Pertemuan 7

Pengantar struktur Aljabar

32

TEOREMA LAGRANGE DAN

SUBGRUP NORMAL

A. Pendahuluan

Modul ini membahas tentang teorema Lagrange, dilanjutkan dengan

pengertian subgrup normal. Mahasiswa seharusnya telah menguasai konsep

grup, subgrup, grup permutasi dan subgrupnya, grup siklik dan subgrupnya

beserta koset-kosetnya, untuk memahami materi dalam modul ini.

Setelah mempelajari modul ini, mahasiswa diharapkan dapat mencapai

target berikut ini :

- Dapat menjelaskan dan menggunakan teorema Lagrange

- Dapat mengidentifikasi apakah suatu subgrup dari suatu grup merupakan

subgrup normal atau tidak

- Dapat menentukan syarat-syarat agar suatu subgrup merupakan suatu

subgrup normal dari grup tertentu

- Dapat membuktikan suatu subgroup merupakan subgrup normal

B. Teorema Lagrange Teorema Lagrange :

Jika G suatu grup berhingga dan H subgrup dari G maka order dari H

membagi habis order dari G ditulis o(H) | o(G).

Bukti :

Misalkan o(G) = m dan o(H) = k

Menurut teorema 1. (pertemuan 6), bahwa :

Pertemuan 7

Pengantar struktur Aljabar

33

G = UGaaH

, xH yH xH yH = F dan xH ~ yH karena H berhingga

maka banyaknya anggota xH = banyaknya anggota yH.

Jadi n(xH) = n(yH) = n(H) = o(H) = k. Jika banyaknya koset kiri yang

terbentuk l buah maka m = l.k, berarti k merupakan faktor dari m, Dengan

kata lain m habis dibagi k atau k membagi habis m, ditulis k|m atau

o(H)|o(G).

Definisi 1.: indeks dari H dalam G

Jika G suatu grup dan H subgruo dari G maka yang disebut indeks dari H

dalam G ditulis iG(H) adalah banyaknya koset kiri (kanan) yang berbeda.

Jika G grup berhingga maka iG(H) = )()(

)()(

HnGn

HoGo

=

Contoh :

G = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } adalah grup dengan perkalian modulo 7, maka H = {1,

2, 4 } dan K = { 1, 6 } masing-masing subgrup dari G.

3H = { 3, 6, 5 } = 6H = 5H; 2H = {2, 4, 1} = 4H = H.

jadi banyaknya koset kiri dari H dalam G adalah 2, atau

iG(H) = 2 = )()'(

)()'(

HnGn

HoGo

=

Silahkan periksa bahwa iG(K) = 3 = )()'(

)()'(

KnGn

KoGo

=

Teorema :

Misalkan G grup berhingga

a. Jika x G maka p(x)|o(G) yaitu periode x membagi habis order dari G

b. Jika order dari G adalah bilangan prima maka G merupakan grup siklik

Pertemuan 7

Pengantar struktur Aljabar

34

Bukti :

Misal o(G) = m

a. Ambil x G

Jika x = e maka p(x) = p(e) = 1 dan 1 membagi habis m. jadi p(x) | o(G)

Jika x e, buatlah subgrup siklik S dengan generator x dan misalkan p(x)

= k maka xk = e dan S = {x, x2, x3, , xk = e } dengan o(S) = k. menurut

teorema Lagrange o(S) | o(G). dengan kata lain k|m atau p(x) | o(G)

b. Misalkan m bilangan prima maka pembagi dari m hanyalah 1 dan m saja,

dan subgrup dari G hanyalah {e} dan G saja. Ambil x G dengan x e

maka himpunan perpangkatan bilangan asli dari x, yaitu H = { x, x2, x3,

, xm = e } merupakan subgrup dari G. karena x e maka H = G. dan

karena H grup siklik maka G juga grup siklik.

C. Subgrup Normal

a. Pengertian Subgrup Normal Definisi 2. : Subgrup normal

Jika N subgrup dari G maka N disebut subgrup normal dari G jika "g G,

"n N berlaku gng-1 N

Contoh :

G = S3 = { (1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2) } maka H = { (1), (1 3) } dan

K = {(1), (1 2 3), (1 3 2) } masing-masing subgrup dari G.

K merupakan subgrup normal dari G sebab:

(1 2).(1 2 3).(1 2)1 = (1 3 ).(1 2) = (1 3 2) K

(1 3).(1 2 3).(1 3)1 = (2 3 ).(1 3) = (1 3 2) K

(2 3).(1 2 3).(2 3)1 = (1 2 ).(2 3) = (1 3 2) K

(1 2).(1 3 2).(1 2)1 = (2 3 ).(1 2) = (1 2 3) K

Pertemuan 7

Pengantar struktur Aljabar

35

(1 3).(1 3 2).(1 3)1 = (1 2 ).(1 3) = (1 2 3) K

(2 3).(1 3 2).(2 3)1 = (1 3 ).(2 3) = (1 2 3) K

"g G, "n K berlaku gng-1 K, jadi K subgrup normal.

Akan tetapi H bukan subgrup normal dari G, sebab :

$(1 2) G, $(1 3) H, (1 2).(1 3 ).(1 2)1 = (1 2 3 ).(1 2) = (2 3) H

Tugas Mandiri :

1. Jika diberikan K dan L masing-masing subgrup normal dari grup G, maka

selidiki apakah kompleks-kompleks berikut merupakan subgrup normal

atau tidak :

a. K L; b. K L; c. KL = { xy | xK, yL }

2. Diberikan P =

-

0,,,,| bcadQdcbadcba

;

M =

0,,,|

0acQcba

cba

dan N=

0,,|

00

abQbab

a

masing-masing merupakan grup terhadap perkalian matriks. Selidiki di

antara grup-grup di atas mana yang merupakan subgroup (misalkan

apakah M subgroup dari P ataukah P subgroup dari M)? selanjutnya

analisa kembali apakah subgrupnya merupakan subgroup normal atau

tidak? tunjukkan!

3. Setiap mahasiswa menyelidiki subgroup yang dimiliki dalam kelompoknya

apakah merupakan subgroup normal atau tidak

4. setiap mahasiswa mencari 1 contoh subgroup yang bukan subgroup normal

dan 1 contoh subgroup yang merupakan subgroup normal.

5. mempelajari dan membuktikan teorema-teorema tentang subgroup normal