salman vektor
DESCRIPTION
pembelajaran lainnyaTRANSCRIPT
1
1. Perlihatkan bahwa jarak L dari titik ke bidang Ax + By + Cz = D, diberikan oleh rumus:
Jawab:
Ilustrasi
Andaikan suatu titik pada bidang V dan adalah vektor dari titik ke titik , serta adalah vektor yang tegak lurus terhadap bidang V.
Sehingga, L adalah panjang proyeksi m pada n:
2. Carilah persamaan untuk bidang singgung dan garis normal terhadap permukaan di titik (3,1,2)!
Jawab:
Misalkan: ; ;
di titik (3,1,2), di mana
Vektor kedudukan dari titik (3,1,2) adalah . Vektor kedudukan dari sebarang titik pada bidang adalah
tegak lurus n dan persamaan bidangnya adalah:
Garis normalnya adalah:
3. Buktikan bahwa:
(A.BC).(a.bc) =
Jawab:
Misalkan: A =
a =
B =
b =
C =
c =
A.(BC)=
a.(bc)= =
(A.BC).(a.bc)
=
EMBED Equation.3 =
=
(TERBUKTI)
4. Buktikan curl
Jawab :
adt:
karena psi adalah fungsi skalar dan urutan penurunan tidak diperhitungkan maka curl psi grad psi = 0
5. dalam arah di sebelah utara dari barat. Tentukan pergeseran resultan secara analaitis !
Jawab :
C
B
A
O
6. Jika a dan b adalah vector-vektor tak kolinier dan A = (x + 4y) a + (2x + y + 1) b dan B = (y 2x + 2) a + (2x 3y 1) b, maka carilah x dan y sehingga 3A = 2B !
Jawab :
3A = 2B
Jadi nilai x = 2 dan nilai y = -1
7. Jika , carilah A bila pada saat t = 0 diketahui bahwa pada t = 0 !
Jawab :
8. Jika:
Carilah pada u = 0!
Jawab:
Sehingga:
9. Carilah untuk ruang , dan yang disebut kubik terbelit (twisted cubic)!
Jawab:
; ;
maka:
maka:
10. Buktikan bahwa vektor selenoidal!
Jawab:
11. Jika mengelilingi lingkaran dalam bidang xy yang berpusat di titik asal dan berjejari 2 yang dilintasi dalam arah positif
Jawab :
Misalkan:
x = 2 cos t
y =2 sin t
dx = -2 sin t
dy = 2 cos t
z = 0
dz = 0
Sehingga,
+
12. (a) Jika buktikan bahwa tak bergantung pada kurva C yang menghubungkan dua buah titik yang diberikan.
(b) Perlihatkan bahwa ada terdapat suatu fungsi diferensiabel sehingga .
Jawab :
Jadi, integral hanya bergantung pada titik-titik dan tidak pada lintasan yang menghubungkan mereka
(b) Jika integral garis tak bergantung pada lintasan, maka
13. Sebuah sungai lebarnya 0,62 mil. Laju air dalam sungai adalah 6 mil tiap. Perahu Karen dapat melaju 20 mil tiap jam dalam air yang yidk mengalir. Dengan arah manakah perahu harus ditujukan apabila Karen ingin sampai di seberang sungai pada sebuah titik yang garis hubungnya tegak lurus arah aliran. Berapa waktu yang diperlukan untuk menyebrangi?
Jawab:
adalah laju kapal yang searah dengan kecepatan v
Sehingga:
Waktu yang diperlukan untuk menyebrangi sungai adalah:
14. Diketahui sebuah segitiga ABC, dimana A dan B( dan C. Jika P titik tengah AC dan Q titik tengah BC, maka dengan menggunakan vektor tunjukkan bahwa PQ sejajar AB!
