Portfolio Tugas

II2094 Sinyal dan Sistem (3 SKS)

1 Penjelasan

Portfolio Tugas ini berisikan kumpulan tugas individu untuk:

1. mempelajari materi dalam buku teks secara berkelompok,

2. mengerjakan soal secara berkelompok,

3. menjelaskan materi serta hasil pengerjaan soal di depan kelas oleh utusan kelompok sesuai jadwal,

4. melaporkan sesuai deadlines hasil belajar dalam bentuk tertulis dalam map portfolio individu untuk menda-patkan nilai.

2 Materi 1 Sinyal dan Sistem

2.1 Soal 1 (Sumber [2])Diketahui sistem: y(t) = x(t+ 2) sin(ωt+ 2) di mana ω 6= 0. Apakah sistem linier? Apakah sistem time invariant?Apakah sistem causal? Apakah sistem stabil?

2.2 Soal 2 (Sumber [2])

Diketahui sistem y[n] =(− 1

2

)n(x [n] + 1). Apakah sistem linier? Apakah sistem time invariant? Apakah sistem

causal? Apakah sistem stabil?

2.3 Soal 3 (Sumber [2])Diketahui sistem y[n] =

∑nk=1

(x2 [k + 1]− x [k]

). Apakah sistem linier? Apakah sistem time invariant? Apakah

sistem causal? Apakah sistem stabil?

3 Materi 2: Sistem LTI

3.1 Soal 1 (Sumber [5])Dari pengamatan input-output sebuah sistem time-invariant diperoleh pasangan input-output sebagai berikut.

x[n] y[n]

1, 0, 2↑

0, 1, 2↑

0, 0, 3↑

1, 0, 0, 2↑

0, 0, 0, 1↑

1, 2, 1↑

1. Tentukan apakah sistem linier atau tidak.

2. Cari respons impulse h[n]

1

3 Materi 2: Sistem LTI 2

3.2 Soal 2 (Sumber [5])(Sumber [4]). Dari pengamatan input-output sebuah sistem linier diperoleh pasangan input-output sebagaiberikut.

x[n] y[n]

−1, 2, 1↑

1, 2, −1, 0, 1↑

1, −1, −1↑

−1, 1, 0, 2↑

0, 1, 1↑

1, 2, 1↑

1. Tentukan apakah sistem time-invariant atau tidak.

2. Cari respons impulse h[n]

3.3 Soal 3 (Sumber [2])Tinjau sebuah sistem LTI waktu diskrit H2, dengan respons unit sample sebagai berikut: h2 [n] = h [n] ∗ h[n+ 1],di mana h [n] = δ [n]− δ [n− 1], sebagaimana diperlihatkan pada gambar berikut.

h2 [n]

n

1

-2

1

-2 -10

1 2

Kemudian sistem H2 ini dihubungkan dengan sinyal p[n] dan d[n] sebagaimana pada gambar berikut ini.

+ h2 [n]p [n] x [n] y [n]

d [n]

Diketahui sinyal d [n] = 0 dan p [n] sebagaimana gambar di bawah ini.

p [n]

n

2 2 2 2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

1. Sketsalah y [n].

2. Ulangi soal ini dengan d [n] = −δ [n+ 1]. Sketsalah y [n].

3. Ulangi soal ini dengan d [n] = −δ [n+ 1] dan sistem Hs ditambahkan sebagaimana gambar berikut ini.

Sketsalah y [n] bila respons impuls dari sistem Hs adalah hs[n] =1, 2, 1

↑ .

