. Penilaian

No Deskripsi Penilaian Bobot (%)

1 Tugas 10 %

2 Ujian Tengah Semester 40 %

3 Ujian Akhir Semester 50 %

(Standar Mutu penilaian Jurusan)

≥ 81 – 100 = A

61 – 80,9 = B

45 – 60,9 = C

21 – 44,9 = D

0 – 20,9 = E

Keterangan:

Untuk penilaian nomor 1 sampai dengan nomor 4, semua jenis penilaian harus mempunyai

point/bobot. Jika salah satu penilaian kosong , maka mahasiswa yang bersangkutan

dinyatakan gugur pada mata kuliah ini.

STATISTIK DAN ANALISA DATA

BAB IPENDAHULUAN

Untuk mempelajari alam dapat didekati dg dua sifat, pertama sifat alam yang sistematik, deterministik dan yang kedua adalah sifat alam yang berpola acak atau random. Pola sifat sistematik dapat dirumuskan dg formula matematik yang memperlihatkan keterkaitan antar parameter atau kejadian. Tetapi sifat random hanya dapat dirumuskan dengan pendekatan konsep statistik dimana sifat parameter alam tersebut dinyatakan dalam besaran prediksi pada suatu tingkat kepercayaan.

Sifat fisis dari batuan adalah deterministic karena sifat tersebut mengikuti hukum-hukum fisika, kimia, biologi dan umumnya dapat dinyatakan dengan formula matematik. Dalam kasus pendekatan matematik sifat alam dapat didekati dengan besaran parameter yg sederhana misalnya densitas batuan yg homogen, resivitas batuan yg homogen, kecepatan gelombang homogen pada satu lapisan batuan sehingga model parameternya dapat dirumuskan.

Tetapi berlainan dengan sifat fisis, keberadaan dari materi batuan atau mineral dalam bumi dapat besifat random, ataupun berpola fractal karena banyaknya parameter lingkungan yang mempengaruhi keberadaan batuan tersebut. Hanya beberapa saja parameter yang dapat diperkirakan bagaimana dan berapa besar peranannya terhadap pembentuk batuan.sebagai contoh parameter tekanan, temperatur, reaksi kimia, unsur mineral dan sebagainya. Namun dapat dikemukakan masih banyak lagi parameter lingkungan yg belum atau tidak diketahui mempengaruhi proses terbentuknya suatu batuan.

Pada suatu formasi batuan sering ditemukan keberadaan materi dan berbagai berbagai macam mineral ditemukan dalam keadaan yang tidak teratur atau acak. Dalam hal ini pendekatan analisa yang dilakukan adalah dengan metode statistik. Penggabungan kedua sifat alam deterministic dan acak ini dapat dilakukan dengan optimal berdasarkan pada pendekatan statistik. Ilmu statistik dalam ilmu dan teknologi kebumian sisebut juga geostatistik.

Statistik dalam geologi akan dapat dilihat peranannya dengan lebih mudah, terutama dalam menganalisa data dalam data dalam beberapa contoh kasus seperti pengolahan data kekar, uratan stratigrafi, estimasi mineral, klasifikasi data fosil, dan sebagainya

BAB IIKARAKTERISTIK POPULASI DATA

2.1. Karakteristik Populasi Penduduk berhubungan dengan kegiatan

PERTAMBANGAN

Dampak Kegiatan Dampak

PERTAMBANGAN

Dampak sosial Dampak Dampak Ekonomi budaya Biofisik Primer

Dampak Dampak Sosial DampakBiofisik ekonomi budaya Sekunder

KenaikanKesejahteraan

Tujuan

Gb.1.Pembangunan mempunyai tujuan untuk menaikan tingkat kesejahteraan rakyat

Contoh perhitungan prakiraan dampak.

Dengan menggunakan metode bagan alir dalam identifikasi dampak, bagan alir itu kita

gunakan sebagai tuntunan dalam prakiraan dampak selangkah demi selangkah. Hasil yang

didapatkan dari langkah yang satu digunakan sebagai masukan untuk perhitungan dalam langkah

berikutnya.

Sebagai contoh bagan alir pada rencana indentifikasi dampak pada pembangunan

PERTAMBANGAN sbb:

Pembangunan Wilayah Pertambangan

Persiapan Operasional (ekplorasi)

Pembebasan lahan Pencemaran air

Kenaikan Penurunan Penggusuran Konstruksikepadatan produksi penduduk prasarana &penduduk hasil pertanian kompleks pertambangan

Kenaikan Kenaikan tekanan penduduk air larian

Kerusakan hutan Urbanisasi

Kenaikan air Kenaikan Erosi gen Kenaikan produksiLarian laju erosi limbah pertambangan

Gb. 2 Sebagian bagan alir identifikasi dampak pembangunan pertambangan

POPULASI PENDUDUK

Dengan merunut dampak dalam bagan alir kita dapatkan:

Kenaikan kepadatan penduduk desa dihitung dengan jumlah penduduk perluas daerah

(orang/km2). Angka jumlah penduduk dan luas daerah dapat didapatkan dari catatan di kantor

desa atau kecamatan. Garis dasar untuk kepadatan penduduk dihitung dengan rumus

Dtp = Po(1+ rtp)t (rumus 1)

L tot

Dimana :

Dtp = kepadatan penduduk”tanpa proyek” pada waktu ti

Po = jumlah penduduk pada waktu acuan (to)

rtp = laju tahunan pertmbuhan penduduk “tanpa proyek”

t = periode waktu perhitungan ti-to (tahun)

Ltot = luas total daerah desa atau kecamatan (km2)

Nilai r dapat didapatkan dari laporan statistik. Jika tidak ada, r dapat dihitung dari pencatatan

jumlah penduduk pada waktu yang berbeda. Walaupun r dapat dihitung dari pencatatan

penduduk dalam dua tahun yang berurutan, tetapi seyogyanya duhitung dalam piriode yang lebih

panjang, misalnya 10 tahun.

Kepadatan penduduk desa “dengan proyek” dihitung dari proyek

Ddp = Po(1+ rdp)t

L tot – Li

Po,t dan L sama seperti pada rumus 1

rdp = laju tahunan pertumbuhan penduduk “dengan proyek”

Li = luas lahan yang dipakai untuk pengembangan wilayah, termasuk lahan untuk komplek

pertambangan, prasarana perumahan dan jalan, dengan anggapan daerah ini dikeluarkan dari

daerah administrasi desa dan administrasi badan khusus.

