smart solution un matematika sma 2013 (skl 2.10 operasi aljabar vektor)
TRANSCRIPT
Smart Solution
UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA (Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 65
2. 10. Menyelesaikan operasi aljabar beberapa vektor dengan syarat tertentu.
Vektor
Notasi Vektor Operasi Aljabar Vektor
οΏ½βοΏ½ = π1π + π2π + π3οΏ½ββοΏ½ = (
π1
π2
π3
)
ποΏ½βοΏ½ = ππ1π + ππ2π + ππ3οΏ½ββοΏ½ = (
ππ1
ππ2
ππ3
)
π1 komponen pada sumbu X π2 komponen pada sumbu Y π3 komponen pada sumbu Z
Panjang Vektor βAkar dari jumlah kuadratβ
|οΏ½βοΏ½| = βπ12 + π2
2 + π32
Vektor Posisi βTitik Koordinat = Komponen Vektorβ
ππ΄ββ ββ ββ = οΏ½βοΏ½ = (
π₯π
π¦π
π§π
)
Vektor Pada Dua Titik βBelakang Kurangi Depanβ
π΄π΅ = οΏ½ββοΏ½ β οΏ½βοΏ½ = (
π₯π β π₯π
π¦π β π¦π
π§π β π§π
)
π΄(π₯π , π¦π , π§π)
οΏ½βοΏ½
O
π΄(π₯π , π¦π , π§π)
π΅(π₯π, π¦π , π§π)
οΏ½ββοΏ½
βοΏ½βοΏ½
O
Penjumlahan Vektor
βJumlahkan Komponen yang Samaβ
οΏ½βοΏ½ + οΏ½ββοΏ½ = (
π1
π2
π3
) + (
π1
π2
π3
) = (
π1 + π1
π2 + π2
π3 + π3
)
Pengurangan Vektor
βKurangkan Komponen yang Samaβ
οΏ½βοΏ½ β οΏ½ββοΏ½ = (
π1
π2
π3
) β (
π1
π2
π3
) = (
π1 β π1
π2 β π2
π3 β π3
)
Perkalian Skalar
βDua Vektor Harus Searahβ βKalikan Komponen yang Samaβ
οΏ½βοΏ½ β οΏ½ββοΏ½ = |οΏ½βοΏ½||οΏ½ββοΏ½| cos π
οΏ½βοΏ½ β οΏ½ββοΏ½ = π1π1 + π2π2 + π3π3
Perkalian Vektor
βDua Vektor Harus Tegak Lurusβ βPutar Komponen yang Bedaβ
οΏ½βοΏ½ Γ οΏ½ββοΏ½ = |οΏ½βοΏ½||οΏ½ββοΏ½| sin π
οΏ½βοΏ½ Γ οΏ½ββοΏ½ = |π π οΏ½ββοΏ½
π1 π2 π3
π1 π2 π3
|
Pembagian Ruas Garis
βHasil Kali Silang Dibagi Jumlahnyaβ
π =ποΏ½ββοΏ½ + ποΏ½βοΏ½
π + π
οΏ½βοΏ½
οΏ½ββοΏ½
π
π΄(π₯π , π¦π , π§π)
π΅(π₯π, π¦π , π§π)
π(π₯π, π¦π, π§π)
π
π
π
Halaman 66 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Sifat Operasi Vektor:
οΏ½βοΏ½ + οΏ½ββοΏ½ = οΏ½ββοΏ½ + οΏ½βοΏ½
(οΏ½βοΏ½ + οΏ½ββοΏ½) + π = οΏ½βοΏ½ + (οΏ½ββοΏ½ + π)
οΏ½βοΏ½ + 0 = 0 + οΏ½βοΏ½ = οΏ½βοΏ½ οΏ½βοΏ½ + (βοΏ½βοΏ½) = 0
Sifat Perkalian Skalar (Perkalian Titik/Dot Product) Dua Vektor:
οΏ½βοΏ½ β οΏ½ββοΏ½ = οΏ½ββοΏ½ β οΏ½βοΏ½
οΏ½βοΏ½ β (οΏ½ββοΏ½ + π) = οΏ½βοΏ½ β οΏ½ββοΏ½ + οΏ½βοΏ½ β π
οΏ½βοΏ½ β οΏ½βοΏ½ = |οΏ½βοΏ½|2
οΏ½βοΏ½ β₯ οΏ½ββοΏ½ β οΏ½βοΏ½ β οΏ½ββοΏ½ = 0 Sifat Perkalian Vektor (Perkalian Silang/Cross Product) Dua Vektor:
