Hal 133 – 137

1. Berikan definisi dari : Nilai rata-rata Hitung (Arithmatic Mean), Nilai rata-rata posisi

pertengahan (Median, Modus), Nilai rata-rata ukur (Geometric Mean), dan Nilai rata-

rata harmonik (Harmonic Mean) ?

Jawab :

Mean merupakan sekumpulan data ditemukan dengan mengambil jumlah dari

data, dan kemudian membagi jumlah tersebut dengan jumlah total nilai di set.

Sebuah rata-rata sering disebut sebagai rata-rata. Atau  merupakan teknik

penjelasan kelompok yang didasarkan atas nilai rata-rata dari kelompok

tersebut. Rata-Rata (mean) ini didapat dengan menjumlahkan data seluruh

individu dalam kelompok itu, kemudian dibagi dengan jumlah individu yang

ada pada kelompok tersebut.

Median adalah salah satu teknik penjelasan kelompok yang didasarkan atas

nilai tengah dari kelompok data yang telah disusun urutannya dari yang

terkecil sampai yang terbesar, atau sebaliknya dari yang terbesar sampai yang

terkecil

Modus adalah teknik penjelasan kelompk yang didasarkan atas nilai yang

sedang populer (yang sedang menjadi mode) atau nilai yang sering muncul

dalam kelompok tersebut

Nilai rata-rata ukur dari sekelompok bilangan ialah hasil perkalian bilangan

tersebut, diakar pangkatkan sebanyaknya bilangan itu sendiri. Rata rata ukur

dipakai untuk menggambarkan keseluruhan data khususnya bila data tersebut

mempunyai ciri tertentu yaitu banyaknya nilai data yang satu sama lain saling

berkelipatan sehingga perbandingan tiap dua data yang berurutan tetap atau

hampir tetap. Bila suatu kelompok data mempunyai ciri seperti ini maka rata

rata ukur akan lebih baik dari pada rata rata hitung.

Rata-rata harmonik dari suatu kumpulan data x1, x2, …, xn adalah kebalikan

dari nilai rata-rata hitung (aritmetik mean). Secara matematis dapat dinyatakan

dengan formula berikut:

·         Untuk Data Tidak Berkelompok

n

Rh  =  ----------

∑ (1 / x )

·         Untuk Data Berkelompok

f

Rh  =  --------

∑ ( f / x )

Secara umum, rata-rata harmonic jarang digunakan. Rata-rata ini hanya

digunakan untuk data yang bersifat khusus. Misalnya,rata-rata harmonik

sering digunakan sebagai ukuran tendensi sentral untuk kumpulan data yang

menunjukkan adanya laju perubahan, seperti kecepatan.

2. Mengapa harga rata-rata itu dinamakan measures of central tendency ?

Jawab :

Karena nilai rata-rata dari sekumpulan data yang berupa angka itu pada

umumnya mempunyai kecenderungan untuk berada di sekitar titik pusat penyebaran

data angka tersebut, karena itulah nilai rata-rata atau ukuran rata-rata itu dikenal pula

dengan nama ukuran tendensi pusat.

3. Jealaskan tentang segi-segi kebaikan dan kelemahan yang dimiliki oleh :

a. Mean

b. Median

c. Modus

Jawab :

a. Sebagai ukuran rata-rata, Mean menyandang kelemahan seperti dikemukakan di

bawah ini :

1. Karena mean itu diperoleh atau berasal dari hasil perhitungan terhadap seluruh

angka yang ada, maka jika dibandingkan dengan ukuran rataa-rata lainnya

perhitungannya relatif lebih sukar.

2. Dalam menghitung mean, sangat diperlukan ketelitian dan kesabaran, lebih –

lebih apabila kita dihadapkan kepada bilangan yang cukup besar, sedangkan

kita tidak memiliki alat bantu perhitungan, seperti; mesin hitung, kalkulator,

dan sebagainya.

3. Sebagai salah satu ukuran rata-rata, mean kadang-kadang sangat diperngaruhi

oleh angka atau nilai ekstrimnya, sehingga hasil yang diperoleh kadang terlalu

jauh dari kenyataan yang ada.

b. Median, kebaikan yang dimiliki oleh median sebagai ukuran rata-rata ialah,

mediannya dapat diperoleh dalam waktu yang singkat, karena proses

perhitungannya sederhana dan mudah. Adapun kelemahannya ialah, median

sebagai ukuran rata-rata sifatnya kurang teliti.

c. Kebaikan modus dapat menolong diri kita dalam waktu yang paling singkat

memperoleh ukuran rata-rata yang merupakan ciri khas dari data yang kita

hadapi. Adapun kelemahannya ialah kurang teliti karena modus terlalu mudah

atau terlalu gampang diperoleh (dicapai). Selain itu, jika frekuensi maksimal yang

terdapat dalam distribusi frekuensi data yang kita teliti itu lebih dari satu buah,

maka akan kita peroleh modus yang banyaknya lebih dari satu buah.