Dapat diprakirakan pembangunan wilayah akan menarik imigrasi penduduk karena

adanya lapangan kerja baru. Oleh karena itu laju pertumbuhan penduduk dengan proyek rdp akan

menjadi lebih besar dari pada rtp. Dengan penelitian kasus-kasus industry pertambangan yang

sejenis dengan skala yang serupa dan lokasi yang serupa pula diperkirakan besarnya rdp dapat di

tentukan dengan analogi (dengan jalan yang sama)

Dampak pembangunan wilayah terhadap kepadatan penduduk ialah

∆D = Ddp - Dtp

Contoh perhitungan

i) Besar dampak

Luas kota tempat pengembangan wilayah akan dibangun ialah 1.000 ha. Luas pengembagan

wilayah pertambangan dan sarananya direncanakan 150 ha. Catatan desa menunjukkan jumlah

penduduk

2000 : 6.000 orang

2010 : 7.680 orang

Berapa dampak pembangunan wilayah pada tahun 2015 waktu pembanguan selesai dan siap

digunakan ?

Laju pertumbuhan penduduk pertahun antara tahun 2000 dan 2010 dihitung dari rumus

pertumbuhan penduduk, yaitu

Pt = Po (1 + r )t

Log (1+r) = log Pt – log Po

t

Log(1+r) = log 7680-log 6000

10

Kalau dihitung r = 2,5 %

Dengan demikian kepadatan penduduk desa tersebut “tanpa proyek” pada tahun 1975 ialah :

Dtp = Po (1 + rtp)t orang/km2

L tot

Dtp = Po (1 + rtp)t orang/km2

Ltot

= 983 orang/km2

Data historis proyek-proyek sejenis di daerah lain menunjukkan laju pertumbuhan penduduk

yang meningkat mula-mula perlahan-lahan kemudian naik pesat. Laju pertumbuhan penduduk

bervareasi antara 3,5 % pertahun sampai 6,0 % pertahun dengan nilai rata-rata 4,5 % per tahun.

Angka rata-rata ini digunakan sebagai prakiraan laju pertumbuhan penduduk “dengan proyek”,

sehingga kepadatan penduduk “dengan proyek” ialah

Ddp = Po (1 + rdp)t orang/km2

Ltot – Li

= 11927 orang/km2

8,5

= 1403 orang/km2

dampak proyek terhadap kepadatan penduduk ialah menaikkan kepadatan penduduk sebesar

Ddp – Dtp = (1403 –983) orang /km2

= 420 orang/km2

2.2.KARAKTERISTIK POPULASI DATAUniverse

Universe (semesta) adalah ruang total materi yang dianalisa. Dengan demikian semua data yang dapat diambil disebut sebagai ruang sampel atau “universe”. Karakter suatu universe adalah dapat dianalisa dari satu macam atau lebih parameter (unit atau multi demiensi) tergantung pada jumlah parameter yang diukur pada masing-masing sampel.

Sebagai contoh pada teknologi pertambangan dalam proses evaluasi cadangan, universe adalah deposit mineral yang terdapat pada daerah yang sedang dipelajari. Dengan demikian dalam kasus ini universe adalah deposit mineral misalnya untuk tambang tembaga, nikel, emas, timah atau mineral lainnya.

Pada servey geofisika semua data yang mungkin diperoleh dalam daerah penelitian disebut universe. Sebagai contoh pengukuran gaya berat, magnetic, geolistrik, elektromagnetik akan merupakan ruang sampel atau universe pada daerah yang diselidiki.

Universe harus terdifinisi dengan limit (batas) area. Batas universe dapat terbentuk struktur geologi atau didefinisikan dalam batas posisi koordinat dan atau kedalaman misalnya ditentukan sampai Lintang dan Bujur serta dengan interval kedalaman tertentu ( 50 m – 100 m, permukaan sampai 250 m dsb).

Unit sampelBagian dari universe dimana pengukuran dilakukan disebut unit

sampel atau titik sampel. Dengan unit sampel tersebut, karakter suatu universe nantinya diharapkan dapat dianalisa dan dijelaskan. Pemilihan unit sampel dapat ditentukan berdasarkan pada tiga hal pokok yaitu :

1. Ketersediaan data2. Metode statistik yang digunakan3. Hasil target yang diharapkan

Ketiga hal tersebut saling tergantung misalnya hasil target yang diharapkan sangat tergantung pada ketersediaan data dan metode yang dipunyai. Demikian juga metode yang dipilih tersebut dapat tergantung pada data dan target yang dicapai.

Ukuran unit sampel sangat penting karena populasi sampel jarak 10 feet dapat berbeda dengan populasi sampel jarak 50 ft. karena itu ukuran unit sampel perlu ditentukan agar karakterisasi daerah penelitian nantinya dapat mememenuhi tujuan dengan efektif. Pada kasus lapangan ukuran unit sampel ini tergantung pada ukuran target geologi, keadaan lingkungan, teknologi yang digunakan, dana dan sebagainya.

Penampilan populasi data yang sangat sederhana adalah dengan menggunakan histrogram. Caranya adalah dengan mem-plot distribusi frekuensi pada sumbu ordinat dan nilai data pada sumbu absisi dan hasilnya disebut grafik histogram, dapat dilihat pada gambar berikut ;

Category 1 Category 2 Category 3 Category 40

1

2

3

4

5

6

Series 1Series 2Series 3

Buat grafik histogram seperti model tersebut :Data lapangan dari mining nickel eksploitation dengan data produksi Sbb :

1. Tahun 2005 produksi 1 juta ton bijih nikel dengan komposisi Nikel (Ni) 20 %; Cobalt (Co) 15 %; Molibdat (Mo) 10 % dan Besi sebagai besi oksida (FeO) 55 %

2. Tahun 2006 Produksi 1,5 juta ton dengan komposisi seperti pada tahun pertama.

3. Tahun 2007 produksi 2 juta ton dengan komposisi seperti pada tahun pertama

4. Tahun 2008 produksi 1,5 juta ton dengan komposisi Ni 25 %; Co 20 %; Mo 15 % dan sisanya adalah besi.

Variabel Random (V.R)Variabel random adalah variabel dimana dapat diambil suatu kejadian dari beberapa kemungkinan. Misalnya kemungkinan untuk mendapatkan V.R. x adalah jumlah kemunculan x dibagi jumlah total semua sampel.

Distribusi Kemungkinan (Probabilitas)

Kemungkinan muncul satu sampel dari seleksi acak digambarkan dengan distribusi probabilitas V.R. Misalnya kemungkinan untuk mendapatkan satu grade dalam interval 2 – 4 % pada suatu endapan mineral atau berapa kemungkinan kita mendapat batu pasir dalam reservoir dengan analisa seismic.