+ hs [n] h2 [n]p [n] x [n] ys [n] y [n]

d [n]

4 Materi 3: Deret Fourier Untuk Sinyal Periodik 3

3.4 Soal 4 (Sumber [2])Perhatikan sebuah sistem LTI waktu kontinu dengan respons impuls h (t).

t

h (t)

1

-1 1

x (t) h (t) y (t)

Carilah output y (t), bila input adalah x (t) =∑∞k=2 δ (t− k) , sebagaimana diperlihatkan berikut ini.

t-1 0

x (t)

1 2 3 4 5

1 1 1 1

Kemudian coba cari/sketsa input x (t) apabila output y(t) diketahui periodik dengan gambar sebagai berikut.

t-4-3

-2 0

x (t)

23 4

6

8

-2

2

4 Materi 3: Deret Fourier Untuk Sinyal Periodik

4.1 Soal 1 (Sumber [2])Sebuah gelombang periodik x (t) memiliki bentuk sebagai berikut.

t0

x (t)

1

-1

-1-0.75

-0.25 0.75

0.5 1

1. Carilah koefisien deret Fourier ak dari x(t) ini.

2. Sinyal x(t) ini adalah input dari sebuah sistem kausal LTI, menghasilkan output y(t) menurut sebuah per-samaan LCCDE: d2y(t)

dt2 + 4π dy(t)dt + 4π2y (t) = 4π2x (t), dan sinyal y(t) memiliki deret Fourier bk , maka

carilah b3 dan b−3 .

4.2 Soal 2 (Sumber [2])Sebuah sinyal waktu diskrit x[n] memiliki sifat sebagai berikut:

1. x[n] real dan ganjil

2. x[n] periodik dengan periode N = 6.

3. 1N

∑n=〈N〉 |x[n]|2 = 10

5 Materi 4: Transformasi Fourier Waktu Kontinu 4

4.∑n=〈N〉 (−1)

n/3x[n] = 6j

5. x[1] > 0

Carilah ekspresi x[n] dalam bentuk sinus dan/atau cosinus. (Sumber: [1]).

5 Materi 4: Transformasi Fourier Waktu Kontinu

5.1 Soal 1 (Sumber [1])Sebuah sinyal x(t) memiliki persamaan

x (t) =

a, |t| < T

0, |t| > T

Cari dan sketsalah X(jω). Apa yang terjadi pada X(jω) bila T membesar atau mengecil? Apa yang terjadipada X(jω) bila T membesar atau mengecil?

5.2 Soal 2 (Sumber [1])Sebuah sinyal x(t) memiliki transformasi Fourier

X (jω) =

α, |ω| < W

0, |ω| > W

Cari dan sketsalah x(t) . Apa yang terjadi pada x(t) bila α membesar atau mengecil? Apa yang terjadi padax(t) bila W membesar atau mengecil?

5.3 Soal 3 (Sumber [1])Sebuah sistem LTI yang causal dan stabil memiliki respons frekuensi

H (jω) =jω + 4

6− ω2 + 5jω

1. Cari persamaan LCCDE sistem ini

2. Tentukan respons impulse h(t) dari sistem ini

3. Tentukan output sistem y(t) ini bila dimasuki input x(t) = e−4tu (t)− te−4tu (t)

6 Materi 5: Transformasi Fourier Waktu Diskrit

6.1 Soal 1 (Sumber [1])

Sebuah sinyal y [n] =(

sinωcnπn

)2dimana 0 < ωc < π memiliki transformasi Fourier Y

(ejω). Tentukan besar ωc

agar Y(ejπ)

= 12 .

6.2 Soal 2 (Sumber [1])Sebuah sistem causal dan stabil memiliki persamaan LCCDE

y [n]− 1

6y [n− 1]− 1

6y [n− 2] = x [n]

1. Tentukan respons frekuensi sistem H(ejω).

2. Tentukan impulse response nya h[n].

3. Bila sistem dimasuki x [n] = sin(π2n), cari outputnya.

4. Bila sistem dimasuki x [n] = sin(π2 k), cari outputnya.

7 Materi 6: Filter dan Time Frequency 5

7 Materi 6: Filter dan Time Frequency

Sebuah sistem CT LTI ternyata memiliki dua subsistem kaskade sebagai berikut.

x (t) Sistem Az (t)

1 + jω y (t)

Overall System

Sistem keseluruhan ini memiliki Bode plot sebagai berikut

ω0.1 1 10 100 1000

-40

-20

0

ω0.1 1 10 100 1000

−π2

−π4

0

π4

π2

1. (skor 20) Cari response frekuensi dari sistem A: A (jω)= _______

8 Materi 7: Sampling

Perhatikan sistem sampling berikut ini

x (t) ×ImpulseTo

Sequencex [n]

p (t)

xp (t)

Di mana Sampling p (t) =∑∞k=−∞ δ (t− kT ), transformasi Fourier dari x (t), xp (t), dan x [n] masing-masing

dinyatakan sebagai X (jω), Xp (jω), dan X(ejΩ). X (jω) diperlihatkan pada sketsa di bawah dan T = 0.5× 10−3

detik.