Kemungkinan lainnya, bisa terjadi bahwa dalam suatu distribusi frekuensi tidak

dapat kita cari atau tentukan modusnya, disebabkan karena semua skor yang ada

mempunyai frekuensi yang sama, alhasil sebagai salah satu ukuran rata-rata

Modus sifatnta labil (tidak stabil).

4. Dalam keadaan yang bagaimana seharusnya kita mencari (mwnghitung) :

a. Mean

b. Median

c. Modus.

Jawab :

5. Jelaskan tentang adanya saling hubungan antara mean, median dan modus dengan

mengemukakan contohnya !

Jawab :

6. Berikan definisi (pengertian) tentang :

a. Quartile

b. Decile

c. Percentile

Jawab :

a. Dalam dunia statistik, yang dimaksud dengan kuartil ialah titik atau skor atau nilai

yang membagi seluruh distribusi frekuensi ke dalam empat bagian yang sama

besar, yaitu masing masing sebesar ¼ N. jadi disini akan kita jumpai tiga buah

kuartil, yaitu kuartil pertama (Q1), kuartil kedua (Q2), dan kuartil ketiga (Q3).

Ketiga kuartil inilah yang membagi seluruh distribusi frekuensi dari data yang kita

selidiki menjadi empat bagian yang sama besar, masing-masing sebesar ¼ N.

b. Desil ialah titik atau skor atau nilai yang membagi seluruh distribusi frekuensi dari

data yang kita selidiki ke dalam 10 bagian yang sama besar, yang masing-masing

sebesar 1/10 N. jadi disini kita jumpai sebanyak 9 buah titik desil, dimana

kesembilan buah titik desil itu membagi seluruh distribusi frekuensi ke dalam 10

bagian yang sama besar. Lambang dari desil adalah D. jadi 9 buah titik desil

dimaksud diatas adalah titik-titik: D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, dan D9.

c. Persentil yang biasa dilambangkan P, adalah titik atau nilai yang membagi suatu

distribusi data menjadi seratus bagian yang sama besar. Karena itu persentil sering

disebut ukuran perseratusan.  Titik yang membagi distribusi data ke dalam seratus

bagian yang sama besar itu ialah titik-titik: P1, P2, P3, P4, P5, P6, … dan

seterusnya, sampai dengan P99. jadi disini kita dapati sebanyak 99 titik persentil

yang membagi seluruh distribusi data ke dalam seratus bagian yang sama besar,

masing-masing sebesar 1/ 100N atau 1%,

7. Quartile dapat digunakan sebagai alat atau ukuran untuk mengentahui apakah

distribusi frekuensi dari data yang sedang kita hadapi berbentuk kurva normal (kurva

simetrik), juling positif, atau juling negatif. Jelaskan pernyataan tersebut dengan

menggunakan sebuah contoh !

Jawab :

Misalkan dari 80 orang siswa MAN jurusan IPS diperoleh skor hasil EBTA dalam

bidan studi tata buku sebagaimana disajikan pada tabel distribusi frekuensi beikut ini (

lihat kolom 1 dan 2). Jika kita ingin mencari Q1, Q2, dan Q3, maka proses

perhitungannya adalah sebagai berikut:

Ø  Titik Q1= 1/4N = ¼ X 80 = 20 ( terletak pada interval 35-39). Dengan demikian dapat

kita ketahui: 1= 34,50; fi = 7; fkb = 13, i= 5.

Q1 = 1 + ( n/4N-fkb)  Xi = 34,50 +(20-13)    X5

                        Fi                                       7

= 34,50 +5

= 39,50

Ø  Titik Q2= 2/4N = 2/4 X 80 = 40 ( terletak pada interval 45-49). Dengan demikian

dapat kita ketahui: 1= 44,50; fi = 17; fkb = 35, i= 5.