π Γ π = π Γ π = οΏ½ββοΏ½ Γ οΏ½ββοΏ½ = 0
π Γ π = οΏ½ββοΏ½
π Γ οΏ½ββοΏ½ = π
οΏ½ββοΏ½ Γ π = π
π Γ π = βοΏ½ββοΏ½
οΏ½ββοΏ½ Γ π = βπ
π Γ οΏ½ββοΏ½ = βπ
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 67
TRIK SUPERKILAT:
Jabarkan
Lihat Syarat
Hitung Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA tentang indikator soal operasi aljabar vektor ini, satu hal yang sering ditanyakan adalah hasil operasi perkalian titik terhadap beberapa operasi aljabar penjumlahan maupun pengurangan vektor dengan syarat ada dua vektor yang tegak lurus.
Misal diketahui οΏ½βοΏ½, οΏ½ββοΏ½, dan π . Jika οΏ½βοΏ½ β₯ οΏ½ββοΏ½, maka tentukan hasil dari (οΏ½βοΏ½ + οΏ½ββοΏ½) β (οΏ½βοΏ½ β π)!
Maka jabarkan (οΏ½βοΏ½ + οΏ½ββοΏ½) β (οΏ½βοΏ½ β π) = οΏ½βοΏ½ β (οΏ½βοΏ½ β π) + οΏ½ββοΏ½ β (οΏ½βοΏ½ β π)
= (οΏ½βββοΏ½ β οΏ½βββοΏ½) β (οΏ½βοΏ½ β π) + (οΏ½βββοΏ½ β οΏ½βββοΏ½) β (οΏ½ββοΏ½ β π)
= |οΏ½βββοΏ½|π
β (οΏ½βοΏ½ β π) + π β (οΏ½ββοΏ½ β π)
Tips dan triknya adalah, Lihat syarat,
Bahwa kita tidak perlu menghitung hasil perkalian titik dari dua vektor yang tegak lurus. Cukup kalikan pada komponen yang sama untuk menentukan hasil perkalian skalar (perkalian titik atau dot product).
Lalu perkalian titik dua vektor yang sama akan menghasilkan nilai yang sama dengan kuadrat panjang vektor tersebut.
Perhatikan tulisan berwarna merah (οΏ½βββοΏ½ β οΏ½βββοΏ½). Perkalian titik dari dua vektor yang tegak lurus adalah NOL!
Perhatikan warna biru (οΏ½βββοΏ½ β οΏ½βββοΏ½). Perkalian titik dari dua vektor yang sama adalah KUADRAT PANJANG VEKTOR!
Lalu hitung perkalian titiknya. Masih ingat (οΏ½βοΏ½ β π) atau (οΏ½ββοΏ½ β π)?
Perkalian titik dua vektor yang tidak tegak lurus itu KALIKAN KOMPONEN YANG SAMA! SELESAI!
Halaman 68 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
KESIMPULAN LOGIKA PRAKTIS: Satu hal yang unik pada operasi aljabar vektor adalah untuk penjumlahan, pengurangan dan perkalian titik, semua operasi hanya dilakukan pada KOMPONEN VEKTOR YANG SAMA.
Kalau penjumlahan dua vektor, ya jumlahkan komponen-komponen yang sama. Jika pengurangan dua vektor, maka kurangkanlah komponen-komponen yang sama. Dan apabila perkalian titik, juga kalikan komponen-komponen yang sama.
