Smart Solution

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

Halaman 144 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Pengantar Konsep Dasar Trigonometri

Segitiga Siku-Siku dan Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

Tripel Pythagoras

3 4 5 5 12 13 7 24 25 9 40 41

dst …

8 15 17 20 21 29

Teorema Pythagoras “Bentuk Akar”

Tripel Pythagoras

“Bentuk Akar”

𝑎√𝑏 𝑎√𝑐 𝑎√𝑏 + 𝑐

𝑎

𝑏

𝑐

𝑎√𝑏

𝑎√𝑐

𝑎√𝑏 + 𝑐

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 145

Definisi Perbandingan Trigonometri

Segitiga Siku-Siku

Sinus Kosinus Tangen

sin 𝜃 =sisi depan

sisi miring cos 𝜃 =

sisi samping

sisi miring tan 𝜃 =

sisi depan

sisi samping

DEMI SIN, SAMI COS, DESA TAN

Identitas Trigonometri

Kebalikan Perbandingan Pythagoras

sec 𝑥 =1

cos 𝑥

csc 𝑥 =1

sin 𝑥

cot 𝑥 =1

tan 𝑥

SEC = SEper Cos

tan 𝐴 =sin 𝐴

cos 𝐴

TAN A adalah SINA DIPERKOSA

Ingat teorema Phytagoras: 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2

⇒𝑎2

𝑐2+

𝑏2

𝑐2=

𝑐2

𝑐2

⇔ (𝑎

𝑐)

2

+ (𝑏

𝑐)

2

= 1

Jadi,

sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1

tan2 𝑥 + 1 = sec2 𝑥

1 + cot2 𝑥 = csc2 𝑥

sa

mi

de mi

de

sa

𝜽 𝜽 𝜽

sisi Samping

sisi Miring

sisi Depan

sudut 𝜽

𝑎

𝑏

𝑐

𝜽

dibagi

𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 dibagi

𝐬𝐢𝐧𝟐 𝒙

Halaman 146 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa Kuadran I

Segitiga Sama Sisi Persegi Segitiga Tripel Pythagoras “Sudut 30° dan 60°” “Sudut 45°” “Sudut diapit sisi 5 dan 3 adalah 53°”

Sudut Istimewa Kuadran I Sudut Istimewa Pythagoras

sin 30° =1

2

cos 30° =√3

2

tan 30° =√3

1

sin 60° =√3

2

cos 60° =1

2

tan 60° =1

√3

sin 45° =1

√2

cos 45° =1

√2

tan 45° =1

1

sin 37° =3

5

cos 37° =4

5

tan 37° =3

4

sin 53° =4

5

cos 53° =3

5

tan 53° =4

3

Trik Menghafalkan Cepat , urutannya 𝟏

𝟐√𝟎 s/d

𝟏

𝟐√𝟒 Trik Menghafal, gambarkan segitiga 3 4 5.

Tabel Nilai Trigonometri Tabel Nilai Trigonometri

𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐭𝐚𝐧 𝜽 𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐭𝐚𝐧 𝜽

0° 1

2√𝟎

37°

3

5

4

5

3

4

30° 1

2√𝟏 53°

4

5

3

5

4

3

45° 1

2√𝟐

60° 1

2√𝟑

90° 1

2√𝟒

3

4

5

1

1

2

4

5

1

1 √2 3

53°

37° 45°

45°

2 2

60° 60°

60°

1

2 √3

30°

60°

dib

alik

sin

a d

iper

ko

sa

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 147

Nilai Perbandingan Trigonometri

Tabel Nilai Trigonometri

𝜽 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝐭𝐚𝐧 𝜽

0° 0 1 0

30° 1

2

1

2√3

1

3√3

45° 1

2√2

1

2√2 1

60° 1

2√3

1

2 √3

90° 1 0 −

Kuadran Relasi Sudut Periodisasi Periksa Sudut sin 𝑥 = sin(□ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎°) 𝑥 (180° − 𝑥) Pilih Acuan cos 𝑥 = cos(□ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎°) Genap Ganjil 𝑥 (−𝑥) 180° ± α 90° ± 𝛼 360° − α 270° ± 𝛼 tan 𝑥 = tan(□ + 𝑛 ∙ 𝟏𝟖𝟎°) SEMUA SINdikat 𝑥 TANgan KOSong Fungsi Fungsi Berubah dimana 𝑛 bilangan bulat Tetap sin ↔ cos tan ↔ cot

