stk511 analisis statistika - stat.ipb.ac.id · ada tujuh nomor yang dicatat, yaitu lari 100 meter,...

STK511 Analisis Statistika

Pertemuan – 13

Peubah Ganda

• Menggambarkan suatu objek tidak cukup menggunakan satu peubah saja

• Kasus pengamatan peubah ganda dijumpai di seluruh bidang terapan

• Perlu analisis lebih canggih dibandingkan analisis pada peubah tunggal (univariate) perlu ‘sumberdaya’ lebih, dalam analisis

13. Peubah Ganda: Pengantar

Pengamatan Peubah Ganda

anang kurnia ([email protected]) 2

• Kaidah peluang yang berlaku sangat rumit penurunannya joint distribution, sehingga yang banyak berkembang hanya pada teknik eksplorasi

• Peubah yang sangat banyak menjadikan data berukuran lebih besar, sehingga muncul berbagai teknik pereduksian

• Peubah yang diamati tidak saling bebas (ada overlapping informasi antar peubah), sehingga diperlukan teknik-teknik penyusunan peubah baru seperti komponen utama dan peubah kanonik


Pengamatan Peubah Ganda


px

x

x

2

1

x = E(x) = = =

)(

)( 1

pxE

xE

p

1

1 1 2 1

2 1 2 2

1 2

var( ) cov( , ) cov( , )

cov( , ) var( ) cov( , )

cov( , ) cov( , ) var( )

p

p

p p p

x x x x x

x x x x x

x x x x x

11 12 1

21 22 2

1 2

p

p

p p pp


Pengamatan Peubah Ganda Struktur Data


Analisis Komponen Utama

Gugus peubah asal

{X1, X2, …, Xp}

Gugus KU

{KU1, KU2, …, KUp}

Hanya dipilih k < p KU

saja, namun mampu

memuat sebagian besar

informasi

13. Analisis Komponen Utama



Untuk menceritakan bagaimana wajah pacar kita waktu SMA, tidak perlu disebutkan hidungnya mancung, kulitnya halus,

rambutnya indah tergerai dan sebagainya. Tapi cukup katakan ‘Pacar saya waktu SMA orangnya cantik’.

Kata ‘cantik’ sudah mampu menggambarkan uraian sebelumnya.

Analisis Komponen Utama: Ilustrasi



KU1 = a1x = a11x1 + … + a1pxp

Jika gugus peubah asal {X1, X2, …, Xp} memiliki matriks ragam peragam maka ragam dari komponen utama adalah

= a1’a1 =

Tugas kita adalah bagaimana mendapatkan vektor a1 sehingga ragam di atas maksimum (vektor ini disebut

vektor koefisien)

p

i

p

j

ijjiaa1 1

11 2

1KU


Gugus peubah asal {X1, X2, …, Xp}

Gugus Komponen Utama {KU1, KU2, …, KUp}



• Vektor a1 merupakan vektor ciri matriks yang berpadanan dengan akar ciri paling besar.

• Kombinasi linear dari {X1, X2, …, Xp} berupa

KU1 = a1x = a11x1 + … + a1pxp

dikenal sebagai KU pertama dan memiliki ragam sebesar 1 = akar ciri terbesar

• KU2 , KU3 , …. Disusun sedemikian sehingga terbesar berurut dan saling bebas dengan KU lainnya.




Ilustrasi berikut menggunakan catatan waktu pada olimpiade Los Angeles tahun 1984 untuk berbagai nomor lari putri di cabang atletik. Ada tujuh nomor yang dicatat, yaitu lari 100 meter, 200 meter, 400 meter, 800 meter, 1500 meter, 3000 meter, dan marathon. Tiga nomor pertama catatan waktu dalam satuan detik, sedangkan empat nomor yang lain dalam menit. Data yang tersedia ada 55 negara peserta.

