soaldanpembahasanolimpiadematematikavektornasional2013smpomvn2013babakpenyisihanbagian11-102-140712122638-phpapp02.pdf...
TRANSCRIPT
www.siap-osn.blogspot.com @ Juli 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
Soal dan Pembahasan OMVN 2013 SMP Babak Penyisihan / Page 1
Download Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMP Lainnya di β www.siap-osn.blogspot.com β
SOAL DAN PEMBAHASAN
OLIMPIADE MATEMATIKA VEKTOR NASIONAL 2013 SMP (OMVN 2013)
BABAK PENYISIHAN ( BAGIAN 1 )
BAGIAN 1
Berikan jawaban akhir!
1. Terdapat tiga lingkaran berjari-jari π yang disusun sedemikian hingga setiap lingkaran melalui dua titik pusat
lingkaran yang lain. Berapakah luas daerah perpotongan ketiga lingkaran tersebut?
Pembahasan :
ππππππ‘ππππ ππππππ ππππππ’π‘ βΆ
π΅ππ π πππππππ‘ ππππ€π βΆ
πππππ‘πππ π΄π΅πΆ ππππ’πππππ π ππππ‘πππ π πππ π ππ π , π πππππππ βΆ
β π΄ = β π΅ = β πΆ = 60π
π΄π΅ = π΄πΆ = π΅πΆ = π
ππ΅ = ππΆ =1
2 .π΅πΆ =
1
2 . π =
π
2
πΏπ‘ππππππππ π΄π΅ = πΏπ‘ππππππππ π΄πΆ = πΏπ‘ππππππππ π΅πΆ
ππππππ‘ππππ π½π’ππππ π΄π΅πΆ βΆ
πΏππ’ππππ π΄π΅πΆ =60
360 .π . π2
=ππ2
6
ππππππ‘ππππ π ππππ‘πππ π πππ’ π πππ’ π΄ππ΅ βΆ
ππ΄ = π΄π΅2 βππ΅2
= π2 β π
2
2
= π2 βπ2
4
= 3π2
4
= 3 π
2
www.siap-osn.blogspot.com @ Juli 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
Soal dan Pembahasan OMVN 2013 SMP Babak Penyisihan / Page 2
Download Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMP Lainnya di β www.siap-osn.blogspot.com β
ππππππ‘ππππ π ππππ‘πππ π πππ π ππ π π΄π΅πΆ βΆ
πΏπ ππππ‘πππ π΄π΅πΆ =1
2 .π΅πΆ .ππ΄
=1
2 . π .
3 π
2
= 3 π2
4
ππππππ‘ππππ π‘ππππππππ π΅πΆ βΆ
πΏπ‘ππππππππ π΅πΆ = πΏππ’ππππ π΄π΅πΆ β πΏπ ππππ‘πππ π΄π΅πΆ
=ππ2
6β 3 π2
4
πΏππππππ‘πππππ πππ‘πππ πππππππππ = πΏπ ππππ‘πππ π΄π΅πΆ + π . πΏπ‘ππππππππ π΅πΆ
= 3 π2
4+ π .
ππ2
6β 3 π2
4
= 3 π2
4+ππ2
2β
3 3 π2
4
=ππ2
2β
2 3 π2
4
=ππ2
2β 3 π2
2
= πβ 3 π2
2
π½πππ ππ’ππ ππππππ ππππππ‘πππππ πππ‘πππ πππππππππ π‘πππ πππ’π‘ ππππππ πβ 3 π2
2
2. 1 +1
2+
2
2+
1
2+
1
3+
2
3+
3
3+
2
3+
1
3+β―+
1
2013+
2
2013+β―+
2013
2013+β―+
2
2013+
1
2013= β―
Pembahasan :
1 +1
2+
2
2+
1
2+
1
3+
2
3+
3
3+
2
3+
1
3+β―+
1
2013+
2
2013+β―+
2013
2013+β―+
2
2013+
1
2013
= 1 +1+2+1
2+
1+2+3+2+1
3+β―+
1+2+β―+2013+β―+2+1
2013
= 1 +4
2+
9
3+β―+
1+2+β―+2013+β―+2+1
2013
= 1 + 2 + 3 +β―+ 2013
=2013 . 2013+1
2
=2013 .2014
2
= 2013 .1007
= 2027091
3. Untuk suatu bilangan tak negatif, 2013π₯ bersisa 7 ketika dibagi 10 . Berapakah sisa pembagian dari 2013π₯
dibagi 1342 ?