Q1 = 1 + ( n/4N-fkb)  Xi = 44,50 +(40-35)    X5

                        Fi                                       17

= 44,50 +1.47

= 45,97

Ø  Titik Q3= 3/4N = 3/4 X 80 = 60 ( terletak pada interval 55-59). Dengan demikian

dapat kita ketahui: 1= 54,50; fi = 7; fkb = 59, i= 5.

Q1 = 1 + ( n/4N-fkb)  Xi = 54,50 +(55-59)    X5

                        Fi                                       7

= 54,50 + 0,71

= 55,21

Tabel 3.12. distribusi frekuensi skor-skor hasil EBTA bidang studi tata buku dari 80

orang siswa man jurusan ips, berikut perhitungan Q1,Q2, dan Q3.

Nilai (x) F Fkb

70-74

65-69

60-64

55-59

50-54

45-49

40-44

35-39

30-34

25-29

20-24

3

5

6

7

7

17

15

7

6

5

2

80

77

72

66

59

52

35

20

13

7

2

Total 80= N -

Diantara kegunaan kuartil adalah untuk mengetahui simetris (normal) atau a

simetrisnya suatu kurva. Dalam hal ini patokan yang kita gunakan adalah sebagai

berikut:

1). Jika Q3-Q2 = Q2- Q1 maka kurvanya adalah kurva normal.

2). Jika Q3-Q2 > Q2- Q1 maka kurvanya adalah kurva miring/ berat ke kiri(juling

positif).

3). Jika Q3-Q2 < Q2- Q1 maka kurvanya adalah kurva miring/ berat ke kanan(juling

negatif).

8. Percentile sangat berguna untuk digunakan sebagai alat atau ukuran untuk :

a. Mengubah raw score menjadi nilai standar sebelas (stanel)

b. Menetapkan nilai batas lulus dalam suatu tes atau seleksi

Kemukakanla sebuah contoh mengenai kedua pernyataan diatas !

Jawab :

Cara mencari persentil untuk data kelompok

Misalkan kembali ingin kita cari P35 dan P95 dari data yang disajikan pada tabel

3.16.

Ø  Mencari persentil ke-35 (P35):

Titik P35= 35/100N= 35/100X80= 28 (terletak pada interval 40-44). Dengan demikian

dapat kita ketahui: 1= 39,50; fi= 15, dan fkb= 20, i=5

P35= 1 + (35/100N-fkb) Xi =39,50 +(45-40)   X 5

                        Fi                                      8

            = 39,50+2,67

            = 42,17

Ø  Mencari persentil ke-95 (P95):

Titik P95= 95/100N= 95/100X80= 76 (terletak pada interval 65-69). Dengan demikian

dapat kita ketahui: 1= 64,50; fi= 5, dan fkb= 72, i=5

P95= 1 + (95/100N-fkb) Xi =64,50 +(65-69)   X 5

                        Fi                                      5

            = 64,50+4

            = 68,50

Tabel 3.16. Perhitungan persentil ke-35 dan persentil ke-95 dari data yang tertera pada tabel

3.14.

Nilai (x) F Fkb

70-74

65-69

60-64

55-59

50-54

45-49

40-44

35-39

30-34

25-29

20-24

3

5

6

7

7

17

15

7

6

5

2

80

77

72

66

59

52

35

20

13

7

2

Total 80= N -

            Kegunaan persentil dalam dunia pendidikan adalah:

a. Untuk mengubah rawa score (raw data) menjadi standard score (nilai standar).

Dalam dunia pendidikan, salah satu standard score yang sering digunakan adalah

eleven points scale ( skala sebelas nilai) atau dikenal pula dengan nama standard of

eleven (nilai standard sebelas) yang lazim disingkat dengan stanel.

Pengubahan dari raw score menjadi stanel itu dilakukan dengan jalan

menghitung: P1- P3- P8- P21- P39- P61- P79- P92- P97- dan P99.

Jika data yang kita hadapi berbentuk kurva normal (ingat: norma atau standar selalu

didasarkan pada kurva normal itu), maka dengan 10 titik persentil tersebut diatas akan

diperoleh nilai-nilai standar sebanyak 11 buah, yaitu nilai-nilai 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

9, dan 10.

b. Persentil dapat digunakan untuk menentukan kedudukan seorang anak didik, yaitu:

pada persentil keberapakah anak didik itu memperoleh kedudukan ditengah-tengah

kelompoknya.

c. Persentil juga dapat digunakan sebagai alat untuk menetapkan nilai batas lulus pada

tes atau seleksi.