Ilustrasi



m100 m200 m400 m800 m1500 m3000 marathon

m100 1.0000 0.9528 0.8350 0.7277 0.7163 0.7417 0.5423

m200 0.9528 1.0000 0.8572 0.7241 0.7029 0.7099 0.5444

m400 0.8350 0.8572 1.0000 0.8981 0.7757 0.7776 0.5507

m800 0.7277 0.7241 0.8981 1.0000 0.8260 0.8636 0.6545

m1500 0.7163 0.7029 0.7757 0.8260 1.0000 0.9031 0.6996

m3000 0.7417 0.7099 0.7776 0.8636 0.9031 1.0000 0.7966

marathon 0.5423 0.5444 0.5507 0.6545 0.6996 0.7966 1.0000

Ilustrasi: Matriks korelasi



Eigenvalue Difference Proportion Cumulative

1 5.53319890 4.81746883 0.7905 0.7905

2 0.71573007 0.35411502 0.1022 0.8927

3 0.36161505 0.15335511 0.0517 0.9444

4 0.20825995 0.11607781 0.0298 0.9741

5 0.09218213 0.04086896 0.0132 0.9873

6 0.05131317 0.01361245 0.0073 0.9946

7 0.03770072 0.0054 1.0000

Ilustrasi: Akar ciri

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 7



• Metode 1: Menggunakan 2 KU sudah mencapai proporsi keragaman 89.27%

• Metode 2: Hanya 2 KU yang memiliki akarciri lebih besar dari 0.7

• Metode 3: Pada k = 2 terlihat gambar scree plot sangat curam di kiri tapi landai di kanan. Jadi 2 KU yang digunakan sudah mencukupi.

Ilustrasi: Berapa KU?



Ilustrasi: Vektor ciri

Prin1 Prin2 Prin3 Prin4 Prin5 Prin6 Prin7

m100 0.378202 -.426104 0.359297 -.165099 -.331229 0.225902 0.598584

m200 0.376416 -.452874 0.363819 -.011005 0.175249 0.037974 -.698982

m400 0.391311 -.272232 -.325636 0.378804 0.371464 -.556664 0.274544

m800 0.390624 0.067673 -.512111 0.402954 -.250932 0.579870 -.137794

m1500 0.385043 0.230072 -.245359 -.680608 0.481480 0.195655 0.072641

m3000 0.395890 0.308242 -.074146 -.249112 -.615938 -.509888 -.203317

marathon 0.323383 0.621855 0.551857 0.376128 0.217762 0.056004 0.110204



• Analisis Hub antar Peubah

• Pemeriksaan Multikolinearitas

• Analisis KU

• Regresi KU dengan Peubah Respon Y

• Transformasi Regresi KU ke Peubah Baku Z

• Transformasi Regresi Z ke Peubah Asal X

Contoh Aplikasi KU: Regresi Komponen Utama



Analisis Geromnbol (Cluster)

• Tujuan analisis gerombol :

Menggabungkan beberapa objek ke dalam kelompok-kelompok berdasarkan sifat kemiripan atau sifat ketidakmiripan antar objek

Objek dalam kelompok lebih mirip dibandingkan dengan objek antar kelompok

Ketakmiripan antar objek diukur dengan jarak tertentu : jarak Euclid, Mahalanobis dll

13. Cluster Analysis

Pengantar


• Tujuan dari penggerombolan

• Kemiripan atau ketakmiripan seperti apa yang diharapkan berhubungan dengan pemilihan peubah

• Mengkuantifikasi ukuran kemiripan antar objek


Pengantar


• Metode Grafik – Plot Profil – lot Andrew – Plot Andrew termodifikasi

• Metode Penggerombolan Berhirarki • Metode Penggerombolan tak Berhirarki


Metode


• Plot profil dari setiap pengamatan

• Pembakuan data sangat membantu

• Kelemahan :

tidak efektif untuk data yang terlalu banyak pengamatan.

• Ilustrasi :

Diperoleh hasil ujian untuk 7 mata ajaran yaitu Matematika, Fisika, Biologi, Sejarah Nasional, Pendidikan kewiraan, dan Kesenian. Ada 6 mahasiswa yang terlibat.