www.siap-osn.blogspot.com @ Juli 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
Soal dan Pembahasan OMVN 2013 SMP Babak Penyisihan / Page 3
Download Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMP Lainnya di β www.siap-osn.blogspot.com β
Pembahasan :
31 = 3
32 = 9
33 = β―7 β 33 ππππ ππ π 7 πππ‘πππ ππππππ 10
20133 = β―7 β 20133 ππππ ππ π 7 πππ‘πππ ππππππ 10
π·πππππ ππππππππ πππππ π₯ = 3
2013π₯ = 2013 . 3
= 6039 β 6039 = 4 .1342 + 671
π½πππ π ππ π πππππππππ ππππ 2013π₯ ππππππ 1342 ππππππ 671
4. Persegi ABCD mempunyai luas 256 ππ2 . Titik E adalah titik tengah sisi AD dan F adalah titik tengah EC.
Misalkan I adalah bisektor tegak lurus (garis sumbu) dari EC, dan I memotong AB di G. Berapa luas daerah
segitiga CEG ?
Pembahasan :
ππππππ‘ππππ ππππππ ππππππ’π‘ βΆ
π·ππππππππ βΆ
π΄π΅ = π΅πΆ = πΆπ· = π΄π· = 256 = 16
π΄πΈ = π·πΈ =1
2 .π΄π· =
1
2 .16 = 8
ππππππ‘ππππ π ππππ‘πππ π πππ’ π πππ’ πΈπ΄πΊ πππ πΈπΌπΊ βΆ
πππππ‘πππ π πππ’ π πππ’ πΈπ΄πΊ πππ πΈπΌπΊ ππππππππ π ππ π ππππππ π¦πππ π πππ π¦πππ‘π’ πΈπΊ π πππππππ πππππππ‘π’π
πππ¦πππ πππ¦πππ πΊπ΄πΈπΌ , πππ ππππ’πππ’ππππ ππππ€π βΆ
πΈπΌ = π΄πΈ
πΊπΌ = π΄πΊ
πππ πππππ βΆ
πΊπΌ = π΄πΊ = π₯
π΅πΊ = π΄π΅ β π΄πΊ = 16β π₯
ππππππ‘ππππ π ππππ‘πππ π πππ’ π πππ’ πΆπ·πΈ βΆ
πΆπΈ = πΆπ·2 + π·πΈ2
= 162 + 82
www.siap-osn.blogspot.com @ Juli 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
Soal dan Pembahasan OMVN 2013 SMP Babak Penyisihan / Page 4
Download Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMP Lainnya di β www.siap-osn.blogspot.com β
= 256 + 64
= 320
= 64 .5
= 8 5
πΏπ ππππ‘πππ πΈπ΄πΊ + πΏπ ππππ‘πππ πΆπ΅πΊ + πΏπ ππππ‘πππ πΆπΈπΊ + πΏπ ππππ‘πππ πΆπ·πΈ = πΏππππ πππ π΄π΅πΆπ·
1
2 .π΄πΈ .π΄πΊ +
1
2 .πΆπ΅ .π΅πΊ +
1
2 .πΆπΈ .πΊπΌ +
1
2 .πΆπ· .π·πΈ = 256
1
2 .8 .π₯ +
1
2 .16 . 16β π₯ +
1
2 .8 5 . π₯ +
1
2 .16 .8 = 256
4π₯ + 8 . 16β π₯ + 4 5 π₯ + 64 = 256
4π₯ + 128β 8π₯ + 4 5 π₯ + 64 = 256
4 5 π₯ β 4π₯ + 192 = 256
4 5 π₯ β 4π₯ = 256β 192
4 5 β 4 π₯ = 64
π₯ =64
4 5 β4
π₯ =64
4 5 β1
π₯ =16
5 β1 . 5+1
5+1
π₯ =16 . 5+1