Dalam kenyataan distribusi probabilitas tidak pernah diketahui, tapi dapat dihitung dari ekperimen dan kemudian dicoba untuk menentukan distribusi teoritik yang dihasilkannya. Pada data diskrit (ciri-ciri tersendiri) dengan nilai integer, distribusi kemungkinan akan berhubungan dengan setiap kemungkinan harga x yang dinyatakan dengan probabilitas p(x).Probabilitas p(x) selalu positif sehingga p(x) >0 dan jumlah total semua p(x) = 1 untuk harga x dalam universe.Pada distribusi kontiniu, berlaku untuk setiap x, distribusi probability dinyatakan dengan suatu fungsi densitas probabilitas f(x).Probabilitas p(x) selalu positif sehingga p(x) >0 dan jumlah total semua p(x) = 1 untuk semua harga x dalam universe.Pada distribusi kontiniu, berlaku untuk setiap x, distribusi probability dinyatakan dengan suatu fungsi densitas probabilitas f(x). Sehingga probabilitas satu harga yang terletak antara x dan (x + dx) menjadi f(x)dx dimana dx =0. Untuk probabilitas pada x kecil dari x0 p(x<x0)Diperoleh :

Prop {x≤ xo } = ∫−∞

xo

f ( x )dx = F (x0) (1)

Untuk probabilitas x yang berada antara a dan b adalah :

Prop {a≤ x≤b } = ∫a

b

f ( x )dx (2)

Sebagai syarat adalah bahwa total probabilitas sama dengan satu

sehingga,∫−∞

∞

f ( x )dx = 1 (3)

Istilah probabilitas adalah probabilitas−∞sampai batas ditentukan ,misalnya batastersebut adalah

X0 dan komulatifnya ditulis F(x0), sehingga dapat ditulis dimana F(- ∞) = 0 dan F (+∞) =1 (4)

Pada grafik distribusi frekuensi karakter populasi mempunyai beberapa ciri dalam statistik yaitu : harga rata-rata, median, dan modus.Nilai x rata-rataHarga x rata-rata dari semua data didefinisikan sebagai berikut :

Rata-rata X =∑ xi

n (5)

Harga rata-rata merupakan harga prediksi x dalam populasi atau ditulis ekspektasi E (x) = x

MedianMedian adalah nilai yang terletak ditengah pada ruang distribusi dimana kumpulan harga tersebut diurut dari yang kecil menuju ke yang besar. Jadi untuk jumlah data yang ganjil dan genap masing-masing median M-nya adalah :

M = X n+12 ; n = ganjil

M = [ Xn/2 + X n+12 ] 2 ; n = genap (6)

Modus

Mode (modus) merupakan harga x dengan frekuensi kemunculannya paling besar dari semua harga data x

Modus = L + ( d1d1+d2) c

Dimana L = tepi bawah frekuensi kelas modus d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

c = panjang kelas modusMid- range

Harga mid-range adalah perkiraan harga pertengahan antar harga maximum dengan harga minimum.

Midrange = ½(Max + Min) (7)Nilai midrange ini dapat digunakan juga untuk mendekati harga rata-rata x atau untuk melihat apakah distribusi harga x semetris dengan x rata-rata sebagai sumbu tengahnya. Bagi data yang semetris dengan x rata-rata sama dengan midrange.Bahan Latihan :

Tabel 1. Kandungan Ni untuk masing masing blok A,B,C,D,E dan FBLOK % Ni

A 2,0 2,0 2,1 2,1B 2,2 2,3 2,2 2,3C 2,3 1,9 2,1 2,3D 2,2 2,3 2,3 2,3E 2,7 2,7 2,6 2,5F 2,0 1,9 2,2 2,0G 2,3 2,4 2,4 2,4

Tentukan : Mean, Median, Modus dan Midrange data dalam tabel.

Distribusi dataDistribusi data dalam grafik distribusi frekuensi dapat dibagi menjadi beberapa bagian dengan tiap bagian mengandung jumlah data yang sama yaitu sebagai berikut :

a. Quartile (kwartil)Jajaran datadibagi menjadi 4 kelompok yang sama banyaknya dengan demikian disebut kwartil dengan harga batas terletak pada jumlah komulatif relative q1 = 0,25; q2 = 0,5 dan q3 = 0,75

b. Deciles (desil)Jajaran data dibagi sepuluh dengan harga batas terletak pada jumlah komulatif relative d1, d2, ……………. D9 = 0,1,0,2 ………, 0,9

c. PersentilJajaran data dibagi seratus bagian yang sama jumlahnya sehingga batasnya terletak pada haerga p1,p1 …………….p99 = (0,01,0,02, ……. 0,99)

2.2 Besaran DispersiUntuk penyebaran, variabilitas atau disperse suatu distribusi

kemungkinan digunakan antara lain :a. Jangkauan yang berarti beda antara nilai maximum dengan

minimumb. Simpangan rata-rata yaitu ekspektasi harga mutlak selisih x

dengan meannya yaitu E( X1 – X )c. Variansi δ2

d. Standar deviasi δUntuk mengetahui penyebaran harga sekitar mean digunakan deviasi standar s yang dihitung dari sampel

S = √∑in (xi−x )2

n (8)

Pada keadaan populasi bersifat acak maka rata-rata dari (xi – x) sama dengan 0. Kalau sifat penyebarannya data diperlihatkan dengan menggunakan nilai mutlak I xi – xrt I maka analisa akan mengalami kesulitan diantaranya adalah karena turunannya tidak kontiniu di x = x rt. Dengan demikian maka sering dipilih parameter standar deviasi s atau variansi s2.Dari populasi dengan distribusi probabilitas kontiniu f(x) maka dapat dihitung standar deviasi sebagai berikut ;

δ = √∫−∞

∞

(x−m)2∫ ( x )dx (9)

Dimana m adalah harga rata-rata populasi. Satuan standar deviasi s dan δ sama dengan satuan dari variabel x. sebagai contoh bila asli dinyatakan dalam satuan (%) maka satuan vareansi adalah (%)2.

Bila harga x hampir sama atau tidak mempunyai variansi harga yang besar maka harga s akan kecil. Pada keadaan jumlah data terbatas maka s digunakan sebagai estimator untuk δ dan harga xrt sebagai estimator untuk m.

Karakterisasi distribusiDistribusi frekuensi n sampel seperti pada gambar 1, dapat ditransformasi menjadi distribusi probabilitas dengan membagi frekuensi kemunculan dengan n. Beberapa contoh histogram sampel dengan beberapa bentuk (pola) diperlihatkan pada gambar 2 berikut :

%

X

Parameter kecenderungan sentral dapat dilihat dari harga rata-rata x pada persamaan 5.

Xrt = 1/n∑i=1

n

xi

Dari teori probabilitas harga rata-rta dapat dirumuskan dengan :

m = ∫−∞

∞

xf ( x )dx (10)

Harga m merupakan harga ekspektasi dari x dan ditulism = E(x) (11)

seperti yang telah dinyatakan diatas bahwa harga rata-rata x adalah estimator dari m kecuali untuk kasus dimana terjadi harga sangat (ekstrem) besar (kasus emas) maka perlu menggunakan t-estimator.

Bila “expected value” X, E(x) = m maka estimator tersebut disebut “unbiased” tidak ada kesalahan sistematik.