Plot Profil



Plot Profil


5

6

7

8

9

Mat Fis Bio Sej Kew Sos SeniMata Ajaran

Nil

ai

Andi Benny Budi Ika Maya Ana


Plot Profil



Konsep Jarak


1. Metode aglomeratif

2. Metode berhirarki divisif (pemisahan)

Beberapa ukuran ketakmiripan antar gerombol :

• Pautan Tunggal

• Pautan Lengkap

• Pautan Centroid

• Pautan Median

• Pautan Rataan


Penggerombolan Berhirarki


• Pautan Tunggal (Single Linkage = Nearest Neighbor)

Jarak antar dua gerombol diukur dengan jarak terdekat antara sebuah objek dalam gerombol yang satu dengan sebuah objek dalam gerombol yang lain.

h(Br, Bs) = min { d(xi, xj); xi anggota Br, dan xj anggota Bs }




• Pautan Lengkap (Complete Linkage = Farthest Neighbor)

Jarak antar dua gerombol diukur dengan jarak terjauh antara sebuah objek dalam gerombol yang satu dengan sebuah objek dalam gerombol yang lain.

h(Br, Bs) = max { d(xi, xj); xi anggota Br, dan xj anggota Bs }




• Pautan Centroid (Centroid Linkage) Jarak antara dua buah gerombol diukur sebagai jarak

Euclidean antara kedua rataan (centroid) gerombol. Jika dan adalah vektor rataan (centroid) dari

gerombol Br dan Bs, maka jarak kedua gerombol tersebut didefinisikan sebagai :

Jarak yang baru didefinisikan sebagai :

rxsx

sr

ssrr

nn

nn

xx




• Pautan Median (Median Linkage)

Jarak antar gerombol didefinisikan sebagai jarak antar

median, dan gerombol-gerombol dengan jarak terkecil akan digabungkan.

Median untuk gerombol yang baru adalah Mbaru = 2

srmm




• Pautan Rataan (Average Linkage)

Jarak antara dua buah gerombol, Br dan Bs didefinisikan sebagai rataan dari nrns jarak yang dihitung antara xi anggota Br dan xj anggota Bs




• Dari ilustrasi sebelumnya, digunakan konsep jarak Euclidian dan diperoleh matriks jarak sbb :


Penggerombolan Berhirarki: Ilustrasi


Dengan menggunakan konsep Single lingkage diperoleh hasil dalam bentuk dendogram sebagai berikut :


Penggerombolan Berhirarki: Ilustrasi


Metode K rataan (k-means)

Algoritmanya sbb :

1. Tentukan besarnya k, yaitu banyaknya gerombol, dan tentukan juga centroid di tiap gerombol.

2. Hitung jarak antara setiap objek dengan setiap centroid.

3. Hitung kembali rataan (centroid) untuk gerombol yang baru terbentuk.

4. Ulangi langkah 2 sampai tidak ada lagi pemindahan objek antar gerombol.


Penggerombolan Tak Berhirarki


• Misalkan ada dua peubah X1 dan X2 yang tiap objeknya diberi nama A, B, C dan D. Datanya sebagai berikut:


Penggerombolan Tak Berhirarki: Ilustrasi


1. Dikelompokkan ke dalam 2 kelompok. Centroid dipilih secara acak : c1 = (2, 2) dan c2 = (-1, -2).

2. Jarak yang digunakan jarak Euclidian. Memasukkan objek ke gerombol berpatokan pada jarak terdekat

Diperoleh matriks jarak sbb :




3. Hitung centroid baru, rataan dari vektor masing-masing unsur.

c1 = (5, 3)

c2 = [(-1, 1) + (1, -2) + (-3, -2)]/3 = (-1, -1)

Diperoleh matriks yang sbb :

Diperoleh 2 gerombol : G1 = {A} dan G2 = {B, C, D}.




Biplot

• Biplot diperkenalkan pertama kali oleh Gabriel (1971) sehingga sering disebut sebagai Gabriel’s biplot.

• Metode ini tergolong dalam analisis eksplorasi peubah ganda yang ditujukan untuk menyajikan data peubah ganda dalam peta dua dimensi, sehingga perilaku data mudah dilihat dan diinterpretasikan.

13. Biplot

Pengantar


Biplot adalah teknik statistika deskriptif yang dapat disajikan secara visual guna menyajikan secara simultan n obyek pengamatan dan p peubah dalam ruang bidang datar, sehingga ciri-ciri peubah dan obyek pengamatan serta posisi relatif antar obyek pengamatan dengan peubah dapat dianalisis. (Jollife, 1986 & Rawlings 1988).

13. Biplot

Definisi


1. Hubungan antar peubah

2. Kemiripan relatif antar obyek pengamatan

3. Posisi relatif antar obyek pengamatan dengan peubah

4. Nilai peubah pada suatu objek

13. Biplot

Informasi yang Bisa Diambil


Biplot merupakan teknik statistika deskriptif dimensi ganda yang mendasarkan pada penguraian nilai singular (PNS) atau Singular Value Decomposition (SVD).