Grafik Cek Kuadran sin 𝛼 Tanda ± Selesai cos 𝛼

tan 𝛼 Relasi Sudut Negatif

sin(−𝛼) = − sin 𝛼cos(−𝛼) = cos 𝛼tan(−𝛼) = − tan 𝛼

0°

90°

180°

270°

360°

Kuadran I Kuadran II

Kuadran IV Kuadran III

Semua + sin +

tan + cos +

Persamaan Trigonometri sin 𝑥 = sin 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎° 𝛼 (180° − 𝛼)

cos 𝑥 = cos 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟑𝟔𝟎° 𝛼 (−𝛼)

tan 𝑥 = tan 𝛼 ⇒ 𝑥 = □ + 𝑛 ∙ 𝟏𝟖𝟎° 𝛼

dimana 𝑛 bilangan bulat

360°

360°

360°

Halaman 148 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Nilai Perbandingan Trigonometri

Diperoleh dari sudut pada segitiga siku-siku

Kalau segitiganya nggak siku-siku. Gimana?

𝑎 adalah sisi di depan sudut 𝐴 𝑏 adalah sisi di depan sudut 𝐵 𝑐  adalah sisi di depan sudut 𝐶

Aturan Sinus dan Aturan Kosinus

Aturan Sinus Aturan Kosinus

“Ada pasangan sudut–sisi yang berhadapan” “Diketahui dan ditanyakan 3 sisi dan 1 sudut”

sisi – sudut – sudut

(diketahui satu sisi dan dua sudut)

sisi – sisi – sudut

(diketahui dua sisi dan satu sudut di depannya)

sisi – sudut – sisi

(diketahui dua sisi dan sudut yang diapitnya)

sisi – sisi – sisi

(diketahui ketiga sisi segitiga)

𝑎

sin 𝐴=

𝑏

sin 𝐵=

𝑐

sin 𝐶

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴

⇒ cos 𝐴 =𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎2

2𝑏𝑐

Luas Segitiga

alas – tinggi

𝐿 =1

2(𝑎 × 𝑡)

sisi – sudut – sisi

𝐿 =1

2𝑎𝑏 sin 𝐶

satu sisi dan semua sudut

𝐿 =1

2

𝑎2 sin 𝐵 sin 𝐶

sin 𝐴

sisi – sisi – sisi

𝐿 = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)

dimana 𝑠 =1

2(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)

sin 𝐶 =𝑡

𝑏

⇒ 𝑡 = 𝑏 sin 𝐶

a

sin A=

b

sin B

⇒ 𝑏 =𝑎 sin 𝐵

sin 𝐴

𝐶 𝐵

𝑏 𝑐

𝑎

𝐴

𝑡

𝑎

𝑏 𝑐

𝑎

𝐶

𝑏

𝑎

𝐶 𝐵 𝑎

𝐴

𝐶 𝐵

𝑏

𝐵

𝑏 𝑐

?

? 𝑐

?

𝑏

𝐴 𝑏 𝑐

𝑎

?

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 149

Luas Segitiga

sisi – sudut – sisi

𝐿 =1

2𝑎𝑏 sin 𝐶

Luas Segi-n Beraturan Misal segidelapan beraturan. Maka segidelapan beraturan tersusun atas delapan segitiga sama kaki.

Masing-masing segitiga memiliki sudut pusat sebesar 360°

8= 45°.

Sehingga luas segidelapan beraturan adalah delapan kali luas segitiga tersebut.

Luas dan Keliling Segi-n Beraturan

sudut pusat =𝟑𝟔𝟎°

𝒏

𝐿 = 𝑛 ∙1

2𝑟2 sin (

360°

𝑛)

𝐾 = 𝑛𝑟√2 (1 − cos (360°

𝑛))

𝐶

𝑏

𝑎

𝑟 𝑟

360°

𝑛

𝑟 𝑟

Halaman 150 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Trigonometri Kelas XI IPA

Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Alat Bukti: Lingkaran satuan dan 3 buah juring masing-masing bersudut 𝐴, 𝐵, dan (– 𝐵).