Persamaan 9 dapat ditulis menjadi variansiδ2 = ∫(x-m)(x-m)f(x)dx (12)

untuk mendapatkan estimator yang “unbiased” persamaan 8 dibagi dengan (n-1)

s2 = ∑i

n ( xi−x rt ) ( xi−xrt )n−1 (13)

Dan persamaan 12 dapat ditulis dengan notasi δ2 = E(x-m)(x-m) (14)

Variansi dapat ditulis

S2 = ∑i

n ( xi−x rt ) ( xi−xrt )n−1 = n∑ xi2- ( ∑ xi ¿2 ¿/n ( n-1 ) (15)

Tabel 2 Data Kandungan Cromium (Cr) dalam ppmNo Cr( ppm) Xi2

1 205 420252 255 650253 195 380254 220 484005 235 55225

∑ xi = 1110 ∑ xi2 =248700

X = ∑

xin = 222

(∑ xi)2 =1232100S2 = ∑ n∑ xi2−¿¿¿¿ = 5 x 248700-1232100 : 20S = √ s2 = √570 - S = 23.88

Arti s terhadap nilai (ppm) Cr adalah sebagai berikut dimana pada range harga x :

X ± S = Kecil

Arti s terhadap nilai (ppm) Chromium (Cr) adalah sebagai berikut dimana pada range harga x :

X ± s =222 + 23.88 = 245.88222 – 23.88 =198.12

Range 198.12 – 245.88Maka 60 % pengukuran atau data akan jatuh dalam harga range tersebut.Sedangkan untuk range harga x:besar

X ± 2s =222 + 47,76 = 269,76222 – 47,76 = 174,24

Maka 100 % harga data akan berada dalam range tersebut, namun ketepatan harga x menjadi menurun karena range harganya makin besar.Kesimpulan : sebagai kesimpulan dari pengertian daerah penerimaan adalah dengan range besar akan memberikan ketepatan prediksi akan rendah. Tetapi sebaliknya dapat dikatakan bahwa dengan range kecil confidence level (tingkat kepercayaan) menjadi tinggi.

Blok A (Nikel dlm ppm)

Blok B (Nikel dalam ppm)

Blok C (Nikel dalam ppm)

100 95 8065 70 9579 90 105

110 55 5880 70 8066 85 9575 102 4550 60 7540 50 35

1. Tentukan harga range masing masing blok dan beri kesimpulan.2. Blok A seluas 100 ha; Blok B seluas 75 ha dan Blok C seluas 150 ha

Hitung berapa cadangan nikel masing masing blok jika kedalam bor rata-rata 10 meter dan berat jenis batuan rata-rata = 6,5

2.3. HUBUNGAN DUA VARIABELHubungan dua variabel yang dapat disebut variabel dua dimensi (2D) diperlihatkan oleh variansi gabungan yang disebut sebagai kovariansi (covariance). Kovariansi dihitung dari kedua harga variabel tersebut terhadap meannya masing-masing

Cov = ∑i

n

(xi−x )( yi− y )

n-1

cov = n∑i

n

xiyi−∑i

n

xi∑i

n

yi

n(n-1)

Selanjutnya koefisien korelasi r adalah

rXY = cov xy , → -1 ≤ r ≤1

SxSy

Besarnya korelasi antara variable x dan y dinyatakan dengan koefisien

korelasi r yang mempunyai harga dari -1 sampai dengan 1

Contoh :

Tabel 2.3Hubungan Ni dengan Co

Ni (ppm) Xi2 Co (ppm) Yi

2 XiYi

205 130

255 165

195 100

220 135

235 145

∑ xi ∑ xi2 ∑ yi ∑ yi2 ∑ xiyi

Harga rata-rata X dan Y

Cov (xy) = = n∑i

n

xiyi−∑i

n

xi∑i

n

yi = 537.5

n(n-1)

Hubungan X dan Y dapat dinyatakan dengan koefisien korelasi (r)

r = cov (xy )SxS y

- -1 ≤ r ≤ 1 = 0.95

Latihan

Hitunglah koefisien korelasi r antara panjang dan lebar dari brachiopoda, dari tabel berikut

Tabel 2.4Panjang dan lebar dari 6 sampel Brachiopoda

Panjang (mm) Lebar (mm)

18,4 15,4

16,9 15,1

13,6 10,9

11,4 9,7

7,8 7,4

6,3 5,3

Sebagai petunjuk buatlah tabel Xi Xi2 Yi Yi

2 XiYi, kemudian hitung koefisien korelasi

Panjang (xi) Xi2 Lebar (yi) Yi2 xiyi18,4 15,416,9 15,113,6 10,911,4 9,77,8 7,46,3 5,3∑ xi ∑ xi2 ∑ yi ∑ yi2 ∑ xiyi

Cov (xy) = = n∑i

n

xiyi−∑i

n

xi∑i

n

yi

n(n-1)

cov = 19.47sx = 4.84; sy= 4.08 r = 19.47

4.84 . x 4.08 = 0.99 Syarat -1≤ r≥ 1. Kesimpulan : ada korelasi sebesar 99 %

2.4 TEST Z (KURVE NORMAL)Standar Normal Z dihitung dengan rumus

Z1 = xi−xmeans

Didapat distribusi frekuensi dengan unit standard deviasi s dan mean, Z sama dengan nol.Misalnya pada suatu distribusi frekuensi komposisi kandungan Ni mempunyai standar deviasi :X mean = 14,2 dan S = 4,7. Maka berapa probabilitas ditemukan Ni lebih kecil dari 3 %. Ketelitian 100 %

Z1 = 3 , o−14,24,7 = -2,4

Dari tabel probabilitas kumulatif untuk distribusi normal diperolehF(-2,4) = 0,0082Dengan demikian probabilitas ditemukannya Ni dengan kandungan ≤ 3 % adalah cukup kecil yaitu mendekati nol.Di coba cari probabilitas ditemukan kandungan Ni ≥ 20 %Z2 = 20,0−14,2

4,7 = 1,2F(1,2) = 0,8849Dengan demikian probabilitas diketemukan Ni≥ 20% adalah 1,0 – 0,8849 = 0,1151. Dengan demikian kemungkinan diketemukan Ni≥ 20 % adalah 1 diantara 10. 0,1151 x 100 % = 11,51% diketemukan Ni ≥ 20%. Jadi setiap 100 data yang di prakirakan memiliki kemungkinan dari harga Ni tersebut 100 x 11,51/100 = 11 sampel dataSama dengan 1 muncul diantara 10.

