PENGANTAR PEUBAH KOMPLEKS

ERIDANI

1. Pengertian Bilangan Kompleks

(1) Misalkan x2 + bx + c = 0 bersifat b2 − 4c < 0. Buktikan bahwa x2 + 1 = 0

mempunyai solusi jika dan hanya jika x2 + bx + c = 0 mempunyai solusi.

Petunjuk: Misalkan i menyatakan solusi dari x2 + 1 = 0.

(2) Tentukan in untuk setiap n ∈ N.

(3) Carilah a, b ∈ R yang bersifat a + bi =√

3 + 4i.

(4) Tentukan persamaan kuadrat yang salah satu akarnya adalah 3 + 4i.

(5) Misalkan a 6= 0 6= b. Hitunglah

(a + bi)(c + di), danc + di

a + bi.

(6) Misalkan C := {(x, y) : x, y ∈ R}, dengan z1 := (x1, y1) dan z2 := (x2, y2)

unsur-unsur di C. Jika didefinisikan

z1 + z2 := (x1 + x2, y1 + y2),

buktikan bahwa (C, +) adalah grup komutatif terhadap operasi +.

Petunjuk: Pada umumnya, kita lebih mengenal notasi C := {x + yi : x, y ∈ R}.Ini berarti C identik dengan bidang Kartesius R2.

(7) Misalkan z1 := (x1, y1) dan z2 := (x2, y2) unsur-unsur di C, dengan x2 6= 0 6= y2,

dan kita definisikan z1 = z2 ⇐⇒ x1 = x2, y1 = y2.

Misalkan didefinisikan operasi perkalian dan pembagian

z1 · z2 := (x1x2 − y1y2, y1x2 + x1y2),z1

z2

:=

(x1x2 + y1y2

x22 + y2

2

,y1x2 − x1y2

x22 + y2

2

).

Buktikan bahwa C memiliki struktur lapangan.

Catatan: Kita biasa menuliskan x := (x, 0), dan yi := (0, y), untuk setiap x, y di

Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Kampus C Mulyorejo,Surabaya 60115. Alamat e-mail: eri.campanato@gmail.com.

1

2 ERIDANI

R. Dengan demikian R dapat dipandang sebagai himpunan bagian C. Dari notasi

di atas, kita biasa menulis <(z1) := x1 dan =(z1) := y1, berturut-turut sebagai

bagian real dan bagian imajiner z1.

(8) Buktikan bahwa =(iz) = <(z), dan <(iz) = −=(z).

(9) Misalkan z1z2 = 0. Tunjukkan bahwa z1 = 0 atau z2 = 0.

2. Modulus Bilangan Kompleks

Telah diketahui bahwa C identik dengan bidang Kartesius R2. Dengan demikian semua

bilangan kompleks x + yi dapat dinyatakan dalam bentuk koordinat (x, y) di R2.

Perhatikan bahwa

R :=

{(x, 0) : x ∈ R

}, I :=

{(0, y) : y ∈ R

},

adalah subhimpunan C yang disebut sumbu real dan sumbu imajiner, dan memiliki peran

yang sama seperti pada sumbu-x (absis) dan sumbu-y (ordinat) di R2.

Modulus, atau nilai mutlak dari suatu bilangan kompleks z := x + yi didefinisikan

sebagai√

x2 + y2, dan dinotasikan dengan |z|. Ini berarti

|z| =√

x2 + y2.

Secara geometris, |z| menyatakan jarak (x, y) ke pusat koordinat, atau menyatakan

panjang vektor z.

Misalkan z̄ := x− yi (menotasikan sekawan dari z = x + yi), maka cukup jelas bahwa

zz = |z|2, z1 + z2 = z1 + z2, dan

<(z) = (z + z)/2 dan =(z) = (z − z)/(2i).

(1) Buktikan bahwa |z| = |z|, z = z, dan |z1z2| = |z1||z2|.(2) Buktikan <(z) ≤ |<(z)| ≤ |z| dan =(z) ≤ |=(z)| ≤ |z|.(3) Buktikan bahwa z1z2 = z1 z2, dan (z1/z2) = z1/z2.

(4) Buktikan bahwa |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|, dan ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2|.(5) Tentukan daerah di bidang kompleks yang memenuhi:

|z − 1 + i| = 1, |z + i| ≤ 3, atau <(z − 1) = 2.

FUNGSI KOMPLEKS 3

(6) Tentukan kurva di bidang kompleks yang memenuhi:

z2 + z2 = 2, |z + 4i|+ |z − 4i| = 10, atau |z − 1| = |z − i|.

3. Bentuk Polar

Sebarang koordinat Kartesius (x, y) dapat dirubah ke koordinat Polar (r, θ), melalui

ketentuan

x = r cos θ, y = r sin θ.

Dengan demikian, sebarang bilangan kompleks dapat dituliskan sebagai

z = r(cos θ + i sin θ), r = |z|, tan θ =y

x.

r disebut modulus z, sedangkan θ disebut argumen z, dan dinotasikan dengan arg z.