Jawab:
Ilustrasi
Sehingga, AB = 2 PQ
Karena PQ kelipatan dari AB, maka PQ sejajar AB
15. Perhatikan gambar berikut!
Jawab:
Karena S dan T masing-masing adalah titik tengah AC dan BD, maka:
Sehingga:
16. Buktikan ketiga vektor berikut dapat membentuk sebuah segitiga :
[3,1,-2], [-1,3,4], [4,-2,-6]. Tentukan pula panjang garis-garis berat segitiga tersebut!
Jawab:
Ilustrasi
b + c = [-1,3,4] + [4,-2,-6]
= [3,1,-2]
= a
Sehingga, b + c = a
Karena b + c = a, maka ketiga vektor tersebut membentuk sebuah segitiga.
(TERBUKTI)
Perhatikan gambar diatas!
Panjang verktor-vektor d, e, dan f merupakan panjang garis-garis berat pada segitiga tersebut.
Jadi, panjang garis-garis berat segitiga tersebut adalah , dan
17. Diketahui a OP + b OQ + c OR = 0 dan a + b + c = 0. a, b dan c masing-masing bukan nol. Tunjukkan bahwa P, Q dan R kolinier!
Jawab:
a + b + c = 0
c = - (a + b)
a OP + b OQ + c OR = 0
a OP + b OQ + (-(a + b)) OR = 0
a OP + b OQ - a OR - b OR = 0
a OP - a OR + b OQ - b OR = 0
a (OP OR) + b (OQ OR) = 0
a RP + b RQ = 0
- (a RP ) = b RQ
a PR = b RQ
PR : RQ = b : a
Sehingga,
PR : (PR + RQ) = b : (a + b)
PR : PQ = b : (a + b)
EMBED Equation.3
PR = k PQ , dimana k =
Jadi, P, Q dan R kolinier18. Buktikan bahwa sudut yang dibentuk dalam sebuah setengah lingkaran adalah siku-siku!
Jawab:
Ilustrasi
Perhatikan gambar!
OA + AC = OC
AC = OC OA
OC + CB = OB
CB = OB OC
Sehingga:
AC . CB = ( OC OA) . (OB - OC)
= OC . OB OC . OC OA . OB + OA . OC
= (OC . OB) (OC . OC) + (OB .OB) - (OB . OC)
= (OC . OB) (OC . OC) + (OB .OB) - (OC . OB)
= (OB .OB) - (OC . OC)
=
=
= 0
Karena AC . CB = 0 berarti bahwa sudut antara AC dan CB adalah 900.
Jadi, sudut yang dibentuk dalam setengah lingkaran adalah siku-siku.
19. Diketahui a = [-3, x, y], b = [-2,1,2] dan . Jika panjang proyeksi a pada b adalah 2, maka tentukan nilai y?
Jawab:
Misalkan: adalah panjang proyeksi a pada ba = [-3, x, y]
b = [-2,1,2]
Sehingga,
Substitusi (1) ke (2), sehingga diperoleh:
Jadi, nilai y adalah 3 dan -3
20. Misalkan r1 dan r2 adalah vektor-vektor satuan dalam bidang XY yang membuat sudut-sudut dan dengan sumbu-sumbu positif. Dengan meninjau r1 dan r2, buktikan rumus Trigonometri:
Jawab:
Buktikan:
r1 = a i + b j
= () i + () j
r2 = c i + d j = ()i + ()j
Sehingga,
(TERBUKTI) Buktikan:
(TERBUKTI)
n = [A,B,C]
EMBED Equation.3
L
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
v
C
Karena P titik tengah AC dan Q titik tengah BC, maka:
EMBED Equation.3
Q
P
B
A
C
Arahnya :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
6
20
v
A
B
D
S
T
Pada segiempat sebarang ABCD, S dan T masing-masing adalah titik tengah AC dan BD. Jika ST = u, maka tunjukkan bahwa:
AB + AD + CB + CD = 4u
b
a
c
d
e
f
Misalkan:
a = [3,1,-2]
b = [-1,3,4]
c = [4,-2,-6]
C
Karena OA, OB, OC jari-jari lingkaran, maka:
EMBED Equation.3
OA dan OB berlawanan arah, sehingga:
OA = - OB
O
B
A
y
EMBED Equation.3
b
EMBED Equation.3
d
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