SOAL .DARI DATA BORING DITEMUKAN KANDUNGAN NIKEL DARI SUATU BLOK KAJIAN SBB

SAMPEL Ni dalam %1 10 2 303 254 405 146 287 358 59 15

10 50

Hitung :1. Deviasi standar dari data tersebut2. Range harga x nya. Berapa % kemungkinan kemunculan dari data

tersebut dengan menggunakan range kecil dan besar.3. Data tersebut mewakili daerah seluas 100 ha, hitung cadangan

Nikel jika berat jenis batuan rata-rata 5, kedalaman bor 10 meter4. Tentukan probabilitas dengan menggunakan Z test untuk Ni

antara 10 dan 20 %; tingkat ketelitian 95 %Standar normal z dihitung dengan rumus :

Z = xi – xδ = 10−25.214.2 = - 1.07; 20−25.2

14.2 = -0.36Probabilitas dari data yg diinginkan antara 10 -20 % terletak pada harga – 1.07 – (-0.36) = 0.1587 – (0.3821) = - 0.2234. 10 sampel =22.34 x10/100 = 2 sampel

Didapat distribusi frekuensi dengan unit standar s dan mean pada z sama dengan nol.Misalnya pada suatu distribusi frekuensi komposisi kandungan Ni mempunyai harga mean dan standar deviasi :

x = 14,2 δ = 4,7

Maka berapa probabilitas ditemukan Ni lebih kecil dari 3 %

Z = 3,0−14,24,7 = -2,4

Dari tabel probabilitas komulatif untuk distribusi normal diperoleh

F(-2,4) = 0,0082Dengan demikian dapat dikatakan bahwa probabilitas ditemukan kandungan Ni < 3% adalah cukup kecil yaitu mendekati nol.

Kalau dicari beberapa probabilitas ditemukan kandungan Ni > 20%, maka dihitung lebih dulu : Z = 20,0−14,2

4,7 = 1.2. Dengan menggunakan tabel probabilitas komulatif z diperoleh : P(Z > 1,2) = 1,0 – P(1,2)

= 1,0 – 0,8849 = 0,1151Dengan demikian kemungkinan ditemukannya kandungan Ni > 20% adalah 1 dalam 10 sampel

LATIHAN 2.Dari hasil analisa geokimia diperoleh data seperti dalam tabel berikutData sampel (n) Konsentrasi emas(Au) dalam batuan

(ppm)1 252 103 54 25 156 147 208 229 50

10 40

11 3512 2813 3514 215 0

Pertanyaan :1. Tentukan probabilitas kemunculan dengan menggunakan analisa

statistik range harga x (kecil & besar)a. X ± S = 20.2 ± 15.2 range harga x antara 5 – 35.4 Probabilitas

dg range harga x kecil = 66,6 %b. X ± 2S = 20.2 ± 2(15.2) range harga x antara -10.2 – 50.6.

Probabilitas dengan range harga x besar =100 % level of confident adalah 66,6 %

2. Sampel dalam tabel tersebut mewakili daerah 100 ha dan hanya 75 % yang mengandung deposit Au, kedalaman pengeboran 15 m dan berat jenis batuan yang mengandung Au rata-rata 7. Hitung cadangan emas daerah tersebut dalam ton.100 ha x 75/100 = 75 ha = 75 x 10.000m2x 15m = 11.250.000 m3

Berat keseluruhan = 7 x 11.250.000 = 78.750.000 ton = 78.750.000 x 1000 kg = 20.2 x 10-6kg/kg x 78.750.000.000 kg =20.2 x 78.750 kg emas = 20.2 x 78.750 kg = 1.590.750 kg/1000 = 1.590,750 ton

3. Kalau harga emas rata-rata Rp. 230.000,- per gram berapa perkiraan nilai ekonomi daerah tersebut

4. Kalau diinginkan ekploitasi emas pada nilai 20 s/d 50 ppm tentukan probabilitasnya dengan menggunakan test z dengan ketelitian 98 %

Z = 20−20.215.2 = -0.01 lihat tabel z dengan penyimpangan 0,02 =

0.4920

Z = 50−20.215.2 = 29.8

15.2 = 1.9 lihat tabel z dengan penyimpangan 0,02 = 0.9726 .Probabilitasnya = 0.972 – 0.4920 = 0.48 jadi probabilitasnya 48 %

Latihan :Tentukan probabilitas ditemukan 10 % < Ni < 20%

Z = 10−14,24,7 = -0,89

P(1.2) = 0,89P(-0,89) = 0,19 -

0,70Dengan demikian kemungkinan kandungan Ni antara 10 % - 20 %, dari 10 sampel kemungkinan muncul 7.

Teorema limit sentral Xx = μBila distribusi rata-rata cenderung normal variansinya adalah :

S2x = δ2/n standar error dari x adalah :

S e = √ ∂2

n = δ √ 1

n

Sebagai contoh Brachiopoda X untuk 6 sampel adalah 30 mm dan diketahui suatu kelompok populasi braciopoda mempunyai

x = 14,2 δ = 4,7

untuk mengetahui apakah 6 sampel tersebut sama dengan kelompok Brachiopoda maka dilakukan perbandingan mean dan S e

H1 : μ1 ≠ μ0

Tes hypotesa nol (Ho) tidak ada perbedaan.Ho : μ1 = μ0

Alternatif hasilnya adalah bisa termasuk tipe Brachiopoda atau bertipe lain.Untuk memutuskan apakah H1 atau H2 yang diterima, maka dilakukan tes Z

Z = X−μSe =

X−μ

δ √ 1n

Tabel 2.Kesalahan tipe I α dan kesalahan tipe II β

Hipotesa benar Hipotesa salahHipotesa diterima Keputusan benar Type II error βHipotesa ditolak Type I error α Keputusan benar

δ2 = 22,1δ = 4,7

Hipotesa H0 : μ1 = μ0 H1 : μ1 ≠ μ0

Dengan level of significance α = 0,05

Tes Z = 30−14,2

4,7√ 16

= 8,2 dengan menggunakan tabel komulatif

Z untuk α = 0,05 maka Z = 8,2 tidak dapat dibaca karena lebih besar dari 3,4 kita asumsikan harganya = 1 dan harga Z = 1,9 = 0,974

Karena harga Z jatuh pada daerah penolakan dimana 1 =1 (0,994 dibulatkan menjadi 1) (didapat dari tabel z dengan z=1,9 dan significansi = 0,05 maka dapat dinyatakan bahwa kedua populasi tersebut sama, dengan demikian hipotesa diterima.

2.5. Tes t Pada distribusi student t dibutuhkan derajat kebebasan υ = n

adalah jumlah parameter

Pada distribusi t harga t dihitung dengan rumus :

t = X−μ0Se =

X−μ0

S√ 1n

X = mean sampelμ0 = Mean populasin = jumlah populasiS = standar deviasi observasiSe = standar error observasi

Contoh : No (%) Cu1 132 173 154 235 276 297 188 279 20

10 24Sehingga diperoleh :

∑ Xi=213

X mean = 21,3S2 = 30,46S = 5,52Se = 5,52

Test ini mempunyai satu ekor maka disebut one line testα = 5 % dilihat dalam tabel, nilai kritis harga t untuk derajad kebebasan n-1 = 10 -1 =9 & α = 0,05. Harga t = 1,833

H0 : μ1 ≤ 18%H1 : μ1 > 18%

Harga t hitung adalah t = 21.3−18.0

5.52√ 110

= 1.89.