5 2
β12
π₯ =16 . 5+1
5 β1
π₯ =16 . 5+1
4
π₯ = 4 . 5 + 1
π₯ = 4 5 + 4
πΏπ ππππ‘πππ πΆπΈπΊ =1
2 .πΆπΈ .πΊπΌ
=1
2 .8 5 . π₯
=1
2 .8 5 . 4 5 + 4
= 4 5 . 4 5 + 4
= 16 .5 + 16 5
= 80 + 16 5
π½πππ ππ’ππ ππππππ π ππππ‘πππ πΆπΈπΊ ππππππ 80 + 16 5 ππ2
5. Tom, Rian, Yaya, Dzeko, dan Paijo akan melakukan suatu permainan dan membutuhkan 15 bola. Yaya membawa
bola sejumlah kelipatan tiga. Jika masing-masing dari mereka paling sedikit membawa satu bola, banyak cara
mereka membawa bola adalah β¦
www.siap-osn.blogspot.com @ Juli 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
Soal dan Pembahasan OMVN 2013 SMP Babak Penyisihan / Page 5
Download Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMP Lainnya di β www.siap-osn.blogspot.com β
Pembahasan :
ππππππ‘ππππ π‘ππππ ππππππ’π‘ βΆ
π΅πππ πππππππ‘ππ 3 πππ π ππππ π΅πππ¦ππ ππππ
ππππππ€π ππππ πππ¦π πππ π πππ π·π§πππ πππππ
3
9 1 1 1 4!
3!= 4
8 2 1 1 4!
2!= 12
7 3 1 1 4!
2!= 12
7 2 2 1 4!
2!= 12
6 4 1 1 4!
2!= 12
6 3 2 1 4! = 24
6 2 2 2 4!
3!= 4
5 5 1 1 4!
2! .2!= 6
5 4 2 1 4! = 24
5 3 3 1 4!
2!= 12
5 3 2 2 4!
2!= 12
4 4 3 1 4!
2!= 12
4 4 2 2 4!
2! .2!= 6
4 3 3 2 4!
2!= 12
3 3 3 3 1
6
6 1 1 1 4!
3!= 4
5 2 1 1 4!
2!= 12
4 3 1 1 4!
2!= 12
4 2 2 1 4!
2!= 12
3 3 2 1 4!
2!= 12
3 2 2 2 4!
3!= 4
9
3 1 1 1 4!
3!= 4
2 2 1 1 4!
2! .2!= 6
πππ‘ππ ππππ¦ππ ππππ ππππππ€π ππππ 231
π½πππ ππππ¦ππ ππππ ππππππ ππππππ€π ππππ ππππππ 231
www.siap-osn.blogspot.com @ Juli 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
Soal dan Pembahasan OMVN 2013 SMP Babak Penyisihan / Page 6
Download Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMP Lainnya di β www.siap-osn.blogspot.com β
6. 12 β 22 + 32 β 42 +β―+ 20112 β 20122 + 20132 = β―
Pembahasan :
12 β 22 + 32 β 42 +β―+ 20112 β 20122 + 20132
= 12 β22 + 32 β 42 + 52 ββ―β 20122 + 20132 2012 π π’ππ’
= 12 +32 β 22 + 52 β 42 +β―+ 20132 β 20122 2012 π π’ππ’
= 1 + 3β 2 . 3 + 2 + 5β 4 . 5 + 4 +β―+ 2013β 2012 . 2013 + 2012 2012
2 = 1006 π π’ππ’
= 1 + 1 . 5 + 1 . 9 +β―+ 1 . 4025 1006 π π’ππ’