Misalkan suatu matriks data X berukuran nxp yang berisi n pengamatan dan p peubah yang dikoreksi terhadap nilai rata-ratanya dan berpangkat r, dapat dituliskan menjadi

X = U L A’

13. Biplot

Konsep Dasar


Keterangan :

matriks U dan A masing-masing berukuran (nxr) dan (pxr) sehingga U’U = A’A = Ir

L adalah matrik diagonal berukuran (rxr) dengan unsur-unsur diagonalnya adalah akar kuadrat dari akar ciri X’X atau XX’ sehingga

1 2 .... r

13. Biplot

Konsep Dasar


Kolom matris A adalah vektor ciri yang berpadanan dengan akar ciri dari matrik X’X atau XX’.

Lajur-lajur matrik U dapat dihitung melalui :

Dengan i adalah akar ciri ke-i dari matrik X’X dan ai adalah lajur ke-i matrik A.

i

i

a

1U i

13. Biplot

Konsep Dasar


nXr = nUr rLr rAp

A = [a1, a2, …,ar]

r

2

1

00

00

00

L

r

r

aaa

1,...,

1,

1U 2

2

1

1

13. Biplot

Konsep Dasar: SVD


• X = U L L1- A’

= G H’

• Misalkan G = U L serta H’ = L1- A’

Unsur ke-(i,j) matriks X dapat dituliskan sbb :

X ij = gi’hj

dimana: i = 1,2,3,...,n j = 1,2,3,...,p

dengan gi’ dan hj’ masing-masing merupakan baris-baris matriks G dan H

Jika r(X)=2 maka gi dan hj digambarkan dalam ruang berdimensi 2

13. Biplot

Konsep Dasar: SVD


• Jika = 1, maka G = UL dan H = A, sehingga diperoleh hubungan:

X’X = (GH’)(GH’)’

= GH’ HG’

= GA’ AG’

= GG’

• Jika = 0 maka G = U dan H = AL, sehingga diperoleh

X’X = (GH’)’(GH’)

= HG’ GH’

= HU’ UH’

= HH’

13. Biplot

Konsep Dasar: SVD


1. Kedekatan antar obyek.

Dua obyek dengan karakteristik sama akan digambarkan sebagai dua faktor yang posisi-nya berdekatan.

2. Keragaman peubah.

Peubah dengan keragaman kecil digambarkan sebagai vektor yang pendek. Begitu pula sebaliknya.

13. Biplot

Informasi yang Bisa Diperoleh


3. Hubungan antar peubah :

Jika sudut dua peubah < 900 maka korelasi bersifat positif

Jika sudut dua peubah > 900 maka korelasi bersifat negatif

Semakin kecil sudutnya, maka semakin kuat korelasinya.

4. Nilai peubah pada suatu obyek.

Karakteristik suatu obyek bisa disimpulkan dari posisi relatifnya yang paling dekat dengan suatu peubah.

13. Biplot

Informasi yang Bisa Diperoleh


• Ilustrasi berikut memberikan penerapan BIPLOT untuk menilai posisi relatif sembilan negara ASEAN menurut indikator pembangunan berkelanjutan (sustatinable development indicators).

Ada 9 variabel yang dimasukkan.

13. Biplot

Ilustrasi


13. Biplot

Ilustrasi


Biplot Analysis

13. Biplot

Ilustrasi Lain …


Perusahaan penyedia jasa layanan kartu kredit harus mampu membuat fungsi diskriminan yang mampu memisahkan calon pemegang kartu yang potensial melakukan transaksi dan yang tidak (idle) berdasarkan data dalam formulir aplikasi.

X mampu menjadi

pembeda, tetapi Y tidak Y mampu menjadi

pembeda, tetapi X tidak

13. Diskriminan

Prinsip Dasar


X dan Y saja tidak mampu

menjadi pembeda, tetapi

kombinasi linearnya bisa

Membutuhkan fungsi non-linear

dari X dan Y untuk bisa

membedakan

13. Diskriminan

Prinsip Dasar


Bersambung …….


stk511 analisis statistika - stat.ipb.ac.id · ada tujuh nomor yang dicatat, yaitu lari 100 meter,...

Documents