Misalkan sejumlah 80 orang individu seperti yang tertera pada tabel 3.16. itu hanya

akan diluluskan 4 orang saja (=4/ 80 X 100%= 5%) dan yang tidak akan diluluskan

adalah 76 orang (= 76X80 X 100%=95%), hal ini berarti bahwa P95 adalah batas nilai

kelulusan. Mereka yang nilai-nilainya berada pada P95 kebawah, dinyatakan tidak

lulus, sedangkan diatas P95 dinyatakan lulus. Dalam perhitungan diatas telah kita

peroleh P95= 68,50; berarti yang dapat diluluskan adalah mereka yang nilainya diatas

68,50 yaitu nilai 69 ke atas.

9. Tunjukkan bahwa antara median, quartile, decile, dan percentile terdapat saling

hubungan dengan mengemukakan sebuah contoh !

Jawab :

10. Kutiplah kembali data no.II.A; setelah itu hitunglah mean, median, dan modus dari

data tersebut!

Jawab :

11. Kutiplah kembali Data No.II.C; setelah itu hitunglah : Q1, Q2, Q3, D3, D6, D9, P10, P25,

dan P70.

Jawab :

12. Kutiplah kembali Data No.II.D; setelah itu hitunglah Mean-nya dengan menggunakan

Rumus Panjang dan Rumus Singkat.

Jawab :

13. Kutiplah Data No.II.B; setelah itu :

a. Hitunglah Q1, Q2, dan Q3;

b. Tetapkan bentuk kurvanya.

Jawab :

14. Kutiplah kembali Data No.II.D. Jika data tersebut merupakan nilai hasil tes Bahasa

Arab dari 60 orang peserta tes seleksi, dan dari jumlah tersebut yang akan diterima

(diluluskan( hanya 5 orang, cobalah saudara cari atau tentukan Nilai Batas Lulusnya

dengan menggunakan Percentile!

Jawab :

15. Kutiplah kembali Data No.II.B. Setelah itu, cobalah Saudara hitung : Mean, median,

dan Modusnya.

Jawab :

16. Kutiplah kembali Data No.II.C. Setelah itu cobalah Saudara cari :

a. Mean-nya dengan menggunakan Rumus Panjang dan Rumus Pendek(Metode

Singkat)

b. Median-nya

c. Modus-nya

Jawab :

17. Dengan Menghitung lebih dahulu Q1, Q2, dan Q3, cobalah Saudara tetapkan bentuk

kurva dari Data NO.II.D.

Jawab :

18. Dari sejumlah 266 orang lulusan SMTA yang mengikuti Tes Seleksi Penerimaan

Calon Mahasiswa Baru pada sebuah Perguruan Tinggi Agama Islam, berhasil dicatat

skor hasil tes mereka dalam ujian Dirasat, Islamiyah sebagai berikut :

Skor f

90-94

85-89

80-84

75-79

70-74

65-69

60-64

55-59

4

10

14

19

30

33

40

32

50-54

45-49

40-44

35-39

30-34

25-29

20-24

25

21

18

10

6

3

1

266 = N

Soal :

a. Berapakah Nilai Rata-rata Hitung yang berhasil dicapai oleh 266 orang calon

yang mengikuti Tes Seleksi tersebut (dengan catatan bahwa perhitungan Nilai

Rata-rata Hitung itu hendaknya dilakukan agar menggunakan Metode Panjang

dan Metode Singkat)?

b. Ubahlah skor hasil tes tersebut menjadi stanel (Nilai Standar Sekala Sebelas),

dengan menggunakan ukuran Percentile!

c. Skor berapakah yang merupakan Modus dari data tersebut diatas?

d. Jika dari jumlah 266 orang calon itu yang akan diluluskan (dinyatakan

diterima sebagai mahasiswa baru) hanya 45 orang, tetapkan Nilai Batas

Lulusnya dengan menggunakan ukuran Percentile!

Jawab :

19. Dari kegiatan eksperimen yang dilakukan sebanyak 6 kali, diperoleh skor sebagai

berikut :

Eksperimen ke : Skor

1

2

3

4

5

6

26

13

20

18

10

15

Carilah Nilai Rat-rata Ukur dari skor hasil eksperimen tersebut tanpa menggunakan

Daftar Logaritma.

Jawab :

20. Berapakah Nilai Rata-rata Harmonik dari kumpulan bilangan: 3, 4, 6, 8, dan 12?

Jawab :