x
c
a
a = EMBED Equation.3
b = EMBED Equation.3
c = EMBED Equation.3
d = EMBED Equation.3
_1229502396.unknown
_1229512690.unknown
_1229517300.unknown
_1260197344.unknown
_1260206605.unknown
_1260208443.unknown
_1260209424.unknown
_1260209447.unknown
_1318056566.unknown
_1260209432.unknown
_1260208485.unknown
_1260207590.unknown
_1260207681.unknown
_1260207934.unknown
_1260208110.unknown
_1260208421.unknown
_1260208063.unknown
_1260207861.unknown
_1260207612.unknown
_1260206976.unknown
_1260207398.unknown
_1260206806.unknown
_1260198584.unknown
_1260198650.unknown
_1260206514.unknown
_1260198615.unknown
_1260198512.unknown
_1260198544.unknown
_1260198474.unknown
_1229522335.unknown
_1229524281.unknown
_1260197337.unknown
_1229524095.unknown
_1229524280.unknown
_1229523846.unknown
_1229521692.unknown
_1229522326.unknown
_1229521601.unknown
_1229515318.unknown
_1229515986.unknown
_1229516498.unknown
_1229516769.unknown
_1229516349.unknown
_1229516373.unknown
_1229516282.unknown
_1229515548.unknown
_1229515587.unknown
_1229515741.unknown
_1229515568.unknown
_1229515490.unknown
_1229515518.unknown
_1229515434.unknown
_1229514632.unknown
_1229514774.unknown
_1229514844.unknown
_1229514717.unknown
_1229513355.unknown
_1229513069.unknown
_1229510535.unknown
_1229511324.unknown
_1229511580.unknown
_1229511899.unknown
_1229512204.unknown
_1229512249.unknown
_1229512279.unknown
_1229512231.unknown
_1229512033.unknown
_1229511843.unknown
_1229511418.unknown
_1229511564.unknown
_1229510827.unknown
_1229511006.unknown
_1229511309.unknown
_1229510592.unknown
_1229505183.unknown
_1229510422.unknown
_1229510521.unknown
_1229510306.unknown
_1229504406.unknown
_1229504450.unknown
_1229505145.unknown
_1229503597.unknown
_1229503658.unknown
_1229502407.unknown
_1229502919.unknown
_1229346929.unknown
_1229498181.unknown
_1229500221.unknown
_1229502378.unknown
_1229502392.unknown
_1229502358.unknown
_1229502370.unknown
_1229499156.unknown
_1229500142.unknown
_1229498210.unknown
_1229499147.unknown
_1229497754.unknown
_1229497965.unknown
_1229498091.unknown
_1229497896.unknown
_1229347287.unknown
_1229497448.unknown
_1229497653.unknown
_1229347531.unknown
_1229347107.unknown
_1229347133.unknown
_1229347153.unknown
_1229346965.unknown
_1229344363.unknown
_1229344594.unknown
_1229346899.unknown
_1229346911.unknown
_1229345296.unknown
_1229345608.unknown
_1229346030.unknown
_1229345477.unknown
_1229345016.unknown
_1229344388.unknown
_1229344400.unknown
_1229344376.unknown
_1229291772.unknown
_1229342105.unknown
_1229344144.unknown
_1229342140.unknown
_1229342376.unknown
_1229342122.unknown
_1229293380.unknown
_1229342078.unknown
_1229292599.unknown
_1229293025.unknown
_1229292523.unknown
_1228534383.unknown
_1229291415.unknown
_1229291597.unknown
_1229291320.unknown
_1228534166.unknown
_1228534341.unknown
_1227037642.unknown
_1228534059.unknown
_1227034471.unknown