Diperoleh dua segitiga yaitu, ∆𝑃𝑂𝑅 dan ∆𝑆𝑂𝑄 dengan ∠𝑃𝑂𝑅 = ∠𝑆𝑂𝑄 sehingga, 𝑃𝑅 = 𝑆𝑄 Dengan membuktikan 𝑃𝑅 = 𝑆𝑄, diperoleh: 𝐜𝐨𝐬(𝑨 + 𝑩) = 𝐜𝐨𝐬 𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝑩 − 𝐬𝐢𝐧 𝑨 𝐬𝐢𝐧 𝑩 𝐜𝐨𝐬(𝑨 − 𝑩) diperoleh dengan sifat relasi sudut negatif 𝐜𝐨𝐬(𝑨 + (−𝑩))

𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑩) dan 𝐬𝐢𝐧(𝑨 − 𝑩) diperoleh dengan sifat relasi sudut kuadran I

Jumlah dan Selisih Dua Sudut

sin(𝐴 ± 𝐵) = sin 𝐴 cos 𝐵 ± cos 𝐴 sin 𝐵cos(𝐴 ± 𝐵) = cos 𝐴 cos 𝐵 ∓ sin 𝐴 sin 𝐵

Substitusi 𝑩 = 𝑨 Eliminasi 𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑨) = 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝑨 𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑩) dengan 𝐬𝐢𝐧(𝑨 − 𝑩) 𝐜𝐨𝐬(𝑨 + 𝑨) = 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝑨 𝐜𝐨𝐬(𝑨 + 𝑩) dengan 𝐜𝐨𝐬(𝑨 − 𝑩)

Trigonometri Sudut Rangkap Jumlah, Selisih dan Perkalian Sudut Rangkap Sinus Sudut Rangkap Kosinus Sin 2𝐴 = 2 sin 𝐴 cos 𝐴 cos 2𝐴 = cos2 𝐴 − sin2 𝐴 𝑆 + 𝑆 2𝑆𝐶

𝑆 − 𝑆 2𝐶𝑆

Substitusi identitas trigonometri 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝑨 + 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝑨 = 𝟏 𝐶 + 𝐶 2𝐶𝐶

𝐶 − 𝐶 −2𝑆𝑆      

Sudut Rangkap Kosinus Yang Lain

Sinus Kuadrat Kosinus Kuadrat cos 2𝐴 = 1 − 2 sin2 𝐴 cos 2𝐴 = 2 cos2 𝐴 − 1

Trigonometri Setengah Sudut Sinus Setengah Sudut Kosinus Setengah Sudut

sin 𝐴 = √1 − cos 2𝐴

2 cos 𝐴 = √

1 + cos 2𝐴

2

1

2⊕

1

2⊖

⊕ ⊖

𝐴 𝐵

−𝐵

𝑅

𝑃

𝑄

𝑆 𝑄

𝑆

𝑅

𝑃 𝑂

𝑂

𝑂

Khusus untuk tan(𝐴 ± 𝐵), tangen sudut rangkap dan

tangen setengah sudut, cukup gunakan sifat identitas “TAN A = SINA DIPERKOSA”

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 151

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Pengantar Trigonometri.

Modul Pengantar Trigonometri ini adalah suplemen untuk modul TRIK SUPERKILAT dan SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013. Mengingat materi Trigonometri memerlukan penguasaan konsep dasar yang kuat pada setiap pokok bahasan. Pada survey yang dilakukan kepada siswa SMA menunjukkan bahwa materi Trigonometri dan Dimensi Tiga adalah topik materi yang paling menakutkan di kalangan siswa. Jadi, tidak ada salahnya apabila pada pokok bahasan Trigonometri ini diberikan suplemen materi pengantar Trigonometri sebagai penguat penguasaan konsep dasar Trigonometri… Untuk sementara hanya konsep trigonometri kelas X dan XI IPA yang dibahas. Trik Superkilat Cara Mudah Menghafal Rumus Trigonometri kelas X dan XI IPA yang lainnya masih akan dilanjutkan dan dipublish segera…. :) Kunjungi laman http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_11.html untuk mengunduh update materi SMART SOLUTION Pengantar Trigonometri ini… :)

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.