PERBEDAAN mendasar hanya ada pada PERKALIAN SILANG, atau dikenal dengan perkalian vektor atau cross product. Triknya adalah sebagai berikut:
π
π οΏ½βββοΏ½ +
π Γ π = οΏ½βββοΏ½ Jadi kalau perkaliannya dua komponen vektor yang posisinya searah jarum jam hasilnya POSITIF komponen vektor berikutnya.
π dikalikan silang dengan π maka hasilnya POSITIF οΏ½ββοΏ½.
π dikalikan silang dengan οΏ½ββοΏ½ maka hasilnya POSITIF π.
οΏ½ββοΏ½ dikalikan silang dengan π maka hasilnya POSITIF π. Sehingga, apabila dibalik arah perkalian silangnya, hasilnya NEGATIF.
Contohnya yaitu apabila π dikalikan silang dengan π maka hasilnya NEGATIF οΏ½ββοΏ½.
π Γ π = βοΏ½βββοΏ½
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 69
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menyelesaikan Operasi Perkalian Titik dengan Syarat Ada Vektor yang Tegak Lurus. Contoh Soal:
Diketahui vektor οΏ½βοΏ½ = (π22
), οΏ½ββοΏ½ = (2
β53
) dan π = (21
β1). Jika vektor οΏ½βοΏ½ tegak lurus dengan vektor οΏ½ββοΏ½, maka
tentukan nilai dari 2οΏ½βοΏ½ β (οΏ½ββοΏ½ β 3π) = β¦.
a. 0 b. 6 c. 12 d. 18 e. 24
Penyelesaian:
οΏ½βοΏ½ β₯ οΏ½ββοΏ½ β οΏ½βοΏ½ β οΏ½ββοΏ½ = 0
β (π22
) β (2
β53
) = 0
β 2π β 10 + 6 = 0β 2π β 4 = 0β 2π = 4β π = 2
Dengan demikian diperoleh:
οΏ½βοΏ½ = (222
)
Dengan menggunakan sifat perkalian titik dua vektor, diperoleh:
οΏ½βοΏ½ β₯ οΏ½ββοΏ½ β οΏ½βοΏ½ β οΏ½ββοΏ½ = 0
οΏ½βοΏ½ β π = (222
) β (21
β1) = (2 β 2) + (2 β 1) + (2 β (β1)) = 4 + 2 β 2 = 4
2π β (π β 3π) = 2οΏ½βοΏ½ β οΏ½ββοΏ½ β 2οΏ½βοΏ½ β 3π
= 2(οΏ½βοΏ½ β οΏ½ββοΏ½) β 6(οΏ½βοΏ½ β π)
= 2(0) β 6(4)= 0 + 24= 24
Jadi nilai 2π β (π β 3π) = 24 Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Lihat bahwa οΏ½βββοΏ½ tegak lurus οΏ½βββοΏ½, maka οΏ½βββοΏ½ β οΏ½βββοΏ½ = π Jabarkan perkalian titik pada soal:
2οΏ½βοΏ½ β (οΏ½ββοΏ½ β 3π) = π(οΏ½βββοΏ½ β οΏ½βββοΏ½) β 6(οΏ½βοΏ½ β π)
= π β 6(4)= β24
Halaman 70 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menyelesaikan Operasi Perkalian Titik dengan Syarat Ada Vektor yang Berlawanan. Contoh Soal:
Diketahui vektor οΏ½βοΏ½ = (1πβ2
), οΏ½ββοΏ½ = (2
β31
) dan π = (β224
). Jika vektor οΏ½βοΏ½ berlawanan dengan vektor π, maka
tentukan nilai dari 4οΏ½βοΏ½ β (2π β οΏ½ββοΏ½) = β¦.