= 1+ 5 + 9 +β―+ 4025 πππππ‘ ππππ‘πππ‘πππ
= 1 + 1006
2 . 5 + 4025
= 1 + 503 . 4030
= 1 + 2027090
= 2027091
7. Dari gambar dibawah ini, berapakah luas daerah yang diarsir?
Pembahasan :
ππππππ‘ππππ ππππππ ππππππ’π‘ βΆ
π΅ππ π πππππππ‘ ππππ€π βΆ
π΄π΅ = π΅πΆ = πΆπΊ = 7
π΄πΆ = π΄π΅2 + π΅πΆ2 = 72 + 72 = 49 + 49 = 49 .2 = 7 2
www.siap-osn.blogspot.com @ Juli 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
Soal dan Pembahasan OMVN 2013 SMP Babak Penyisihan / Page 7
Download Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMP Lainnya di β www.siap-osn.blogspot.com β
πππ πππππ βΆ
π΄πΉ = πΈπΉ = πΊπΈ = π
π΄πΈ = π΄πΆ β πΆπΊ β πΊπΈ = 7 2β 7β π
ππππππ‘ππππ ππ’π ππ’ππ π ππππ‘πππ π πππ’ π πππ’ π΄π΅πΆ πππ π΄πΉπΈ π¦πππ π πππππ π ππππππ βΆ
π΄πΉ
π΄π΅=
π΄πΈ
π΄πΆ
π
7=
7 2β7βπ
7 2
7 2 . π = 7 . 7 2β 7β π
7 2 π = 49 2β 49β 7π
7 2 π + 7π = 49 2β 49
7 2 + 7 π = 49 2β 49
π =49 2β49
7 2+7
π =7 7 2β7
7 2+1
π =7 2β7
2+1 . 2β1
2β1
π = 7 2β7 . 2β1
2 2β12
π =7 .2β7 2β7 2+7
2β1
π =14β14 2+7
1
π = 21β 14 2 β π΄πΉ = πΈπΉ = πΊπΈ = π = 21β 14 2
ππππππ‘ππππ ππππ πππ π΄π΅πΆπ· βΆ
πΏππππ πππ π΄π΅πΆπ· = π΄π΅ .π΅πΆ
= 7 .7
= 49
ππππππ‘ππππ ππ’ππππ π΅πΆπ· βΆ
πΏππ’ππππ π΅πΆπ· =90
360 .π .π 2
=1
4 .π .πΆπΊ2
=1
4 .
22
7 . 72
=77
2
www.siap-osn.blogspot.com @ Juli 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
Soal dan Pembahasan OMVN 2013 SMP Babak Penyisihan / Page 8
Download Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMP Lainnya di β www.siap-osn.blogspot.com β
ππππππ‘ππππ π ππππ‘πππ π πππ’ π πππ’ π΅πΆπ· βΆ
πΏπ ππππ‘πππ π΅πΆπ· =1
2 .π΅πΆ .πΆπ·
=1
2 . 7 .7
=49
2
ππππππ‘ππππ π‘ππππππππ π΅π· βΆ
πΏπ‘ππππππππ π΅π· = πΏππ’ππππ π΅πΆπ· β πΏπ ππππ‘πππ π΅πΆπ·
=77
2β
49
2
=28
2
= 14
ππππππ‘ππππ πππππππππ πππππ βΆ
πΏπππππππππ πππππ = π . π2
= π .πΈπΉ2
=22
7 . 21β 14 2
2
=22
7 . 441β 588 2 + 196 .2
=22
7 . 441β 588 2 + 392
=22
7 . 833β 588 2
= 2618β 1848 2
πΏπππππ π πππ ππππ = πΏππππ πππ π΄π΅πΆπ· β 2 . πΏπ‘ππππππππ π΅π· β 2 . πΏπππππππππ πππππ
= 49β 2 . 14β 2 . 2618β 1848 2
= 49β 28β 5236 + 3696 2
= β5215 + 3696 2
= 3696 2β 5215
π½πππ ππ’ππ ππππππ π¦πππ πππππ ππ ππππππ 3696 2β 5215 ππ2
8. Suatu bilangan disebut torec apabila :
a. Memiliki 8 digit
b. Terdiri dari digit digit 2, 0, 1, dan 3 masing-masing tepat dua.
Contoh : Bilangan 20132013 adalah torec.