9 Materi 8: Transformasi Laplace 6

ω

X (jω)

1

−2π × 103 2π × 103

1. Sketsa lah (beserta label yang jelas) dari Xp (jω) dan X(ejΩ)

ω

Xp (jω)

Ω

X(ejΩ)

−π π

2. Tentukan´∞∞ x (t) dt =

3. Tentukan∑∞n=−∞ x [n]=

4. Perhatikan bahwa kita biasanya ingin T sebesar mungkin agar jumlah sampling perdetik tidak boros. NamunT tidak boleh terlalu besar karena bisa menimbulkan aliasing. Oleh sebab itu kita menetapkan T < A.Asumsi sekarang bahwa spektrum X (jω) bandlimited, artinya X (jω) = 0 untuk |ω| ≥ W . Cari A agarselalu berlaku

T

∞∑n=−∞

x [n] =

ˆ ∞∞

x (t) dt

A =

9 Materi 8: Transformasi Laplace

Sebuah sistem memiliki umpan balik sebagai berikut

x (t) + G (s) H (s) y (t)

−

e (t)

di mana H (s) = 1s2 disebut plant, x(t) adalah input referensi, e(t) = x(t) − y(t) adalah sinyal error, dan y(t)

adalah output dari plant H(s).

1. Apakah sistem plant H (s) stabil ? _______

2. Carilah fungsi sistem dalam term s dan G(s):

(a) (skor 5) Y (s)X(s)=

(b) (skor 5) E(s)X(s)=

10 Materi 9: Transformasi Z 7

3. Seandainya G(s) = Kds + Kp, di mana Kd dan Kp adalah bilangan real, maka carilah kedua nilai itusedemikian agar seluruh sistem feedback ini teredam secara kritis (critically damped, yakni ξ = 1) padafrekuensi natural ωn = 10 rad/s.

(a) (skor 5) Kd =

(b) (skor 5) Kp =

10 Materi 9: Transformasi Z

Sebuah sistem memiliki respons impulse h (t) dengan transformasi z (dan RoC daerah luar dari lingkaran poleterluar di z plane)

H (z) =1− 2z−1

1− 52z−1 + z−2

1. Cari persamaan input output dalam bentuk difference equation dari sistem ini

2. Apakah sistem ini causal? Jelaskan.

3. Bila ada sistem lain HI (z) stabil dan berlaku HI (z)H (z) = 1, maka carilah HI (z) dan RoC nya.

HI (z) = ROC:

4. Apakah sistem HI (z) ini causal? Jelaskan

References

[1] A. V. Oppenheim and A. S. Willsky (with S Hamid Nawab), Signals & Systems (Second Edition), Prentice-HallInternational, 1997. ISBN 0-13-651175-9

[2] Zue, Gray, Rohrs, and Voldman, MIT Opencourseware, Quiz 1, 6.003 Signals and Systems, Department ofElectrical Engineering and Computer Science, MIT, 14 October 2003

[3] Zue, Gray, Rohrs, and Voldman, MIT Opencourseware, Quiz 2, 6.003 Signals and Systems, Department ofElectrical Engineering and Computer Science, MIT, 13 November 2003

[4] Zue, Gray, Rohrs, and Voldman, MIT Opencourseware, Final Exam, 6.003 Signals and Systems, Departmentof Electrical Engineering and Computer Science, MIT, 16 December 2003

[5] J. G. Proakis and D. G. Manolakis, Digital Signal Processing: Principles, Algorithms, and Applications.Prentice-Hall International, 1996. ISBN 0-13-373762-4