Nilai Utama dari arg z, yang dinotasikan dengan Arg z, didefinisikan sebagai nilai

tunggal arg z yang bersifat −π < arg z ≤ π.

(1) Buktikan bahwa

arg z = Arg z + 2 nπ, n ∈ Z,

dan Arg z = π, bila z bilangan real negatif.

(2) Buktikan bahwa arg (z1z2) = arg z1 + arg z2, dan arg (z1z−12 ) = arg z1 − arg z2.

(3) Jika <(z1) > 0, dan <(z2) > 0, maka

Arg (z1 + z2) = Arg z1 + Arg z2.

(4) Dengan menggunakan ekspansi Taylor terhadap eiθ, buktikan bahwa sebarang

bilangan kompleks dapat dituliskan dalam bentuk

z := r eiθ = r exp(iθ).

(5) Buktikan bahwa

exp(iθ1) exp(iθ2) = exp(i(θ1 + θ2)), exp(iθ1) exp(−iθ2) = exp(i(θ1 − θ2)).

(6) Tentukan karakterisasi kesamaan dua bilangan kompleks dalam bentuk polar.

(7) Hitunglah argumen dari

−2

1 +√

3i,

i

−2− 2i, (

√3− i)6.

4 ERIDANI

(8) Tentukan semua bilangan kompleks yang memenuhi z3 = 1, z4 + 4 = 0, atau

z4 = 1.

(9) Hitunglah (−8i)1/3, 81/6, (−16)1/4, (1− i√

3)1/2, dan (−8− 8i√

3)1/4.

(10) Tunjukkan bahwa | exp(iθ)| = 1, dan exp(iθ) = exp(−iθ).

(11) Berikan interpretasi geometris terhadap |1− exp(ix)| = 2, 0 ≤ x < 2π.

(12) (Rumus de Moivre). Misalkan x ∈ R. Buktikan bahwa

(cos x + i sin x)n = cos nx + i sin nx, n ∈ Q.

(13) Dengan menggunakan rumus de Moivre, tunjukkan bahwa

cos 3x = cos3 x− 3 cos x sin2 x, sin 3x = 3 cos2 x sin x− sin3 x.

(14) Tunjukkan bahwa arg (z1 − z2) = −arg (z1 − z2). Tunjukkan pula bahwa

Arg (z1 − z2) = −Arg (z1 − z2),

jika dan hanya jika z1 − z2 bukan bilangan real negatif.

(15) Misalkan z1z2 6= 0. Buktikan bahwa

<(z1z2) = |z1||z2|

jika dan hanya jika arg z1 − arg z2 = 2nπ, dengan n ∈ N.

(16) Carilah akar z2 + 2z + (1− i) = 0.

(17) Buktikan bahwa z1 dan z2 mempunyai modulus sama jika dan hanya jika terdapat

c1, c2 ∈ C sedemikian hingga z1 = c1c2 dan z2 = c1c2.

4. Pemetaan

4.1. Fungsi Linier. Pada subbab ini akan diselidiki berbagai jenis daerah di bidang

kompleks dan hasil transformasinya terhadap f(z) := z0z + z1, untuk z0, z1 ∈ C. Daerah

tersebut meliputi beberapa irisan kerucut maupun beberapa daerah dimensi dua yang

sudah cukup dikenal di geometri elementer.

(1) Buktikan bahwa lingkaran dan ellips di bidang kompleks akan dikirimkan ke

bentuk yang sama oleh f(z) := 3z. Selidiki masalah yang sama untuk

f(z) = 3z + (2 + i).

FUNGSI KOMPLEKS 5

(2) Buktikan bahwa sebarang persegi panjang di bidang kompleks tidak akan berubah

bentuk jika ditransformasi oleh f(z) := 4z. Selidiki masalah yang sama untuk

f(z) = 3z + (5− i).

(3) Misalkan z0 ∈ C, dan g(z) := z0z. Tentukan hasil transformasi persegi panjang

dan seperempat cakram oleh g.

(4) Misalkan lingkaran L(P0, r) melalui titik-titik P1, P2, dan P3, dengan |P1P3| = 2r.

Jika `1, dan `2 berturut-turut adalah garis lurus yang melalui P1, P2, dan P2, P3,

hitunglah ∠(`1, `2).

(5) Misalkan diberikan titik-titik P1(x1, y1) dan P2(x2, y2). Buktikan bahwa

(x− x1)(x− x2) + (y − y1)(y − y2) = 0

menyatakan persamaan lingkaran yang berpusat di titik tengah P1P2.

(6) Tentukan syarat agar suatu lingkaran melalui:

• titik-titik sudut suatu segitiga,

• titik-titik sudut suatu bujursangkar/persegi.

(7) Buktikan bahwa lingkaran

ax2 + ay2 + 2gx + 2fy + c = 0

menyentuh sumbu-x, jika g2 = ac. Carilah syarat agar lingkaran tersebut menyen-

tuh sumbu-y.