Banyak bilangan torec yang habis dibagi 11 adalah β¦
Pembahasan :
πππππ ππππ’πππππ ππππππππ 8 πππππ‘,ππππππ ππππ’πππππ ππππππππ ππππ πππππ ππππ‘πππ π‘ππππ
πππππ π πππ ππππππ πππ
ππ’ππ‘π’ ππππππππ 8 πππππ‘ "ππππππππ" πππππ ππππππ 11 ππππ βΆ
πππ ππ ππππ βΆ π β π + π β π + π β π + π β π πππππ ππππππ 11
www.siap-osn.blogspot.com @ Juli 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
Soal dan Pembahasan OMVN 2013 SMP Babak Penyisihan / Page 9
Download Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMP Lainnya di β www.siap-osn.blogspot.com β
ππππππ‘ππππ π‘ππππ ππππππ’π‘ βΆ
π΅πππππππ
π‘ππππ πΎππ‘πππππππ
π΄ππππ πππ ππ‘ππ
πππ πππππ‘ππ
π΅πππ¦ππ ππππ
ππππ¦π’π π’πππ
πππ‘ππ ππππ¦ππ
ππππ ππππ¦π’π π’πππ
20132013 2β 0 + 1 β 3 + 2 β 0 + 1 β 3 = 0 0 πππππ
ππππππ 11
2, 1, 2, 1 4!
2! .2!= 6
6 .6 = 36
0, 3, 0, 3 4!
2! .2!= 6
32013201 3β 2 + 0 β 1 + 3 β 2 + 0 β 1 = 0 0 πππππ
ππππππ 11
3, 0, 3, 0 3!
2!= 3
3 .6 = 18
2, 1, 2, 1 4!
2! .2!= 6
33221100 3β 3 + 2 β 2 + 1 β 1 + 0 β 0 = 0 0 πππππ
ππππππ 11
3, 2, 1, 0 3 .3! = 18
18 .24 = 432
3, 2, 1, 0 4! = 24
πππ‘ππ ππππ¦ππ ππππππππ π‘ππππ π¦πππ πππ π ππππππ‘π’π = 36 + 18 + 432 = 486
π½πππ ππππ¦ππ ππππππππ π‘ππππ π¦πππ πππππ ππππππ 11 ππππππ 486
9. Bola π΄ dan bola π΅ digantung pada suatu kawat lurus seperti pada gambar berikut.
Diameter lingkaran pertama dan kedua berturut-turut adalah 8 dan 18. Jika jarak ujung tali π dan π pada kawat
adalah 5 dan panjang tali π adalah 10, maka panjang minimum tali π agar kedua tali bisa sejajar dan bola tidak
saling menekan adalah β¦
Pembahasan :
ππππππ‘ππππ ππππππ ππππππ’π‘ βΆ
www.siap-osn.blogspot.com @ Juli 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
Soal dan Pembahasan OMVN 2013 SMP Babak Penyisihan / Page 10
Download Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMP Lainnya di β www.siap-osn.blogspot.com β
π·ππππ‘πππ’π βΆ
π΄πΉ = π·πΈ =1
2 .8 = 4
π΅πΆ =1
2 .18 = 9
π΄π΅ = π΄πΉ + π΅πΆ = 4 + 9 = 13
πΈπΉ = π΄π· = 5
πππππππ π‘πππ π = 10
ππππππ‘ππππ π ππππ‘πππ π πππ’ π πππ’ π΄π·π΅ βΆ
π΅π· = π΄π΅2 β π΄π·2
= 132 β 52
= 169β 25
= 144
= 12
πΆπ· = π΅π· β π΅πΆ
= 12β 9
= 3
πππππππ π‘πππ π = πππππππ π‘πππ π + π·πΈ + πΆπ·
= 10 + 4 + 3
= 17
π½πππ πππππππ ππππππ’π π‘πππ π ππππ ππππ’π π‘πππ πππ π π ππππππ πππ ππππ π‘ππππ π πππππ πππππππ
ππππππ 17
10. Barisan 1, 2,β3, 4, 5,β6, 7, 8,β9,β¦ ,π memiliki rata-rata 2013. Nilai π yang merupakan suku terakhir dari