a. β24 b. 0 c. 12 d. 48 e. 72
Penyelesaian: οΏ½βοΏ½ berlawanan arah dengan π β οΏ½βοΏ½ = βππ
β (1πβ2
) = βπ (β224
)
Dari persamaan tersebut diperoleh:
1 = βπ(β2) β π =1
2
Maka,
π = βπ(2) β π = (β1
2) (2) = β1
Dengan demikian diperoleh:
οΏ½βοΏ½ = (1
β1β2
)
Dengan menggunakan sifat perkalian titik dua vektor, diperoleh:
οΏ½βοΏ½ β οΏ½ββοΏ½ = (1
β1β2
) β (2
β31
) = (1 β 2) + ((β1) β (β3)) + ((β2) β 1) = 2 + 3 β 2 = 3
οΏ½βοΏ½ β π = (1
β1β2
) β (β224
) = (1 β (β2)) + ((β1) β 2) + ((β2) β 4) = β2 β 2 β 8 = β12
4οΏ½βοΏ½ β (2π β οΏ½ββοΏ½) = 4οΏ½βοΏ½ β 2π β 4οΏ½βοΏ½ β οΏ½ββοΏ½
= 8(οΏ½βοΏ½ β π) β 4(οΏ½βοΏ½ β οΏ½ββοΏ½)
= 8(3) β 4(β12)
= 24 β (β48)= 72
Jadi nilai 4οΏ½βοΏ½ β (2π β οΏ½ββοΏ½) = 72
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT: Dua vektor itu berlawanan jika angkanya juga saling berlawanan dan berkelipatan. Perhatikan vektor οΏ½βοΏ½ dan vektor π berikut:
οΏ½βοΏ½ = (1πβ2
) dan π = (β224
)
Bandingkan kotak merah dan kotak biru. Logika praktisnya. Kalau β2 itu 1, maka 2 itu β1. Jelas bahwa π = β1.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 71
Menyelesaikan Operasi Perkalian Titik dengan Syarat Ada Vektor yang Sama Panjang. Contoh Soal:
Diketahui vektor οΏ½βοΏ½ = (1π
β2), οΏ½ββοΏ½ = (
2β31
) dan π = (β224
). Jika panjang vektor οΏ½βοΏ½ sama dengan panjang vektor
οΏ½ββοΏ½, dan π < 0, maka tentukan nilai dari (οΏ½βοΏ½ + οΏ½ββοΏ½) β (οΏ½ββοΏ½ β π) = β¦.
a. β5 b. β3 c. 3 d. 9 e. 15
Penyelesaian:
|οΏ½βοΏ½|=|οΏ½ββοΏ½| β β(1)2 + (π)2 + (β2)2 = β(2)2 + (β3)2 + (1)2
β (1)2 + (π)2 + (β2)2 = (2)2 + (β3)2 + (1)2
β 1 + π2 + 4 = 4 + 9 + 1
β π2 + 5 = 14
β π2 + 5 β 14 = 0
β π2 β 9 = 0pembuat nol
β (π + 3)(π β 3) = 0β π + 3 = 0 atau π β 3 = 0β π = β3 ββ atau π = 3
Karena syarat π > 0, maka π = 3.