(8) Tentukan syarat agar suatu lingkaran memotong sumbu-sumbu koordinat di:

• tiga titik berbeda,

• empat titik berbeda.

(9) Carilah persamaan lingkaran yang melalui (1,−2), (4,−3) dan titik pusatnya

terletak di 3x + 4y = 7.

(10) Misalkan garis y = mx + c menyinggung lingkaran x2 + y2 = r2. Buktikan bahwa

c2 = r2(1 + m2).

(11) Misalkan P1 terletak di luar lingkaran L(P0, r). Buktikan bahwa akan selalu ada

dua garis singgung terhadap L(P0, r) yang melalui P1.

(12) Misalkan tiga garis singgung suatu lingkaran membentuk segitiga siku-siku. Car-

ilah persamaan lingkaran tersebut.

6 ERIDANI

Catatan: Tinjaulah lingkaran di kuadran I dan pilihlah garis-garis singgung yang

relevan.

(13) Buktikan bahwa garis x0x + y0y = r2 menyinggung lingkaran x2 + y2 = r2 di

(x0, y0).

(14) Tentukan nilai p agar garis x cos α + y sin α = p menyinggung lingkaran

x2 + y2 − 2ax cos α− 2by sin α = a2 sin2 α.

(15) Misalkan P1, dan P2 adalah titik-titik potong garis y = mx+c terhadap lingkaran

x2 + y2 = 2ax + 2by. Misalkan `1, dan `2 (keduanya melalui pusat koordinat)

masing-masing adalah garis yang melalui P1, dan P2, tentukan syarat yang harus

dipenuhi agar `1⊥ `2.

5. Parabola dan sifat-sifatnya

Parabola didefinisikan sebagai himpunan semua titik P yang jaraknya terhadap satu

titik tertentu (disebut fokus parabola) sama dengan jarak P terhadap garis ` (disebut

direktriks parabola). Misalkan F (p, 0), p > 0, menyatakan fokus parabola dan x = −p

direktriks parabola. Dengan menggunakan definisi jarak antara dua titik dan jarak titik

terhadap garis, jelas bahwa parabola dapat dinyatakan sebagai himpunan

P(F, `) :={(x, y) ∈ R2 : y2 = 4p x

}.

Misalkan `1 menyatakan garis sejajar direktriks yang melalui fokus parabola. Jika `1

memotong parabola di P1, dan P2, maka latus rektum parabola didefinisikan sebagai

kuantitas |P1P2|. Jika P1 = P2, maka P1 disebut verteks parabola. Di masa sekolah

menengah, tentunya anda sudah mengenal verteks sebagai puncak parabola.

(1) Misalkan diberikan titik-titik P1(x1, y1) dan P2(x2, y2). Buktikan bahwa

(x− x1)(x− x2) + (y − y1)(y − y2) = 0

menyatakan persamaan lingkaran yang berpusat di titik tengah P1P2.

(2) Tentukan syarat agar suatu lingkaran melalui:

• titik-titik sudut suatu segitiga,

• titik-titik sudut suatu bujursangkar/persegi.

FUNGSI KOMPLEKS 7

(3) Buktikan bahwa lingkaran

ax2 + ay2 + 2gx + 2fy + c = 0

menyentuh sumbu-x, jika g2 = ac. Carilah syarat agar lingkaran tersebut menyen-

tuh sumbu-y.

(4) Tentukan syarat agar suatu lingkaran memotong sumbu-sumbu koordinat di:

• tiga titik berbeda,

• empat titik berbeda.

(5) Carilah persamaan lingkaran yang melalui (1,−2), (4,−3) dan titik pusatnya

terletak di 3x + 4y = 7.

(6) Misalkan garis y = mx + c menyinggung lingkaran x2 + y2 = r2. Buktikan bahwa

c2 = r2(1 + m2).

(7) Misalkan P1 terletak di luar lingkaran L(P0, r). Buktikan bahwa akan selalu ada

dua garis singgung terhadap L(P0, r) yang melalui P1.

(8) Misalkan tiga garis singgung suatu lingkaran membentuk segitiga siku-siku. Car-

ilah persamaan lingkaran tersebut.

Catatan: Tinjaulah lingkaran di kuadran I dan pilihlah garis-garis singgung yang

relevan.

(9) Buktikan bahwa garis x0x + y0y = r2 menyinggung lingkaran x2 + y2 = r2 di

(x0, y0).

(10) Tentukan nilai p agar garis x cos α + y sin α = p menyinggung lingkaran

x2 + y2 − 2ax cos α− 2by sin α = a2 sin2 α.

(11) Misalkan P1, dan P2 adalah titik-titik potong garis y = mx+c terhadap lingkaran

x2 + y2 = 2ax + 2by. Misalkan `1, dan `2 (keduanya melalui pusat koordinat)

masing-masing adalah garis yang melalui P1, dan P2, tentukan syarat yang harus

dipenuhi agar `1⊥ `2.

Departemen Matematika, Universitas Airlangga, Kampus C, Mulyorejo, Surabaya60115, Indonesia

E-mail address: eri.campanato@gmail.com