barisan tersebut jika π habis dibagi 27 adalah β¦
Pembahasan :
πΎπππππ π πππππ ππππππ 27, πππ ππππ’πππ’ππππ ππππ€π π ππππππ ππππππππ πππππππ‘ππ 3, π πππππππ βΆ
1+2+ β3 +4+5+ β6 +7+8+ β9 +β―+ βπ
π= 2013
1+2+ β3 +4+5+ β6 +7+8+ β9 +β―+ πβ1 + βπ
π= 2013
1+2+4+5+7+8+β―+ πβ1 + β3 + β6 + β9 + βπ
π= 2013
1+2+4+5+7+8+β―+ πβ1 β3β6β9ββ―βπ
π= 2013
1+2+3+4+5+6+7+8+9+β―+ πβ1 +πβ3β6β9ββ―βπβ3β6β9ββ―βπ
π= 2013
1+2+3+4+5+6+7+8+9+β―+πβ 3+6+9+β―+π+3+6+9+β―+π
π= 2013
www.siap-osn.blogspot.com @ Juli 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
Soal dan Pembahasan OMVN 2013 SMP Babak Penyisihan / Page 11
Download Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMP Lainnya di β www.siap-osn.blogspot.com β
1+2+3+4+5+6+7+8+9+β―+πβ2 . 3+6+9+β―+π
πππππ‘ ππππ‘πππ‘πππ
π= 2013
π . π+1
2β2 .
π32
. 3+π
π= 2013
π2+π
2β
π
3 . 3+π
π= 2013
π2+π
2βπβ
π2
3
π= 2013
3 . π2+π
6β
6π
6β
2π2
6
π= 2013
3π2+3π
6β
6π
6β
2π2
6
π= 2013
3π2+3πβ6πβ2π2
6
π= 2013
π2β3π
6π= 2013
π πβ3
6π= 2013
πβ3
6= 2013
π β 3 = 6 . 2013
π β 3 = 12078
π = 12078 + 3
π = 12081
π½πππ πππππ π π¦πππ ππππ’πππππ π π’ππ’ π‘πππππππ ππππ πππππ ππ π‘πππ πππ’π‘ ππππππ 12081
PENGECEKAN SOAL NO. 10
π·ππππππππ π = 12081 π πππππππ βΆ
1+2+ β3 +4+5+ β6 +7+8+ β9 +β―+ βπ
π=
1+2+ β3 +4+5+ β6 +7+8+ β9 +β―+ β12081
12081
=1+2+4+5+7+8+β―+12080 + β3 + β6 + β9 +β―+ β12081
12081
=1+2+4+5+7+8+β―+12080β3β6β9ββ―β12081
12081
=1+2+3+4+5+6+7+8+9+β―+12080 +12081β3β6β9ββ―β12081β3β6β9ββ―β12081
12081
=1+2+3+4+5+6+7+8+9+β―+12080 +12081β2. 3+6+9+β―+12081
πππππ‘ ππππ‘πππ‘πππ
12081
=
12081 . 12081 +1
2β2.
1208132
. 3+12081
12081
www.siap-osn.blogspot.com @ Juli 2014
SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan
Soal dan Pembahasan OMVN 2013 SMP Babak Penyisihan / Page 12
Download Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMP Lainnya di β www.siap-osn.blogspot.com β
=12081 .12082
2β
12081
3 .12084
12081
=12081 .6041β12081 .4028
12081
=12081 . 6041β4028
12081
=12081 .2013
12081
= 2013 (πππππ)
πππ‘πππ π = 12081 π‘ππππ πππππ ππππππ 27 ,πππππππππ π = 12081 πππππ ππππππ 3 π πππππππ ππ’πππππ
π πππ ππππ’π πππππππ‘ βΆ
Barisan 1, 2,β3, 4, 5,β6, 7, 8,β9,β¦ ,π memiliki rata-rata 2013. Nilai π yang merupakan suku terakhir dari
barisan tersebut jika π habis dibagi 3 adalah β¦
11. Pada posting berikutnya di : www.siap-osn.blogspot.com