Dengan derajat kebebasan υ = 9 dan α = 0,05 maka didapat pada tabe, t = 1.833, dengan demikian data t jatuh dalam daerah kritis sehingga H0

ditolak. Dengan demikian kandungan prosentasi Cu lebih besar dari 18 %t hit > t tabel H0 ditolak

2.6. Tes FUntuk membandingkan distribusi dua popilasi yang berbeda dapat dilihat dari kesamaan atau perbedaan variansi kedua populasi tersebut. Perbandingan tersebut akan dilihat berdasarkan tingkat kesamaan variansi distribusi populasi dengan tes –F adalah sebagai berikut.

F = S12/S2

2

Dengan dua macam derajat kebebasan dari masing-masing populasi yaitu υ1 = n1-1 υ2 = n2 -1

tes statistik dilakukan dengan menguji hipotesa

Hipotesa H0 : δ12 = δ2

2

H1 : δ12≠ δ2

2

Misal nilai kritis F untuk υ1 = 9 dan υ2 = 9 dan level significance α = 0.05 maka dalam tabel F diperoleh harga : F = 3.18Contoh :Kandungan (%) x pada tabel 6 sebelumnya dibandingkan dengan populasi kandungan (%) X pada tabel 7 berikut ini :Tabel 7

Sampel Namber X(%)11 1512 1013 1514 2315 1816 26

17 2418 1819 1920 21

Tatal = 189Mean = 18,9

S2 = 23.21S = 4.82

∑ xi=189

X = 18.9S2 = 23.21S = 4.82F = S1

2/S22 = 30.46/23.21 = 1.3

Dengan demikian harga F data lebih kecil dari harga F yang diperoleh dari tabel yaitu 1.3 < 3.18 sehingga hipotesa H0 diterima

ANALISIS REGRESI DAN KORELASI LINIER

Persamaan regresi linier sederhana memiliki dua variabel, misalnya x dan y

Y = a + b X 2.34

a = ∑ y−b∑ x

n

b = n∑ ( xy )−¿¿¿

dengan :b = koefisien arah garis regresia = intersepn = banyaknya pasangan data

semua jumlahan dihitung nilai b dan a untuk data populasi dan produk

Contoh Tabel 2.9

Blok Jumlah pekerja

X

Jumlah produk

Batu bara (ton)

Y XY X2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

500

2000

4500

8000

12500

18000

24500

32000

45000

50000

100

400

900

1600

2500

3600

4900

6400

8100

10000

∑ X= 550 ∑Y = 2750 ∑ XY=192500 ∑ X2 = 38500

a = 0

b = 5

Jadi persamaan garis regresi adalah : Y = 5x

Jik produksi 5000 ton/hari berapa tenaga kerjanya ?

KESALAHAN STANDAR SAMPEL ESTIMASI

Diperlukan nilai kesalahan standar populasi s untuk memperoleh kesimpulan regresi.

Nilai kesalahan standar populasi ini merupakan nilai simpangan baku (standard

deviation) yang mengukur variasi titik-titik diatas dan dibawah garis regresi populasi.

Jika kita tidak mengetahui nilai S, kita mengestimasi dengan Se yaitu kesalahan standard

estimasi sampel. Nilai S merupakan suatu simpangan baku secara matematis sbb:

Se = √∑ y−n∑ y2−b∑ xyn−2

2.35

Contoh Soal.

Untuk menghitung cadangan Nikkel disuatu lapangan ditentukan dengan persamaan

matematik yang di buat dengan berdasarkan data yang diperoleh dari Lab .Geokimia sbb

:

No Larutan Standard Ni (dlm ppm) Absorbsi panjang gelombang pada alat

spektrofotometer (nM)

1 0 100

2 1 125

3 2 140

4 3 160

5 4 175

6 5 190

7 6 210

8 7 228

9 8 245

10 9 260

11 10 265

Pertanyaan :

1. Buat persamaan matematiknya : Y = 106.58 + 16,83 X

2. Jika sampel yang berasal dari lapangan rata-rata setelah dianalisa menunjukkan kisaran

panjang gelombang (absorbansi) 227. Hitung berapa kandungan nikelnya. X = 7,16 ppm

3. Jika hasil analisa tersebut mewakili daerah 1 hektar kedalaman rata-rata dari bor 10

meter dan berat jenis batuan rata-rata 5. Hitung cadangan nikelnya.

Ppm = part Permillion = 1bagian

1.000.000bagian

1 ppm = 1mgr

1.000.000mgr =

1mgr1kg

SOAL.Dalam penelitian mengenai banyaknya curah hujan dan jumlah kotoran udara yang terbawa hujan, terkumpul data berikut :

Curah hujan, x

(0,01 cm)

Zarah terbawa, y

(microgram per m3)

4,3

4,5

5,9

5,6

6,1

5,2

3,8

2,1

7,5

126

121

116

118

114

118

132

141

108

a. Cari persamaan garis regresi untuk memprediksikan zarah yang terbawa hujan dari

banyaknya curah hujan harian . Persamaan Regresinya adalah Y = 153,17 – 6,32X

b. Taksir banyaknya sarah yang terbawa hujan bila curah hujan harian x = 4,8 satuan.

Sarah yang terbawa hujan y = 153,17 – 6,32 (4,8) = ----- microgram/m3

c. Hitung kesalahan standar deviasi dari sampel tersebut dengan rumus sbb

Se = √∑ y−n∑ y2−b∑ xyn−2

B. REGRESI GANDA

Analisis regresi ganda digunakan oleh peneliti, bila peneliti bermaksud meramalkan bagaimana keadaan (naik turunya) variabel depeneden (kriterium), bila dua atau lebih variabel independen sebagai factor predictor dimanipulasi (dinaik turunkan nilainya). Analisis regresi ganda akan dilakukan bila jumlah variabel independennya minimal 2.Persamaan regresi untuk dua predictor adalah ;

Y = a + b1X1 + b2X2

Regresi ganda dua predictorNo X1 X2 Y X1Y X2Y X1X2 X1

2 X22

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10

2

4

6

8

7

4

6

7

6

7

3

2

4

6

5

3

3

4

3

23

7

15

17

23

22

10

14

20

19

230

14

60

102

184

154

40

84

140

114

161

21

30

68

138

110

30

42

80

57

70

6

8

24

48

35

12

18

28

18

100

4

16

36

64

49

16

36

49

36

49

9

4

16

36

25

9

9

16

9

jumlah ∑ X1=60∑ X2

=40

∑Y=170∑ X1Y=1122∑ X2Y=737∑ X1 X 2

=267

∑ X12=¿

406

∑ X22=182

Y = produktivitas; X1 = kemampuan kerja pegawai

n = jumlah sampel X2 = Kemampuan managerial

Untuk menghitung harga-harga a, b1; b2 dapat menggunakan persamaan berikut ;

∑Y = an + b1∑ X1 + b2 ∑ X2 ………………………………….Pers I

∑ X1Y = a ∑ X1 + b1∑ X1 + b2∑ X 1 X 2 ……………………. Pers II

∑ X2Y = a ∑ X1+b1∑ X1 + b2 ∑ X22 …………………. Pers III

Dengan Cara Substitusi/dengan eliminasi maka harga-harga a, b1 dan b2 dapat dicari !

