalah terukur.█


60

K. Teorema Tonelli

J didefinisikan sebagai interval pada nR dengan BAJ , A adalah interval

pada lR dan B adalah interval pada mR , mln .

Teorema II.K.1 ( Teorema Tonelli )

1. f terukur pada J

2. ada fungsi g sedemikian sehingga gf pada J dan

A B

dxdyyxgA ,1 ,

B A

dydxyxgA ,2

f terintegral Kurzweil-Henstock pada J.

Untuk fg , berakibat:

Akibat II.K.2

Jika f terukur,

A B

dxdyyxfA ,1 ,

B A

dydxyxfA ,2

Akibat II.K.3

Jika f terukur dan non-negatif, maka

B AA BJ

dydxyxfdxdyyxff ,,


repository.ump.ac.idrepository.ump.ac.id/6193/3/bab ii_nurwiyati_mtk'13.pdf · 5 bab ii kajian...

Documents