Dengan demikian diperoleh οΏ½βοΏ½ = (13
β2)
Dengan menggunakan sifat perkalian titik dua vektor, diperoleh:
οΏ½βοΏ½ β οΏ½ββοΏ½ = (13
β2) β (
2β31
) = (1 β 2) + (3 β (β3)) + ((β2) β 1) = 2 β 9 β 2 = β9
οΏ½βοΏ½ β π = (13
β2) β (
β224
) = (1 β (β2)) + (3 β 2) + ((β2) β 4) = β2 + 6 β 8 = β4
οΏ½ββοΏ½ β π = (2
β31
) β (β224
) = (2 β (β2)) + ((β3) β 2) + (1 β 4) = β4 β 6 + 4 = β6
|οΏ½ββοΏ½|2
= (2)2 + (β3)2 + (1)2 = 4 + 9 + 1 = 14
(οΏ½βοΏ½ + οΏ½ββοΏ½) β (οΏ½ββοΏ½ β π) = οΏ½βοΏ½ β οΏ½ββοΏ½ β οΏ½βοΏ½ β π + οΏ½ββοΏ½ β οΏ½ββοΏ½ β οΏ½ββοΏ½ β π
= οΏ½βοΏ½ β οΏ½ββοΏ½ β οΏ½βοΏ½ β π + |οΏ½ββοΏ½|2
β οΏ½ββοΏ½ β π
= (β9) β (β4) + 14 β (β6)= β9 + 4 + 14 + 6= 15
Jadi nilai (οΏ½βοΏ½ + οΏ½ββοΏ½) β (οΏ½ββοΏ½ β π) = 15
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Dua vektor itu sama panjang jika kuadrat dari komponennya juga sama. Nah perhatikan vektor οΏ½βοΏ½ dan οΏ½ββοΏ½
οΏ½βοΏ½ = (1πβ2
) dan οΏ½ββοΏ½ = (2
β31
)
Ingat pada bilangan kuadrat itu tidak masalah bilangannya positif atau negatif. Karena bilangan positif maupun negatif kalau dikuadratkan hasilnya sama. Bukti: (β2)2 = (2)2 = 4.
Sekarang bandingkan bilangan pada vektor οΏ½βοΏ½ dan οΏ½ββοΏ½. Pada vektor οΏ½ββοΏ½ memuat bilangan 2, 3, dan 1. Logika praktisnya. Karena vektor οΏ½βοΏ½ sudah ada bilangan 1 dan 2, maka pasti π = 3 (pilih yang positif sesuai syarat pada soal π > 0).
Halaman 72 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Diketahui vektor
1
2
p
a
;
6
3
4
b
; dan .
3
1
2
c
Jika a tegak lurus ,b maka hasil dari
cba 3.2 adalah ....
A. 171
B. 63
C. β63
D. β111
E. β171
2. Diketahui vektor kjxia 3 , kjib 2 , dan kjic 23 Jika a tegak lurus ,b
maka hasil dari cba .2 adalah ....
A. β20
B. β12
C. β10
D. β8
E. β1
3. Diketahui vektor .22dan ,23,2 kjickjibkxjia Jika a tegak lurus ,c
maka caba . adalah ....
A. β4
B. β2
C. 0
D. 2
E. 4
Jika adik-adik butuh βbocoranβ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
Karena οΏ½βοΏ½ β₯ οΏ½ββοΏ½ β οΏ½βοΏ½ β οΏ½ββοΏ½ = 0
β (π2
β1) β (
4β36
) = 0
β 4π β 6 β 6 = 0β π = 3
(οΏ½βοΏ½ β 2οΏ½ββοΏ½) β (3π) = (3 β 8
2 β (β6)β1 β 12
) β (6
β39
)
= (β58
β13) β (
6β39
)
= β30 β 24 β 117= β171
Karena οΏ½βοΏ½ β₯ οΏ½ββοΏ½ β οΏ½βοΏ½ β οΏ½ββοΏ½ = 0
β (1
βπ₯3
) β (21
β1) = 0
β 2 β π₯ β 3 = 0β π₯ = β1
(2οΏ½βοΏ½) β (οΏ½ββοΏ½ β π) = (226
) β (2 β 11 β 3
β1 β 2)
= (226
) β (1
β2β3
)
= 2 β 4 β 18= β20
Karena οΏ½βοΏ½ β₯ π β οΏ½βοΏ½ β π = 0
β (12
βπ₯) β (
212
) = 0
β 2 + 2 β 2π₯ = 0β π₯ = 2
(οΏ½βοΏ½ + οΏ½ββοΏ½) β (οΏ½βοΏ½ β π) = (1 + 32 β 2
β2 + 1) β (
1 β 22 β 1
β2 β 2)
= (40
β1) β (
β11
β4)
= β4 + 0 + 4= 0