UJI KORELASI KORELASI GANDA

Ry (1,2) = b1∑ X1Y +b2∑ X 2Y

∑Y 2 = 1,08

Koefisien determinasi (R2) = Ry(1,2)

Uji signifikasi korelasi ganda

F = R2(N−m−1)m(1−R2)

F = 1,08 (10-2-1) : 2(1-1,08) = - 47,25 ; F tabel = 1,812

Harga ini selanjutnya dikonsultasikan dengan F tabel, dengan didasarkan pada dk pembilang = 2

dan dk penyebut (10-2-1) = 7 untuk kesalahan 5 %

Kesimpulan jika F hitung lebih besar F tabel koefisien korelasi yang diuji adalah signifikan

sehingga dapat diberlakukan untuk populasi yang diteliti dengan taraf kesalahan 5 %

BAB III.

ANALISA SEQUENCE

Pada bab ini dibahas data dari fenomena alam yg berdimensi satu. Oleh karena itu

metode untuk membahasnya disebut analisa sekuensi (sequence Analysis).

Datanya berupa deret atau seri dalam waktu, jarak atau berupa satu variabel

tertentu. Variabel

Tersebut dapat berupa temperatur, besar butir, berat, lintasan survey dan

sebagainya. Dalam geofisika banyak ditemukan data profil, data bor , data

pengamatan dalam waktu. Misalnya data letusan gunung api dicatat dalam skala

waktu dengan demikian variabel bebasnya adalah waktu. Data anomaly gaya

berat pada profil yang menjadi variabel adarah jarak sepanjang profil. Perubahan

densitas terhadap temperatur berarti variabel adalah temperatur.

Data pengamatan dapat diperoleh dengan jarak yang sama. Pada proses tertentu

misalnya untuk filter, korelasi, konvulsi dibutuhkan data dengan interval sama,

oleh karena itu dibawah ini dibahas terlebih dahulu bagaimana merobah data

menjadi berinterval sama.

1.1. Membuat Interval data sama

Interpolasi Linier

Posisi dan harga jarak yang sama dihitung dengan cara interpolasi

linier dari dua titik terdekat. Harga Y” pada X” yang dihitung dengan

rumus sbb :

Y” = ¿¿

X Y

420 5

424 ? (Y”) = 7

430 10

Y” = ¿¿

Y” = (5)(4) /10 + 5 = 2 + 5 = 7

1.2. Runs Test

Runs test adalah metoda yang digunakan untuk data dikotomi yaitu

mempunyai dua pilihan misalnya muncul tidak muncul. Urutan

kemunculan data tersebut dapat diselidiki apakah pergantian

kemunculan kedua bentuk tersebut bersifat acak atau tidak. Untuk

melihat acak atau tidak digunakan Runs Test dimana satu run adalah

urutan yang datanya sama. Sebagai contoh deret data berikut 13

runs (selang tanpa terjadi pergantian kemunculan), Jumlah data

H(n1) = 11 dan jumlah data T(n2) = 9

H T HH T H TTT H T H T HH TT HHH

13 runs

n1 = 11

n2= 9

Jumlah rata-rata runs estimasi bersifat acak adalah :

υ = 2n1n2n1+n2

+1

Variansi harapannya (expected variance-nya) adalah ,

δ2u =

2n1n2(2n1n2−n1−n2)(n1+n2 ) (n1+n2 )(n1+n2−1)

Z test → Z = u−υδu dimana u = jumlah runs

HIPOTESA

H0 : υ ≤ u atau H0 : υ ≥ u

H1 : υ > u atau H1 : υ < u

Banyak runs sedikit runs

H0 di tolak H0 di tolak

Tes seperti ini disebut one-tailed karena daerah penolakannya hanya

terdapat pada satu ujung

H0 : υ = u

H1 : υ ≠ u

ANALISA VARIANSI SATU ARAH MENGGUNAKAN TES F

Model anova satu arah (one-way analysis of variance) digunakan untuk pengujian perbedaan

antara k rata-rata sampel apabila subyek-subyek observasi atau penelitian ditentukan secara

random pada setiap grup atau kelompok perlakuan yang ditentukan.

Persamaan linier yang menggambarkan model uji satu arah :

Xik = μ + αk + eik

Dengan :

μ = rata-rta keseluruhan dari semua k populasi klasifikasi.

αk = efek klasifikasi dalam k kelompok tertentu darimana nilai data dijadikan sampel.

eik = kesalahan random yang tergabung dengan proses sampling

Ringkasan anova satu arah dapat dilihat pada tabel 2.8 berikut ini.

TABEL 2.8

PROGRAM ANALYSIS OF VARIANCE (ANOVA)

Sumber Variansi Jumlah kuadrat

(SS)

(d.f) Kuadrat rata-

rata

F test

Di antara

criteria

kelompok-

kelompok A

SSA=∑k=1

KTknk

2

- T2

N

K - 1 MSA = SSAK−1 F=

MSAMSE

Diantara dalam

samples

SSE= SST-SSA N-K MSE =SSEN−K

Total variationSST=∑

i=1

n

∑k=1

K

x2−T 2

N

N-1

Hipotesis nol dan hipotesis alternative untuk anova satu arah :

H0:αk = 0 Ha : αk 10

Jika hipotesis nol benar, berarti : μ1 = μ2 =μ3 = ---= μk

ANOVA (Analysis of Variance)CONTOH 2.8

Ada tiga sampel random dari 3 group tenaga kerja berhubungan dengan penurunan produktivitas sbb ;

Kelompok A Kelompok B Kelompok C

7

8

7

9

9

11

9

9

8

12

11

4

6

5

8

5

8

6

Total Besar sampel

N = 18

T1= 40

n1 = 5

T2=60

n2 =6

T3 = 42

n3 = 7

Jawaban ada 10 step (10 langkah)Banyak kelompok sampel k =3Jumlah data ketiga kelompok sampel N = n1 + n2 + n3 = 5 + 6 +7 = 18Perhitungan

1. Jumlah nilai masing-masing sampel : T1 = 40; T2 = 60; T3 = 422. ∑T = 40 + 60 + 42 = 1423. (∑T )2 = 201644. Jumlah kuadrat masing-masing kelompok :

∑ Ti2

¿ = T 12

n1 + T 22

n2 + T 32

n3

402

5 + 602

6 + 422

7 = 1172

5. ∑ ¿¿ = 72 + 82 + 72 + 92 +92+112 …..+ 52 + 82 + 62 = 12026. Jumlah kuadrat di antara kelompok-kelompok :

SSB = ∑ Ti2

¿ -

(∑T )2N

= 1172 – 20164/18 = 51,778

7. Jumlah kuadrat di dalam kelompok-kelompok :

SSW = ∑ ¿¿ - ∑ Ti2

¿ = 1202 – 1172 = 30

8. Kuadrat rata-rata di antara kelompok-kelompok ;

MSB = SSBK−1

= 51,7783−1

= 25,889

Dengan d.f = K-1 = 3-1 = 29. Kuadrat rata-rata di dalam kelompok-kelompok :

MSW = SSWN−K

= 30

18−3 = 2

Dengan ; d.f = N- K = 1510. Nilai rasio F didapat dengan :

F = MSBMSW

= 25,889

2 = 12,94 (F hitung)

Analisis: 1. Hipotesis

H0 = penurunan rata-rata pada setiap populasi samaHa = penurunan rata-rata pada setiap populasi ada yang tidak sama

2. Nilai kritisd.f diantara kriteria kelompok-kelompok (numerator) = K -1 = 3-1 =2d.f kesalahan sampling (denumerator) = N- K = 18-3 = 15; α = 0,01F(2;15;0,01) = 6,36 (dilihat dari tabel F). Harga F tabel = 6,36

3. Nilai hitung ; F = 12,944. Kesimpulan

Karena nilai Fhitung = 12,94 lebih besar dari nilai F (Tabel) (2;15;0,01) = 6,36 berarti nilai F hitung berada di daerah penolakan H0. Dengan demikian H0 kita tolak dan menerima Ha. ini berarti bahwa ada penurunan pada setiap populasi terhadap tiga kelompok yang tidak sama.

Contoh :Kandungan Karbonat dalam Batuan (%)

Replikat SAMPEL

1 2 3 4 5

1 19,2 18,7 12,5 20,3 19,9

2 18,7 14,3 14,3 22,5 24,3

3 21,3 20,2 8,7 17,6 17,6

4 16,5 17,6 11,4 18,4 20,2

5 17,3 19,3 9,5 15,9 18,4

6 22,4 16,1 16,5 19,0 19,1

Tt1 =115,4

n1 = 6

Tt2 =106,2

n2 = 6

Tt3 =72,9

n3 = 6

Tt4 =113,7

n4 = 6

Tt5 =119,5

n5 = 6

Jawab :

Banyak Kelompok sampel K = 5

Jumlah data ke lima kelompok sampel : N = n1 + n2 + n3 + n4 + n5 = 30

Perhitungan :

1. Jumlah nilai masing-masing sampel Tt1 = 115,4 , Tt2 = 106,2 , Tt3 = 72,9, Tt4 = 113,7 Tt5 =

119,5

2. ST = 527,7

3. (ST)2 = 278467,29

4. Jumlah kuadrat rata-rata masing-masing kelompok : ∑ Ti2

¿

13317,16/6 + 11278,44/6 + 5314,41/6 + 12927,69/6 + 14280,25/6 = 2181,227+ 1879,74

+ 885,74 + 2154,62 + 2380,04 = 9519,66

∑ Ti2

¿ = 9519,66

5. S(X)2 = (19,2)2 + (18,7)2 +(21,3)2 + (16,5)2 + (17,3)2 + (22,4)2 +(18,7)2 +(14,3)2 +(20,2)2

+(17,6)2 +(19,3)2 +(16,1)2 +(12,5)2 +(14,3)2 +(8,7)2 +(11,4)2 +(9,5)2 +(16,5)2 + (20,3)2

+(22,5)2 +(17,6)2 +(18,4)2 +(15,9)2 + (19,0)2 + (19,9)2 +(24,3)2 +(17,6)2 + (20,2)2 + (18,4)2

+(19,1)2

= 368,6 + 349,69 + 453,69 + 272,25 + 299,29 + 501,76 + 349,69 + 204,49 + 408,04 +

309,76 + 372,49 + 259,21 + 156,25 + 204,49 + 75,69 + 129,96 + 90,25 + 272,25 + 412,09

+ 506,25 + 309.76 + 338.56 + 252,81 + 361 + 396,01 + 590,49 + 309.76 + 408,04 + 338,56

+ 364,81 = 9666,03

6. Jumlah kuadrat diantara kelompok-kelompok

SSB = ∑ Ti2

¿ - (ST)2/N = 9519,66 - 278467,29/30

= 9519,66 – 9282,243 = 237,417

7. Jumlah kuadrat di dalam kelompok-kelompok :

SSW = S(X)2 - ∑ Ti2

¿ = 9666,03 – 9519,66 = 146,37

8. Kuadrat rata-rata diantara kelompok-kelompok :

MSB = SSBK−1

= 237,417

5−1 =

237,4174

= 59,35

Dengan d.f. = K -1 = 5-1 =4

9. Kuadrat rata-rata di dalam kelompok-kelompok :

MSW = SSWN−1

= 146,37N−K

=146,3730−5

= 146,37

25 = 5,85

Dengan : d.f. = N-K = 30 -5 = 25

10. Nilai rasio F didapat dengan :

F = MSBMSW

= 59,355,85

= 10,15 (F hitung)

Analisis :

Hipotesis

1. H0 = pengurangan berat rata-rata pada setiap populasi sama

Ha = pengurangan berat rata-rata pada setiap populasi ada yang tidak sama

2. Nilai kritis

d.f. di antara kriteria kelompok-kelompok (numerator) = K-1 = 5-1 =4

d.f. kesalahan sampling (denumerator) = N- K = 30 -5 = 25

α = 0,05

F(4;25;0,05) = 2,76 (F Tabel)

3. Nilai hitung . F hitung = 10,15

4. Kesimpulan

Karena nilai hitung Fhitung = 10,15 lebih besar dari nilai F(Tabel) (4;25;0,05) = 2,76 maka

nilai Fhitung berada didaerah penolakan H0. Dengan demikian kita menolak H0 dan

menerima Ha

Kerjakan soal ini dengan teliti waktu 30 menitSekelompok data seperti dalam tabel berikut Komposisi Nikel dalam batuan (dalam %) sbb :

NO Ni (%) Xi2

1 10 2 203 254 355 406 507 608 709 80

10 90n = 10 ∑ xi ∑ xi2

Pertanyaan :

1. Tentukan Z Hitung dan Z tabel dengan significansi 0,05 dengan menggunakan teorima limit sental untuk rata-rata populasi pada daerah 60 %.

2. Tentukan dengan t test.